A Regra da Cadeia

Introdução ao cálculo dIferencIal

Estamos prontos para enunciar a Regra da Cadeia.

5. enuncIado da reGra da cadeIa 5.1 regra da cadeia

Sejam f e g funções deriváveis, cuja composta y = f

(

g

( )

x

)

está definida.

Sua derivada se expressa em termos das

derivadas de f e g como .

Traduzindo em palavras, informalmente, a derivada da composta de duas funções é a derivada da função (ou comando, ação) externa vezes a derivada da função interna.

5.2 notação e linguagem

Em notação devida a Leibniz, escrevemos y = f

( )

u e

( )

x

g

u = e , com calculada em u = g

( )

x .

Essa foi a linguagem que utilizamos nos três exemplos que introduziram esta aula. Embora a Regra da Cadeia tenha sido enunciada utilizando outra notação, os exemplos nesta aula sinalizam a preferência pela notação de Leibniz.

6.

utIlIZando a reGra da cadeIa

Procure resolver os exemplos seguintes pela Regra da Cadeia, antes de estudar a solução proposta! Um dos obstáculos para utilizarmos a regra parece ser o de expressar adequadamente a função que queremos derivar como composta de outras duas. Por isso, inicie sempre analisando como escrever a função a ser derivada em dois comandos ou funções, que você já sabe derivar pelas regras de derivação estabelecidas.

6.1 exemplo

para calcular o valor y dessa função num ponto xespecífico, utili- zando uma calculadora.

Você concorda que o comando seria “digitar a tecla seno” (do valor resultante de

(

_x2 ₊1

)

_{para um ponto específico)?}

Então, escreva:3 y =senu_{, onde} u ₌x2 _+1.

A resposta final deve ser expressa em termos de x; e então

6.2 exemplo

Encontre a derivada de , em seu domínio.

Solução

Primeiro, lembre-se que . Depois, simule o

cálculo do valor da função em um ponto, utilizando uma calculadora, e escreva:

4 1

u

y = , com4 _{u =}

(

_5x3_+ex

)

_.

Agora, derive a função, utilizando a regra:

Expressando a resposta em termos de x e usando propriedade de potên- cias, escrevemos:

6.3 exemplo

Determinar y′, para y₌

(

_{2 −}x ₁

)

5 senx_{, x∈}

[ ]

_{0,π .} Solução

Veja que aqui temos que utilizar a regra do produto e a Regra da Cadeia:

(

2 1

)

)

(

2 1

)

.( ) ( ₋ 5 _{′ + −} 5 _′ = ′ x senx x senx y . Então: aula 9

Introdução ao cálculo dIferencIal

b)y= senx =

(

senx

)

12 se escreve como y =u12, com u =senx.

Assim, pela regra do produto, a resposta é:

Após aplicarmos a Regra da Cadeia, bem como outras regras de deri- vação, é importante simplificarmos as expressões obtidas. Vamos fazer esse treino desde já, embora sua importância fique mais clara nas próximas aulas.

6.4 exemplo

Calcular a derivada de . Solução

Podemos resolver este exemplo pela regra do quociente, mas, aqui, vamos reescrever a função como e considerar _{y =u}−1_,

onde .

Da Regra da Cadeia, escrevemos:

Veja como fica o resultado da derivada, se o reescrevemos utilizando as identidades trigonométricas:

Observe que deduzimos a regra de derivação da função y cot= x, uma

vez que .

6.5 exemplo

Determine a inclinação da tangente à curva do gráfico de _{y =e}

( )

2 x+ 2 _, no ponto x=0.

onde _{u=2 x+} 2_.

Calculando a derivada no ponto x=0, temos:

( )

_{0 =2×0×} 2+0

′ e

y = 0.

Lembre-se que isso significa que a tangente ao gráfico da função no ponto

( )

_{0 e,} 2 _{é horizontal!}

6.6 exemplo

Mostre que o coeficiente angular da tangente ao gráfico de é sempre positivo, para todo ponto xem seu domínio. Solução

O coeficiente angular da tangente corresponde, em cada ponto, ao valor da derivada da função. A derivada da função pode

ser obtida pela Regra da Cadeia, escrevendo 3

3 1 ₌ − = u u y , onde . Assim,

Veja que numerador e denominador dessa função são positivos: a função

x e

y = é sempre positiva, e a expressão no denominador, sendo uma potência par, será sempre positiva. Segue que o quociente de funções que representa é sempre positivo.

6.7 exemplo

Um balão esférico está sendo inflado; nesse caso, seu raio r é função do tempo t.

Solução

A Regra da Cadeia nos dá condições de escrever a taxa de variação de seu volume, se conhecermos a taxa de variação de seu raio r. Veja como isso é feito:

3 3 4 r

V = π , e r =r

( )

t .

Introdução ao cálculo dIferencIal

6.8 exemplo

Calcular a derivada de .

Solução

Essa função apresenta uma dificuldade adicional, que pode ser facil- mente contornada.

Simulando calcular a função num ponto, utilizando uma calculadora, o último comando será elevar ao quadrado. Ou seja, _{y =u}2_{, onde}

.

Se analisarmos atentamente essa última expressão u

( )

x , vemos que ela, por sua vez, é a composta de outras duas funções: u = tant, onde t 5= x

.

Para prosseguirmos aplicando a Regra da Cadeia para derivar , vamos deixar indicada a derivada de :

Feito isso, vamos nos ocupar com o cálculo de que será realizado identificando u tan= t, onde t 5= x, e aplicando novamente a mesma Regra da Cadeia:

Substituindo na expressão final e escrevendo em termos de x, obtemos:

6.9 exemplo

Vamos retomar o exemplo anterior, buscando uma síntese de seu desen- volvimento.

A função se decompõe nos seguintes comandos:

obtendo .

Isso sugere uma generalização da Regra da Cadeia, que, por mais incrível que pareça, é mesmo possível! Veja a seguir.

Sejam, por exemplo, y =u

( )

t , t =s

( )

v , v =m

( )

x , todas deriváveis em

um intervalo I. Então, . Cancele nume-

rador e denominador intermediários em , e veja

que você obtém exatamente .

Na verdade, o que fizemos para induzir a expressão do exemplo anterior a partir da Regra da Cadeia é uma estratégia recorrente na construção do conhecimento matemático:

• nós temos estabelecida a Regra da Cadeia para a composição de duas funções, f g.

• se nos propusermos a derivar a composta de três funções h

g

f   , reescrevemos a expressão como a seguir: f gh =f 

(

gh

)

.

Nessa reescrita, f gh=f H, onde H =gh. Visto assim, fazemos recair a composição de três funções em duas expressões que envolvem a composição de duas funções, para as quais a regra conhe- cida se aplica.

7. eXercÍcIoS

1. Encontrar , pela Regra da Cadeia:

2. Encontrar a equação da reta tangente à curva do gráfico da função, no ponto indicado:

a)_{y= x}2 _−sen

(

3_x−1

)

_{, no ponto P =}

(

_{0 sen, 1}

)

Introdução ao cálculo dIferencIal

3. Encontre os pontos no gráfico de f

( )

x ₌₂senx₋sen2x _{nos quais a} reta tangente é horizontal.

4. Calcular a derivada de y= x+ x .

8. referÊncIaS

FINNEY, R.; WEIR, M.; GIORDANO, F. Cálculo: George B. Thomas. São Paulo: Addison Wesley.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. Tradução de E. F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher.

PINTO, M.; ARAÚJO, J.; FERREIRA, C. Cálculo I. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2008. (Educação a Distância)

SIMMONS, G. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw Hill, 1987.

SWOKOVSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw Hill, 1991. v. 1.

AULA

1 _{Até este momento, as}

funções que estudamos são descritas por expressões

10

diferenciais e derivadas

de funções implícitas

ObjETIVOS

Apresentar a noção de diferencial e trabalhar a ideia de linearização de fun- ções . Definir funções implícitas e derivação implícita . Usar a noção de diferen- cial para linearizar funções implícitas .

1. Introdução

Nesta aula vamos desenvolver duas noções importantes: a de lineari- zação de funções e a de derivada de funções cuja lei explícita não é conhecida.

Para a primeira ideia, retomamos o fato de que, se uma função y = f

( )

x admite derivada em um ponto x = x₀, a reta tangente ao gráfico naquele ponto quase coincide com o gráfico da função, localmente. Vamos interpretar essa representação em termos das expressões algébricas de

( )

x f

y = e da reta tangente.

Quanto à segunda ideia, vamos passar a trabalhar com relações entre variáveis (que representam funções) expressas implicitamente,1 _{isto é,} escondidas, em uma equação na formaF

( )

x, =y 0. Vamos aprender a derivar funções sem conhecer a expressão explícita da relação entre suas variáveis. Retomando a primeira ideia desta aula, vamos também discutir a importância desse procedimento e a razão pela qual derivar possibilita linearizar a função.

2. dIferencIaIS

Introdução ao cálculo dIferencIal

4 _{Ainda na Figura 2,}

observe, na representação do comprimento

calculado, o “erro” que

Figura 1 - Gráfico de y = f

( )

x e reta tangente ao gráfico em um ponto A

O exemplo a seguir é um caso específico do procedimento sugerido por essa observação.

2.1 exemplo: estimativas para a raiz quadrada

Podemos estimar valores para a raiz quadrada de um número próximo ao ponto x=1, determinando a equação de sua reta tangente nesse ponto e utilizando-a para calculá-los,2 _{ao invés de utilizarmos a expressão}

x

y = .

A equação da reta tangente3 _{a y = f}

( )

_{x = x em}

( )

_{11, é}

(

1

)

2 1 1= − − x y ; ou seja,

(

1

)

2 1 1+ − = x y .

Observe o aspecto visual dos gráficos de y = x e de

(

1

)

2 1 1+ − = x y , na Figura 2.

Ele sugere que o valor da raiz quadrada de um número real próximo de

1 =

x , por exemplo, de , pode ser estimado substituindo a equação

da função y = x por

(

1

)

2 1 1+ − = x y . Ou seja, escrevendo

(

1

)

2 1 1+ − ≈ x x .

Figura 2 - Gráfico de y = xe reta tangente ao gráfico no ponto

( )

11,

2.2 estimativas para valores de y = f

( )

x

Imitando a estratégia desenvolvida em 2.1, mas agora para uma função qualquer y = f

( )

x que admite derivada f ′

( )

x0 , escrevemos:

( ) ( )

x f x0 f

( )(

x0 x x0

)

f ≈ + ′ −

e utilizamos a expressão linear para calcular valores de y = f

( )

x próximos de x =x0.

Explore na Figura 3 o que estamos propondo fazer.

No documento Introducao ao Calculo Diferencial UFMG (páginas 91-101)