Versões estendidas do lema de Ito

Nesta seção iremos estender o lema de Ito simples, dado por (2.21)–(2.22), de diversas maneiras.

Começamos pelo lema de Ito para processos estocásticos f(t,B_t). Suponha que f(t,x)possua derivadas parciais contínuas pelo menos até ordem 2. Uma modificação do argumento em expan-são de Taylor utilizado na seção 2.3.2 deverá também ter sucesso neste caso mais geral. Como já foi visto anteriormente, a expansão de Taylor de segunda ordem acarreta que

f(t+d t,B_{t+d t})−f(t,B_t) =f₁(t,B_t)d t+f₂(t,B_t)d B_t+ 1

2[f₁₁(t,B_t)(d t)²+2f₁₂(t,B_t)d t d B_t+f₂₂(t,B_t)(d B_t)²] +.... (2.25) Aqui, e no que se segue, utilizaremos a seguinte notação para as derivadas parciais de f:

f_i(t,x) = ∂

∂x_i f(x₁,x₂)

x₁=t,x₂=x

, i=1,2,

f_{i j}(t,x) = ∂

∂x_i

∂

∂x_jf(x₁,x₂)

x1=t,x2=x

, i=1,2.

Da mesma forma do que no cálculo clássico, os termos de ordem superior em (2.25) podem ser desprezados, bem como os termos com fatoresd t d B_t e(d t)². No entanto, como estamos inter-pretando(d B_t)²comod t, o termo com(d B_t)²não pode ser desprezado. Raciocinando da mesma forma do que na seção 2.3.2, i.e., integrando formalmente ambos os membros da equação (2.25) e grupando todos os termos comd t ed B_tseparadamente, terminaremos com a seguinte fórmula:

Extensão I do lema de Ito:

Seja f(t,x)uma função cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas.

Então,

f(t,B_t)−f(s,B_s) = Z t

s

f₁(x,B_x) +1

2f₂₂(x,B_x)

d x+ Zt

s

f₂(x,B_x)d B_x. s<t. (2.26)

2.3. O lema de Ito

Fig. 2.7 — Um caminho amostral da exponencial do movimento brownianoexp(B_t)(à esquerda) e da exponencial de Itoexp(B_t−0.5t)(à direita) para um mesmo caminhoB; confronte com os exemplos 2.3.2 e 2.3.3.

Aplicaremos esta fórmula para determinar a exponencial de Ito:

Exemplo 2.3.3. (A exponencial de Ito)

Nós estudamos no exemplo 2.3.2 que o processo estocástico exp{B_t}não é a exponencial de Ito no sentido de (2.24). Escolheremos agora a função

f(t,x) =e^x−0.5t. Um cálculo direto mostra que

f₁(t,x) =1

2f(t,x) f₂(t,x) =f(t,x) f₂₂(t,x) =f(t,x) Uma aplicação do lema de Ito dado acima nos fornece

f(t,B_t)−f(s,B_s) = Z t

s

f(x,B_x)d B_x.

No sentido dado em (2.24), f(t,B_t)é aexponencial de Ito.Veja a figura 2.7 para uma comparação dos caminhos dos processose x p{B_t}e exp{B_t−0.5t}.

Exemplo 2.3.4. (Movimento browniano geométrico)

Considere uma forma particular do movimento browniano geométrico (confronte com o exemplo 1.3.3):

X_t=f(t,B_t) =e^{(c−0.5σ2)t+σBt}. (2.27)

ondeceσ >0 são constantes. Observe que

f(t,x) = e^{(c−0.5σ2)t+σx}, f₁(t,x) = (c−0.5σ²)f(t,x) f₂(t,x) = σf(t,x), f₂₂(t,x) = σ²f(t,x)

Uma aplicação do lema de Ito (2.26) acarreta que o processoX satisfaz a equação diferencial es-tocástica linear

X_t−X₀=c Z t

0

X_sd s+σ Zt

0

X_sd B_s. (2.28)

Para uso posterior, precisaremos de uma versão ainda mais geral do lema de Ito. Consideraremos processos da formaf(t,X_t), ondeX é dado por

X_t=X₀+ Z t

0

A⁽¹⁾_s d s+ Z t

0

A⁽²⁾_s d B_s, (2.29)

e, tantoA⁽⁾quantoA⁽⁾são adaptados ao movimento browniano. Aqui, estamos assumindo que as integrais acima são bem definidas, tanto no sentido de Riemann quanto no de Ito respectivamente.

Um processoX, possuindo a representação (2.29), é denominado deprocesso de Ito.

Pode-se demonstrar que, os processosA⁽¹⁾eA⁽²⁾estão univocamente determinados no sentido de que, seX possui uma representação (2.29), onde osA⁽ⁱ⁾s são substi-tuídos por processos adaptadosD⁽ⁱ⁾, entãoA⁽ⁱ⁾eD⁽ⁱ⁾necessariamente coincidem.

Lembre-se de que o movimento browniano geométrico (2.27) satisfaz (2.28). Portanto é um pro-cesso de Ito comA⁽¹⁾=cX eA⁽²⁾=σX.

Agora, usando um argumento similar ao da expansão de Taylor dada acima, podemos mostrar a seguinte fórmula:

Extensão II do lema de Ito

SejaX um processo de Ito com representação dada em (2.20) ef(t,x)uma função cujas derivadas parciais de segunda ordem existem e são cohtínuas. Então

f(t,X_t)−f(s,X_s) = Z t

s

f₁(y,X_y) +A⁽¹⁾_y f₂(y,X_y) +1

2[A⁽²⁾_y ]²f₂₂(y,X_y)

d y +

Z t

s

A⁽²⁾_y f₂(y,X_y)d B_y s<t. (2.30)

Dê uma justificativa para esta fórmula. Use a expansão de Taylor para f(t+d t,X_{t+d t})−f(t,X_t) como em (2.25), ondeBé substituído porX, eXpossui um representação do tipo (2.29). Despreze os termos de ordem superior, começando pelos termos envolvendo(d t)²ed t d B_t, e faça uso da igualdade(d B_t)²=d t.

A fórmula (2.30) é dada com muita freqüência sob a seguinte forma:

2.3. O lema de Ito

f(t,X_t)−f(s,X_s) = Z t

s

f₁(y,X_y) +1

2[A⁽²⁾_y ]²f₂₂(y,X_y)

d y+ Z t

s

f₂(y,X_y)d X_y, (2.31) onde

d X_y=A⁽¹⁾_y d y+A⁽²⁾_y d B_y.

Esta última identidade é uma forma simbólica de escrevermos a representação de Ito (2.29). A integral com respeito aX em (2.31) deve ser interpretada da seguinte forma:

Z t

s

f₂(y,X_y)d X_y= Z t

s

A⁽¹⁾_y f₂(y,X_y)d y+ Zt

s

A⁽²⁾_y f₂(y,X_y)d B_y (2.32) Finalmente, consideramos o lema de Ito para processos estocásticos da formaf(t,X_t⁽¹⁾,X_t⁽²⁾), onde ambos,X⁽¹⁾eX⁽²⁾, são processos de Ito com respeito ao mesmo movimento browniano:

X_t⁽ⁱ⁾=X₀⁽ⁱ⁾+ Z t

0 A^(1,i_s ⁾d s+ Z t

0 A^(2,i)_s d B_s, i=1,2. (2.33)

Um argumento utilizando a expansão em série de Taylor para a equação acima acarretará a seguinte fórmula:

Extensão III do lema de Ito:

SejamX⁽¹⁾eX(2)dois processos de Ito dados por (2.33) e f(t,x₁,x₂)uma função cujas derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas. Então, para s<t,

f(t,X_t⁽¹⁾,X_t⁽²⁾)−f(s,X_s⁽¹⁾,X_s⁽²⁾) = Z t

s

f₁(y,X_y⁽¹⁾,X_y⁽²⁾)d y +

X3 i=2

f_i(y,X_y⁽¹⁾,X_y⁽²⁾)d X_y⁽ⁱ⁾ +

X3 i=2

X3 j=2

Z t

s

f_{i j}(y,X_y⁽¹⁾,X_y⁽²⁾)A^(2,i)_y A^(2,_y ^j)d y. (2.34) Aqui, f_i(y,x₁,x₂)ef_{i j}(t,x₁,x₂)denotam as derivadas parciais de f(t,x₁,x₂) relati-vamente ài-ésima ej-ésima variáveis, respectivamente; confronte com a página 96.

As integrais com respeito a X_y⁽ⁱ⁾ devem ser interpretadas da mesma maneira que em (2.32). A fórmula (2.34) pode ser estendida de forma direta para as funções do tipof(t,X_t⁽¹⁾...X_t^(m)), onde osX⁽ⁱ⁾s são processos de Ito com relação ao mesmo movimento browniano. Mencionamos que

podemos também considerar uma tal fórmula para os processos de Ito com respeito a dois movi-mentos brownianos distintos. No entanto, isto requer que se defina a integral estocástica de Ito para este cenário.

O exemplo seguinte é uma aplicação do lema de Ito (2.34).

Exemplo 2.3.5. (Integração por partes)

Considere a função f(t,x₁,x₂) =x₁x₂. Então obteremos¹

1Os argumentos das funções foram suprimidos.

f₁=0, f₂=x₂ f₃=x₁ f₂₂=f₃₃=0 e f₂₃=f₃₂=1.

Aplique agora a fórmula (2.34) para obter:

A fórmula de integração por partes:

SejamX⁽¹⁾eX⁽²⁾dois processos de Ito dados por (2.33). Então

d(X_t⁽¹⁾X_t⁽²⁾) =X_t⁽²⁾d X_t⁽¹⁾+X_t⁽¹⁾d X_t⁽²⁾+A^(2,1)_t A^(2,2)_t d t (2.35)

Usando a representação de Ito (2.33), obteremos uma expressão alternativa para as diferenciais:

d(X_t⁽¹⁾X_t⁽²⁾) = (X_t⁽¹⁾A^(1,2)_t +X_t⁽²⁾A^(1,1)_t +A^(2,1)_t A^(2,2)_t )d t+ (X_t⁽¹⁾A^(2,2)_t +X_t⁽²⁾A^(2,1)_t )d B_t. Como exemplos particulares nós consideramos:

X_t⁽¹⁾=e^t−1= Zt

0 e^sd s e X_t⁽²⁾=B_t= Z t

0 1d B_s. Obviamente,

A^(1,1)_t =e^t, A^(2,1)_t =0, A^(1,2)_t =0, A^(2,2)_t =1.

Portanto a integral por partes acarreta Z t

0 e^sd B_s=e^tB_t− Z t

0 B_se^sd s,

Mais geralmente, mostre que para qualquer função continuamente diferenciável f sobre[0,T]a seguinte relação pode ser verificada:

Z t

0 f(s)d B_s=f(t)B_t− Z t

0 f⁰(s)B_sd s,

Notas e comentários

O lema de Ito é a mais importante ferramenta do cálculo de Ito. Ele será utilizado com bastante freqüência nas seções que se seguem. Uma primeira versão deste resultado fundamental foi demon-strada em Ito (1951). Várias versões do lema de Ito e de suas provas podem ser encontradas em

2.4. A integral de Stratonovich e outras integrais

livros texto de cálculo estocástico, como por exemplo Chung e Williams (1990), Ikeda e Watanabe (1989), Karatzas e Shreve (1989), Øksendahl (1985) ou Protter (1992).

2.4. A integral de Stratonovich e outras integrais

Nesta seção, discutiremos algumas outras integrais estocásticas e sua relação com a integral estocás-tica de Ito. É certamente útil que você se dê conta de que existe uma variedade bastante ampla de outras integrais, a integral de Ito sendo apenas mais um membro desta família. Por outro lado, você não necessita a informação contida nesta seção (a qual é um tanto quanto técnica), a não ser que você pretenda resolver as equações diferenciais de Ito por meio do assim chamado cálculo de Stratonovich.

Nas seções anteriores nós já havíamos estudado as integrais estocásticas de Ito da forma I_t(C) =

Z t 0

C_sd B_s, t∈[0,T].

Aqui, e no que se segue,B= (B_t,t≥0)é um movimento browniano eC= (C_t,t∈[0,T])é um processo adaptado à filtração browniana naturalFt=σ(B_s,s≤t),t∈[0,T]. O ponto principal da definição da integral estocástica de Ito era o de que a aproximação deI_t(C)por meio das somas de Riemann-Stieltjes da forma

Xk−1 i=1

C_t

i−1∆_iB+C_t

k−1(B_t−B_t

k−1) para t_k−1≤t≤t_k, (2.36) para partições do tipo

τ_n: 0=t₀<t₁<...<t_n−1<t_n=T e tais que

m.a.p.(τ_n) = max

i=1...n(t_i−t_i−1)→0.

Da maneira usual, escrevemos∆_iB=B_t

i−B_t

i−1.

Nas equações de Riemann-Stieltjes (2.36), os valores escolhidos para C eram as extremi-dades esquerdas dos subintervalos [t_i−1,t_i]. Esta escolha foi feita meramente por conveniência matemática. O ganho se consubstanciava em que os processos estocásticos(I_t(C),t∈[0,T] pos-sui uma estrutura matemática bastante rica. Ela herda a propriedade martingal das somas de Riemann-Stieltjes (2.36) de aproximação. Assim, um alto nível da teoria dos processos estocás-ticos pode ser aplicado. Como propriedades subsidiárias, obtermos que a esperança da integral estocástica de Ito vale sempre zero e sua variância pode ser expressa por meio de uma aplicação da propriedade da isometria. O preço a ser pago por obtermos esta bela estrutura matemática é o de que a regra da cadeia do cálculo clássico não é mais válido. No cálculo de Ito, o lema de Ito substitui a regra da cadeia clássica.

Na presente seção consideramos um outro tipo de integral estocástica, a assim chamada in-tegral estocástica de Stratonovich. Iniciaremos com sua definição para o caso em que o processo integrandoC é dado por

C_t=f(B_t), t∈[0,T],

para uma função diferenciávelf sobre[0,T]até ordem 2. Defina as somas de Riemann-Stieltjes Se_n=

Xn i=1

f(B_yi)∆_iB, (2.37)

onde

y_i= t_i−1+t_i

2 , i=1...n.

Pode-se demonstrar que o limite pelo quadrado da média das somas de Riemann-StieltjeseS_nexiste se m.a.p.(τ_n)→0.

O limite único pelo quadrado da médiaS_T(f(B))das somas de Riemann-Stieltjes Se_n existe se RT

0 E f²(B_t)d t < ∞. O limite é chamado de integral estocástica de Stratonovichde f(B). Ele é denotado por

S_t(f(B)) = ZT

0 f(B_s)d B_s.

Claramente, no tocante à equação estocástica de Ito, podemos definir o processo estocástico das integrais estocásticas de Stratonovich

S_t(f(B)) = Z t

0

f(B_s)◦d B_s, t∈[0,T],

como o limite pelo quadrado da média das somas de Riemann-Stieltjes correspondentes.

Exemplo 2.4.1. Na página 82 nós consideramos as somas de Riemann-Stieltjes Se_n=

Xn i=1

B_y

i∆_iB

para uma dada partiçãoτ_nde[0,T]. Foi também mencionado que não é difícil de verificar que a seqüência(Se_n)possui limite pelo quadrado da média igual a 0.5B_T². Este pe o valor correspondente da integral estocástica de Stratonovich:

S_T(B) = ZT

0

B_s◦d B_s=1

2B_T². (2.38)

Obviamente, o processo estocástico (0.5B_t²,t ∈ [0,T])não é um martingal. No entanto, vemos que a integral estocástica de Stratonovich (2.38) satisfazformalmentea regra da cadeia; veja a página 82 para uma discussão.

A validade formal da regra da cadeia clássica é arazão para o uso das integrais estocásticas de Stratonovich. Assim, a despeito da estrutura matemática relativamente “pobre,” da integral es-tocástica de Stratonovich, ela possui uma propriedade “agradável.” Iremos explorá-la quando re-solvermos as equações diferenciais estocásticas de Ito.

2.4. A integral de Stratonovich e outras integrais

Fig. 2.8 — Um caminho amostral do processoRt

0B_s²d B_s(curva inferior) e do processoRt

0B_s²◦d B_s(curva superior) para o mesmo caminho amostral browniano.

Para adquirirmos alguma intuição da integral estocástica de Ito, nós consideramos a fórmula de transformação que liga as integrais estocásticas de Ito com as correspondentes integrais estocásticas de Stratonovich, possuindo o mesmo processo integrandof(B). Estamos supondo que

Z T

0 E[f(B_t)]²d t<∞ e Z T

0 E[f⁰(B_t)]²d t<∞, (2.39) A primeira condição é necessária para a definição da integral estocástica de StratonovichS_T(f(B)) e a integral estocástica de ItoI_T(f(B)).

Primeiramente, observe que a expansão de Taylor f(B_y

i) =f(B_t

i−1) +f⁰(B_t

i−1)(B_y

i−B_t

i−1) +....

é verdadeira, onde estamos desprezando os termos de ordem superior. Assim, uma soma de aprox-imação de Riemann-Stieltjes paraS_T(f(B))pode ser escrita como se segue:

Xn i=1

f(B_yi)∆_iB

= Xn

i=1

f(B_t

i−1)∆_iB+

Xn i=1

f⁰(B_t

i−1)(B_y

i−B_t

i−1)∆_iB

= Xn

i=1

f(B_t

i−1)∆_iB+

Xn i=1

f⁰(B_t

i−1)(B_y

i−B_t

i−1)² +

Xn i=1

f⁰(B_ti−1)(B_yi−B_ti−1)(B_ti−B_yi) +...

=eS_n⁽¹⁾+eS_n⁽²⁾+Se_n⁽³⁾+..., (2.40) onde mais uma vez estamos desprezando os termos de ordem superior. Pela definição da integral de Ito,Se_n⁽¹⁾possui limite pelo quadrado da média igual aRT

0 f(B_s)d B_s. Uma aplicação da condição (2.39) mostra que eS_n⁽³⁾ possui limite pelo quadrado da média igual a zero, e alguns cálculos

adi-cionais nos fornecem queSe_n⁽ⁱ⁾,i=1,2,3, eS_n⁽¹⁾→1

2 Z T

0

f⁰(B_t)d t

pelo quadrado da média. Combinando as convergências pelo quadrado da média deS_n⁽ⁱ⁾,i=1,2,3, nós finalmente obtemos o seguinte resultado a partir de (2.40):

Suponha que a função f satisfaça (2.39). Então afórmula de transformaçãoé ver-dadeira:

ZT 0

f(B_t)◦d B_t= ZT

0

f(B_t)d B_t+1 2

ZT 0

f⁰(B_t)d t. (2.41)

Desta fórmula é imediato que(S_t(f(B)),t∈[0,T])não é um martingal. Verifique isto tomando as esperanças em (2.41).

Tome agora a função particular f(t) = g⁰(t). Uma aplicação do lema de Ito (2.23) aY_t = g(B_t)acarreta

g(B_T)−g(B₀) = ZT

0 g⁰(B_s)d B_s+1 2

ZT

0 g⁰⁰(B_s)d s

= ZT

0

f(B_s)d B_s+1 2

ZT 0

f⁰(B_s)d s, e o segundo membro é igual aRT

0 g⁰(B_s)◦d B_s. Assim, temos

A integral estocástica de Stratonovich satisfaz à regra da cadeia do cálculo clássico:

ZT

0 g⁰(B_s)◦d B_s=g(B_T)−g(B₀). (2.42) Observe o seguinte: esta asserçãonãosignifica que a integral estocástica de Stratonovich coincide com a integral clássica (i.e., com a integral de Riemann). Apenas estamos afirmando que as regras da cadeia correspondentes possuem uma estrutura similar.

Exemplo 2.4.2. a) Tome g(t) =t². Entãog⁰(t) =2t. A partir de (2.42) obtemos que ZT

0 B_t◦d B_t=1 2B_T² −1

2B₀²=1 2B_T².

Tal fato esta em concordância com nossas observações precedentes a respeito do valor deS_T(B).

b) Tomeg(t) =exp(t). Entãog⁰(t) =g(t). Obtemos a partir de (2.42) que Z T

0 e^Bt◦d B_t=e^Bt−e^B0=e^Bt−1.

2.4. A integral de Stratonovich e outras integrais

Desta última relação concluímos que o processo X_t = exp(B_t),t ∈ [0,T] é a exponencial de Stratonovich. A partir do exemplo 2.3.3 também sabemos que a exponencial de Ito é um pro-cesso totalmente diferente.

No que se segue, queremos dar uma fórmula de transformação para a integral estocástica que é mais geral do que (2.41). Nessa fórmula nós somente tratamos de integrandos do tipoC =f(B).

Agora iremos assumir que o integrando é da forma

C_t−f(t,X_t), t∈[0,T] (2.43)

onde f(t,x) é uma função contínua tendo derivadas parciais até ordem 2. O processoX está sendo suposto ser um processo de Ito (veja a página 98), dado pela equação diferencial estocástica:

X_t=X₀+ Zt

0 a(s,X_s)d s+ Z t

0 b(s,X_s)d B_s,

onde as funções contínuasa(t,x)eb(t,x)satisfazem as condições de existência e unicidade da página 113. Para integrandos (2.43) não é imediato como obter uma extensão da integral com C = f(B). Um modo possível de definir a integral estocástica de Stratonovich seria através de aproximações por meio de somas de Riemann-Stieltjes:

Se_n= Xn

i=1

f(t_i−1,0.5(X_ti−1+X_t

i))∆_iB.

O limite pelo quadrado da médiaRT

0 f(t,X_t)◦d B_t dessas somas de Riemann-Stieltjes existe se Z T

0

E[f(t,X_t)]²d t<∞.

Podemos demonstrar que esta definição é consistente com a definição precedente (com f(x,t) = f(x),X =Be as somas aproximantes de Riemann-Stieltjes (2.37)).

Para uso posterior, daremos aqui uma outra identidade:

Supondo as hipóteses sobref eX dadas acima, a seguintefórmula de transformação é verdadeira:

Z T

0 f(t,X_t)◦d B_t= Z T

0 f(t,X_t)d B_t+1 2

Z T

0 b(t,X_t)f₂(t,X_t)d t, (2.44)

Da discussão acima, poderá ter ficado claro que podemos definir integrais estocásticas bastante diferentes. Para cada p∈[0,1], uma dada partiçãoτ_n= (t_i)de[0,T]e um processoC adaptado a um movimento browniano, podemos definir as somas de Riemann-Stieltjes

Se_n^(p)= Xn

i=1

C_y

i(p)∆_iB,

onde

y_i(p) =t_i−1+p(t_i−t_i−1), i=1...n.

Se m.a.p.(τ_n)→0, o limite pelo quadrado da média das somas de Riemann-StieltjesSe_n^(p)existe, contanto queC satisfaça algumas hipóteses adicionais. O limite pode ser considerado como a integral(p)-estocásticadeC:

I_T^(p)(C) = (p)− ZT

0 C_sd B_s.

Nos estudamos dois casos particulares: P =0 (o caso de Ito) e p=0.5 (o caso de Stratonovich).

Para integrandos não triviaisC os valoresI_T^(p)(C)diferem para valores distintos de p. Por exem-plo, utilizando argumentos similares aos casos das integrais de Ito e Stratonovich, podemos provar que

(p)− Z T

0

B_sd B_s=1 2B_T²+

p−1

2

T.

É também possível obter uma fórmula de transformação como (2.44) para relacionarmos as( p)-integrais, p ∈[0,1], com as integrais correspondentes de Ito e Stratonovich. Para as aplicações, as integrais de Ito e Stratonovich são bastante relevantes. As razões foram explicadas acima. Veja também o capítulo 3 que trata das equações diferenciais estocásticas.

Notas e comentários

A integral estocástica de Stratonovich foi introduzida por Fisk, e de forma independente por Stratonovich (1966). A teoria matemática da integral de Stratonovich pode ser encontrada em Stratonovich (1966); veja também Arnold (1973). Ambas as integrais, de Ito e Stratonovich são definidas de forma matemática correta. Nas aplicações, precisamos decidir qual dos processos estocásticos é o mais correto. Esta é um questão de modelagem; veja também a discussão na página 123.

Na seção 3.2.3 iremos fazer uso das regras do cálculo de Stratonovich (i.e., as regras do cálculo clássico) para a solução das integrais diferenciais estocásticas de Ito.

CAPÍTULO3

E QUAÇÕES DIFERENCIAIS ESTOCÁSTICAS

(EDE)

Este capítulo é devotado ao estudo das equações diferenciais estocásticas e sua solução. Na seção 3.1 iniciamos com uma breve introdução às equações diferenciais ordinárias. As equações difer-enciais estocásticas podem ser entendidas como equações diferdifer-enciais determinísticas perturbadas por ruído aleatório.

Na seção 3.2.1 nós introduzimos as equações diferenciais estocásticas de Ito e explicamos o que é uma solução. Resultará que as equações diferenciais estocásticas são na realidade equações integrais estocásticas envolvendo integrais ordinárias e integrais estocásticas de Ito. Portanto a noção de

“equação” diferencial poderia dar impressão errônea, porém como o uso do termo é um costume generalizado, nós o seguiremos. Na seção 3.2.1 formularemos condições de existência e unicidade de soluções para as equações diferenciais estocásticas de Ito. Na seção 3.2.2 daremos um método simples para resolver equações diferenciais estocásticas de Ito. Este método é baseado no lema de Ito. Continuamos na seção 3.2.3 com a solução para as equações diferenciais estocásticas de Ito que são derivadas de uma equação diferencial estocástica equivalente, a de Stratonovich.

Na seção 3.3, consideramos a equação diferencial estocástica linear geral. Trata-se de um caso especial de equações diferenciais estocásticas possuindo solução explícita em termos das funções coeficiente e do movimento browniano subjacente. As equações diferenciais estocásticas lineares são relevantes em várias aplicações. Também fornecemos um método para calcular as funções esperança e variância no caso.

De forma análoga às equações diferenciais determinísticas, somente em casos excepcionais é que é possível obter uma solução explícita para as equações diferenciais estocásticas. Em geral, é necessário basear-se em métodos numéricos; veja a seção 3.4 para uma introdução ao tópico.

No documento 1.3. Movimento browniano (páginas 96-107)