A Proposta de Baltar

Em sua pesquisa, Baltar (1996) buscou viabilizar a apreensão do conceito de área, ampliando a proposta de Douady e Perrin-Glorian (1989) sobre a aquisição da noção de área no Ensino Básico. A autora aborda o conceito de área

focando principalmente a passagem da grandeza unidimensional para bidimensional.

Concordamos com Baltar (1996) ao afirmar que a diferenciação entre área e perímetro se apresenta sob vários pontos de vista, como, por exemplo: o ponto de vista topológico – pelo qual dissociar área e perímetro corresponde a reconhecer que área e perímetro não se referem exatamente ao mesmo objeto geométrico, pois a área corresponde ao interior da superfície e o perímetro a seu contorno; e o ponto de vista das variações que perpassa pela aceitação que a modificação da área não implica necessariamente na alteração do perímetro.

Por outro lado, as dificuldades de aprendizagem que podem aparecer nas situações-problema em torno da dissociação entre área e perímetro não são as mesmas segundo a natureza das superfícies. Assim, a autora distingue três casos possíveis para abordarmos tais dificuldades: superfícies quaisquer, retângulos e paralelogramos. Em relação ao primeiro caso, a autora afirma que dissociar área e perímetro de superfícies quaisquer do ponto de vista topológico consiste em associar área ao interior da superfície e o perímetro a seu contorno. Assim, propõe que

A noção de área como grandeza unidimensional e a invariância de área por recorte-colagem permitem dissociar área e superfície: superfícies de formas variadas podem ter mesma área e apresentar perímetros diferentes. Essa dissociação é uma etapa importante para o questionamento das concepções geométricas e por consequência na aquisição da dissociação das variações respectivas entre área e perímetro de superfícies quaisquer (BALTAR, 1996. p. 66, tradução nossa).

De fato, atividades de recorte e colagem são necessárias para auxiliar na compreensão dos conceitos de área e perímetro como, por exemplo, nos casos em que precisamos mostrar que duas superfícies podem ter a mesma área sem apresentar, necessariamente, o mesmo perímetro e, que podem ter o mesmo perímetro, sem ter, necessariamente, a mesma área, essas características são válidas para qualquer que seja a superfície.

Outro caso que a autora destaca e que se deve ficar atento é o das superfícies utilizadas com maior frequência em sala de aula, como, por exemplo,

o retângulo cujas fórmulas para se calcular as medidas de área e perímetro permitem evidenciar o cálculo da medida de área em termos de produto e o do perímetro em termos de soma.

E, por fim, os paralelogramos que, assim como os triângulos, possibilitam atividades em que podemos explorar a dissociação entre área e perímetro, por meio de situações que enfatizem as deformações dessas figuras e suas respectivas variância e/ou invariância de medida de área e perímetro.

Durante a deformação “deslocamento de um dos lados sobre uma reta suporte”, a área do paralelogramo não varia e seu perímetro varia [...]. No caso da “mudança de eixo de um dos lados em torno do vértice”, ao contrário, o perímetro é conservado enquanto que a área varia. (pois as medidas dos lados não variam, e a altura varia) (BALTAR, 1996. p. 67, tradução nossa, grifos da autora).

Acreditamos que atividades assim construídas podem permitir aos alunos uma aproximação com a questão da validade de conjecturas. Além disso, podem se revelar como instrumentos que possibilitam aos discentes a formulação e teste de conjecturas, favorecendo, assim, a participação destes na produção de argumentos matemáticos.

Balacheff (1988) afirma que, ao analisar a tomada de decisão dos alunos sobre a validade de asserções, há dois pólos de concepções possíveis relativos ao conceito de medida de área e perímetro de um retângulo. Na primeira concepção, o aluno confunde área e superfície, perímetro e contorno; na segunda concepção, que ele denomina de concepção aritmética, as asserções são tratadas em referências às fórmulas de cálculo de área e perímetro.

Para estudar os aspectos de invariâncias que permitem conservar área e perímetro a autora apóia-se na proposta de Douady e Perrin-Glorian (1989), já discutida anteriormente, que distingue no quadro geométrico dois pontos de vista necessários para a construção do conceito de áreas e sua dissociação com o perímetro: o estático e o dinâmico.

O objetivo principal das atividades com papel e lápis propostas pela autora foi de desenvolver os elementos necessários à compreensão das fórmulas de área e perímetro das figuras estudadas e de disponibilizar aos alunos as fórmulas

por meio de ações que requeiram o trabalho com medições. O objetivo da aprendizagem nas atividades dinâmicas foi estudar as fórmulas de área e perímetro do ponto de vista dos invariantes geométricos17 _{em jogo. “Isso não}

significa que o aspecto dinâmico esteja totalmente ausente no papel e lápis, pois nada impede que os alunos coloquem implicitamente em prática os raciocínios dinâmicos” (BALTAR, 1996, p. 112, tradução nossa). Para efeito de maior controle da variável “estático-dinâmico”, a autora associa o ponto de vista estático ao trabalho com papel e lápis e o ponto de vista dinâmico ao uso de um ambiente informatizado no caso utilizando o cabri-géomètre.

A manipulação de figuras na tela do computador possibilita evidenciar situações de invariância de área que favoreçam conjecturas como, por exemplo, que a área de um triângulo é invariante quando as medidas da base e da altura são conservadas.

Atividades como as descritas anteriormente favorecerem a formulação de conjecturas e devem ser aproveitadas, principalmente, porque fazem surgir episódios de argumentação em matemática. É necessário aproveitar as comunicações de ideias favorecidas por situações que possam, além de favorecer a apropriação dos conceitos em jogo, nos revelar as características intrínsecas das argumentações.

Para construção de nossa sequência, admitimos as concepções de Douady e Perrin-Glorian (1989), ao assumirem a área de figuras planas como uma aplicação medida F, cuja implicação é que, para dar sentido ao conceito de área, é necessário que o aluno realize atividades nas quais trate esse conceito como grandeza autônoma, ou seja, sem relacioná-la inicialmente ao número que representa a medida de área. Construímos, então, atividades que favoreceram a distinção entre área e superfície, assim como área e medida de área; trabalhos com unidades de medidas diversificadas, tanto em sua forma, quanto em dimensões, que, segundo as autoras, facilitam a construção da aplicação medida F; questões que abordem variações de medidas de área e perímetro, que

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Nesse sentido, os invariantes geométricos são relativos às invariâncias de áreas ou perímetros, quando submetemos determinadas figuras a certas deformações como, por exemplo, a conservações da área de um triângulo construído entre duas paralelas – ao deslocarmos um dos vértices sobre uma reta suporte e fixarmos outros dois.

minimizam as confusões que normalmente os discentes apresentam sobre esses conceitos, conforme constatado pelas autoras; atividades de recorte e colagem incluindo superfícies cuja unidade escolhida não as recubra totalmente, que, segundo as autoras, são necessárias para estender a aplicação medida.

Outra questão, anunciada pelas autoras, à qual recorremos para idealizar nossa sequência, foi a da necessidade de propor atividades que possibilitem a distinção e interação entre os pontos de vista estático e dinâmico. O primeiro está relacionado a questões como as de recorte e colagem, utilização de fórmulas, etc., o segundo aborda, por exemplo, o deslocamento de um dos vértices de um triângulo sobre uma reta suporte.

A construção de nossa sequência leva em conta, também, as investigações propostas por Baltar (1996), ao sugerir que a compreensão do conceito de área perpassa pela diferenciação entre área e perímetro. A autora sugere atividades que abranjam o ponto de vista topológico, como, por exemplo, aquelas que dissociam área e perímetro, evidenciando que área corresponde ao interior da superfície e o perímetro a seu contorno; e o ponto de vista das variações relacionado à aceitação que a modificação da área não implica necessariamente na alteração do perímetro.

Tomando como referência as indicações de Douady e Perrin-Glorian (1989), Baltar (1996) admite a necessidade de se formular atividades que evidenciem os pontos de vista estático e dinâmico, para compreensão dos conceitos de área e perímetro, assumindo que o ponto de vista dinâmico pode ser explorado na tela do computador com uso de softwares geométricos. Tal como essa autora, propomos nossas atividades utilizando o software Geogebra, propondo atividades como rotação e translação de um quadrado na tela do computador e invariância de área com variação de perímetro e vice-versa, evidenciando, a distinção entre esses conceitos.

Para viabilizar a concretização de nossa proposta, passaremos a descrever a metodologia adotada, com seus respectivos procedimentos metodológicos.