Derivadas de ordem superior

derivadas de ordem superior

ObjETIVOS

Definir derivadas de ordem superior . Estudar o significado da derivada segunda, ou derivada de ordem dois . Definir as noções de concavidade de curvas e ponto de inflexão . Enunciar e usar o teste da derivada segunda .

1. Introdução

Ao derivarmos uma função f , obtemos uma nova função – a função derivada.

Faz sentido perguntar: podemos calcular a taxa de variação da função derivada? Por exemplo, se a interpretação de taxa for a de velocidade de um movimento, a taxa de variação da velocidade corresponderia ao que denominamos aceleração do movimento.

Na verdade, o cálculo da taxa de variação de uma derivada é possível, às vezes, até mais de uma vez.

Nesta aula, vamos estudar o processo de derivar, ou diferenciar, uma função f mais de uma vez. Vamos estudar as informações que podemos obter sobre o gráfico de f a partir da derivada de sua derivada, chamada derivada segunda de f .

Começamos a discussão com um exemplo.

2. eXeMPlo: derIVando MaIS de uMa VeZ

A derivada da função _{y= f}

( )

_{x =}3_x6 ₊7_x5 _−x2 ₋4_x+8 _é .

Introdução ao cálculo dIferencIal

Podemos escrever:

Essa nova função é chamada derivada segunda de y = f

( )

x , ou deri- vada de ordem 2.

No caso especial desse exemplo, a função derivada segunda pode ser derivada novamente. A derivada da derivada segunda é chamada deri- vada terceira, ou derivada de ordem 3.

Nesse exemplo e no caso dos polinômios, em geral, podemos derivá-- -los, indefinidamente!

Em algum momento, obtemos a função identicamente nula. Quer ver como funciona no exemplo que estamos trabalhando?

A derivada terceira de y = f

( )

x será _{360x −}3 _420x2_. A derivada quarta de y = f

( )

x será 1080x2 ₋840x_. A derivada de ordem 5 será 2160 −x 840.

A derivada de ordem 6 será 2160. Veja que, a partir dessa ordem na derivada, todas as demais derivadas serão nulas!

3. derIVadaS de ordeM SuPerIor

Muitas funções admitem ser diferenciadas mais de uma vez, como no exemplo anterior.

Antes de prosseguirmos com outros exemplos, vamos estabelecer a notação e a linguagem que é utilizada no Cálculo para falar de deri- vadas de ordem superior à primeira.1

3.1 notação e linguagem

A derivada da função derivada de f é chamada derivada segunda ou derivada de ordem dois de f . Denota-se por

ou f ′′.

3.2 exemplo: a derivada de ordem n de um polinômio

Para a função polinomial do exemplo, calculamos . Podemos também escrever

As derivadas de ordem superior a dois de outra função polinomial qualquer, por exemplo, _y=3_x6 ₊7_x5 _−x2 ₋4_x+8_{, são calculadas e} denotadas do mesmo modo. No caso dessa última função, a derivada de ordem 7, vale zero! Confirme esse fato!

Para n≥7, as derivadas de todas as ordens da função 8

4 7

3 6 ₊ 5 ₋ 2 _{− +}

= x x x x

y existem, e são nulas.

3.3 exemplo: a derivada de ordem n da função _{y =e}x

Confirme que . Assim, _{y =e}x _{também admite derivada de}

todas as ordens!

3.4 exemplo: a derivada de ordem n da função y = senx Podemos escrever:

Observe que recaímos na função y = senx, na quarta derivada. A partir daí, podemos continuar a derivar indefinidamente, e as expressões da derivada vão ter os mesmos valores, ciclicamente.

3.5 exemplo: derivada de ordem 2de funções expressas implicitamente

Retome a funçãoy = f

( )

x , definida implicitamente por _x2 _+y2 ₌1_{, e}

sua derivada , encontrada no exemplo 3.1.

A proposta aqui é a de calcular .

Introdução ao cálculo dIferencIal

Substituindo na expressão,

Simplificando a expressão,

4. o SIGnIfIcado da derIVada SeGunda

Na aula anterior, estudamos o sinal da derivada primeira de y = f

( )

x e obtivemos informações sobre onde a função é crescente e onde ela é decrescente.

Da mesma forma, podemos usar o sinal da derivada segunda para infor- mações sobre a derivada primeira – onde a derivada primeira é cres- cente e onde ela é decrescente. Vamos iniciar essa discussão com um exemplo.

4.1 exemplo: aceleração e velocidade

A aceleração de um movimento, por exemplo, de um carro na estrada, corresponde à variação da velocidade. Se f modela o movimento de um corpo em linha reta, a derivada f ′ tem o significado de sua veloci- dade, e f ′′, de sua aceleração.

A aceleração f ′′, quando maior que zero, indica crescimento da função velocidade f ′.

Quando menor que zero, indica redução ou decrescimento da veloci- dade.

Em linguagem matemática, escrevemos

( )

>0

′′ x

f em um intervalo aberto I ⇒ f ′

( )

x é crescente em I;

( )

<0

′′ x

Figura 1- O significado de f ′

( )

x ser crescente ou decrescente

Na Figura 1, indicamos no gráfico de f o significado de f ′

( )

x ser crescente ou decrescente em um intervalo I .

Veja que f ′

( )

x crescente corresponde ao coeficiente angular das retas tangentes ao gráfico de f aumentar quando x aumenta. E f ′

( )

x decrescente corresponde ao coeficiente angular das retas tangentes ao gráfico de f diminuir quando x diminui.

A classificação na Definição 4.2 corresponde a essas duas possibili- dades.

4.2 definição

Seja y = f

( )

x uma função diferenciável em

( )

a,b . Seu gráfico é

-côncavo para cima em

( )

a,b se f ′

( )

x é crescente em

( )

a,b ; -côncavo para baixo em

( )

a,b se f ′

( )

x é decrescente em

( )

a,b .

A análise da concavidade do gráfico de y = f

( )

x fundamenta-se na Proposição 4.3.

4.3 Proposição

Seja y = f

( )

x uma função que admite derivada segunda

( )

x

f ′′ em

( )

a,b . Então o gráfico de f é

- côncavo para cima em

( )

a,b se f ′′ x

( )

>0 em

( )

a,b ; - côncavo para baixo em

( )

a,b se f ′′ x

( )

<0 em

( )

a,b .

x y

Introdução ao cálculo dIferencIal

4.5 exemplo: analisando concavidade do gráfico de funções polinomiais

Seja _f

( )

_{x =x}3 ₊5_x2 ₋1_{. Calculando as derivadas,}

e ;

a função é côncava para cima em ;

a função é côncava para baixo em .

Podemos organizar a informação numa tabela:

tabela 1:

análise dos sinais da derivada segunda de_f

( )

_{x =x}3₊5_x2₋1

4.6 exemplo: exponenciais e outras funções

A função tem derivadas:

, porque _ex ≠0_{, sempre.} Sumarizando a análise de sinal da derivada segunda:

tabela 2:

análise dos sinais da derivada segunda de

5. PontoS de InfleXão 5.1 definição

Um ponto

(

c,f

( )

c

)

do gráfico de y = f

( )

x é chamado ponto de inflexão se

- f é contínua em x =c;

- a concavidade do gráfico muda em

(

c, f

( )

c

)

.

Relendo a Definição 5.1 em termos da Proposição 4.4, ela nos diz que a derivada segunda f ′′

( )

x muda de sinal em x =c. Para que isso seja possível, f ′′ c

( )

=0, ou não existe f ′′

( )

c . Os pontos x =c no domínio de y = f

( )

x , com essas características, são os candidatos a pontos de inflexão.

5.2 exemplo: polinômios de terceiro grau

O ponto

( )

0,0 no gráfico de _f

( )

_{x =x}3_{é um exemplo de ponto de} inflexão. Calculando _f′

( )

_{x =3x}2 _{e f ′′}

( )

_{x =6x, veja quef ′′}

( )

_{x é} contínua nos reais, e que f ′′ x

( )

=0 ⇔ x=0.

Esse será, então, o único candidato a ponto de inflexão.

Para verificar se

(

0,f

( )

0

) ( )

= 0,0 é um ponto de inflexão, podemos verificar se seu gráfico muda de concavidade em

( )

0,0 . Algebrica- mente, isso corresponde a verificar se f ′′

( )

x =6x muda de sinal em

0 =

x .

Veja que f ′′

( )

x =6 >x 0para x>0 e f ′′

( )

x =6 <x 0 para x<0. Assim, classificamos

( )

0,0 como ponto de inflexão de _f

( )

_{x =x}3_. Esboce o gráfico de _f

( )

_{x = x}3_{, que é uma função conhecida, e confirme} o fato visualmente!

Introdução ao cálculo dIferencIal

As funções polinomiais de terceiro grau, em geral, sempre admitirão um ou mais pontos de inflexão. Observe, por exemplo, que, para a função

( )

_{x =x}3 ₊5_x2 ₋1 f em 4.5, há mudança de concavidade em 3 5 − = x . Então, _ _     − − 3 5 , 3

5 f é ponto de inflexão da função.

5.3 exemplo: exponenciais e outras funções

a) No Exemplo 4.6, confira que

(

_−2,−2e−2

)

_{é ponto de inflexão.} b) Para f

( )

x = x31

(

1+x

)

, temos

Para estudar sua concavidade, veja que f ′′

( )

x não existe em x=0, que é ponto onde a função é contínua, e f ′′ x

( )

=0 em

2 1 =

x .

Na Tabela a seguir, sintetizamos a análise da concavidade de

( )

x x

(

x

)

f = 31 1+ .

tabela 3:

6. o teSte da derIVada SeGunda

Na Aula 13, aprendemos a classificar pontos críticos a partir do teste da derivada primeira. Nesta aula, vamos aprender outra forma de fazer essa classificação.

6.1 Proposição

Seja y = f

( )

x uma função diferenciável em

( )

a,b com

( )

=0

′ c

f , para algum c∈

( )

a,b .

-se f ′′ c

( )

<0, então c é ponto de máximo local; -se f ′′ x

( )

>0, então c é ponto de mínimo local; -se f ′′ c

( )

=0, nada se pode afirmar.

6.2 exemplo: retomando um exemplo já estudado

Na classificação dos pontos críticos da função

( )

3 8

4

3 4 ₋ 3₋ 2₊

= x x x

x

f , na Aula 13, podemos usar a Proposição 6.1

e proceder do seguinte modo:

( )

.4 3 6 3

(

2

)

4 3 3₋ 2 _{− =} 2 _{− −} = ′ x x x x x x x f =3x

(

x−2

)( )

x+1 e

( )

₌9 2 ₋6 ₋6 ′′ x x x f .

Os pontos críticos são x=0, x=2 e x=−1. Usando 6.1, podemos escrever:

( )

−1 =9>0 ′′

f , e então x=−1 é ponto de mínimo local;

( )

0 =−6<0

′′

f , e então x=0 é ponto de máximo local; , e então x=2 é ponto de mínimo local.

6.3 exemplo: explorando funções trigonométricas

Seja a função , no intervalo

[

0,2

π]

.

A derivada da função é .

Reescrevendo a expressão,

Introdução ao cálculo dIferencIal

Para isso, utilizamos um artifício, que é denominar m =senx, e a equação, nesta releitura, se escreve 4_m2 ₊2_m−2₌0_{. Sua solução é}

2 1 =

m e m=−1. Lembrando que m =senx e que o domínio da função é

[

0,2

π]

, temos como pontos críticos os valores

6 π = x e 6 5π = x (que correspondem a 2 1 = senx , no intervalo

[

0,2

π]

) e 2 3π = x (que corres-

ponde a senx=−1, no intervalo

[

0,2

π]

).

Temos que e então ; e, portanto, 6 π = x é ponto de máximo local;2 ; e, portanto, 6 5π = x é ponto de mínimo local.3 No caso de 2 3π =

x temos f ′′ x

( )

=0; e, portanto, o teste nada nos garante em termos da classificação desse ponto como máximo ou mínimo local. Em casos como esses, recorremos a outros testes, como, por exemplo, o teste da derivada primeira, para fazer a classificação.

7. eXercÍcIoS

1. Encontre as derivadas de segunda ordem das funções: a)y= ₂1x−senx _b) c) d)_y=3 _x−5 _x

2. Encontre a derivada segunda da função y = f

( )

x definida implici- tamente por:

a)_x3 _{+ y}3 ₌1 _b) c)xseny = y d) _x2_y2 ₋1₌0

3. Ache os intervalos em que y = f

( )

x é côncava para cima e é côncava para baixo:

4. Identifique os pontos de inflexão das funções a seguir: a)_{y= x}4 ₊2_x3 ₊1 _b) 1 3 2 2 + = x x y c)

5. Encontre os pontos críticos das funções abaixo, e use o teste da deri- vada segunda para classificá-los:

a) b)_y=2_x3₋6_x+6 _c) 1 2 ₊ = x x y

6. Determine os valores de a, b, c e d de modo que a função tenha um mínimo relativo em

( )

0,0 e um máximo relativo em

( )

11, .

7. Ache o valor de a para que tenha ponto de inflexão em

( )

,1−a .

8. referÊncIaS

ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000.

PINTO, M.; ARAÚJO, J.; FERREIRA, C. Cálculo I. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2008. (Educação a Distância).

SIMMONS, G. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw Hill, 1987.

SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw Hill, 1991.

No documento Introducao ao Calculo Diferencial UFMG (páginas 139-151)