Ex. 1 — SejaX⊂R e Ω ={C ⊂X; C aberto}. (a)Mostre queintX ∈Ω
(b)Seja A= S
C∈Ω
C. Mostre queA=intX.
Solu¸c˜ao (ex. 1) — (a)Temos queintX⊂X, comointX ´e aberto, temos pela defini¸c˜ao de Ω queintX ∈Ω.
(b) (i)Tome a∈A ⇒ a∈ S
c∈Ω
C ⇒ a∈ C, para algum C ∈ Ω⇒ a∈ C ⊂X, comoC´e aberto, temos que a∈intX. Conclu´ımos que A⊂intX.
(ii)Tomea∈intX, ent˜ao existe um intervalo abertoI tal quea∈I e portanto, como I ´e aberto e contido em X, ent˜ao a ∈ S
Logo, 14 ∈ K pois pode ser representado sem utilizar o n´umero 1 na base 3 e
7
8 6∈K pois n˜ao pode ser representado sem utilizar o n´umero 1 na base 3.
(i)Calcule lim
x→a, x∈Qf(x) e lim
x→a, x6∈Qf(x) (ii)Encontrea∈Rtal que existe lim
x→af(x).
(iii)A fun¸c˜aof ´e cont´ınua nos pontos aencontrados no item (ii)?
Ex. 3 — Sejaf :R→R dada por:
(b)Mostre queg(0) <0 e g(1)>0, ent˜ao enuncie um teorema sobre g que garanta a existˆencia de um zero, c ∈ (0,1), para g, e portanto um ponto fixo para f.
Solu¸c˜ao (ex. 4) — .
(a)(⇒) Temos f(x) = c, ent˜ao g(c) = f(c) −c = 0 (⇐) Suponha g(c) = 0, ent˜ao g(c) =f(c)−c= 0⇒f(c)−c= 0⇒f(c) =c (b)Temosf(0)<0 ent˜aog(0) =f(0)−0 =f(0)<0 temos quef(1)>1
ent˜ao g(1) =f(1)−1>1−1>0
Teorema do Valor Intermedi´ario- Sejag:I →R, definida em um intervalo I ⊂R,g cont´ınua , se paraa, b∈X temosg(a)> g(b) ent˜ao, para todo d, tal queg(a)> d > g(b), existec∈X,a > c > b tal que g(c) =d.
8.3 Resumo dos Axiomas, Teoremas e Defini¸ c˜ oes
Defini¸c˜ao 8.3.1. X ⊂R, X ´e aberto S.S.S. para todo x ∈X existe ε >0 tal que(a−ε, a+ε)⊂X.
Teorema 8.3.2. (a) Se A1 ⊂ R e A2 ⊂ R s˜ao abertos, ent˜ao A1 ∩A2 ´e aberto.
(b) Seja (AΛ)Λ∈L uma fam´ılia arbitr´aria de conjuntos abertos todos contidos nos reais. A reuni˜aoA=S
Λ∈LAΛ´e um conjunto aberto.
Corol´ario 8.3.3. Se A1, A2, . . . , An s˜ao subconjuntos abertos de R ent˜ao A∩ A2∩ · · · ∩An ´e aberto.
Teorema 8.3.4. Para todo aberto A ⊂ R se exprime, de modo ´unico como reuni´ao enumer´avel de intervalos abertos dois a dois disjuntos.
Corol´ario 8.3.5. Seja I um intervalo aberto. Se I = A∪B, onde A, B s˜ao abertos, ent˜ao um ´e∅e o outro ´e igual a I.
Defini¸c˜ao 8.3.6. a ´e aderente a X ⊂ R se a for limite de alguma sequˆencia de pontos deX.
Teorema 8.3.7. Um pontoa∈R´e aderente a um conjunto X⊂RS.S.S. para todo ε >0 tem-se X∩(a−ε, a+ε)6=∅.
Corol´ario 8.3.8. a ´e aderente a X S.S.S. para todo I tal que a ∈ I tem-se I∩X 6=∅
Corol´ario 8.3.9. Seja X ⊂R limitado inferiormente e Y ⊂R limitado supe-riormente. Ent˜ao a= infX ´e aderente a x eb=supY ´e aderente a Y.
Defini¸c˜ao 8.3.10. O feixo deX, X, ´e o conjunto dos pontos aderentes a X.
Defini¸c˜ao 8.3.11. X ´e fechado S.S.S. X=X
Teorema 8.3.12. F ⊂R´e fechado S.S.S. seu complementar ´e aberto.
Corol´ario 8.3.13. (a) R e o conjunto vazio s˜ao fechados.
(b) Se F1, . . . , Fn s˜ao fechados ent˜aoF1, . . . , Fn ´e fechado.
(c) Se (FΛ)Λ∈L pe uma fam´ılia qualquer de conjuntos fechados, ent˜ao F = T
Λ∈LFΛ ´e um conjuntos fechado.
Teorema 8.3.14. X ⊂R, X=X
Teorema 8.3.15. Todo conjunto X ⊂ R cont´em um conjunto enumer´avel E tal queE ⊂X eE ´e denso emX.
Defini¸c˜ao 8.3.16. a´e ponto de acumula¸c˜ao deX S.S.S. para todo intervalo I centrado ema, tem-se (I∩X)− {a} 6=∅.
Defini¸c˜ao 8.3.17. X′ ´e o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de X.
Teorema 8.3.18. Dado X⊂R ea∈R, s˜ao equivalentes:
(a) a∈X′
(b) a= limxn, ondexn´e uma sequˆencia de pontos deXdois a dois distintos.
(c) Todo intervalo aberto contendo a possui uma infinidade de elementos de X.
Corol´ario 8.3.19. SeX′ 6=∅ ent˜aoX ´e infinito.
Teorema 8.3.20. Para todo X⊂R, tem-se X =X∪X′. Corol´ario 8.3.21. X ´e fechado S.S.S. X′ ⊂X.
Corol´ario 8.3.22. SeX =X′ ent˜aoX ´e enumer´avel.
Teorema 8.3.23. Seja F ⊂R n˜ao vazio tal que F = F′ ent˜ao F ´e n˜ao enu-mer´avel.
Corol´ario 8.3.24. Todo conjunto enumer´avel n˜ao vazio possui algum ponto isolado.
Defini¸c˜ao 8.3.25. Uma cobertura de X ⊂ R ´e uma fam´ılia C= (CΛ)Λ∈L de conjuntosCΛ⊂zreals tais que X⊂S
Λ∈LCΛ. Teorema 8.3.26. Toda cobertura, F ⊂ S
Λ∈LAΛ por meio de abertos, F fe-chado e limitado, admite uma sub-cobertura finita.
Teorema 8.3.27. K ⊂R s˜ao equivalentes:
(a) K ´e limitado e fechado. (no caso, compacto) (b) Toda cobertura de K possui sub-cobertura finita
(c) Todo subconjunto infinito de K possui ponto de acumula¸c˜ao pertencente a K
(d) Toda sequˆenia de pontos de K possui subsequˆencia convergente para um ponto de K.
Corol´ario 8.3.28. Todo conjunto infinito limitado X ⊂ R possui ponto de acumula¸c˜ao.
Corol´ario 8.3.29. Todo conjunto infinito X ⊂R possui algum ponto de acu-mula¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 8.3.34. Seja a ponto de acumula¸c˜ao de X, lim
x→af(x) = L S.S.S.
para todoε >0, existeγ >0 tal que
0<|x−a|< γ ⇒ |f(x)−f(a)|< ε
Teorema 8.3.35. Se lim I intervalo aberto contento a, ent˜ao lim
x→ag(x) =L⇒ lim
Teorema 8.3.45. a∈X+′ . Y =X∩(a,+∞), g=f|Y, ent˜ao lim
x→a+f(x) =L⇔ lim
x→ag(x) =L
Teorema 8.3.46. a∈X+′ ∩X−′ ,limf(x) =L⇔ existem os limites lateraism Teorema 8.3.47. Sef ´e mon´otona e limitada, ent˜ao existem os limites laterais nos pontos a∈X+′ eb∈X−′ .
Defini¸c˜ao 8.3.48. lim
x→∞=LS.S.S. para todoε >0existeA >0tal quex∈X, x > A⇒ |f(x)−L|< ε.
Teorema 8.3.49. c ´e valor de ader`encia de f no ponto a S.S.S. para todo γ >0 tem-se c∈(vγ).
Teorema 8.3.50. Se f ´e limitada na vizinhan¸ca de a ent˜ao lim
x→asupf(x) = lim(Lγ) eliminf(f(X)) = lim(lγ).
Teorema 8.3.51. f limitada numa vizinhan¸ca de a. Para todo ε > 0, existe γ >0tal que x∈X,0<|x−a|< γ⇒ l−ε < f(x)< L+ε, onde l= liminf f eL= limsupf.
Defini¸c˜ao 8.3.52. f ´e cont´ınua em a∈X S.S.S. para todo ε >0, existe γ >0 tal quex∈X |x−a|< γ⇒ |f(x)−f(a)|< ε.
Teorema 8.3.53. Toda restri¸c˜ao de uma fun¸c˜ao cont´ınua ´e cont´ınua.
Teorema 8.3.54. f ´e cont´ınua 3m a, ent˜ao f ´e limitada em uma vizinhan¸ca dea.
Teorema 8.3.55. f, g cont´ınuas no ponto ae f(a)< g(a), ent˜ao existe γ >0 tal quex∈X, |x−a|< γ⇒f(x)< g(x).
Teorema 8.3.56. f ´e cont´ınua no ponto aS.S.S. limf(xn) = f(a) para toda sequˆencia xn∈X, com limxn=a.
Teorema 8.3.57. Sef, g s˜ao cont´ınuas ema, ent˜aof±g, f·g s˜ao cont´ınuas nesse ponto. Seg(a)6= 0, ent˜ao fg ´e cont´ınua no ponto a.
Teorema 8.3.58. A composta de duas fun¸c˜oes cont´ınuas ´e cont´ınua.
Teorema 8.3.59. X ⊂ S
Λ∈LAΛ, uma cobertura por meio de abertos. Se f :xR→ tal que para todoΛ∈L,f|(AΛ∩X) s˜ao cont´ınuas, ent˜aof ´e cont´ınua.
Defini¸c˜ao 8.3.60. Dizemos que uma fun¸c˜aof tem uma descontinuidade de 1a esp´ecie no ponto aquando f ´e descont´ınua no ponto a mas existem os limites laterais nesse ponto.
Defini¸c˜ao 8.3.61. Dizemos que uma fun¸c˜aof tem uma descontinuidade de 2a esp´ecie no ponto a quando f ´e descont´ınua nesse ponto e n˜ao existe um dos limites laterais nesse ponto.
Teorema 8.3.62. Uma fun¸c˜ao mon´otona n˜ao admite descontinuidade de 2a esp´ecie.
Teorema 8.3.63. Seja f : x → R mon´otona. Se f(X) ´e denso em algum intervalo, ent˜ao f ´e cont´ınua.
Teorema 8.3.64. Seja f : X → R uma fun¸c˜ao cujas desconinuidades s˜ao todas de 1a esp´ecie. Ent˜ao o conjunto dos pontos de desconinuidade de f ´e enumer´avel.
Teorema 8.3.65. Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Se f(a) < d < f(b), ent˜ao existec∈(a, b) tal quef(c) =d.
Teorema 8.3.66. Seja f :I →R cont´ınua e injetiva, definida no intervalo I.
Ent˜ao f ´e cont´ınua, sua imagem ´e um intervalo e sua inversa ´e cont´ınua.
Teorema 8.3.67. Seja f :X → R cont´ınua. Se X ´e compacto, ent˜ao f(x) ´e compacto.
Corol´ario 8.3.68. Toda fun¸c˜ao definida em um compacto ´e limitada e atinge seus extremos.
Teorema 8.3.69. X ⊂R, compacto. Sef :x→R´e cont´ınua e injetiva, ent˜ao Y =f(X) ´e compacto e a fun¸c˜ao inversaf−1 ´e cont´ınua.
Defini¸c˜ao 8.3.70. f : X → R ´e uniformemente cont´ınua S.S.S. para todo ε >0 existe γ tal que:
x, y∈X, |x−y|< γ⇒ |f(x)−f(y)|< ε
Teorema 8.3.71. Seja f : X → R uniformemente cont´ınua. Se (xn) ´e uma sequˆencia de Cauchy emX, ent˜ao(f(xn))´e uma sequˆencia de Cauchy.
Defini¸c˜ao 8.3.72. f :X →R ´e lipschitziana S.S.S. existe c >0 tal que x, y∈X⇒ |f(x)−f(y)| ≤c|x−y|
Teorema 8.3.73. X compacto. Toda fun¸c˜ao f : X → R ´e uniformemente cont´ınua.
Teorema 8.3.74. Toda fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua f : X → R admite uma exten¸c˜ao Ψ :X → R, onde Ψ ´e a ´unica extens˜ao cont´ınua de f a X e ´e uniformemente cont´ınua.