O Meu Curso de Análise 1

O Meu Curso de An´ alise 1

UNB - Universidade de Bras´ılia Instituto de Exatas (IE)

4 de janeiro de 2006

Apostila dispon´ıvel em http://pa.mat.unb.br/

Pref´acio p. 5

I Conte´udo da 1^a Prova 6

1 N´umeros Naturais p. 7

1.1 A Soma . . . p. 7 1.1.1 Inteirada . . . p. 7 1.1.2 Defini¸c˜ao de Soma . . . p. 8 1.1.3 Propriedades da Soma . . . p. 8 1.2 Ordem dos N´umeros Naturais . . . p. 14 1.2.1 Propriedades da Ordem . . . p. 14 1.3 A Multiplica¸c˜ao . . . p. 15 1.3.1 Propriedades da Multiplica¸c˜ao . . . p. 16 1.4 Boa Ordena¸c˜ao e o Segundo Princ´ıpio da Indu¸c˜ao . . . p. 22 1.4.1 Elemento M´ınimo . . . p. 22 1.4.2 Elemento M´aximo . . . p. 22 1.4.3 Boa Ordena¸c˜ao . . . p. 22 1.5 Exerc´ıcios . . . p. 25

2 N´umeros Reais p. 34

2.1 Exerc´ıcios . . . p. 34

3 Seq¨uencias e S´eries de N´umeros Reais p. 41

4 Revis˜ao da 1^a Parte p. 42

4.1 Exerc´ıcios da Lista de An´alise Resolvidos . . . p. 42 4.2 1^a Prova Resolvida . . . p. 58 4.3 Resumo dos Axiomas, Teoremas e Defini¸c˜oes . . . p. 61

II Conte´udo da 2^a Prova 67

5 Topologia da Reta p. 68

5.1 Exerc´ıcios . . . p. 68

6 Limites de Fun¸c˜oes p. 74

6.1 Exerc´ıcios . . . p. 74

7 Fun¸c˜oes Cont´ınuas p. 76

8 Revis˜ao da 2^a Parte p. 77

8.1 Exerc´ıcios da Lista de An´alise Resolvidos . . . p. 77 8.2 2^a Prova Resolvida . . . p. 81 8.3 Resumo dos Axiomas, Teoremas e Defini¸c˜oes . . . p. 83

IIIConte´udo da 3^a Prova 90

9 Derivadas p. 91

10 Integral de Riemann p. 92

11 Revis˜ao da 1^a Parte p. 93

11.1 Exerc´ıcios da Lista de An´alise Resolvidos . . . p. 93

11.2 3^a Prova Resolvida . . . p. 94 11.3 Resumo dos Axiomas, Teoremas e Defini¸c˜oes . . . p. 95

Pref´ acio

O que me motivou a escrever isso ´e aprender an´alise, de maneira alguma pretendo (hoje) competir com os autores de livros. Fiz livre uso do livro de An´alise de Elon para criar esse trabalho. Portanto, vocˆe deve ter um exemplar do livro “Curso de An´alise 1” para compreender o conte´udo desse material.

Esse material ´e escrito utilizando a estrutura de cap´ıtulos do livro do prof.

Elon, mas no lugar de conte´udo ´e colocado coment´arios, outras demonstra¸c˜oes e outras experiˆencias que obtive. Al´em disso h´a uma rela¸c˜ao dos enunciados dos teoremas e defini¸c˜oes do livro citado. Refor¸cando: Isso ´e um material complementar!

Durante a greve dos servidores da UNB, estava ansioso para come¸car o curso de an´alise, como estava demorando muito, iniciei o meu estudo documentando- o nesse livro. No decorrer do semestre, o tempo come¸cou a ficar escasso, o que levou a redu¸c˜ao do conte´udo escrito. No entanto deve ser de grande valia para os alunos de gradua¸c˜ao do Dep. de Matem´atica da UnB ao cursarem a disciplina “An´alise 1”.

O professor Celius Magalh˜aes contribuiu em peso nas demonstra¸c˜oes e nos exerc´ıcios durante o semestre, ele me orientou no decorrer dos meus estudos. O curso foi ministrado pelo professor Jos´e Alfredo, que sempre esteve dispon´ıvel para sanar minhas d´uvidas e que muito contribuiu para o meu ensino de ma- tem´atica.

Paulo Angelo

Parte I

Conte´ udo da 1 ^a Prova

1 N´ umeros Naturais

Os n´umeros naturais s˜ao constru´ıdos de uma fun¸c˜ao S:→ NN que leva um elemento deN ao chamado “seu sucessor” e de trˆes axiomas dessa fun¸c˜ao, chamados axiomas de Peano:

1. S ´e injetiva

2. Existe apenas um elemento que n˜ao possue sucessor, o nomeado elemento

“um” representado por “1”.

3. Se X ⊂ N ´e tal que, se x ∈ X implica que S(x) ∈ X ent˜ao X = N (princ´ıpio da indu¸c˜ao)

A partir desse base podemos constru´ır todo o conjunto dos n´umeros natu- rais.

1.1 A Soma

1.1.1 Inteirada

Defini¸c˜ao 1.1.1. A n-´esima inteirada de f, representada por fⁿ. (como n˜ao faz nenhum sentido falar n-´esimo; dado que estamos constrindo os n´umeros naturais) definimos:

f¹ =f (1.1)

e

f^S(n)=f◦fⁿ (1.2)

1.1.2 Defini¸c˜ao de Soma

Defini¸c˜ao 1.1.2. Representa-se por “+” (mais), m + n, como:

m+n=Sⁿ(m) (1.3)

Podemos ver da defini¸c˜ao que:

1. Assumindon= 1 em (1.3) temos:

m+ 1 =S(m) (1.4)

2. Assumindon=S(n) e por (1.3), temos:

m+S(n) =S^S(n)(m) (1.5)

Pela defini¸c˜ao de Inteiradas em (1.2):

S^S(n)(m) =S◦Sⁿ(m) (1.6) Por defini¸c˜ao da soma em (1.3),m+n=Sⁿ(m), ent˜ao:

S◦Sⁿ(m) =S(m+n) (1.7)

Conclu´ımos ent˜ao:

m+S(n) =S(m+n) (1.8)

1.1.3 Propriedades da Soma

1. m+ (n+p) = (m+n) +p 2. m+n=n+m

3. m+p=n+p⇒m=n

4. Tricotomia; dadosm, n∈Numa das sequintes ocorre:

• m=n

• ∃p∈N|m+p=n

• ∃q ∈N|m=n+q

1.1.3.1 Demonstra¸c˜oes

As demonstra¸c˜oes s˜ao dadas como teoremas, para facilitar a utiliza¸c˜ao do L^ATEXe ficar mais claro a apresenta¸c˜ao.

Teorema 1.1.3. Para todos m, n, p∈N tem-se m+ (n+p) = (m+n) +p Demonstra¸c˜ao. Fixados m, n∈Ne sejaX ⊂No conjunto:

X={p∈N|m+ (n+p) = (m+n) +p} (1.9) Vamos provar por indu¸c˜ao queX =N

(i) Inicialmente temos que provar que 1∈X:

Pela defini¸c˜ao em (1.3), n+ 1 =S(n) ent˜ao:

m+ (n+ 1) =m+S(n) (1.10)

Usando a defini¸c˜ao em (1.3), temos:

m+S(n) =S^S(n)(m) (1.11) Usando defini¸c˜ao de inteiradas em (1.2):

S^S(n)(m) =S◦Sⁿ(m) (1.12) Usando defini¸c˜ao de soma em (1.3):

S◦Sⁿ(m) =S(m+n) (1.13)

e finalmente, utilizando defini¸c˜ao de soma novamente,

S(m+n) = (m+n) + 1 (1.14) obtemos m+ (n+ 1) = (m+n) + 1 o que implica que 1∈X

(ii) Precisamos ent˜ao provar que p ∈ X ⇒ S(p) ∈ X, com isso podemos utilizar o terceiro axioma de Peano para concluir a demonstra¸c˜ao. Se

m+ (n+p) = (m+n) +p (1.15)

ent˜ao, utilizando (1.8):

m+ (n+S(p)) =m+S(n+p) (1.16) Utilizando novamente (1.8) assumindo n= (n+p),

m+S(n+p) =S(m+ (n+p)) (1.17) Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao (1.15):

S(m+ (n+p)) =S((m+n) +p) (1.18) Utilizando (1.8) novamente, temos:

S((m+n) +p) = (m+n) +S(p) (1.19) Obtendo p ∈ X ⇒ S(p) ∈ X. Fica ent˜ao demonstrado utilizando o terceiro axioma de Peano.

Lema 1.1.4. S^p(1) =S(p),∀p∈N Demonstra¸c˜ao. SejaX ⊂No conjunto:

X ={p∈N|S^p(1) =S(p)} (1.20) Vamos provar queX=Nutilizando o princ´ıpio de indu¸c˜ao.

(i) Por defini¸c˜ao de inteirada em (1.1): S¹(1) = S(1) onde conclu´ımos que 1∈X

(ii) Suponhamos que para algump∈N:

S^p(1) =S(p) (1.21)

Utilizando a defin¸c˜ao de inteirada (1.2):

S^S(p)(1) =S◦S^p(1) (1.22) Utilizando a hip´otese em (1.21):

S◦S^p(1) =S◦S(p) =S(S(p)) (1.23)

Pela defini¸c˜ao de Inteirada em (1.2):

S◦S(p) =S(S(p)) (1.24)

Donde conclu´ımos que p∈X ⇒S(p)∈X.

Como 1∈ X e p ∈X ⇒S(p)∈X pelo terceiro axioma de Peano, conclu´ımos queX=N, demonstrando assim o lema.

Teorema 1.1.5. Fixado m∈Ntemos m+n=n+m∀n∈N Demonstra¸c˜ao. SejaX ⊂No conjunto:

X={n∈N|m+n=n+m} (1.25) Vamos provar queX=Nutilizando o princ´ıpio de indu¸c˜ao.

(i) Utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3):

m+ 1 =S(m) (1.26)

Com o resultado objetido no lema 1.1.4:

S(m) =S^m(1) (1.27)

Utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3):

S^m(1) = 1 +m (1.28)

obtemos ent˜ao

m+ 1 = 1 +m (1.29)

donde conclu´ımos que 1∈X

(ii) Suponhamos que para algumn∈Ntemos:

m+n=n+m (1.30)

Ent˜ao, utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3):

m+S(n) =S^S(n)(m) (1.31)

Utilizando a defini¸c˜ao de inteiradas em (1.2):

S^S(n)(m) =S◦Sⁿ(m) (1.32) Utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3):

S◦Sⁿ(m) =S(m+n) (1.33)

Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao em (1.30):

S(m+n) =S(n+m) (1.34)

Utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3):

S(n+m) =S(S^m(n)) (1.35)

Utilizando a defini¸c˜ao de inteirada em (1.2):

S(S^m(n)) =S◦S^m(n) =S^S(m)(n) (1.36) Utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3):

S^S(m)(n) =n+S(m) (1.37)

Utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3) novamente:

n+S(m) =n+ (m+ 1) (1.38) Utilizando o resultado no ´ıtem anterior em (1.29):

n+ (m+ 1) =n+ (1 +m) (1.39) Utilizando o resultado do teorema 1.1.3.

n+ (1 +m) = (n+ 1) +m=S(n) +m (1.40) Utilizando defini¸c˜ao de soma em (1.3):

(n+ 1) +m=S(n) +m (1.41)

Donde conclu´ımos que sem+n=n+m ent˜ao:

m+S(n) =S(n) +m (1.42)

Como 1 ∈ X e n ∈ X ⇒ S(n) ∈ X, utilizando o terceiro axioma de Peano, concl´ımos queX=N, demonstrando assim o teorema.

Teorema 1.1.6. Fixados m, n ∈N tem-se m+p = n+p ⇒ m =n ∀n ∈N (Lei do Corte)

Demonstra¸c˜ao. SejaX ⊂No conjunto:

X={p∈N|m+p=n+p⇒m=n} (1.43) Vamos provar pelo princ´ıpio de indu¸c˜ao queX=N

(i) Para p= 1 e utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3) e a hip´otese acima, temos:

S(m) =m+ 1 =n+ 1 =S(n)⇒S(m) =S(n) (1.44) Como a fun¸c˜ao S ´e injetiva (axioma 1)m=n, logo 1∈X.

(ii) Suponhamos que:

m+p=n+p (1.45)

para algum p ∈ N, ent˜ao, utilizando defini¸c˜ao de soma em (1.3) e a hip´otese do teorema, temos:

S(m+p) =m+S(p) =n+S(p) =S(m+p)⇒S(m+p) =S(m+p) (1.46) Como S ´e injetiva, m+p = n+p, pela hip´otese de indu¸c˜ao em (1.45), m=n

Como 1∈ X e p ∈X ⇒S(p)∈X pelo terceiro axioma de Peano, conclu´ımos queX=N, o que demonstra o teorema.

Teorema 1.1.7. Dados m, n∈N uma das sequintes ocorre:

• m=n

• ∃p∈N|m+p=n

• ∃q ∈N|m=n+q Demonstra¸c˜ao. Num sei. . .

1.2 Ordem dos N´ umeros Naturais

Defini¸c˜ao 1.2.1. Dizemos que

m > n Se e Somente Se, ∃p∈N|m=n+p e que

m < n Se e Somente Se, ∃q∈N|m+q =n 1.2.1 Propriedades da Ordem

1. m > n∧n > p⇒m > p (transitividade) 2. m > n⇒m+p > n+p; ∀p∈N

E trivial que as mesmas propriedades se aplicam para´ <.

1.2.1.1 Demonstran¸c˜oes

Teorema 1.2.2. Fixados m, n∈N temos que:

m > n∧n > p⇒m > p; ∀p∈N (1.47) Demonstra¸c˜ao. Utilizando a defini¸c˜ao de ordem 1.2.1, temos:

n > p⇒ ∃w∈N|n=p+w (1.48) m > n⇒ ∃q ∈N|m=n+q (1.49) Usando (1.48) e (1.49) obtemos que:

m=n+q= (p+w) +q =p+ (w+q) (1.50) O que, pela defini¸c˜ao de ordem em (1.2.1), implica quem > p, como quer´ıamos demonstrar.

Teorema 1.2.3. Fixados m, n∈N temos que:

m > n⇒m+p > n+p; ∀p∈N (1.51) Demonstra¸c˜ao. Temos que:

m > n⇒ ∃q ∈N|m=n+q (1.52) Utilizando a lei do corte provada no Teorema 1.1.6, temos:

(m) +p= (n+q) +p (1.53)

Utilizando as propriedades de comutatividade e associatividade provadas res- pectivamente nos teoremas 1.1.5 e 1.1.3, temos

(m) +p= (n+q) +p⇒m+p= (n+p) +q (1.54) Finalmente, utilizando a defini¸c˜ao de ordem em 1.2.1, temos:

m+p= (n+p) +q⇒ m+p > n+p (1.55)

1.3 A Multiplica¸ c˜ ao

Denota-se porf_m(n) a fun¸c˜ao que soma “m” a n, ent˜ao:

f_m(n) =n+m=S^m(n) (1.56)

Definimos tamb´em a fun¸c˜ao antecessor como sendo:

A:→(N−1)N (1.57)

A(S(p)) =p;∀p∈N (1.58)

Defini¸c˜ao 1.3.1. A opera¸c˜ao multiplica¸c˜ao, representada por “.” ´e definida por:

• m·1 =m

• m·S(n) =f_mⁿ(m)

1.3.1 Propriedades da Multiplica¸c˜ao

1. (m+n)·p=m·p+n·p 2. m·n=n·m

3. m·p=n·p⇒m=n 4. m > n⇒m·p > n·p 5. m·(n·p) = (m·n)·p 1.3.1.1 Demonstran¸c˜oes

Para demonstrar as propriedades, vamos precisar de alguns resultados ini- ciais, que geraram os lemas seguintes:

Lema 1.3.2. Fixados m, n∈N tem-se que:

m·(p+ 1) =m·p+m (1.59)

Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao em feita em duas etapas, para p = 1 e para p6= 1:

(i) Parap= 1 e utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3), temos:

m·(1 + 1) =m·S(1) (1.60)

Pela defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao em 1.3.1:

m·S(1) =f_m¹(m) =m+m (1.61) (ii) Se p 6= 1 temos que ∃w ∈ N tal que S(w) = p, logo: Pela defini¸c˜ao de

soma em (1.3):

m·(S(w) + 1) =m·(S(S(w))) (1.62) Pela defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao em 1.3.1:

m·(S(S(w))) =f_m^S(w)(m) (1.63) Pela defini¸c˜ao de inteirada em (1.2):

f_m^S(w)(m) =f_m◦f_m^w(m) (1.64)

Pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao f em (1.56)

f_m◦f_m^w(m) =f_m^w(m) +m (1.65) Pela defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao em 1.3.1:

f_m^w(m) +m=m·S(w) +m (1.66) Como p=S(w), conclu´ımos que:

m·(p+ 1) =m·(S(w) + 1) =m·S(w) +m=m·p+m (1.67)

Teorema 1.3.3. Fixados m, n∈N tem-se que:

(m+n)·p=m·p+n·p; ∀p∈N (1.68) Demonstra¸c˜ao. SejaX ⊂No conjunto:

X ={p∈N|(m+n)·p=m·p+n·p} (1.69) Vamos provar utilizando o princ´ıpio de indu¸c˜ao queX=N

(i) Utilizando a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao em 1.3.1, temos:

(m+n)·1 = (m+n) =m+n (1.70) (ii) Suponha que para algump∈N vale:

(m+n)·p=m·p+n·p (1.71) Da defini¸c˜ao de soma em (1.3):

(m+n)·S(p) = (m+n)·(p+ 1) (1.72) Utilizando o lema 1.3.2:

(m+n)·(p+ 1) = (m+n)·p+ (m+n) (1.73) Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao em (1.71):

(m+n)·p+ (m+n) =m·p+n·p+ (m+n) (1.74)

Utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade da soma:

m·p+n·p+ (m+n) =m·p+m+n·p+n (1.75) Utilizando novamente o lema 1.3.2:

m·p+m+n·p+n=m·(p+ 1) +n·(p+ 1) (1.76) Utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3):

m·(p+ 1) +n·(p+ 1) =m·S(p) +n·S(p) (1.77) Obtendo p ∈ X ⇒ S(p) ∈ X. Fica ent˜ao demonstrado utilizando o terceiro axioma de Peano.

Lema 1.3.4.

1·p=p·1 ; ∀p∈N (1.78)

Demonstra¸c˜ao. SejaX ⊂No conjunto:

X={p∈N|1·p=p·1} (1.79) Vamos provar utilizando o princ´ıpio de indu¸c˜ao queX=N

(i) Parap= 1:

1·1 = 1·1 (1.80)

(ii) Suponha que para algump∈N vale:

1·p=p·1 (1.81)

Ent˜ao, utilizando a defini¸c˜ao de soma em (1.3):

1·S(p) = 1·(p+ 1) (1.82) Utilizando o lema 1.3.2:

1·(p+ 1) = 1·p+ 1·1 (1.83) Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao em (1.81):

1·p+ 1·1 =p·1 + 1·1 (1.84)

Utilizando o teorema 1.3.3:

p·1 + 1·1 = (p+ 1)·1 (1.85) Pela defini¸c˜ao de soma em (1.3):

(p+ 1)·1 =S(p)·1 (1.86)

Obtendo p ∈ X ⇒ S(p) ∈ X. Fica ent˜ao demonstrado utilizando o terceiro axioma de Peano.

Teorema 1.3.5. Fixado m∈Ntem-se:

m·n=n·m; ∀n∈N (1.87)

Demonstra¸c˜ao. SejaX ⊂No conjunto:

X={n∈N|m·n=n·m} (1.88) Vamos provar utilizando o princ´ıpio de indu¸c˜ao queX=N

(i) Paran= 1 e utilizando o resultado do lema 1.3.4, temos:

m·1 = 1·m (1.89)

(ii) Suponha que para algumn∈Nvale:

m·n=n·m (1.90)

Ent˜ao, utilizando o lema 1.3.2:

m·(n+ 1) =m·n+m (1.91) Utilizando a hip´otese em (1.90):

m·n+m=n·m+m (1.92)

Utilizando a propriedade de comutatividade da soma e a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao em (1.3.1):

n·m+m=n·m+ 1.m (1.93)

Utilizando o resultado do teorema 1.3.3:

n·m+ 1.m= (n+ 1)·m (1.94) Obtendo n ∈ X ⇒ S(n) ∈ X. Fica ent˜ao demonstrado utilizando o terceiro axioma de Peano.

Teorema 1.3.6. Dados m, n∈N vale:

Se:

∃p∈N|m·p=n·p (1.95)

Ent˜ao m=n.

Demonstra¸c˜ao. Suponha quem6=n, ent˜ao, pela tricotomia provada no teorema 1.1.7:

∃q∈N|m=n+q∧ ∃w∈N|n=m+w (1.96) Se m = n+q, e utilizando a distributividade demonstrada em 1.3.3 temos:

m·p = (n+q)·p = n·p+q ·p o que conclu´ımos pela defini¸c˜ao de ordem em 1.2.1 quem·p > n·p o que contradiz a hip´otese inicial. Da mesma forma assumindom+w=n, conclu´ımos quen·p > m·p o que tamb´em contradiz a hip´otese. Logom=n.

Teorema 1.3.7. Fixados m, n∈N vale:

m > n⇒m·p > n·p; ∀p∈N (1.97) Demonstra¸c˜ao. Pela defini¸c˜ao de ordem em 1.2.1, temos:

m > n⇒ ∃q ∈N|m=n+q (1.98) Ent˜ao:

m·p= (n+q)·p (1.99)

Utilizando a propriedade de distributividade demonstrada no teorema 1.3.3:

(n+q)·p=n·p+q·p (1.100) Obtendo:

m·p=n·p+q·p (1.101)

Pela defini¸c˜ao de ordem em 1.2.1, temos:

m·p=n·p+q·p⇒m·p > n·p (1.102) O que completa a demonstra¸c˜ao.

Teorema 1.3.8. Fixados m, n∈N vale:

m·(n·p) = (m·n)·p; ∀p∈N (1.103) Demonstra¸c˜ao. SejaX ⊂No conjunto:

X ={p∈N|m·(n·p) = (m·n)·p} (1.104) Vamos provar utilizando o princ´ıpio de indu¸c˜ao queX=N

(i) Para p= 1 e utilizando duas vezes a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao em 1.3.1 temos:

m·(n·1) =m·n= (m·n)·1 (1.105) (ii) Suponha que para algump∈N vale:

m·(n·p) = (m·n)·p (1.106) Ent˜ao, utilizando duas vezes a propriedade de distributividade provada em 1.3.3:

m·(n·(p+ 1)) =m·(n·p+n) =m·(n·p) +m·n (1.107) Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao em (1.106) e a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao em 1.3.1, temos:

m·(n·p) +m·n= (m·n)·p+ (m·n)·1 (1.108) Utilizando a propriedade de distributividade demonstrada no teorema 1.3.3:

(m·n)·p+ (m·n)·1 = (m·n)·(p+ 1) (1.109) Obtendo p ∈ X ⇒ S(p) ∈ X. Fica ent˜ao demonstrado utilizando o terceiro axioma de Peano.

1.4 Boa Ordena¸ c˜ ao e o Segundo Princ´ıpio da Indu¸ c˜ ao

1.4.1 Elemento M´ınimo

Dizemos que p∈X ´e um elemento m´ınimo deX se e somente se:

p6q ; ∀q ∈X (1.110)

Podemos perceber que o elemento m´ınimo de um conjunto ´e ´unico, de fato, suponha que existe outrow∈X tal que:

w6m; ∀m∈X (1.111)

Mas

p6q∧w6m; ∀q, m∈X ⇒p6w∧w6p⇒p=w (1.112) 1.4.2 Elemento M´aximo

Dizemos que p∈X ´e um elemento m´aximo deX se e somente se:

p>q ; ∀q ∈X (1.113)

Podemos perceber que o elemento m´aximo de um conjunto ´e ´unico, de fato, suponha que existe outrow∈X tal que:

w>m; ∀m∈X (1.114)

Mas

p>q∧w>m; ∀q, m∈X ⇒p>w∧w>p⇒p=w (1.115) 1.4.3 Boa Ordena¸c˜ao

Todo o conjunto X⊂Npossue um elemento m´ınimo.

Lema 1.4.1. O elemento 1 ´e o elemento m´ınimo do conjunto dos naturais.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que:

∃p∈N|p <1 (1.116)

E, pela defini¸c˜´ ao de ordem em 1.2.1, equivalente que:

∃w∈N|1 =p+w (1.117)

1 =p+w⇒1 =S^w(p) (1.118)

Da igualdade, segue que 1 seria sucessor de algum n´umero o que contradiz o segundo axioma de Peano.

Teorema 1.4.2. Todo o conjunto X ⊂ N, n˜ao vazio, possue um elemento m´ınimo ou seja:

Para todo o conjunto X⊂Nvale:

∃p∈X|p6w; ∀w∈X (1.119) Demonstra¸c˜ao. Se 1∈X ent˜ao 1 ´e o elemento m´ınimo deX, poisX ⊂N.

Definimos o conjuntoI_n⊂Ncomo:

I_n={p∈N|p6n} (1.120)

e o conjuntoA⊂N como:

A={n∈N|In⊂N−X} (1.121) Logo, (n˜ao ´e dif´ıcil provar):

w∈A⇒w6∈X (1.122)

Afirmamos que o elemento p∈X tal que:

A(p)∈A∧p∈X (1.123)

´e o elemento m´ınimo deX, de fato, se n˜ao for, ent˜ao:

∃w∈X|p66w (1.124)

Pela tricotomia em 1.1.7:

∃w∈X|p66w⇒w < p (1.125) Pela defini¸c˜ao de ordem em 1.2.1:

w < p⇒ ∃q∈N|p=w+q (1.126) Analizemos em dois casos:

(caso 1) Se q= 1. E utilizando a defini¸c˜ao de antecessor em (1.58) e defini¸c˜ao de soma em (1.3), temos que A(p) + 1 =S(A(p)) =p, ent˜ao:

p=w+ 1⇒A(p) + 1 =w+ 1 (1.127) Utilizando a lei do corte da soma demonstrada no teorema 1.1.6:

A(p) + 1 =w+ 1⇒A(p) =w (1.128) O que ´e um absurdo, pois A(p) ´e definida como pertencer ao conjuntoA e:

A(p) =w∨(A(p)∈A⇒A(p)6∈X)⇒w6∈X (1.129) Onde temos um absurdo.

(caso 2) Seq 6= 1, ent˜ao como 1 ´e o elemento m´ınimo dos naturais:

1< q (1.130)

Pela defini¸c˜ao de ordem em 1.2.1:

1< q⇒ ∃y∈N|q = 1 +y (1.131) Substitu´ındo q= 1 +y em (1.126), temos:

p=w+ 1 +y (1.132)

Como p6= 1, e utilizando a defini¸c˜ao de antecessor em 1.58:

A(p) + 1 =w+ 1 +y (1.133) Utilizando a comutatividade da soma demonstrada em 1.1.5 e a lei do

corte demonstrada em 1.1.6:

A(p) + 1 =w+y+ 1⇒A(p) =w+y (1.134) Pela defini¸c˜ao de ordem em 1.2.1:

A(p) =w+y⇒w < A(p) (1.135) Utilizando a defini¸c˜ao de A(p) (1.123) e a defini¸c˜ao do conjunto A em (1.121), conclu´ımos que:

w < A(p)⇒w∈A⇒w6∈X (1.136) O que ´e um absurdo.

Com isso, conclu´ımos quep ´e o elemento m´ınimo do conjuntoX.

1.5 Exerc´ıcios

Ex. 1 — Prove que tendo o primeiro e segundo axioma, o terceiro axioma (P3) ´e equivalente ao axioma “A”:

P3- SeX ⊂N´e tal que 1∈X ∧n∈X ⇒S(n)∈X, ent˜ao X =N.

A- Para todo conjuntoA⊂N, n˜ao vazio, tem-se A−S(A)6=∅ Solu¸c˜ao (ex. 1) — Vamos primeiramente provar (P3⇒A):

Demonstra¸c˜ao. E claro que, se 1´ ∈A, ent˜ao A−S(A)6=∅

Vamos supor ent˜ao que 16∈A, e portanto, 1∈A^c, supomos ainda, por absurdo, queA−S(A) =∅. Nesse caso, afirmamos que:

a∈A^c⇒S(a)∈A^c (1.137)

Demonstra¸c˜ao da Afirma¸c˜ao.

Suponha quea∈A^ce, por contradi¸c˜ao, queS(a)6∈A^c. Ent˜ao, comoA⊂S(A), segue-se que S(a) ∈ A ⊂ S(A), isto ´e, S(a) = S(n) para algum n ∈ A. Por injetividade deS (P2), temosa=n∈A, uma contradi¸c˜ao, ent˜ao conclu´ımos a demonstra¸c˜ao da afirma¸c˜ao (1.137).

Como provamos:

SeA−S(A) =∅, ent˜ao vale:

a∈A^c⇒S(a)∈A^c (1.138)

Nesse caso, utilizando P3 e o fato de 1 ∈ A^c, temos que A^c = N, e portanto A=∅, conclu´ındo a demonstra¸c˜ao.

(A⇒P3)

Demonstra¸c˜ao. Suponha queX⊂Ntal que:

1.- 1∈X

2.- n∈X ⇒S(n)∈X SejaA=X^c, ent˜ao, afirmamos que:

A−S(A) =∅

Se, por contradi¸c˜ao, A−S(A) 6= ∅, ent˜ao ∃x ∈ A|x 6∈ S(A). Como x 6= 1, segue-se que x=S(a). Assim,∃S(a)∈A|S(a) 6∈S(A) ⇒a6∈A⇒a∈X ⇒ S(a)∈X⇒S(a)6∈Ao que ´e uma contradi¸c˜ao.

Por “A”, segue-se queA=∅=X^c, logo X=N.

Ex. 2 — Dados a, b∈Ntemos que existe m∈Ntal quem·a > b . Solu¸c˜ao (ex. 2) — Demonstra¸c˜ao.Tome m= (b+ 1), logo:

m·a= (b+ 1)·a=b·a+a (1.139) Analisemos agora os dois casos:

(caso 1) - Sea= 1, utilizando a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao, temos:

b·a=b+ 1 (1.140)

Donde, pela defini¸c˜ao de ordem, temos que:

m·a > b (1.141)

(caso 2) - Se a6= 1, temos que existe A(a), ent˜ao, utilizando a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao:

b·(A(a) + 1) =b·A(a) +b·1 =b+ (b·A(a))> b (1.142)

Onde conclu´ımos pela defini¸c˜ao de ordem que:

m·a > b (1.143)

Ex. 3 — Para a∈N; Se o conjunto X ´e tal que:

(1)a∈X

(2)n∈X⇒n+ 1∈X

Ent˜aoX cont´em todos os elementos n∈Ntais que n>a Solu¸c˜ao (ex. 3) — Demonstra¸c˜ao.Definimos os conjuntos:

A={n∈N|n>a} (1.144)

B =A−X (1.145)

Devemos provar ent˜ao queB =∅.

Pelo teorema 1.4.2, temos que todo conjunto n˜ao vazio possue um elemento m´ınimo. Logo, supondo que B 6= ∅, temos que existe b ∈ B tal que b seja elemento m´ınimo, como:

b∈B ⊂A∧a∈X (1.146)

Temos queb > a >1; logo, existeA(b)∈A, donde conclu´ımos que:

A(b) ∈X∧b6∈X (1.147)

o que ´e uma contradi¸c˜ao, logo B = ∅, o que conclu´ımos pela defini¸c˜ao de B queX=A.

Ex. 4 — Demonstre as seguintes propriedades utilizando o princ´ıpio de indu¸c˜ao:

(a) 2·(1 + 2 +· · ·+n) =n·(n+ 1) (b) 1 + 3 + 5 +· · ·+ (2·n+ 1) = (n+ 1)²

(c) (a−1)·(1 +a+· · ·+aⁿ) =aⁿ⁺¹−1 (d)n>4⇒n!>2ⁿ

Solu¸c˜ao (ex. 4) — (a) Demonstra¸c˜ao.TomeX⊂No conjunto dos n´umeros n tais que 2·(1 + 2 +· · ·+n) =n·(n+ 1)

(i) n= 1, temos:

2 = 2·1 = 1·(1 + 1) = 2 (1.148) logo, 1∈X

(ii) Suponha que vale para algum n∈X:

2·(1 + 2 +· · ·+n) =n·(n+ 1) (1.149) Ent˜ao, utilizando a propriedade de distributividade, temos:

2(1 + 2 +· · ·+n+ (n+ 1)) = 2(1 + 2 +· · ·+n) + 2(n+ 1) (1.150) Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao em (1.149):

2(1 + 2 +· · ·+n) + 2(n+ 1) =n(n+ 1) + 2(n+ 1) (1.151) Utilizando distributividade:

n(n+1)+2(n+1) = (n+1)(n+2) = (n+1)((n+1)+1) (1.152) Conclu´ındo quen∈X⇒n+1∈X, demonstrando assim o exerc´ıcio.

(b)Demonstra¸c˜ao.Tome X ⊂N o conjunto dos n´umerosn tais que 1 + 3 + 5 +· · ·+ (2·n+ 1) = (n+ 1)²

(i) n= 1, temos:

1 + 3 = 4 = 2·2 = (1 + 1)(1 + 1) (1.153) logo, 1∈X

(ii) Suponha que vale para algum n∈X:

1 + 3 + 5 +· · ·+ (2·n+ 1) = (n+ 1)² (1.154) Ent˜ao,

1+3+· · ·+(2n+1)+(2(n+1)+1) = (1+3+· · ·+(2n+1))+(2(n+1)+1) (1.155) Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao em (1.154):

(1+3+· · ·+(2n+1))+(2(n+1)+1) = (n+1).(n+1)+2(n+1)+1 (n+ 1).(n+ 1) + 2(n+ 1) + 1 =

n(n+ 1) + (n+ 1) + 2n+ 1 + 1 =n(n+ 2) + 2(n+ 2) = (n+ 2)(n+ 2) = ((n+ 1) + 1)((n+ 1) + 1)

Conclu´ındo quen∈X⇒n+1∈X, demonstrando assim o exerc´ıcio.

(c)Demonstra¸c˜ao.Fixados a, tome X ⊂ N o conjunto dos n´umeros n tais que (a−1)·(1 +a+· · ·+aⁿ) =aⁿ⁺¹−1

(i) n= 1, temos:

(a−1)(1 +a) =a²−1 (1.156) logo, 1∈X

(ii) Suponha que vale para algum n∈X:

(a−1)·(1 +a+· · ·+aⁿ) =aⁿ⁺¹−1 (1.157) Ent˜ao, utilizando a propriedade de distributividade, temos:

(a−1)(1 +· · ·+aⁿ+aⁿ⁺¹) = (a−1)(1 +· · ·+aⁿ) + (a−1)aⁿ⁺¹ (1.158) Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao em (1.157):

(a−1)(1+· · ·+aⁿ)+(a−1)aⁿ⁺¹=aⁿ⁺¹−1+(a−1)·aⁿ⁺¹ (1.159) Utilizando distributividade:

aⁿ⁺¹−1 + (a−1)·a⁽ⁿ⁺¹⁾=a^(n+1)+1−1 (1.160) Conclu´ındo quen∈X⇒n+1∈X, demonstrando assim o exerc´ıcio.

(d)Demonstra¸c˜ao.Tome X ⊂N o conjunto dos n´umerosn>4 tais que n!>2ⁿ

Temos:

(i) n= 4, temos:

4·3·2·1 = 2·2·2·3·1>2⁴ (1.161) logo, 4∈X

(ii) Suponha que vale para algum n∈X:

n!>2ⁿ (1.162)

Ent˜ao, utilizando a propriedade de distributividade, temos:

(n+ 1)! =n!·(n+ 1) (1.163) Comon>4, temos que existe b∈Ntal quen=b+ 1, ent˜ao:

n!·(n+ 1) =n!·((b+ 1) + 1) (1.164) Utilizando a propriedade de distributividade,

n!·((b+ 1) + 1) =n!·b+ 2·n! (1.165) Utilizando a defini¸c˜ao de ordem:

n!·b+ 2·n!> n!·2 (1.166) Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao em (1.162):

n!·2>2ⁿ·2 = 2ⁿ⁺¹ (1.167) Conclu´ındo que n ∈ X ⇒ n+ 1 ∈ X, utilizando o resultado do exerc´ıcio 3 (demonstrado por indu¸c˜ao),temos a demonstra¸c˜ao do exerc´ıcio.

Ex. 5 — Utilize o segundo princ´ıpio de indu¸c˜ao para demonstrar a unicidade da decomposi¸c˜ao dos n´umeros em fatores primos.

Solu¸c˜ao (ex. 5) — SejaX ⊂No conjunto dos n´umeros satisfazem a unicidade.

Logo, temos pelo teorema fundamental que prova a existˆencia da decomposi¸c˜ao em n´umeros primos que:

m=p₁·p₂. . . p_j (1.168) Parap₁..p_j 6= 1.

Suponha que para todon < mvale que npossue ´unicos fatores primos, vamos provar que isso implica quem ´e fatorada de uma ´unica forma. Tomemosn= p₂. . . p_n,n´e menor quem, pois como p₁ 6= 1, temosp₁= (A(p₁) + 1), obtendo:

m= (A(p₁) + 1)·(p₂·p₃. . . p_n)

=n+A(p₁)·n

E pela defini¸c˜ao de ordemm > n, logo pela hip´otese de indu¸c˜ao n s´o pode ser fatorado de ´unica forma, e como p tamb´em satisfaz essa condi¸c˜ao, ent˜ao m s´o tem uma ´unica forma de fatora¸c˜ao, conclu´ındo a demonstra¸c˜ao.

Ex. 6 — SejaX, Y ⊂N, conjuntos finitos.

(a)Prove quecard(X∪Y) +card(X∩Y) =card(X) +card(Y).

(b)Qual seria a f´ormula correspondente pare trˆes conjuntos?

Solu¸c˜ao (ex. 6) — (a)Utilizando o teorema que prova que a uni˜ao de dois conjuntos finitos DISJUNTOS, com m enelementos ´e um conjunto com m+n elementos. Criamos conjuntos disjuntos e aplicamos o teorema.

X\Y Y\X

X X Y Y

Temos que X ∪Y = X ∪(Y \X) e Y = (Y \X)∪(X ∩Y) ⇒ Y \(X ∩Y) = (Y \X), manipulando obtemos: card(X ∪Y) = card(X∪(Y \X)) =card(X) +card(Y \X)

card(X) +card(Y\X) =card(X) +card(Y \(X∩Y)) =card(X) + card(Y)−card(X∩Y)

Donde temos card(X∪Y) +card(X∩Y) =card(X) +card(Y).

(b)A f´ormula para trˆes conjuntos seria card(X ∪Y ∪Z) +card(X∩ Y) +card(X∩Z) +card(Z∩Y)−2·card(X∩Y ∩Z) =card(X) + card(Y) +card(Z)

Ex. 7 — Dado um conjunto finitoX, prove que uma fun¸c˜aof :X →X ´e injetiva S.S.S ´e sobrejetiva.

Solu¸c˜ao (ex. 7) — Suponha que a fun¸c˜ao f seja injetiva, nesse caso, podemos considerar a menos de uma bije¸c˜aoX=I_n, logo, obtemos a bije¸c˜aof :I_n→A paraA⊂In, comoA´e finito (poisX ´e eA⊂X), podemos considerar a menos de uma bije¸c˜ao como sendoA=I_m, obtendo ent˜ao a bije¸c˜ao de g:I_n→I_m, e utilizando o teorema, temos quem=n, o que mostra queA=X.

Suponha agora quef seja sobrejetiva, e suponha ainda quef n˜ao seja injetiva, nesse caso: card(f(X)) < card(X). Por outro lado, como f ´e sobrejetiva, card(f(X)) =X, o que ´e uma contradi¸c˜ao, logof ´e injetiva.

Ex. 8 — Prove que, seX´e infinito enumer´avel, ent˜ao o conjunto das partes finitas deX tamb´em ´e (infinito) enumer´avel.

Solu¸c˜ao (ex. 8) — Demonstra¸c˜ao.X enumer´avel ent˜ao podemos considerar, a menos de uma bije¸c˜ao, X = N, logo, tomemos a fun¸c˜ao f : X → P(X) que leva o conjunto X no conjunto das suas partes, definida da seguinte forma:

f(x) =f_n(x) sex∈I_n e

f_n:I_n→ P (In)

Sabemos quecard(P(In)) = 2ⁿ. Logo, para qualquer x∈X existe nsuficiente grande tal que P(In) exista, logo f ´e sobrejetiva, o que mostra que P(X) ´e enumer´avel.

Ex. 9 — Dada a fun¸c˜ao f : X → X, um subconjunto Y ⊂ X chama-se est´avel relativamente a f quando f(Y) ⊂Y. Prove que o conjunto X ´e finito S.S.S.

existe f :X→X que admite apenasX e ∅como conjuntos est´aveis.

Solu¸c˜ao (ex. 9) — Demonstra¸c˜ao.Suponha inicialmente que X ´e finito, neste caso temos que existe uma bije¸c˜ao b:I_n→X, tomando a fun¸c˜ao:

f :X→X, definida como:

f(x) =















f(b(1))→b(2) f(b(2))→b(3) ...

f(b(n))→b(1)

Essa fun¸c˜ao s´o admite∅e o pr´oprioX como conjuntos est´aveis. Suponha que existe algum conjunto n˜ao vazioA⊂X est´avel logo, como X ´e finito eA⊂X temos queA´e finito, logo possue um elemento m´aximoj no dom´ınio da bije¸c˜ao b, obtendo ent˜aob(j)∈A∧f(b(j))6∈Ao que ´e uma contradi¸c˜ao poisA´e est´avel.

T´a erradooooooooooooooooooooooooooooo. . . (concluir) Agora supondo que existe uma fun¸c˜ao f :X → X que admita apenas ∅ e X como conjuntos est´aveis, afirmamos que existe n ∈ N tal que fⁿ(x₁) = x₁ para qualquer x₁ ∈ X. De fato, supomos por absurdo que isso n˜ao ´e v´alido, logo obtemos que A = {x|x = fⁿ(x₁), n ∈ N} forma um conjunto est´avel o qual n˜ao possue o elementox₁∈X, o que ´e um absurdo.

Com essa afirma¸c˜ao, temos diretamente que existe uma bije¸c˜ao entreI_n+1 eX mostrando que o mesmo ´e finito.

Ex. 10 — Seja f : X → X uma fun¸c˜ao injetiva tal que f(X) 6= X. Tomando x ∈ X −f(X), prove que os elementos x, f(x), f(f(x)) . . . s˜ao dois a dois distintos.

Solu¸c˜ao (ex. 10) — Demonstra¸c˜ao.Temos que x´e diferente de fⁿ(x) para todo n ∈ N, isso porque fⁿ(x) ∈ f(X) para todo n e x 6∈ f(X). Agora seja A o conjunto dosntal quefⁿ(x)6=f^m(x)∀m∈N∧m6=n. Logo, temos:

(a)f¹(x)6=f^m(x) caso contr´ario, comof´e injetiva, temos quex=f^m−1 o que mostramos n˜ao ser poss´ıvel.

(b)Suponhamos que para algum n6=m valefⁿ(x) 6=f^m(x) . Assumi- mos tamb´em f⁰(x) =x; logo supomos, por absurdo que: fⁿ⁺¹(x) = f(fⁿ(x)) =f^m(x) =f(f^m−1(x)) O que por injetividade def temos que: fⁿ(x) = f^m−1(x) E como n+ 1 6= m, temos que n 6= m−1, logo conclu´ımos pela hip´otese de indu¸c˜ao que ´e um absurdo.

Ex. 11 — Obtenha uma decomposi¸c˜ao N = X₁∪X₂∪ · · · ∪X_n∪. . . tal que os conjuntosX₁,X₂, . . . ,Xn, . . . s˜ao infinitos e dois a dois disjuntos.

Solu¸c˜ao (ex. 11) — Como o conjunto os n´umeros primos s˜ao infinitos, e todo o n´umero natural pode ser representado pela sua decomposi¸c˜ao, temos a sequencia de conjuntos definida da seguinte forma:

1∈X₁

X₁ =p^m₁ ¹ ∀m₁∈N

Xn=p^m₁¹ · · · · ·p^m_nⁿ ∀m₁, m₂, . . . , mn∈N

2 N´ umeros Reais

Nesse cap´ıtulo ´e apresentado os exerc´ıcios resolvidos do livro do Elon, re- ferentes ao cap´ıtulo correspondente.

2.1 Exerc´ıcios

Ex. 1 — Dados a,b,c,dnum corpo K, sendob e ddiferentes de zero, prove:

(a)

a b + c

d = ad+bc bd (b)

a b · c

d = a·c b·d

Solu¸c˜ao (ex. 1) — (a)Demonstra¸c˜ao.Vamos precisar de (b·d)·(b⁻¹·d⁻¹) = 1·1 = 1⇒(b⁻¹·d⁻¹) = (b·d)⁻¹

a b + c

d = 1·a·b⁻¹+ 1·c·d⁻¹ (2.1) 1·a·b⁻¹+ 1·c·d⁻¹ = (d·d⁻¹)·a·b⁻¹+ (b·b⁻¹)·c·d⁻¹ (2.2) (d·d⁻¹)·a·b⁻¹+ (b·b⁻¹)·c·d⁻¹=d⁻¹·b⁻¹·(a·b+b·c) (2.3)

d⁻¹·b⁻¹·(a·b+b·c) = (d·b)⁻¹·(a·d+b·c)

1 (2.4)

(d·b)⁻¹·(a·d+b·c)

1 = a·d+b·c

d·b (2.5)

(b)Demonstra¸c˜ao.

a b · c

d =a·b⁻¹·c·d⁻¹ (2.6) a·b⁻¹·c·d⁻¹ = (b⁻¹·d⁻¹)·(a·c) (2.7)

Ex. 2 — Dado a 6= 0 num corpo K, p˜oe-se, por defini¸c˜ao, a⁰ = 1 e, se n ∈ N, a⁻ⁿ= _a¹n ou seja, a⁻ⁿ= (aⁿ)⁻¹. Prove:

(a)a^m·aⁿ=a^m+npara todo m, n∈Z (b)(a^m)ⁿ=a^m·npara todom, n∈Z Solu¸c˜ao (ex. 2) — (a)Demonstra¸c˜ao..

(caso 1)m, n >0 aⁿ·a^m= (

n vezes

z }| { a·a· . . . ·a)·(

m vezes

z }| {

a·a· . . . ·a) =a^n+m

(caso 2)m= 0∨n= 0, sem perdas de generalidade, consideremosm= 0 a^m·aⁿ=a⁰·aⁿ= 1·aⁿ

(caso 3)S.P.G.m <0∧n >0 m <0⇒ ∃ −m >0 (subcaso 1)n >−m

aⁿ·a^m =aⁿ·(a^−m)⁻1 =

n−(−m)vezes

z }| { (a·a· · · · ·a)·

−m vezes

z }| { (a·a· · · · ·a)·(

−m vezes

z }| { (a·a· · · · ·a))⁻¹ = a^n−(−m)=a^n+m

(subcaso 2)−m > n aⁿ·a^m = (

(−m)−n vezes

z }| { a· · · · ·a )⁻¹·(

m vezes

z }| { a· · · · ·a)·(

m vezes

z }| {

a· · · · ·a)⁻¹= (

(−m)−n vezes

z }| {

a· · · · ·a )⁻¹ = (a^−m−n)⁻¹=a^n+m

(b)Demonstra¸c˜ao..

(caso 1)m, n >0 (a^m)ⁿ=

n vezes

z }| {

(

m vezes

z }| { a·a· · · · ·a)·(

m vezes

z }| {

a·a· · · · ·a)· · · · ·(

m vezes

z }| {

a·a· · · · ·a) =a^m·n (caso 2)m= 0 ou n= 0

(subcaso 1)n= 0

(a^m)⁰ = 1 =a⁰=a^m·n (subcaso 2)m= 0

(aⁿ)ⁿ= (1)ⁿ= 1 =a⁰=a^m·n (caso 3)m <0 en >0

((a^−m)⁻¹)ⁿ =

n vezes

z }| {

(a^−m)⁻¹· · · · ·(a^−m)⁻¹ =

n vezes

z }| { 1

a^−m · · · 1 a^−m =

1

(a^−m)ⁿ = _a−m·n¹ = (a^−m·n)⁻¹=a^m·n (caso 4)m >0 en <0

(a^m)ⁿ= ((a^m)⁻ⁿ)⁻¹ = (a^m·(−n))⁻¹ =a^m·n (caso 5)m <0 en <0

(a^m)ⁿ= (((a^−m)⁻¹)⁻ⁿ)⁻¹ = ((a^−m)ⁿ)⁻¹= (((a^−m)⁻ⁿ)⁻¹)⁻¹ = (a^{(−m)·(−n)})¹ =a^m·n

Ex. 3 — Se

x₁ y₁ = x₂

y₂ =· · ·= x_n y_n

num corpoK, prove que, dadosa₁, a₂, . . . , a_n∈Ktais quea₁·y₁+· · ·+an·y_n6= 0, tem-se

a₁·x₁+· · ·+a_n·x_n a₁·y₁+· · ·+a_n·y_n = x₁

y₁ .

Solu¸c˜ao (ex. 3) — Demonstra¸c˜ao..

a₁·x₁+· · ·+a_n·x_n

a₁·y₁+· · ·+a_n·y_n = y₁·a₁·^xy¹₁ +· · ·+yn·an·^xyⁿn

a₁·y₁+· · ·+a_n·y_n = x₁

y₁·a₁·y₁+· · ·+a_n·y_n a₁·y₁+· · ·+a_n·y_n = x₁

y₁ Ex. 4 — Dados dois corposK, L corpos. E um homomorfismof :K →L, prove

que:

(a)f(0) = 0

(b)ouf(a) = 1∀a∈K ou {f(1) = 1 ef ´e injetivo } Solu¸c˜ao (ex. 4) — Demonstra¸c˜ao..

f(a) =f(a+ 0) =f(a) +f(0)⇒f(0) = 0 Afirma¸c˜ao: Se a6=b⇒f(a)6=f(b)

Demonstra¸c˜ao..

Se, por contradi¸c˜ao, a6=b e f(a) =f(b) Ent˜ao: 0 =f(a)−f(b) =f(a−b) Logo,

0 = 0·f((a−b)⁻¹) =f((a−b)⁻¹)·f(a−b) =f((a−b)⁻¹·(a−b)) =f(1)

Utilizando argumenta¸c˜ao an´aloga, podemos ver que isso leva quef(x) = 0∀x∈ K.

Ex. 5 — Dado o homomorfismof :Q→Q. Prove quef(x) = 0 ouf(x) =x∀x∈ Q.

Solu¸c˜ao (ex. 5) — Demonstra¸c˜ao..

Inicialmente, vamos provar os resultados:

(a)f(a) =f(a·1) =f(a)·f(1)⇒f(1) = 1

(b)f(n) =f(1+1+· · ·+1) =f(1)+f(1)+· · ·+f(1) = 1+1+· · ·+1 =n (c)1 = f(1) =f(n·n⁻¹) =f(n)·f(n⁻¹)⇒f(n⁻¹) =f(n)⁻¹

Agora, dado um n´umero racional _mⁿ ;m 6= 0 temos: f(_mⁿ) = f(n·m⁻¹) = f(n)·f(m⁻1) =f(n)·f(m)⁻¹ =n·(m)⁻1 = _mⁿ

Ex. 6 — Tome Z_p com as opera¸c˜oes⊕e ⊗, prove queZ_p ´e um corpo.

Solu¸c˜ao (ex. 6) — Demonstra¸c˜ao..

(a)f(m+n) =m+n=m⊕n=f(m)⊕f(n) (b)f(m·n) =m·n=m⊗n=f(m)⊗f(n) (c)m⊕n=m+n=n+m=n⊕m

(d)m⊗n=m·n=n·m=n⊗m

(e)(m⊕n)⊕w = (m+n) +w= (m+n) +w =m+ (n+w) =m⊕ (n⊕w)

(f)(m⊗n)⊗w= (m·n)·w= (m·n)·w=m·n·w) =m⊗(n⊗w) (g)n⊗(m⊕w) =n·m+n·w=n⊗m⊕n⊗w

(h)(m⊗n= 0⇒m= 0∧n= 0)⇒(Dadok6= 0,∃j∈Z_p|j⊗k= 1) (i)1 = 1 ⇒ 1 ∈ Zp Podemos provar isso provando a bijetividade da

fun¸c˜ao:

f_k:Zp→Zp definida como: f_k(x)→k⊗x:

Podemos ver que:

f_k(x⊕y) =k⊗(x⊕y) =k⊗x⊕k⊗y=f_k(x)⊕f_k(y)

Logo, se: f(x) =f(y), ent˜ao:

f(x)−f(y) = 0⇒f(x−y) = 0

Como f(x) = 0⇒ x = 0, ent˜ao a fun¸c˜ao ´e injetiva. Como a cardi- nalidade dos conjuntos (finitos) ´e a mesma, ent˜ao a fun¸c˜ao tem que ser sobrejetiva, e portanto bijetiva. Isso prova que existe inverso de todos os elementos do conjunto.

Logo, comoZ_psatisfaz os axiomas de corpo, ele ´e um corpo (n˜ao ordenado).

Ex. 7 — Num corpo ordenadoK, prove que a²+b²= 0⇔a=b= 0.

(⇐)a=b= 0⇒ 0²+ 0² = (0 + 0)·0 = 0·0 = 0 (⇒)a·a+b·b= 0

.a∈P ⇒a·a∈P .b∈P ⇒b·b∈P

.a∈ −P ⇒(−a)·(−a) =a·a∈P .b∈ −P ⇒(−b)·(−b) =b·b∈P .a²∈P∨b² ∈P ⇒a²+b² ∈P

Logo, a² +b² = 0 temos que a² 6∈ P ou b² 6∈ P, onde temos que a6∈P ∨a6∈ −P∨b6∈P ∨b6∈ −P e concl´ımos que a=b= 0.

Ex. 8 — Sejamx, y elementos positivos de um corpo ordenadoK. Prove:

(a)x >0⇔x⁻¹>0 (b)x < y ⇔x⁻¹ > y⁻¹ Solu¸c˜ao (ex. 8) — Demonstra¸c˜ao..

(a)(⇒)Supondox >0 Temos (x⁻¹)²·x >0⇒x⁻¹·1>0⇒x⁻¹>0 (⇐)An´alogo.

(b)(⇒)Supondox < y Temosx·y⁻¹ < y·y⁻¹ = 1 =x·x⁻¹ e pela lei do cancelamento, obtemos: y⁻¹ < x⁻¹

(⇐)y⁻¹< x⁻¹⇒y·x⁻¹ > y⁻¹·y= 1 =x·x⁻¹ ⇒y > x

Ex. 9 — Dados a,b,εnum corpo ordenadaK, prove que

|a−b|< ε⇒ |b| −ε <|a|<|b|+ε conclua que|a−b|< ε⇒a <|b|+ε.

Solu¸c˜ao (ex. 9) — Temos ||a| − |b|| ≤ |a−b| < ε ⇒ ||a| − |b|| < ε ⇒ −ε <

|a| − |b|< ε. Somando |b|temos |b| −ε <|a|< ε+|b|. E comoa <|a|, temos a <|b|+ε.

Ex. 10 — Sejamaracional diferente de zero, exirracional. Prove quea·xea+x s˜ao irracionais. Dˆe exemplo de dois n´umeros irracionais x, y tais que x+y e x·y s˜ao racionais.

Solu¸c˜ao (ex. 10) — Tomea= ^a_a¹₂ e Suponha que ^a_a¹₂+x= ^x_x¹₂, ent˜ao organizando temos x = ^x1·a_a^2−a1

2 que ´e um abusurdo pois x n˜ao pode ser representado por um n´umero racional. Suponha agora que ^a_a¹

2 ·x = ^x_x¹

2, conclu´ımos o absurdo x = ^a_a^2·x1

1·x₂ pois x n˜ao pode ser racional. Podemos ter o exemplo x = √ 2 e y=−√

2, onde x+y= 0 e x·y=−2, ambos resultados racionais.

Ex. 11 — SejaX =₁

x; n∈N . Prove que infX= 0.

Solu¸c˜ao (ex. 11) — A demonstra¸c˜ao consiste em mostrar que 0 satisfaz as pro- priedades de ´ınfimo.

(a)0< _n¹ ∀n∈N- 0 ´e cota inferior de X.

(b)Dadoε >0, existe n∈N tal que 0< _n¹ < ε (basta tomarn > ¹_ε).

Onde conclu´ımos que 0 = infX.

Ex. 12 — SejamX,Y conjuntos n˜ao vazios ef :X×Y →Ruma fun¸c˜ao limitada.

Para cada x₀ ∈X e cada y₀ ∈ Y, ponhamoss₁(x0) = sup{f(x0, y);y ∈Y} e s₂(y₀) =sup{f(x, y₀);x ∈X}. Isto define fun¸c˜oes s₁ :X → R e s₂ : X → R.

Prove que se tem sup

x∈X

s₁(x) = sup

y∈Y

s₂(y).

Solu¸c˜ao (ex. 12) — Des₁(x₀) = sup

y∈Y

f(x₀, y) temos que:

•f(x₀, y)≤s₁(x₀)∀y∈Y

•Dado ε∃x∈X |s₁−^ε₂ < s₁(x) Afirma¸c˜ao: s₁ :X→R´e limitada.

Demonstra¸c˜ao.Caso contr´ario, ∃xn ∈X tal que s₁(xn)> w. Assim, s₁(xn) = sup

y∈Y

f(x_n, y)> w⇒ ∃y₁ ∈Y |f(x_n, y₁)> w o que ´e um absurdo.

Logo existe sup

x∈X

s₁(x) =s₁, ent˜ao temos:

•s₁(x)≤s₁∀x∈X

•Dado ε, existe x∈X tal ques₁−^ε₂ < s₁(x) Ent˜ao temos:

•f(x₀, y)≤s₁x₀ ≤s₁

•s₁−ε < f(x, y)

Conclu´ımos ques₁ ´e o supremo def, de maneira inteiramente an´aloga, mostra- mos isso paras₂= sup

y∈Y

s₂(y), conclu´ındo ques₁ =s₂, demonstrando o exerc´ıcio.

3 Seq¨ uencias e S´ eries de N´ umeros Reais

Esse cap´ıtulo ´e muito interessante, mas eu n˜ao tive tempo de resolver exerc´ıcios espec´ıficos para esse assunto.

4 Revis˜ ao da 1 ^a Parte

4.1 Exerc´ıcios da Lista de An´ alise Resolvidos

Ex. 1 — Dadon∈Nmostre que:

Xn

j=0

j³= 1³+ 2³+· · ·+n³ = n²(n+ 1)² 4 Solu¸c˜ao (ex. 1) — Demonstra¸c˜ao.Seja X o conjunto:

X=







n∈N| Xn

j=0

j³ = n²(n+ 1)² 4





 (a)1∈X, de fato:

1³ = 1 = 1²(1 + 1)² 4 (a)Suponha que para algumn,n∈X, ent˜ao:

1³+· · ·+n³+ (n+ 1)³= n²(n+ 1)²

4 + (n+ 1)³= (n+ 1)(n³+ 5n²+ 8n+ 4)

4 = (n+ 1)²((n+ 1) + 1)² 4

Logo, n ∈ X ⇒ (n+ 1) ∈ X. Onde conclu´ımos pelo 3^o axioma de Peano que X=Ne portanto a igualdade ´e v´alida para todon∈N.

Ex. 2 — Mostre que o n´umero de diagonais de um pol´ıgono den(n ∈N, n≥ 4) lados ´e ⁿ⁽ⁿ₂⁻³⁾.

Solu¸c˜ao (ex. 2) — Seja X=

n∈N| n(n+ 3)

2 ´e o n´umero de diagonais de um pol´ıgono de(n+ 3)lados

(a)1∈X, claramente, pois um quadrado possue 2 diagonais.

(b)Suponha que para algum n∈ N, n∈ X, ent˜ao: Seja o pol´ıgono de ((n+1)+3) lados constru´ıdo atrav´es do pol´ıgono de (n+3 lados. Esse pol´ıgono preserva todas as diagonais do pol´ıgono anterior, e insere mais [(n+ 3)−2 + 1] diagonais, ent˜ao o pol´ıgono constru´ıdo possue:

(n+3)n

2 +n+ 2 = ((n+1)+3)(n+1)

2 . Logo fica provado por indu¸c˜ao.

Ex. 3 — SejamA, B⊂R, conjuntos n˜ao-vazios e limitados. Ent˜ao:

(1)A+B≡ {a+b;a∈A, b∈B}´e limitado e:

(1.i)sup(A+B) =sup(A) +sup(B);

(1.ii)inf(A+B) =inf(A) +inf(B);

(2)kA≡ {k·a;a∈A}, k >0 ´e limitado e:

(2.i)sup(kA) =k·sup(A);

(2.ii)inf(kA) =k·inf(A);

(2.iii)Enuncie e demonstre o que ocorre quandok <0.

Solu¸c˜ao (ex. 3) — (1)A+B ≡ {a+b;a∈A, b∈B}´e limitado e:

(1.i)sup(A+B) =sup(A) +sup(B);

Demonstra¸c˜ao.Se A+B ´e limitado, ent˜ao A e B s˜ao limitados, de fato:

A+B limitado⇒ ∃c cota superior ⇒

⇒ dado(a+b)∈A+B temos c >(a+b)⇒

⇒c > a∧c > b⇒A+Be limitado´ LogoA e B possuemsup.

Sejasup(A) =a₀ e sup(B) =b₀, logo:

(a)dadoa∈Atemos que a₀≥a (b)dado ǫ

2 >0 temos que∃a∈Atal quea₀− ǫ

2 < a < a₀ e tamb´em:

(a)dadob∈B temos queb₀ ≥b (b)dado ǫ

2 >0 temos que∃b∈B tal queb₀− ǫ

2 < b < b₀ Somando algumas igualdades, obtemos:

(a)a₀+b₀≥a+b∀a∈A ∧ ∀b∈B (b)−(ǫ

2+ǫ

2) +b₀+a₀ < a+b < b₀+a₀. E comoa∈Aeb∈B, temos que ∃a+b tal que (a₀+b₀)−ǫ <(a+b)<(a₀+b₀)

∀ǫ.

Como o sup ´e ´unico, conclu´ımos que sup(A+B) = a₀+b₀ = sup(A) +sup(B).

(1.ii)inf(A+B) =inf(A) +inf(B);

Demonstra¸c˜ao.An´alogo ao anterior.

(2)kA≡ {k·a;a∈A}, k >0 ´e limitado e:

(2.i)sup(kA) =k·sup(A);

Demonstra¸c˜ao.Essa demonstra¸c˜ao segue facilmente do ´ıtem (2.iii).

(2.ii)inf(kA) =k·inf(A);

Demonstra¸c˜ao.Essa demonstra¸c˜ao segue facilmente do ´ıtem (2.i).

(2.iii)Enuncie e demonstre o que ocorre quando k < 0. Seja k·A ≡ {k·a; a∈A},k <0,kA´e limitado e:

sup(kA) =k·inf(A) e

inf(kA) =k·sup(A) Demonstra¸c˜ao.Sejaa₀ =inf(A), logo:

(1)a₀≤a∀a∈A

(2)Dadoǫ >0 existea∈A tal quea₀< a < a₀+ǫ Logo, como k <0, multiplicando, temos:

(1)k·a₀ ≥k·a∀a∈A

(2)Dadoǫ >0 existea∈A tal quek·a₀ > k·a > k·a₀−k·ǫ O que mostra que k·a₀ =k·inf(A) =sup(k·A).

A segunda demonstra¸c˜ao ´e an´aloga.

Ex. 4 — SejamA, B⊂R, conjuntos n˜ao-vazios, tais que:

x∈A ∧ y∈B ⇒x≤y Prove que:

(a)A ´e limitado superiormente (b)B ´e limitado inferiormente (c)

sup(A)≤inf(B)

Solu¸c˜ao (ex. 4) — (a)B 6= {∅} ⇒ ∃y ∈ B ⇒ ∀x ∈ A, x ≤ y, logo, A ´e limitado superiormente. Nessa ´ultima implica¸c˜ao, utilizamos a hip´otese inicial.

(b)A 6= {∅} ⇒ ∃a ∈ A ⇒ ∀y ∈ B, y ≥ x, logo, B ´e limitado inferiormente. Nessa ´ultima implica¸c˜ao, utilizamos a hip´otese inicial.

(c)De (a), temos que existe a= sup(A) e por (b), existe b =inf(B).

Suponha, por contradi¸c˜ao, quea > b, logo, pela defini¸c˜ao de limite, temos que existey ∈B tal queb < y < a, mas, comoa=sub(A), te- mos que existex∈Atal queb < y < x < ao que ´e uma contradi¸c˜ao, pois deveria x≤y.

Ex. 5 — SejamA⊂B ⊂ReB limitado. Prove que:

(a)A ´e limitado (b)

inf(B)≤inf(A)≤sup(A)≤sup(B)

Solu¸c˜ao (ex. 5) — (a)∀b ∈ B temos que α ≤ b ≤ β e utilizando que A⊂B, temos que α≤a≤β ∀a∈A, o mostra que A´e limitado.

(b)Suponha, por contradi¸c˜ao, que b₀ = inf(B) > inf(A) = a₀, logo, existex∈Atal quea₀ < x < b₀ o que implicax < b₀onde chegamos

`

a contradi¸c˜ao que x 6∈ B, ent˜ao conclu´ımos que inf(B) ≤ inf(A).

Analogamente, podemos provar que sup(A) ≤ sup(B). Facilmente vemos que inf(A)≤sup(A), ent˜ao conclu´ımos a demonstra¸c˜ao.

Ex. 6 — Ache o ´ınfimo e o supremo, caso existam, dos conjuntos:

(a)A=

(−1)ⁿ+ 1

n; n∈N

;

(b)B =

1,1 2,3

2,2,1 3,4

3,3,1 4,5

4, . . . , n, 1

(n+ 1),n+ 2 n+ 1

;

Solu¸c˜ao (ex. 6) — (a)Afirmamos que sup(A) = ³₂ e inf(A) =−1 Demonstra¸c˜ao.³₂ ≥a∀a∈A, de fato, pois analizando as seq¨uˆencias

´ımpares e as pares, temos que ambas s˜ao decrescentes e o valor m´ınimo delas s˜ao respectivamente 0 e ³₂, logo, o valor m´aximo de A ´e ³₂. E se c ´e cota superior de A, logo c ≥ ³₂, pois ³₂ ∈ A, logo sup(A) = ³₂.

E

−1 ≤ a ∀a ∈ A, isso porque ¹_n ´e positivo e decrescente para todo n ∈ N e o m´ınimo de (−1)ⁿ = −1, logo (−1)ⁿ+ ¹_n ≥ −1∀n ∈ N.

E, dado ǫ > 0, existe a ∈ A tal que −1 < a < −1 +ǫ. Basta tomar n´ımpar grande o suficiente tal que n > ¹_ǫ logo, temos −1<

(−1)ⁿ+_n¹ <−1 +ǫ.

(b)Analizemos as subsequencias emB: S₁ =n

S₂ = _n+1¹ S₃ = ⁿ⁺²_n+1

Como S₁, S₂, S₃∈B, conclu´ımos:

(1)B n˜ao cont´em cota superior, e portanto n˜ao possue supremo.

Demonstra¸c˜ao.S₁ ⊂B,∀n₀, ∃n∈Ntal que n > n₀ =⇒ 6 ∃n₀ tal quen≤n₀∀n∈N.

(2)S₂ ≤S₃ ∀n∈Ne S₂≤S₁∀n Demonstra¸c˜ao.

1

n+ 1 ≤ n+ 2

n+ 1 ⇔1≤n+ 2⇔1≤n²+n 1

n+ 1 ≤n⇔1≤n²+n

(3)inf(B) = 0

(a)0≤b∀b∈B Demonstra¸c˜ao.

0≤ 1

n+ 1 ≤S₂∧0≤ 1

n+ 1 ≤S₁

Logo, 0≤b∀b∈B(a rigora < b, mas n˜ao vem ao caso).

(b)Dadoǫ, existe b∈B tal queb < b <0 +ǫ

Demonstra¸c˜ao.Tomen+1> ¹_ǫ, logo temos: 0< _n+1¹ < ǫ.

Ex. 7 — Calcule os limites abaixo:

(a) lim

n→∞(1−1

2)·(1−1

3)·(1−1

4)· · · · ·(1− 1 n+ 1);

(b) lim

n→∞( 1 n² + 2

n² + 3

n² +· · ·+ n n²);

(c) lim

n→∞( 1

n² + 1

(n+ 1)² +· · ·+ 1 (2·n)²);

(d) lim

n→∞( 1

√n + 1

√n+ 1+· · ·+ 1

√2·n);

(e) lim

n→∞

"r n+1

2(√

n+ 1−√ n)

#

; (f) lim

n→∞

1

1·2+ 1

2·3+· · ·+ 1 n·(n+ 1)

;

Solu¸c˜ao (ex. 7) — (a)Tomandoa_n+1= (1−¹₂)·(1−¹₃)·(1−¹₄)· · · · ·(1−

1

n+1), temos que:

a_n+1 = (1 62 ·62

63 · · · 6n

n+ 1 = 1 n+ 1

Como 0 < _n+1¹ < ¹_n, e _n¹ → 0, temos que _n+1¹ → 0. Utilizando a defini¸c˜ao, dado ǫ > 0 ∃n₀ tal que n > n₀ ⇒ 0 < _n+1¹ < ǫ, basta tomar n > ¹_ǫ. Podemos ver que _n+1¹ ´e claramente um n´umero positivo, isso porque ´e a divis˜ao de dois n´umeros positivos.

(b)

limn→∞( 1 n² + 2

n² + 3

n² +· · ·+ n

n²) =limn→∞

1

n²(1 + 2 +· · ·+n) = limn→∞

1

n²((n+ 1)·n

2 ) =limn→∞6n²+n 2· 6n² = limn→∞

1 2 + 1

2·n =limn→∞

1 2 +1

2 ·limn→∞

1 n = 1

2.