œB œ > > #C œ Ð> "Ñ$$
% #
, com .> − Ò ß Ó' '& &
130) Os pontos do plano representado que estão na circunferência são aqueles para os quais as
coordenadas ÐBß CÑverificam B C œ V# # #. No plano da representação um ponto com coordenadas ÐBß CÑ é a perspectiva do ponto do plano representado com coordenadas ÐBß Ñ5C (qual é o número que multiplicado por dá ?). A representação da circunferência é assim constituída pelos pontos 5 C ÐBß CÑ tais que ÐBß Ñ5C está na circunferência, isto é, tais que
B Ð Ñ œ VC
5
# # #.
131) Se considerarmos uma circunferência num plano representado que seja paralelo ao plano da
representação os coeficientes de escala das diferentes direcções são todos iguais a , paelo que a"
circunferência do plano da representação com equação B C œ V# # # é a perspectiva da
circunferência do plano representado com a mesma equação, em particular, enquanto perspectiva cavaleira de uma circunferência, é uma elipse.
132) Tentemos escrever a equação %B *C œ $'# # numa forma equivalente que se possa
encaixar no aspecto
B Ð Ñ œ VC
5
# # #,
que já sabemos corresponder a uma elipse. Para isso, reparamos que, dividindo por ambos os% membros da equação %B *C œ $'# # se obtém a equação equivalente B C œ *# *% # , que também pode ser escrito na forma
B Ð Ñ œ $# C# # #
$
.
Esta equação cai no esquema B Ð Ñ œ V# C5 # #, com 5 œ $# e V œ $, pelo que estamos em presença de uma elipse, que se pode obter como perspectiva cavaleira de uma circunferência de raio , com$ coeficiente de escala na direcção vertical igual a .#
$
133) Este exercício pode ser resolvido por um método análogo ao do exercício precedente, mas
também podemos aproveitar a “receita” que figura na propriedade precedente, se repararmos que a equação #B C œ "# # é da forma + B , C œ V# # # # #, com + œÈ# , œ ", e V œ ". De acordo com essa propriedade, temos então uma elipse que se pode considerar como resultando de uma circunferência de raio " por uma perspectiva cavaleira com coeficiente de escala na direc
#
È ção
– 96 –
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
o134) a) Tem-se SS œ ! œ ! / ! / ! /Ä Ä Ä Ä Ä SE œ / œ " / ! / ! /Ä Ä Ä Ä Ä SF œ / œ ! / " / ! /Ä Ä Ä Ä Ä SG œ / œ ! / ! / " /Ä Ä Ä Ä Ä B C D B B C D C B C D D B C D
pelo que as coordenadas dos vértices , , e são respectivamente S E F G Ð!ß !ß !Ñ Ð"ß !ß !Ñ Ð!ß "ß !Ñ, , e Ð!ß !ß "Ñ. Se chamarmos ao vértice da face inferior oposto a , tem-seH S
SH œ SE EH œ SE SF œ " / " / ! /Ä Ä Ä Ä Ä ÄB ÄC ÄD
pelo que as coordenadas de são H Ð"ß "ß !Ñ. Reparemos agora que os vectores de posição dos vértices da face superior se podem obter somando o vector SG œ /Ä ÄD aos vectores de posição dos vértices correspondentes da face inferior. Para além do vértice que, já foi caracterizado, osG vectores de posição dos restantes três vértices da face superior são assim
" / ! / " /Ä Ä Ä ! / " / " /Ä Ä Ä " / " / " /Ä Ä Ä B C D B C D B C D
e as coordenadas desses vértices são assim Ð"ß !ß "Ñ Ð!ß "ß "Ñ Ð"ß "ß "Ñ, e .
Podemos partir de para o ponto médio da face superior começando por andar
b) S
horizontalmente para a direita metade do comprimento da aresta, andando em seguida horizontalmente e em profundidade metade do comprimento da aresta e subindo por fim o comprimento da aresta. O vector de posição do ponto médio da face superior é assim
" "
#/ # / " /
Ä Ä Ä
B C D
o que exprime o facto de as coordenadas desse ponto médio serem Ð ß ß "Ñ" "# # .
Procedendo de maneira aáloga à que fizémos na alínea precedente, vemos que o vector de
c)
posição do ponto médio de uma ds arestas da base superior é "
#/ " /
Ä Ä
B D,
pelo que as coordenadas desse ponto médio são Ð ß !ß "Ñ"# . Como antes, o vector de posição do centro do cubo é
d)
" " "
#/ # / #/
Ä Ä Ä
B C D
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
135) Uma das diagonais espaciais do cubo vai do ponto SÐ!ß !ß !Ñ para o ponto com coordenadas Ð"ß "ß "Ñ. O comprimento dessa diagonal é a distância destes dois pontos, igual assim a
ÈÐ" !Ñ Ð" !Ñ Ð" !Ñ œ# # # È$.
Um dos pontos médios de arestas que concorrem no vértice oposto ao vértice tem vector deS
posição
/ / /
Ä "Ä Ä
#
B C D
e portanto esse ponto médio tem coordenadas Ð"ß ß "Ñ"# . A distância pedida é a distância desse ponto à origem, com coordenadas Ð!ß !ß !Ñ, sendo assim igual a
ÊÐ" !Ñ Ð !Ñ Ð" !Ñ œ" Ê" " " œ Ê* œ $
# % % #
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Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
o136) Os pontos da recta são os que se podem escrever na forma <w \ > /" ÄC e portanto são aquelas com coordenadas ÐB ß C >ß D Ñ" " " , com > −‘. A recta pode ser assim caracterizada em<w compreensão pelo sistema de equações œB œ BD œ D"
".
Analogamente, os pontos da recta são os que se podem escrever na forma <ww \ > /Ä e
" B
portanto são aquelas com coordenadas ÐB >ß C ß D Ñ" " " , com > − ‘. A recta pode ser assim<ww caracterizada em compreensão pelo sistema de equações œC œ CD œ D"
".
137) Está bem colocado! Para o verificarmos, reparamos que, por ser
S\ œ $ / # / /Ä" ÄB ÄD ÄC,
podemos chegar a \" partindo de , andando unidades no eixo dos para a esquerda, subindoS $ B em seguida 2 unidades paralelamente ao eixo dos e afastando-nos em seguida unidadeD " paralelamente ao eixo dos e este caminho pode ser traçado facilmente na fugura, utilizando aquiloC que sabemos sobre a perspectiva cavaleira.
138) Como o plano que passa pelo ponto \" e é paralelo ao plano BSD admite um referencial vectorial constituídos pelos vectores Ä/B e , os pontos desse plano são os que podem ser escritosÄ/D
na forma \ > / > /" ÄB wÄD, com e em ou seja, aqueles cujas coordenadas são da forma> >w ‘ ÐB >ß C ß D > Ñ" " " w , com e em . Obtivémos assim uma caracterização paramétrica para esse> >w ‘
Ö\ÐBß Cß DÑ ± C œ C ×" .
De maneira análoga se vêm que o plano que passa por \" e é paralelo ao plano CSD é constituído pelos pontos cujas coordenas são da forma ÐB ß C >ß D > Ñ" " " w , com e em , e que> >w ‘ ele admite a caracterização em compreensão
Ö\ÐBß Cß DÑ ± B œ B ×" .
139) Como vimos anteriormente no caso geral, o plano paralelo ao plano BSD que passa pelo ponto \ Ð$ß "ß #Ñ" é formado pelos pontos \ÐBß Cß DÑ que verificam a equação C œ " e o plano
paralelo ao plano CSD que passa pelo mesmo ponto é formado pelos pontos \ÐBß Cß DÑ que
verificam a equação B œ $. A intersecção dos dois planos é assim o conjunto dos pontos
\ÐBß Cß DÑ que verificam simultaneamente as equações œC œ "B œ $.
Podemos reparar que este sistema de equações é precisamente aquele que caracterizava os pontos da rcta paralela ao eixo SD e que passa pelo ponto \".
140) A recta é constituída pelos pontos da forma < \ > ?" Ä, com > −‘, ou seja, pelos pontos cujas coordenadas são da forma Ð" >ß ! #>ß " > ‚ !Ñ œ Ð" >ß #>ß "Ñ, com > − ‘. Por outro lado, o plano é constituído pelos pontos ! \ÐBß Cß DÑ tais que C œ ". Um ponto com coordenadas Ð" >ß #>ß "Ñ está neste plano se, e só se, #> œ ". ou seja, > œ ". O ponto de intersecção pedido é
#
assim o ponto de coordenadas .Ð" ß # ‚ ß "Ñ œ Ð ß "ß "Ñ"# "# "#
141) A recta pedida admite o vector
? œ \ \ Ç Ð%ß "ß $Ñ
Ä Ä
" #
como vector director. A partir deste vector director e do ponto \", podemos obter a caracterização vectorial da recta como sendo a formada pelos pontos com coordenadas
\ > ? Ç Ð" %>ß >ß " $>Ñ" Ä ,
– 100 –
Resolução dos exercícios de Geometria (10 ano)
o142) a) A superfície esférica referida é formada pelos pontos \ÐBß Cß DÑ cuja distância ao centro GÐ"ß "ß "Ñ é igual a , ou seja, para os quais se tem$
ÈÐB "Ñ ÐC "Ñ ÐD "Ñ œ $# # # .
Esta é assim uma equação da superfície esférica. Tal como acontecia com a circunferência, a equação anterior pode ser escrita de forma equivalente, e visualmente porventura mais agradável, elevando ambos os membros ao quadrado:
ÐB "Ñ ÐC "Ñ ÐD "Ñ œ *# # # .
Repare-se que o facto de a equação assim obtida ser equivalente à anterior é consequência de ambos os membros daquela serem sempre positivos.
A recta que passa pelos pontos e admite o vector
b) < EÐ#ß #ß "Ñ FÐ%ß "ß "Ñ
? œ EF Ç Ð#ß "ß #Ñ
Ä Ä
como vector director. Ela é assim constituída pelos pontos da forma E > ? Ç Ð# #>ß # >ß " #>ÑÄ , com > − ‘. Um tal ponto pertence à superfície esférica se, e só se
Ð # #> "Ñ Ð# > "Ñ Ð" #> "Ñ œ *# # # , condição que é sucessivamente equivalente a
Ð" #>Ñ Ð" >Ñ Ð#>Ñ œ * " %> %> " #> > %> œ * *> #> ( œ ! # # # # # # # .
Os valores de para os quais a condição anterior é verdadeira obtêm-se resolvendo a equação do> segundo grau com a incógnita e são>
# „ % #&# # „ "'
") œ ")
È
e são assim e ( . As coordenadas dos pontos de intersecção obtêm-se então substituindo estes
* "
valores de nas igualdades>
B œ # #>, C œ # >, D œ " #>, pelo que essas coordenadas são
Ð$# ""ß ß Ñ& Ð!ß $ß $Ñ
F, isto é se, e só se,
ÈÐB "Ñ ÐC #Ñ ÐD "Ñ œ# # # ÈÐB "Ñ C ÐD "Ñ# # #.
Uma vez que ambos os membros da igualdade anterior são sempre positivos, esta equação é equivalente à que se obtém elevando ambos os membros ao quadrado:
ÐB "Ñ ÐC #Ñ ÐD "Ñ œ ÐB "Ñ C ÐD "Ñ# # # # # #, a qual é sucessivamente equivalente a
B #B " C %C % D #D " œ B #B " C D #D " %B %C %D % œ !
B C D œ %
# # # # # #
.
O plano mediador admite assim a equação B C D œ %.
144) Tem-se