Muitas pesquisas apontam para a importância do conceito transformação linear no ramo matemático Álgebra Linear. Para justificar a importância de tal conceito no curso de licenciatura em Matemática, como uma oportunidade de ampliar e aprofundar a ideia de função, pesquisadores como Harel (2000), Karrer (2006), Molina e Oktaç (2007) e Machado e Bianchini (2009), têm se dedicado a investigar a concepção de estudantes de licenciatura sobre esse conceito (SILVA, 2016).
Como já abordado, a evolução da ideia de função, passou por três grandes momentos: relação entre quantidades variáveis, relação entre conjuntos e transformação. A última ideia, vem de contribuições de matemáticos, como Cayley, que buscou expressar analiticamente as transformações geométricas (representadas por vetores). Esse matemático, além de contribuir na ampliação do significado de função, também permitiu uma ampliação do significado de matrizes, ao buscar essa relação entre transformações a partir das matrizes estabelecendo e definindo operações algébricas entre elas (STORMOWSKI, 2008).
A Questão 12, busca explorar as ideias que os licenciandos apresentam sobre o conceito de função (Figura 15) ao pedir que os licenciandos definam função e deem um exemplo. É possível verificar que os três entendem esse conceito como uma relação unívoca entre elementos de dois conjuntos. Como E1 e E3 citaram a ideia de dependência, subentende-se que possuem o entendimento de que função é uma relação entre quantidades variáveis. Como nenhum deles mencionou ideia de domínio e imagem, não é possível afirmar que têm elaborado a ideia de relações biunívocas entre conjuntos, mas a resposta de E2 dá indicativo de que é entendida a relação entre não apenas números reais. A próxima questão, que busca explorar as
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ideias elaboradas pelos licenciandos em relação ao conceito função, é a Questão 14, ao questionar se existe alguma semelhança entre transformação linear e função. A Questão 13, colocada antes da 14, é proposta como forma de possibilitar a reflexão, pelos licenciandos, das possíveis relações existentes entre função e transformações de vetores no plano.
Figura 15 – Registro das respostas referente à Questão 12 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E1, E2 e E3.
Na Questão 13, é disponibilizada uma imagem contendo vetores refletidos no plano, com eixo de simetria-y e pedido que conceitos estão envolvidos naquela representação. E1 e E2 (Figura 16) mencionaram vetor, mas apenas E1 respondeu com o nome de uma isometria (a translação dos vetores).
Figura 16 – Registro das respostas referente à Questão 13 do Instrumento de Coleta de Dados
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No entanto, E2 e E3 (Figura 17) mencionam transformações geométricas como reflexão e homotetia (mesmo não havendo uma transformação desse tipo na representação). E2, ainda cita álgebra e geometria analítica, o que deve ter acontecido, por enxergar os vetores como sendo objeto de estudo dentre esses contextos matemáticos.
Figura 17 – Registro das respostas referente à Questão 13 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E3.
Enquanto E2 e E3 não respondem as questões 14 e 15 de forma, aparentemente, segura (questão 14 – pede se existe alguma semelhança entre transformação linear e função -, questão 15 – pede um exemplo de transformação linear), é interessante verificar que E1 demonstra certa segurança (Figura 18) ao responder na Questão 14 que transformação linear é um tipo de função, visto que foi a única a verificar na Questão 13 a translação dos vetores no plano.
Figura 18 – Registro das respostas referente à Questão 14 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E1, E2 e E3.
No entanto, na Questão 15, E1 comete a confusão de dar um exemplo de função em vez de transformação linear (Figura 19). Essa análise possibilita verificar que talvez, E1 tenha elaborado o entendimento de que existe uma função (relação), que associa os pontos dos vetores
a, b e c aos pontos do vetores a’, b’ e c’. No entanto, algebricamente, E1 não expressou de
forma correta a representação analítica de uma transformação linear. Considerando o sistema conceitual isso explica-se pelo fato do conceito de vetor não estar suficientemente desenvolvido, como já verificado na primeira subunidade. E, assim como função e conjunto
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possuem um forte vínculo, os conceitos vetor e transformação linear também. Então, a elaboração do conceito transformação linear relaciona-se à elaboração do conceito vetor, pois, cada conceito novo surge relacionado com os demais, e uma vez não estando suficientemente desenvolvida a elaboração do conceito vetor, fragiliza-se a elaboração de conceitos como transformação linear.
Figura 19 – Registro das respostas referente à Questão 15 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E1, E2 e E3.
Com as questões 16 e 17, novamente objetiva-se explorar o nível de significação do conceito função, considerando a evolução da ideia de função posta anteriormente. A Questão 16 coloca o licenciando a trabalhar no contexto algébrico com a ideia de relação entre quantidades variáveis, pois pede a determinação da lei geral que associa dois pontos. E1, E2 e E3 operam de forma correta (Figura 20) para encontrar a lei geral da função que associa os valores disponibilizados.
Figura 20 – Registro das respostas referente à Questão 16 do Instrumento de Coleta de Dados
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Isso evidencia que, algebricamente a ideia de função como relação entre quantidades, foi elaborada pelos licenciandos. Porém, quanto à ampliação dessa ideia para a relação entre conjuntos, as respostas deles à Questão 17 (Figura 21) (questão pedia o nome dado à associação entre dois vetores de conjuntos diferentes), evidenciam que o conceito transformação linear não está associado ao conceito de função, assim como, não está associado ao conceito transformação geométrica (verificado nas respostas da Questão 13).
Figura 21 – Registro das respostas referente à Questão 17 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E1, E2 e E3.
E1 e E3 respondem à Questão 17 com a palavra vetor, mas a Questão pedia qual o nome da associação existente entre dois vetores. Mesmo E1 tendo respondido na Questão 14 que transformação linear é um tipo de função, neste momento, quando se depara com vetores transformados no plano, não responde de forma correta. O que leva a possibilidade de que, no processo de aprendizagem, não houve uma atenção adequada à relação existente entre função e transformação linear a partir da palavra aplicação (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2011). Essa análise desencadeia novas perguntas que necessitariam de novas pesquisas para responder, pois, considerando que os licenciandos já cursaram as disciplinas que abordaram esses conceitos em diferentes contextos, é impossível não nos perguntarmos como aconteceu a aprendizagem do conceito transformação linear.
Em se tratando de função, sendo A e B dois conjuntos não vazios quaisquer e supondo cada elemento a ∈ A é associado a um elemento de B, geometricamente, são representados os elementos dos conjuntos A e B em duas retas perpendiculares chamadas de abscissa (a reta horizontal) e ordenada (a reta vertical), onde, geralmente, os elementos do conjunto A estão ordenados sobre a abscissa e associados a um elemento do conjunto B, que está ordenado sobre a reta ordenada. Dessa maneira, em se tratando de função considerando conjuntos de números reais, existe a possibilidade de construir pares ordenados em um plano, e de associar esta disposição de pares ordenados no plano à uma curva (polinomial, exponencial etc.) (CARAÇA, 1998). No entanto, o conceito função entre dois conjuntos quaisquer, pode ser aplicado a dois
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espaços vetoriais, e mesmo que essa aplicação possua características próprias, em virtude de os espaços vetoriais serem conjuntos com estruturas internas operacionais, todas as propriedades gerais sobre função são válidas e a representação geométrica e algébrica dos espaços devem ser levadas em conta, pois há relação entre elas a partir de transformações (MAIO, 2010).
Entre os tipos de transformações possíveis entre dois espaços vetoriais, é chamada transformação linear a aplicação13 que preserva a soma de vetores (para quaisquer vetores v, w ∈ V F(v + w) = F(v) + F(w)) e a multiplicação por escalar (para quaisquer escalar k e vetor v ∈ V F(kv) = kF(v)), ou seja, “as duas operações básicas de um espaço vetorial” (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2011, p. 175). Assim, a dificuldade em relacionar transformações lineares com o conceito função, pode residir para além da dificuldade algébrica da não elaboração consistente da estrutura de um espaço vetorial e na não abstração do conceito função no contexto geométrico, pois os licenciandos podem estar presos a ideia de que função é uma curva.
Não existia uma curva nas imagens que representavam as aplicações na Questão 17, e em virtude de os licenciandos não estarem familiarizados com a ideia de que função é uma aplicação e que por isso as aplicações entre espaços vetoriais também são funções, é possível conjecturar que os licenciados tiveram dificuldade de responder com a palavra transformação linear à Questão 17. Pois, a palavra transformação linear está situada neste sistema de relações conceituais intrinsicamente articulados. Ao não relacionar uma palavra dentro desse sistema, a elaboração de outros conceitos também é prejudicada, como já verificado com o vetor e espaço vetorial. Mas, para além disso, essa não relação evidencia-se nos próprios registros dos licenciandos.
Na Questão 19 (Figura 22), que pedia a determinação e a representação no plano de um vetor imagem a partir de um vetor dado e da transformação T(x,y) = (x+y, -y), nota-se, por exemplo, essa aprendizagem de forma desconexa, pois, mesmo não respondendo que os vetores da Questão 17 representam transformações lineares, E1 e E3 representam geometricamente de forma correta o vetor 𝑢⃗⃗ = (1,2) e o vetor imagem 𝑇(1,2) = (3, −2) da Questão 19.
13 Na presente pesquisa consideramos que “o termo função é um sinônimo da palavra aplicação, embora alguns
textos reservem a palavra função para aplicações de valores reais ou complexos” (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2011, p. 172).
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Figura 22 – Registro das respostas referente à Questão 19 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E1, E2 e E3.
A resposta de E1 à Questão 20 (Figura 23) confirma a conjectura de que os licenciandos estão pensando por complexos e não de modo generalizado, pois a questão pedia qual a diferença de uma transformação G, disponibilizada pela questão, e a transformação T, trabalhada na questão 19, e E1 responde com reta e parábola, ou seja, associa a palavra função ao objeto parábola, ou reta e não ao conceito.
Figura 23 – Registro das respostas referente à Questão 20 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E1, E2 e E3.
A partir da representação geométrica da transformação G, que a Questão 20 disponibiliza, E1 responde que a transformação T da Questão anterior é uma reta e que a transformação G dessa Questão é uma parábola. A resposta correta seria que a transformação T é linear e a transformação G é não linear. É curioso o que esse erro pode revelar, pois na Questão 19, E1 representou vetores, então a reta à qual o licenciando se refere, pode ser da própria representação que a Questão disponibilizou da reta traçada a partir do vetor genérico (x,y). Ao chamar (x,y) de reta e (x,y²) de parábola, o licenciando demonstra não estar se referindo às transformações T e G em sua resposta, mas sim às funções que podem expressar
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as curvas representadas no plano cartesiano que a Questão disponibiliza, revelando que as letras maiúsculas G e T não evocam o sentido de representação de transformações entre espaços vetoriais no contexto da Álgebra Linear.
Na Questão 18, a qual era disponibilizada uma transformação linear na representação matricial e pedido que o licenciando leva-se um vetor de três dimensões em um vetor de duas dimensões, apenas E1 opera com o vetor de coordenadas (1, 2, 3) a partir das matrizes para descobrir o vetor imagem (Figura 24). No entanto, seriam necessárias mais questões para verificar se E1 sabe que conceitos como base, coordenadas de vetor em relação à uma base, combinação linear e subespaço estão relacionados a representação matricial.
Figura 24 – Registro das respostas referente à Questão 18 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E1, E2 e E3.
Historicamente, transformação linear mudou a forma com que as matrizes eram tratadas algebricamente e possibilitou ampliação da generalização do conceito função. Vleeschouwer (apud PRADO, 2016, p. 65) indica que
[...] uma matriz pode ser considerada como representando uma função linear, em determinadas bases, mas também pode ser considerada como um elemento de um espaço vetorial. Uma função pode ser vista como um processo para agir sobre determinados objetos, mas também pode ser um elemento de um espaço vetorial (DE VLEESCHOUWER; GUEUDET apud PRADO, 2016, p. 65).
No ensino superior, matrizes, sistemas de equações lineares, determinante e função, ganham novo significado com o estudo do espaço vetorial e transformação linear. Esse estudo acontece a partir do trabalho com aspectos formais da Álgebra Linear e com outros conceitos como base, conjunto gerador, independência e dependência linear, combinação linear etc.
É possível verificar que os licenciandos apresentam ideias do conceito função como relação entre quantidades variáveis, mas não relacionam função à transformação linear. E isso
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ainda causa muito obstáculo no entendimento do conceito transformação linear, pois os licenciandos conseguem operar, por exemplo, com as expressões disponibilizadas para encontrar o vetor imagem. Mas, ao não associar transformação linear ao conceito função, na representação geométrica, não conseguem explicar a reflexão, ou translação de um vetor com a transformação linear. Além disso, a insegurança evidenciada nas respostas dos licenciandos quando abordados sobre o conceito transformação linear justifica-se pela não elaboração consistente dos conceitos vetor e espaço vetorial.
4 Considerações finais
Após estudos e análises ao longo do texto expostos, apresenta-se, na forma de síntese, elementos capazes de atender ao objetivo - investigar relações existentes entre os conceitos matemáticos que compõem o currículo do Ensino Médio da Educação Básica e o conceito transformação linear, para identificar de que forma o estudo deste conceito pode contribuir na formação do professor de Matemática - e a questão da investigação - quais entendimentos acerca do conceito transformação linear, no contexto da Álgebra Linear, são apresentados por licenciandos de um curso de Matemática? -.
Transformação linear não compõe o currículo do Ensino Médio, mas considerando o percurso histórico do desenvolvimento da Álgebra Linear, sistemas de equações lineares, matrizes e determinantes que compõem o programa curricular do Ensino Médio, estão intimamente relacionados à transformação linear. Considerando que o currículo do Ensino Médio deve aprofundar os conceitos tratados no ensino fundamental, e que transformação geométrica compõe o currículo do ensino fundamental então, o conceito transformação linear está relacionado de maneira indireta ao currículo do Ensino Médio. Mas, para isso, é necessário, que o professor da Educação Básica considere o estudo das transformações geométricas no momento em que aborda o conceito matriz com os estudantes do Ensino Médio.
Problematizou-se sobre a possibilidade de ampliar compreensões acerca dos conceitos matrizes e determinante ao tratá-los pelo campo algébrico e geométrico a partir do conceito vetor no Ensino Médio, já que é previsto em documentos como Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), mas não se efetiva em livros didáticos. Considerando o professor como propositor de currículo, é de extrema importância que em sua formação essas relações historicamente construídas entre os conceitos, sejam abordadas, para haver
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possibilidades de selecionar e propor os conceitos de maneira significativa para a formação de seus estudantes.
Considerando a problematização histórica inicialmente apresentada percebeu-se que a construção do conceito transformação linear está intrinsicamente relacionada aos conceitos matrizes, vetor e espaço vetorial. Desse modo, em vista a produzir algumas respostas à questão norteadora, buscou-se analisar a compreensão dos licenciandos, que atenderam aos critérios de inclusão dessa pesquisa, acerca de tais conceitos. Com as análises dos registros dos licenciandos referente ao Instrumento de Coleta de Dados desenvolvida houve indicativo de que E1, E2 e E3 compreendem a Matemática como uma construção da humanidade, pois justificaram a primeira questão do Instrumento de Coleta de Dados, mas não possuem elaborações referente à que necessidades despertaram a construção e desenvolvimento do conjunto dos números complexos e dos vetores.
Referente ao contexto geométrico, E1, E2 e E3 representam corretamente vetores, mas em se tratando do campo algébrico e contexto da Álgebra Linear, não elaboraram sentidos quanto a representação a partir de n-uplas ordenadas, e de estrutura algébrica. Essas representações poderiam ganhar maior significado se considerado o contexto histórico, pois, neste contexto, emergem as relações estabelecidas entre estes conceitos. No entanto, não é possível afirmar que tais licenciandos não estudaram estes conceitos a partir do contexto histórico, assim, seria possível ampliar a pesquisa, buscando analisar o processo de ensino e aprendizagem dos conceitos vetor e espaço vetorial.
Os licenciandos associam matriz à representação de sistemas lineares, assim, considerando as três fases básicas na trajetória da formação de conceitos, E1, E2 e E3 podem estar na fase de pensamentos por complexos em se tratando do conceito matriz, pois existe a possibilidade de ser generalizada à representação de vetores, e assim portadora de operações próprias pertencente à uma estrutura algébrica. Já em relação ao conceito determinante, os licenciandos parecem estar numa fase aquém à formação do conceito matriz. Pois, além de não relacionarem à representação geométrica, como representação da área do paralelogramo, ou volume do paralelepípedo, ainda está bem instável a compreensão algébrica, uma vez que não souberam usar o algoritmo do cálculo do determinante para resolver o sistema proposto.
Toda essa possibilidade de desenvolvimento conceitual verificada dificulta o desenvolvimento do conceito transformação linear e as respostas dos licenciandos referente às questões sobre essa definição em específico refletem isso, uma vez que se mostram inseguras.
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Assim, as respostas de E2 e E3, possibilitam poucos, indicativos sobre os entendimentos que possuem referente à transformação linear já que respondem a maioria das questões com não
sei. Mas E1 ao responder as questões possibilita a percepção de que existe grande dificuldade
em se tratando deste conceito, pois responde de forma correta à Questão referente a relação entre transformação linear e função, mas ao não responder com transformação linear, quando pedido referente ao nome dado à associação de um vetor e sua imagem após sofrer uma aplicação, dá o indicativo, considerando as três fases básicas na trajetória da formação de conceitos, de que este conceito está na fase de agregação desorganizada.
E1 sabe operar com os vetores quando disponibilizada a expressão analítica que representa a transformação, no entanto, mesmo respondendo que transformação é um tipo de função, não associa as aplicações disponibilizadas a partir das representações geométricas ao conceito transformação. Deste modo, a partir da resposta à Questão 20, E1 parece não saber diferenciar uma transformação linear de uma não linear. Em virtude dessas respostas inseguras e contraditórias, verifica-se que as questões não foram suficientes para indicar possíveis respostas à questão norteadora. Como os licenciandos demostram ter elaborado de forma isolada e estanque os conceitos, deveriam ter sido propostas questões mais específicas no Instrumento de Coleta de Dados quando abordado o conceito transformação linear, como por exemplo, perguntar qual a expressão analítica que representa a aplicação de um vetor 𝑢⃗⃗ =(x,y) na imagem 𝑇(𝑥, 𝑦) = (x-4, y), ou, disponibilizar expressões analíticas que representam transformações lineares e não lineares, e perguntar quais são lineares e quais são não lineares.
Talvez perguntas desse tipo dessem maiores indicativos referente à essa não relação do conceito transformação linear com o conceito função analisada a partir das respostas de E1. Pois, ao que tudo indica transformação linear é compreendida por E1 como um cálculo, mas não se tem muita clareza do porquê dele, ou da relação dele com os vetores. É possível verificar, também, a necessidade de relacionar os conceitos em um sistema conceitual, pois muitas questões, como por exemplo, a questão 2, deixaram de ser respondidas pelos licenciados em função desta compreensão isolada dos conceitos. Do mesmo modo, o entendimento de transformação linear parece estar pouco desenvolvido, ou pobre em relação à imensa possibilidade de relações conceituais possíveis de serem estabelecidas, em virtude de ele não estar inserido, a partir da compreensão dos licenciandos, no sistema conceitual do qual ele faz parte e que foi construído ao longo da história da Álgebra Linear.
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Ao possibilitar o estabelecimento de processos de abstração/generalização de conceitos que compõe o currículo da Educação Básica, no caso, de forma especial do Ensino Médio, o estudo do conceito transformação linear contribui na formação do professor de Matemática. Na medida em que o professor inserir o conceito transformação linear num sistema conceitual, amplia possibilidades de compreensão de conceitos como espaço vetorial, vetor, transformações geométricas, matrizes, função, números complexos etc. Proporcionando, assim, maior propriedade para trabalhar conceitos do programa curricular do Ensino Médio, em vista do desenvolvimento das funções mentais superiores de seus alunos, pois tem consciência do lugar que os referidos conceitos ocupam no processo histórico do desenvolvimento da cultura produzida pela humanidade. No sentido exposto, saberes curriculares e saberes disciplinares mostram-se como condição para a organização de um ensino, indo ao encontro da hipótese inicial de que, para um professor de Matemática da Educação Básica, intervir positivamente na formação Matemática de seus estudantes, é necessário ter amplo conhecimento epistemológico dos conceitos que compõe o currículo da Educação Básica.
REFERÊNCIAS
ALVES, Alda Judith Mazzotti. O planejamento de pesquisas qualitativas em educação.
Cadernos de Pesquisa, v. 77, p. 53-61, maio 1991, Disponível em: < http://publicacoes.fcc.org.br/ojs/index.php/cp/article/view/1042/1050>. Acesso em: 10 out. 2017.
BATTISTI, Isabel Koltermann. Mediações na significação do conceito vetor com
tratamento da geometria analítica em aulas de Matemática. 249 f. Tese (Doutorado em
Educação nas Ciências – área de Matemática) – Universidade Regional do Noroeste do Estado