Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano) 97) a)
99) A recta em questão admite como vector director o vector
? EF
Ä œ Ä œ F E Ç Ð#ß #Ñ
pelo que a recta é formada pelos pontos que se podem escrever na forma E > ?Ä Ç Ð" #>ß # #>Ñ,
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
100) Uma vez que já sabemos que a equação C œ B representa uma recta, para verificarmos que esta recta é a bissectriz dos quadrantes ímpares, basta verificarmos que ela tem pelo menos dois pontos nessa bissectriz. Ora os pontos com coordenadas Ð!ß !Ñ e Ð"ß "Ñ estão na bissectriz dos quadrantes ímpares e são pontos da recta com aquela equação.
Um raciocínio análogo, feito com os pontos Ð!ß !Ñ e Ð"ß "Ñ, mostra que a bissectriz dos quadrantes pares admite a equação C œ B.
101) Sabemos que é a ordenada do ponto de intersec& ção da recta com o eixo das ordenadas, pelo que o ponto de coordenadas Ð!ß &Ñ é um ponto particular da recta. Por outro lado, uma vez que o declive da recta é $, podemos garantir que os vectores não nulos com declive $ são vectores directores da recta. É o que acontece, por exemplo ao vector Ð"ß $Ñ, uma vez que $" œ ".
102) As rectas horizontais são as rectas de declive .!
103) Uma vez que a recta pedida é paralela à recta , o seu declive é também igual a . Ela< # admite assim uma equação do tipo C œ #B , onde é um número real a determinar de modo que, o ponto Ð"ß #Ñ pertença à recta. Ora a condição para que o ponto Ð"ß #Ñ pertença à recta de equação C œ #B , é que se tenha # œ # ,, condição que é verificada para , œ %. A equação procurada é assim C œ #B %.
104) Para cada > − ‘, o ponto com coordenadas B œ > e C œ 7B , œ 7> , está na recta com aquela equação reduzida e é claro que qualquer ponto dessa recta pode ser obtido deste modo, para um > − ‘ conveniente. Podemos assim caracterizar parametricamente a recta por
Ö\Ð>ß 7> ,Ñ×>−‘.
105) O ponto \Ð> ß #>Ñ# pertence àquela recta se, e só se, se tem #> œ #> %# ,
condição que se pode escrever de modo equivalente na forma > > # œ !# .
Resolvendo esta equação do segundo grau, verificamos que os valores de para os quais isto> acontece são
" „ " % ‚ # " „ $
# œ #
È #
– 82 –
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
o106) a) Estamos a procurar um ponto de coordenada ÐBß CÑ que verifique simutaneamente as duas
condições C œ #B % e C œ $B ', por outras palavras, queremos determinar a solução do
sistema de duas equações a duas incógnitas
œC œ #B %C œ $B '.
Para isso, procedemos pelo método habitual, obtendo sucessivamente sistemas mais simples equivalentes ao primeiro.
œC œ #B %#B % œ $B ' œC œ #B %&B œ "! œC œ #B %B œ # œC œ !B œ #. O ponto procurado é assim o ponto Ð#ß !Ñ.
A recta éconstituída pelos pontos que se podem escrtever na forma
b) <w
E >? Ç Ð# >ß " #>ÑÄ ,
com > − ‘. O nosso problema corresponde assim a achar para que valores de o ponto>
Ð# >ß " #>Ñ pertence à recta , ou seja, verifica a condição< " #> œ # > #.
Esta condição é uma equação na incógnita que resolvida, se constata ter como única solução > > œ ". O ponto de intersecção procurado é assim o ponto que se obtém substituindo por em> " Ð# >ß " #>Ñ, pelo que se trata do ponto Ð"ß $Ñ.
Estamos à procura de um ponto que se possa escrever tanto na forma
c) ÐBß CÑ
œB œ # >C œ $ > , para algum > − ‘, como na forma
œB œ " >C œ # > ß
para algum > − ‘, que não tem nada que ser o mesmo que originou a primeira representação. Uma vez que os dois valores de não têm que ser iguais, o problema fica mais claro se mudarmos a letra> num dos casos, dizendo, por exemplo que a segunda condição é que se possa escrever
œB œ " =C œ # = ß
para algum = −‘. Fica agora mais claro que o que temos que fazer é procurar e em tais que= > ‘ # > œ " = (o valor comum é então a primeira coordenada do ponto de intersecção) e $ > œ # = (o valor comum é então a segunda coordenada do ponto de intersecção). Estamos assim reduzidos a a resolver o sistema de duas equações com duas ingógnitas e = >
œ$ > œ # = ,
que, pelos métodos habitua s se verifica ser sucessivamente equivalente a3
œ> œ = "$ > œ # = œ> œ = "$ = " œ # = œ> œ = "#= œ ' œ> œ = "= œ $ œ> œ #= œ $ . O ponto procurado é assim o ponto de coordenadas
B œ # > œ % C œ $ > œ ", ou seja, é o ponto Ð%ß "Ñ.
Repare-se que a alínea que foi mais fácil resolver foi a alínea b), a única em que não foi necessário resolver um sistema de duas equação a duas ingógnitas, mas apenas uma equação com uma incógnita. A conclusão é que parece ser mais simples determinar a intersecção de duas rectas quando uma é caracterizada por uma equação e a outra é caracterizada parametricamente do que quando ambas são caracterizadas por equações ou ambas são caracterizadas paramentricamente.
– 84 –
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
o107) Um vector director da recta é o vector < Ä? œ EF Ç Ð#ß %ÑÄ pelo que a recta pode ser caracterizada parametricamente como o conjunto dos pontos da forma
E > ? Ç Ð" #>ß ' %>ÑÄ ,
com > − ‘. Por outro lado uma equação da circunferência de centro no ponto GÐ#ß "Ñ e raio é& ÐB #Ñ ÐC "Ñ œ #&# # .
Vamos então determinar os valores de para os quais o ponto > Ð" #>ß ' %>Ñ está sobre a circunferência, isto é, verifica
Ð" #> #Ñ Ð' %> "Ñ œ #&# # , equação que pode ser escrita de modo equivalente nas formas
%> %> " "'> &'> %* œ #& #!> '!> #& œ ! %> "#> & œ ! # # # # .
Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos as duas soluções > œ "# „ "%% )! œ "# „ )
) )
È
,
isto é, > œ "# e > œ &#. Substituindo estes dois valores de nas igualdades > B œ " #> C œ ' %> e , obtemos os dois pontos de intersecção procurados Ð#ß %Ñ Ð'ß %Ñ e .
108) A circunferência referida admite a equação
B C œ %!!# # .
Uma recta que passe pelo ponto EÐ!ß #&Ñ e tenha declive admite a equação reduzida7 C œ 7B #&.
Para determinarmos os pontos de intersecção de uma tal recta com a circunferência, temos que determinar os valores de e que tornem verdadeiras as duas igualdades.B C
œB C œ %!!C œ 7B #&.# #
Temos assim um sistema de duas equações a duas incógnitas que é sucessivamente equivalente a œB Ð7B #&Ñ œ %!!# # œÐ" 7 ÑB &!7B ##& œ !# # Þ
C œ 7B #& C œ 7B #&
Este sistema terá , 1 ou soluções conforme isso aconteça com a primeira equação, equação que,! # de acordo com a fórmula resolvente, tem as soluções
&! „ #&!! 7 *!!Ð" 7 Ñ #Ð" 7 Ñ
È
# .
A equação não tem solução quando o radicando for menor que , tem duas soluções quando o!
radicando for maior que e tem uma única solução quando o radicando for . O que estamos à! ! procura é dos valores de para os quais a recta só intersecta a circunferência num ponto, ou seja,7 daqueles para os quais se tem
#&!! 7 *!!Ð" 7 Ñ œ !# # . Esta condição é sucessivamente equivalente a
"'!! 7 œ *!! 7 œ * 7 œ „ $
"' %
# , # , .
Pelo que as duas rectas procuradas são as que têm equações C œ $ B #& C œ B #&$
% , % .
Há ainda um cuidado a ter: Trata-se de examinar o que acontece com a recta vertical a passar pelo ponto EÐ!ß #&Ñ, uma vez que esta recta não admite equação reduzida. Vamos ver, no entanto que esta recta não é uma das que só intersecta a circunferência em dois pontos, pelo que as rectas atrás encontradas são efectivamente as únicas. Ora a recta vertical tem equação B œ ! pelo que as suas intersecções com a circunferência são as soluções do sistema
œB C œ %!!B œ !# # ,
que são claramente duas, correspondentes aos pontos Ð!ß #!Ñ Ð!ß #!Ñ e .
109) a) Um ponto está no círculo referido se, e só se, a sua distância ao ponto GÐ#ß "Ñ é menor ou igual a . Uma caracteriza& ção em compreensão deste conjunto é assim
Ö\ÐBß CÑ ±ÈÐB #Ñ ÐC "Ñ Ÿ &# # },
a qual pode ser também apresentada na forma
Ö\ÐBß CÑ ± ÐB #Ñ ÐC "Ñ Ÿ #&×# # .
A intersecção do círculo com a recta vertical referida é formada pelos pontos que
b) \ÐBß CÑ
verificam as condições B œ " ÐB #Ñ ÐC "Ñ Ÿ #& e # # , ou seja, as condições œÐ" #Ñ ÐC "Ñ Ÿ #&B œ " # #
que podem ser escritas, de modo equivalente,
œÐC "Ñ Ÿ "'B œ "# œ% Ÿ C " Ÿ %B œ " œ$ Ÿ C Ÿ &B œ " .
– 86 –
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
o110) A fim de utilizarmos a Geometria Analítica para resolver este problema vamos tentar
simplificar o mais possível as coordenadas dos pontos envolvido e, nesse sentido, vamos tomar o ponto como origem e o vector E EFÄ como primeiro vector do referencial ortonormado (para isso ser possível, tomámos a distância de a como unidade de comprimento.E F
Relativamente a este sistena de coordenadas tem-se assim E Ç Ð!ß !Ñ e F Ç Ð"ß !Ñ e o lugar geométrico pedido vai ser constituídos pelos pontos \ÐBß CÑ tais que
ÈB C œ ## # ÈÐB "Ñ C Þ# #
Uma vez que ambos os membros desta igualdade são sempre positivos ela é sucessivemente equivalente a B C œ % ÐB #B " C Ñ $B $C )B % œ ! B C )B % œ ! $ $ # # # # # # # # .
Para melhor identificarmos este lugar geométrico vamos tentar utilizar os termos x e # ) para
$
B
fazer aparecer o quadrado duma soma. Para isso reparamos que ) % e continuamos a cadeia
$ œ # ‚ $
B # ‚ ‚ B Ð Ñ C Ð Ñ œ ! $ $ $ $ ÐB Ñ C œ% % $ * ÐB Ñ C œ Ð Ñ% # $ $ # # # # #.
Posto nesta forma já é fácil identificar o lugar geométrico: Trata-se de uma circunferência de centro no ponto GÐ ß !Ñ%$ e raio .#$
É talvez mais bonito apresentar o resultado sem fazer referência ao referencial, que nos serviu apenas de auxiliar. Podemos então dizer que o lugar geométrico referido é uma circunferância de raio igual a da distancia dos pontos e e cujo centro está na semirecta de origem que#
$ E F E
contém o ponto a uma distância de igual à distância de a multiplicada por .F E E F %$
111) Uma vez que temos uma generalização do exercício anterior, vamos apenas indicar as
adaptações necessárias sem fazer muitos comentários. A condição que caracteriza o lugar geométrico pode-se escrever sucessivamente de modo equivalente, lembrando que 5 Á ",
ÈB C œ #ÈÐB "Ñ C B C œ 5 ÐB #B " C Ñ Ð5 "ÑB Ð5 "ÑC #5 B 5 œ ! B C # 5 B 5 œ ! 5 " 5 " ÐB 5 Ñ C œ Ð 5 Ñ 5 5 " 5 " 5 " ÐB 5 5 " # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Ñ C œ 5 5 Ð5 "Ñ Ð5 "Ñ Ð5 "Ñ ÐB 5 Ñ C œ 5 5 " Ð5 "Ñ # # % # # # # # # # # # # # # # .
Reconhecemos assim o lugar geométrico como sendo uma circunferência de centro no ponto Ð5 "#5# ß !Ñ e raio 5 "#5 .
No caso em que 5 œ ", a dedução anterior não é válida mas já conhecemos o lugar geométrico em questão: Uma vez que estamos em presença do conjunto dos pontos equidistantes de e de ,E F esse conjunto é a mediatriz do segmento de recta ÒEFÓ.
– 88 –
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
o112) Era possível precer esse facto, visto que a equação %B #C & œ ! pode ser escrita na forma equivalente
C œ #B & #,
que sabemos representar uma recta com declive e que intersecta o eixo das ordenadas no ponto# com ordenada .&
#
113) a) Fazendo uma figura parece mais ou menos intuitivo que o simétrico do ponto Ð#ß $Ñ
relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares é o ponto Ð$ß #Ñ. O nosso objectivo é lembrar o que quer dizer um ponto ser o simétrico de outro relativamente a uma recta e verificar que isso acontece efectivamente neste caso. Chegamos então à conclusão que o que é preciso justificar é que a recta em questão é a mediatriz do segmento com aqueles pontos como extremidades. Ora. tal como fizémos anteriormente, a mediatriz do segmento cujas extremidades são os pontos Ð#ß $Ñ e Ð$ß #Ñ é constituída pelos pontos \ÐBß CÑ tais que
ÐB #Ñ ÐC $Ñ œ ÐB $Ñ ÐC #Ñ# # # # e esta condição é sucessivamente equivalente a
B %B % C 'C * œ B 'B * C %C % %B 'C œ 'B %C "!C œ "!B C œ B # # # # ,
o que mostra que a mediatriz do segmento é efectivamente a bissectriz dos quadrantes ímpares. Fazendo uma figura somos levados a conjecturar que o ponto simétrico do ponto
b) Ð#ß $Ñ
relativamente à bissectriz dos quadrantes pares é o ponto Ð$ß #Ñ. A verificação de que isso é efectivamente o que se passa faz-se de modo análogo ao que fizémos em a), reparando que a condição que caracteriza os pontos da mediatriz do segmento de extremidades Ð#ß $Ñ Ð$ß #Ñ e é
ÐB #Ñ ÐC $Ñ œ ÐB $Ñ ÐC #Ñ# # # #, sucessivamente equivalente a B %B % C 'C * œ B 'B * C %C % %B 'C œ 'B %C #C œ #B C œ B # # # # ,
e esta última equação é precisamente a caracterização dos pontos da bissectriz dos quadrantes pares. Comecemos por notar que o simétrico de um ponto da bissectriz dos quadrantes ímpares
c)
(isto é, de um ponto EÐ+ß ,Ñ com + œ ,) relativamente a essa bissectriz é o próprio ponto e que, portanto, nesse caso particular a nossa afirmação é verdadeira. Vejamos então o que acontece ao simétrico dum ponto EÐ+ß ,Ñ que não esteja na bissectriz dos quadrantes ímpares, isto é, para o qual se tenha + Á ,. Para verificar que o simétrico é o ponto FÐ,ß +Ñ, reparamos que a condição de um
ÐB +Ñ ÐC ,Ñ œ ÐB ,Ñ ÐC +Ñ B #+B + C #,C , œ B #,B , C #+C + #+B #,C œ #,B #+C #Ð+ ,ÑC œ #Ð+ ,ÑB C œ B # # # # # # # # # # # # ,
e obtivémos, mais uma vez, a equação da bissectriz dos quadrantes ímpares.
Com uma verificação análoga, concluímos facilmente que, em geral, o simétrico de um ponto Ð+ß ,Ñ relativamente à bissectriz dos quadrantes pares é o ponto Ð,ß +Ñ.
114) Procuremos uma equação para a mediatriz do segmento ÒEGÓ. Obtemos então sucessivamente as condições equivalentes
ÐB "Ñ ÐC #Ñ œ B ÐC "Ñ B #B " C %C % œ B C #C " #B 'C % œ ! B $C # œ ! # # # # # # # # .
Analogamente, para a mediatriz do segmento ÒFGÓ, obtemos ÐB "Ñ ÐC $Ñ œ B ÐC "Ñ B #B " C 'C * œ B C #C " #B )C * œ ! # # # # # # # # .
Para procurarmos o ponto que está simultaneamente nas duas mediatrizes basta-nos resolver o sistema de duas equações a duas incógnitas
œB $C # œ !#B )C * œ ! que é sucessivamente equivalente a
œB œ $C ##Ð$C #Ñ )C * œ ! œB œ $C #"%C "$ œ ! B œ C œ .
"" "% "$ "%
O circuncentro é assim o ponto Ð ß"" "$"% "%Ñ. O raio da circunferência circunscrita é a distância comum do circuncentro a cada um dos vértices. Ele é assim igual a
ÊÐ" ""Ñ Ð$ "$Ñ ¸ #Þ!)
– 90 –
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)o
115) a) A distância dum ponto \ÐBß CÑ à recta de equação C œ 5 é a distância de ÐBß CÑ à sua projecção ÐBß 5Ñ sobre essa recta e é assim dada por
ÈÐB BÑ ÐC 5Ñ œ# # ÈÐC 5Ñ œ lC 5l# .
Uma vez que a distância de \ÐBß CÑ a EÐ!ß 5Ñ é dada por ÈB ÐC 5Ñ# #, a equação procurada pode ser escrita na forma
ÈÐC 5Ñ œ# ÈB ÐC 5Ñ# #, sucessivamente equivalente a ÐC 5Ñ œ B ÐC 5Ñ C #5C 5 œ B C #5C 5 %5C œ B C œ B %5 # # # # # # # # # # .
Alternativamente, podíamos ter chegado a esta conclusão reparando que a dedução feita atrás da equação C œ %5B# para a parábola com foco em EÐ!ß 5Ñ e directriz de equação C œ 5 é igualmente válida para o caso em que 5 !, bastando então substituir por 5 5 para obter o resultado pretendido.
A distância dum ponto à recta de equação é a distância de à sua
b) \ÐBß CÑ B œ 5 ÐBß CÑ
projecção Ð5ß CÑ sobre essa recta e é assim dada por
ÈÐB 5Ñ ÐC CÑ œ# # ÈÐB 5Ñ œ lB 5l# .
Uma vez que a distância de \ÐBß CÑ a EÐ5ß !Ñ é dada por ÈÐB 5Ñ C# #, a equação procurada pode ser escrita na forma
ÈÐB 5Ñ œ# ÈÐB 5Ñ C# #, sucessivamente equivalente a ÐB 5Ñ œ ÐB 5Ñ C B #5B 5 œ B #5B 5 C %5B œ C B œ C %5 # # # # # # # # # # .
116) A equação C œ B# é da forma C œ %5B#, com 5 œ "%, pelo que, de acordo com o que foi visto em geral, ela representa uma parábola com foco no ponto EÐ!ß Ñ"% e directriz com equação C œ "%.
curva “razoável” os pontos assim obtidos obtemos um esboço de parte da parábola. Por exemplo:
Se utilizássemos a calculadora gráfica para traçar este gráfico, poderíamos obter um aspecto ligeiramente diferente no caso de termos escolhido outro intervalo para os valores de ou no casoB de não termos exigido que a calculadora utilize a mesma escala nos dois eixos.
– 92 –
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
o117) Exercício a ser feito utilizando a calculadora.
118) O ponto cujo transformado é \ÐBß CÑ é também o ponto \wÐBß CÑ. Esta transformação coincide com a sua inversa!
119) a) A imagem deste conjunto pela simetria relativa ao eixo das ordenadas é o mesmo
conjunto e admite a representação paramétrica
œB œ > >C œ > Þ
$ #
A imagem dele pela simetria relativa ao eixo das abcissas está esboçada a seguir e admite a representação paramétrica
œB œ > >C œ > Þ
$ #
Essa simetria quer dizer que, para cada ponto do conjunto, o seu simétrico relativo ao eixo
b)
das ordenadas também está no conjunto. Essa facto podia ser previsto uma vez que o ponto do conjunto correspondente a um certo e o ponto correspondente a > > têm a mesma ordenada e abcissas simétricas.
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
120) Sendo o simétrico de relativamente ao eixo das ordenadas e o simétrico de relativoVw V Vww V ao eixo das abcissas, tem-se ÐBß CÑ −Vw se, e só se, ÐBß CÑ −V, condição essa que é equivalente a
C œ %ÐBÑ Ð" ÐBÑ Ñ# # #
e portanto desenvolvendo a expressão do segundo membro, também equivalente a C œ % B Ð" B Ñ# # # .
Concluímos assim que coincide com o conjunto . Do mesmo modo, tem-se Vw V ÐBß CÑ −Vww se, e só se, ÐBß CÑ − V, condição essa que é equivalente a
ÐCÑ œ % B Ð" B Ñ# # # , e portanto também a
C œ % B Ð" B Ñ# # # , pelo que se tem também Vww œV.
121) Um ponto ÐBß CÑ está na imagem da recta por essa simetria se, e só se, o ponto ÐBß CÑ estiver na recta original, o que acontece se, e só se,
C œ # ÐBÑ $,
condição que pode ser escrita nas formas equivalentes C œ #B $ e C œ #B $. Uma equação reduzida da recta imagem por meio daquela simetria é assim a equação C œ #B $.
122) Suponhamos que um certo conjunto é simétrico tanto em relação ao eixo das ordenadas
como em relação ao eixo das abcissas. Se um ponto \ÐBß CÑ está no conjunto então, por este ser simétrico relativamente ao eixo das ordenadas, também o ponto ÐBß CÑ está no conjunto e assim,
por ele ser simétrico relativamente ao eixo das abcissas, o ponto ÐBß CÑ também está no
conjunto. Fica assim justificado o facto de o conjunto ser simétrico relativamente à origem.
Repare-se que a recta de equação C œ B é simétrica relativamente à origem e, no entanto, não é simétrica relativamente a nenhum dos eixos coordenados.
123) Uma representação paramétrica do simétrico desse conjunto relativamente à bissectriz dos
quadrantes ímpares é
œB œ >C œ > >#$ ,
onde > − Ò ß Ó' ' & & .
124) Um ponto \ÐBß CÑ está no simétrico do conjunto relativamente à bissectriz dos quadrantesV ímpares se, e só se, o ponto de coordenadas ÐCß BÑ, cuja imagem é , pertence a , ou seja, se, e só\ V
– 94 –
se,
B œ %C Ð" C Ñ# # # .
125) a) O conjunto é simétrico relativamente ao eixo das abcissas uma vez que, substituindo E C
por C na equação ção B C B œ &# # , obtém-se uma equa equivalente.
O conjunto é simétrico relativamente ao eixo das ordenadas uma vez que, substituindo
b) F B
por B na equação B C œ ## $ , obtém-se uma equação equivalente.
O conjunto é simétrico relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares uma vez que
c) G
trocando entre si as variáveis e na equação B C ÐB BÑ ÐC CÑ œ ## $ # $ , obtém-se uma equação equivalente.
126) O transformado pode ser caracterizado paramentricamente por
B œ Ð> > #ÑC œ Ð> "Ñ $ # $ $ # # , com .> − Ò ß Ó' '& &
127) Um ponto \ÐBß CÑ do plano é o transformado de um único ponto por aquela homotetia, a
saber o ponto ˆ# # ‰. Podemos assim concluir que está no transformado do conjunto
$Bß C$ \ÐBß CÑ
referido se, e só se, o ponto ˆ# # ‰ está no conjunto em questão, isto é, se, e só se,
$Bß C$
Ð CÑ œ % Ð BÑ Ð" Ð BÑ Ñ# # #
$ $ $
# # # ,
condição que pode ser escrita na forma equivalente mais compacta C œ % B Ð" %B Ñ
*
# # # .
128) a) Tem-se
EÄwF œ SF SE œ 5 SF 5 SE œ 5ÐSF SEÑ œ 5 EFw Äw Äw Ä Ä Ä Ä Ä. Basta lembrar que a distância de dois pontos e é a norma do vector
b) E F EFÄ e que, quando
se multiplica um vector por 5 !, a sua norma vem multiplicada por .5
Sejam e dois pontos da recta e e os transformados por meio da homotetia. Se
c) E F Ew Fw G
é outro ponto da recta com transformado , sabemos que Gw EG œ > EFÄ Ä, para um certo > −‘, e portanto
E G œ 5 EG œ 5 > EF œ > E FÄw w Ä Ä Äw w.
Os pontos do transformado da recta original por meio da homotetia são assim aqueles para osGw
quais E G œ > E FÄw w Äw w para algum > − ‘, sendo assim os pontos da recta E Fw w.
Qualquer triângulo é transformado num triângulo com os lados proporcionais, e portanto
d)
semelhante ao primeiro, e sabemos que dois triângulos semelhantes têm os ângulos correspondentes iguais.