O programa nominalista de Hartry Field

A estratégia de Hartry Field (1980) para responder a este argumento consiste em rejeitar (1). Deste ponto de vista, as nossas melhores teorias científicas podem ser formuladas sem quantificação sobre entidades matemáticas abstratas. Trata-se, portanto, de uma defesa do nominalismo do caminho árduo. O programa de Field depende crucialmente das seguintes duas teses:

A. A matemática é conservativa

B. Uma quantidade significativa das nossas melhores teorias científicas (senão todas) podem ser reformuladas através de um vocabulário puramente nominalista

Se (B) for verdadeira, então a formulação das nossas melhores teorias científicas a partir de premissas inteiramente nominalistas tem de ser possível. Afirmações envolvendo expressões matemáticas terão de ser parafraseadas de modo a eliminar a quantificação sobre os referentes destas expressões. Um exemplo bastante simplificado que ilustra de forma clara qual é a estratégia dos defensores do nominalismo do caminho árduo, consiste no seguinte . Consideremos a 88

afirmação contida na seguinte frase: “O comprimento do navio mais próximo à costa sul do Brasil é de 500 metros”. Do ponto de vista de um platonista, a interpretação mais adequada desta afirmação invocará a existência de uma função de objetos em números (comprimento em metros deve ser encarado como correspondendo a esta função). Teríamos, portanto, a seguinte interpretação platonista: ⨍(b) = 500, onde “b” refere o objeto que satisfaz a descrição definida “O navio mais próximo à costa sul do Brasil”. De igual modo, se afirmarmos “O comprimento do navio mais próximo à costa sul do Brasil é maior que 500 metros”, estaremos obrigados a explicitamente quantificar sobre números, dado que teríamos a seguinte interpretação: (∃x) (x > 500 ∧ ⨍(b) = x) . 89

Um defensor do programa nominalista de Field negará, evidentemente, que a leitura semântica mais adequada para a frase “O comprimento do navio mais próximo à costa sul do Brasil é de 500 metros” seja realmente platonista. Deste ponto de vista, esta é uma interpretação equivocada, a qual pressupõe que objetos espaciotemporais estão num certo tipo de relação com

Esta explicação acerca de como Field fornece substitutos nominalistas para afirmações frequentemente usadas em

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ciência baseia-se em Balaguer (1998, pp. 114-116). Balaguer reconhece que a sua reconstrução desta parte do programa de Field difere da formulação original, na medida em que, contrariamente a Field, Balaguer utiliza objetos físicos (ao invés de pontos no espaço-tempo) para explicar como podemos parafrasear afirmações sobre quantidades físicas (como comprimento) sem quantificar sobre entidades matemáticas.

Cf. Balaguer (1998, pp. 114-116)

objetos abstratos, nomeadamente, números. Um nominalista afirmará, pois, que é perfeitamente possível fornecer uma interpretação ontologicamente menos comprometedora. A interpretação nominalista consistirá no seguinte: existe um particular concreto a o qual tem a propriedade de ter o mesmo comprimento que outro particular concreto b concatenado a si mesmo 10 vezes. Evidentemente, esta interpretação envolve a noção matemática de número, mas a expressão “b concatenado a si mesmo 10 vezes” poderia ser substituída pelo seguinte: b * b * b* b * b * b * b * b * b * b, onde “*” representa a relação de concatenação.

A estratégia geral adotada pelos defensores do nominalismo do caminho árduo terá sempre de funcionar nestes moldes: mostrar que o uso da matemática nas ciências não é obrigatório, mas apenas aconselhável. A razão pela qual o programa de Field parece tão promissor está relacionada sobretudo à sua tentativa de nominalizar uma das nossas mais sólidas teorias científicas, nomeadamente, a lei da gravitação universal newtoniana. Aparentemente, esta é uma tarefa executável sem maiores obstáculos, na medida em que o vocabulário matemático (platonista) presente no aparato necessário à formulação desta teoria pode ser substituído utilizando-se a axiomatização da geometria proposta por Hilbert (1971), a qual consiste basicamente numa reformulação sintética da geometria sem quantificação sobre números reais . Assim, se a tarefa de 90

nominalizar a teoria da gravitação universal newtoniana for exequível, haverá boas razões para considerar a possiblidade de outras teorias científicas igualmente sólidas estarem sujeitas ao mesmo tipo de tratamento nominalista.

Entretanto, a tese de que todas as aplicações da matemática nas ciências empíricas poderiam ser expressas através de um vocabulário puramente nominalista — sem quantificação sobre quaisquer tipos de entidades abstratas — é bastante controversa. Várias objeções nesta direção foram levantadas ao programa nominalista de Field, dentre as quais a de que a estratégia de eliminação do vocabulário platonista da ciência (especificamente na nominalização da teoria da gravitação universal newtoniana) exige quantificação de segunda ordem, o que não seria, em princípio, nominalisticamente aceitável. Outra objeção com bastante impacto na literatura consiste na tese de que tal estratégia não pode ser estendida à mecânica quântica (muito embora talvez funcione para a mecânica clássica), dada a quantificação sobre espaços de Hilbert presente nesta teoria . Tal objeção foi proposta por Malament (1982). Balaguer (1998, pp. 120-126) formula, 91

entretanto, aquilo que poderia ser considerado como os primeiros passos para uma estratégia de nominalização da mecânica quântica, em réplica ao obstáculo colocado por Malament (1982). Em

Cf. Bueno (2014, seção 3)

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Cf. Balaguer (1998, pp.117-120)

contrapartida, Bueno (2003) procura mostrar que a estratégia sugerida por Balaguer não poderá ser bem-sucedida, visto que (a) parece ser incompatível com algumas interpretações legítimas da mecânica quântica e (b) invoca a existência de propensões fisicamente reais (o que não é nominalisticamente aceitável). Deste modo, ao que parece, a questão de saber em que medida podemos formular as nossas melhores teorias científicas através de um vocabulário completamente nominalista permanece em aberto.

Outro obstáculo talvez mais definitivo ao programa nominalista de Field está relacionado à dificuldade de formular a conservatividade da matemática por meio de um vocabulário puramente nominalista. De modo informal, dizemos que uma teoria matemática T é conservativa se, e somente se, T é consistente com um conjunto de teorias empíricas nominalisticamente aceitáveis e internamente consistentes. Como é visível, a noção de conservatividade da matemática é dependente da noção de consistência, e isto poderá ser ontologicamente comprometedor, na medida em que a explicação do conceito de consistência invoca a noção de ter modelo ou ser verdadeira em pelo menos um modelo, sendo modelos tipicamente encarados como entidades ontologicamente suspeitas. Embora esta não seja uma dificuldade incontornável (uma alternativa seria reduzir a noção de consistência à noção de possibilidade e pressupor simplesmente que as noções modais de possibilidade e necessidade são primitivas), a ideia de que a formulação da conservatividade da matemática não poderá ser formulada de uma maneira nominalisticamente aceitável baseia-se no fato de que a formulação desta noção será sempre dependente de resultados metalógicos (como o teorema da compacidade, por exemplo), os quais dificilmente estão livres de vocabulário platonista . 92