A proposta de Balaguer: o platonismo da não-univocidade

Dado o fracasso dos defensores do platonismo de estruturas para responder ao problema da não-univocidade — assim como o fracasso do apelo à CPNN na tentativa de manter a ideia de que há uma única sequência de objetos abstratos que realmente satisfaz essa teoria —, Balaguer (1998, pp. 84-90) propõe que a melhor estratégia para responder ao problema da não-univocidade consiste simplesmente em aceitar a ideia de que as nossas teorias matemáticas não descrevem univocamente coleções de objetos matemáticos. Deste ponto de vista, há realmente várias sequências de objetos que satisfazem os axiomas da aritmética de Peano (tal como a CPNN) — ou várias estruturas matemáticas, se adotarmos o platonismo de estruturas — e isto é perfeitamente compatível com a visão platonista da matemática, seja numa versão platonista de objetos, seja numa versão estruturalista. Tal estratégia consiste, portanto, em rejeitar a tese de que o platonismo matemático

implique univocidade. Se esta for uma estratégia bem-sucedida, estaremos autorizados a rejeitar tanto (1) como (1’).

Chamamos platonismo da não-univocidade (doravante PNU) à proposta de Balaguer segundo a qual as nossas teorias matemáticas não descrevem univocamente partes da realidade matemática. Em termos gerais, a estratégia para defender esta forma de platonismo consiste em (a) mostrar que não há quaisquer boas razões para aceitar a ideia de que o platonismo matemático seja incompatível com a não-univocidade das nossas teorias matemáticas, (b) mostrar que se aceitarmos a tese da plenitude — isto é, o platonismo da plenitude —, estamos obrigados a aceitar a não- univocidade das nossas teorias matemáticas e (c) mostrar que os proponentes do PNU têm recursos para compatibilizar o uso de termos singulares na linguagem matemática com a tese de que a referência destes termos não tem de ser unívoca.

Talvez a tarefa mais difícil para os defensores do PNU seja realmente a tarefa descrita em (c), sendo a possibilidade de referência o aspecto a partir do qual poderíamos argumentar a favor da ideia de que o platonismo matemático de objetos — segundo o qual afirmações do tipo “3 é primo” descrevem univocamente uma parte da realidade matemática, dado a forma gramatical dessa frase indicar que “3” funciona como um termo singular com um único referente — é mais plausível que o PNU. Se os termos singulares da linguagem matemática falham em apanhar um e apenas um objeto — e isto é exatamente o que ocorre do ponto de vista de um proponente do PNU, dado que afirmações do tipo “3 é primo” são encaradas, nesta perspectiva, como sendo acerca de mais de um objeto abstrato —, então não é óbvio que esses termos tenham sequer alguma referência. Isto porque considerando uma linguagem qualquer (matemática ou não), parece razoável afirmar que tal linguagem só poderá ser usada para descrever verdadeiramente alguma parte da realidade extra- mental caso os termos singulares presentes nesta linguagem tenham referentes unívocos.

A resposta de Balaguer a este tipo de objeção consiste em dizer que embora seja o caso 84

que os termos singulares usados na linguagem matemática realmente falhem em referir um e apenas um objeto matemático abstrato, podemos ainda assim manter a ideia de que a linguagem matemática cumpre o propósito realista de fornecer descrições verdadeiras da realidade matemática. Do seu ponto de vista, a razão pela qual não estamos obrigados a atribuir univocidade à referência de termos matemáticos singulares está relacionada à própria natureza dos objetos matemáticos. Posto que as propriedades internas de um objeto matemático são matematicamente irrelevantes, afirmar que o numeral “3” refere um objeto matemático abstrato x ou um objeto matemático

Cf. Balaguer (1998, p. 88) 84

abstrato y parece-nos completamente indiferente, pois aquilo que é matematicamente importante relativamente a estes objetos são apenas as propriedades que eles mantêm com outros objetos matemáticos abstratos, isto é, tudo aquilo que matematicamente importa são as suas propriedades estruturais . Deste ponto de vista, no contexto da matemática, o uso de termos singulares que não 85

referem univocamente é perfeitamente aceitável, dado o papel crucial que as propriedades estruturais dos objetos matemáticos desempenham neste contexto.

A réplica a esta resposta consiste em dizer que ao afirmar que tudo aquilo que importa em 86

contextos matemáticos são as propriedades estruturais que os objetos matemáticos exibem, somos levados a pensar que o tipo de referência atribuída a termos singulares matemáticos — nomeadamente, uma referência não-unívoca — é vicioso, na medida em que para quaisquer dois objetos matemáticos a e b, a poderá desempenhar o papel de b (e vice-versa), desde que exemplifique exatamente as mesmas propriedades estruturais exemplificadas por b. Isto é, se tudo aquilo que deve contar no que concerne à referência de um termo singular matemático são as propriedades estruturais dos possíveis objetos que poderão servir como referentes desse termo, então qualquer objeto matemático servirá este propósito. Evidentemente, esta é, em princípio, a ideia central de um proponente do PNU: endossar genuinamente a não-univocidade da referência dos termos singulares matemáticos. Parece, no entanto, que os defensores desta forma de platonismo estão obrigados a estabelecer um critério que nos permita demarcar a não-univocidade da referência dos termos singulares matemáticos, isto é, um critério que nos permita saber quais são os objetos que devem contar como referentes de um dado termo singular matemático. Obviamente, um defensor do PNU não quererá aceitar, por exemplo, que qualquer objeto (desde que exiba propriedades estruturais adequadas) possa funcionar como o referente do termo “3”. Em especial, um defensor desta teoria afirmará que apenas objetos matemáticos poderão funcionar como referentes do termo singular “3”, excluindo, portanto, a ideia de que qualquer objeto que desempenhe o papel de 3 (como [[[ø]]] ou Júlio Cézar) possa realmente funcionar como referente do numeral “3”.

A resposta de Balaguer (1998, p. 87) a esta aparente dificuldade consiste em chamar a atenção para o fato de que um defensor do PNU não está comprometido com a tese de que as

Apesar de concordar com a afirmação de que as únicas propriedades numéricas matematicamente relevantes são as 85

propriedades numéricas-estruturais, Balaguer não está comprometido com a tese endossada pelos defensores do platonismo de estruturas segundo a qual números são posições em estruturas matemáticas abstratas. O objetivo central de Balaguer ao propor o PNU é tentar mostrar que o platonismo de objetos tem recursos para resistir ao desafio benacerrafiniano de fixar a referência de termos matemáticos singulares como numerais.

Cf. Balaguer (1998, p. 87) 86

propriedades estruturais dos objetos matemáticos constituem o único fator que deve contar para a referência de um termo singular da linguagem matemática. Ao afirmarmos, por exemplo, que a referência de numerais tais como “3” e “4” é não-unívoca, devemos ter em mente que esta não- univocidade da referência está restrita a objetos que satisfazem a CPNN. Assim, nenhum conjunto, nenhuma pessoa e, de modo geral, nenhum objeto que não satisfaça a CPNN poderá funcionar como um referente de um numeral, ainda que tal objeto possa desempenhar exatamente o mesmo papel desempenhado pelos números naturais.

A plausibilidade desta resposta dependerá, no entanto, da tese de que tal como está incluído na CPNN que o número 3 não é vermelho ou que o número 3 não é uma pessoa, também está incluído na CPNN que números não são conjuntos. Este parece o único caminho disponível para que um defensor do PNU possa rejeitar a hipótese de que um dos múltiplos referentes do numeral “3” seja, por exemplo, [[[ø]]].

Não nos parece, entretanto, que haja alguma restrição que impeça um defensor do PNU de defender que uma das implicações da CPNN seja a tese de que números não são conjuntos. Afinal, a afirmação de que números não têm elementos parece tão plausível quanto a afirmação de que números não têm cores ou tamanhos. Assim, os defensores do PNU poderão recorrer àquilo que nos parece intuitivamente verdadeiro, e a nossa intuição parece indicar que realmente há algo de estranho com a afirmação de que 3 pertence a 17, por exemplo. Portanto, embora seja possível argumentar que a inclusão da tese de que números não são conjuntos na CPNN seja arbitrária, não nos parece que esta seja uma objeção promissora ao PNU.