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O CONCEITO TRANSFORMAÇÃO LINEAR, NO CONTEXTO DA ÁLGEBRA LINEAR E NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: ALGUMAS
CONSIDERAÇÕES1
Luiza de Paula Ghisleni2
Resumo: O professor de Matemática trabalha a partir dos saberes docentes (experienciais, disciplinares,
pedagógicos e curriculares), atuando em consonância com o objetivo da escola da Educação Básica - formação cidadã dos estudantes a partir do desenvolvimento das funções psicológicas superiores, através dos conceitos científicos de cada área do conhecimento -. O campo algébrico, assim como os outros campos que constituem a área Matemática, vem se desenvolvendo ao longo da história da humanidade e ganhando cada vez maior abstração. Há conteúdos, como transformação linear, que não fazem parte do currículo da Educação Básica, mas que devem ser compreendidos pelo futuro professor. A presente escrita está fundamentada na pesquisa que objetiva investigar as relações existentes entre os conceitos matemáticos que compõem o currículo do Ensino Médio e o conceito transformação linear, para entender de que forma o estudo desse conceito pode contribuir na formação do professor de Matemática. O estudo se dá a partir da questão norteadora: quais entendimentos acerca do conceito transformação linear, no contexto da Álgebra Linear, são apresentados por licenciandos de um curso de Matemática? A pesquisa tem caráter qualitativo e aconteceu em dois momentos: período exploratório - estudo dos conceitos da Álgebra Linear e das Ementas de um curso de licenciatura em Matemática; investigação quanto aos licenciados que já cursaram as disciplinas de tais ementas e elaboração de um Instrumento de Coleta de Dados - e; análise dos registros de E1, E2 e E3 no presente texto estruturado em uma unidade de análise e três subunidades. Como aporte teórico são considerados autores como Stormowski (2008), Milies [20--?] e Nébias (1999). A análise em livros didáticos e as Orientações Curriculares do Ensino Médio (BRASIL, 2006), permitiu o entendimento de que a transformação linear está presente no currículo no Ensino Médio de maneira indireta, através de conceitos como matrizes, transformações geométricas etc. A partir do conceito transformação geométrica e sistema de equações, matrizes e determinante ganham novo significado quando estudados a partir do contexto geométrico. E1, E2 e E3 compreendem o conceito como um cálculo a ser desenvolvido, mas não percebem as relações possíveis entre ele e os conceitos como função, vetor e espaço vetorial. É possível verificar que todos essas definições podem ser elevadas a um nível de significação maior pelos graduandos. Por isso, é pertinente que se realize uma pesquisa visando compreender o processo de ensino e aprendizagem desses conceitos, uma vez que, a elaboração da definição de transformação linear pelo futuro professor de Matemática, proporciona maior propriedade para trabalhar conceitos do programa curricular do Ensino Médio.
Palavras-chave: História da álgebra. Álgebra Linear. Transformação Linear. Saberes docentes. Sistema
conceitual.
1 Introdução
A profissão professor possui saberes próprios do ofício que precisam ser apreendidos e desenvolvidos durante a formação profissional. Segundo Cunha (2007),
[...] o saber profissional dos professores é constituído não por um saber específico, mas por vários saberes de diferentes matizes [...], os professores tratam da gestão da matéria e da gestão da sala de aula e, por isso, necessitam utilizar diferentes saberes necessários à consecução dos objetivos previamente definidos. (CUNHA, 2007, p. 6-7).
1 Artigo científico apresentado ao Curso de Matemática – Licenciatura da Universidade Regional do Noroeste do
Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de licenciada em Matemática.
Orientadora: Isabel Koltermann Battisti
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Desse modo, o saber do professor se caracteriza como um saber social, pois é partilhado por um grupo (professores) com aspectos comuns (realizaram um curso, atuam na escola em torno da educação); é apoiado num sistema educativo (universidade, instância estatal, administração da escola etc.) e; o objeto do conhecimento é um objeto social (possibilita a educação e a instrução transformando os estudantes). E ainda, segundo Tardif (2002); Saviani (1996); Pimenta (1999); Gauthier et al. (1998) (apud CUNHA, 2007, p. 32), os saberes necessários para a profissão professor podem ser classificados como saberes experienciais, disciplinares, pedagógicos e curriculares. Os saberes experienciais, seriam os adquiridos com a prática e reflexão da prática, sendo importantes pelo fato de proporcionar certa segurança no agir. Os saberes pedagógicos, correspondem ao saber ensinar, são desenvolvidos, não necessariamente no estudo sobre eles, mas a partir da interação que se estabelece entre a prática e as reflexões acerca do ensino - desse modo, esse saber é particular e individual, complexo e é adquirido com a experiência profissional.
Os saberes curriculares estão articulados a outros saberes, pois dependem das experiências, do modo como o professor concebe o ensino e a aprendizagem, além do modo como compreende os conceitos e a área de conhecimento a qual irá ensinar. Já os disciplinares referem-se aos conceitos de uma determinada área do conhecimento, e são importantes para que o professor tenha condições de mobilizar os conhecimentos de relevância social que melhor atendem ao objetivo de ensino, e que proporcionem o desenvolvimento de atividades mentais. Nesse sentido, “[...] a Matemática enquanto prática social do educador matemático é sempre um saber de relação. Em relação com o mundo, consigo mesmo, com outros sujeitos” (FIORENTINI; OLIVEIRA, 2013, p. 922). A Matemática como ação do educador está situada numa prática social, ganhando sentido enquanto saber de relação nos processos de aprendizagem.
“A escola de Educação Básica é o espaço em que se ressignifica e se recria a cultura herdada, reconstruindo-se as identidades culturais, em que se aprende a valorizar as raízes próprias” (BRASIL, 2010, p. 4). Ou seja, a escola é o meio pelo qual as crianças tornam-se humanas e cidadãs capazes de exercerem a cidadania. Para isso, cada componente curricular tem papel singular no desenvolvimento intelectual desses sujeitos, para que possam desenvolver suas funções psicológicas superiores. Pois, de acordo com Vygotsky (TOSTA, 2012), os seres humanos possuem dois tipos de funções: as psicológicas elementares e as psicológicas superiores. Como cita Battisti (2016, p. 39)
Vygotsky dedicou-se, principalmente, ao estudo das funções psicológicas superiores ou processos mentais superiores. Isto é, interessou-se por compreender os
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mecanismos psicológicos mais sofisticados, mais complexos, que são típicos do ser humano e que envolvem o controle consciente do comportamento, a ação intencional e a liberdade do indivíduo em relação às características do momento e do espaço presentes. [...] O ser humano tem a possibilidade de pensar em objetos ausentes, imaginar eventos nunca vividos, planejar ações a serem realizadas em momentos posteriores. Esse tipo de atividade psicológica é considerada ‘superior’ na medida em que se diferencia de mecanismos mais elementares tais como as ações reflexas. (OLIVEIRA, 2004 apud BATTISTI, 2016, p. 39).
O pensamento conceitual é uma função psicológica superior, pois para a formação de um conceito é preciso unir e separar, “[...] é o início do processo de generalização [...], é necessário abstrair, isolar elementos, e examinar os elementos abstratos separadamente da totalidade da experiência concreta de que fazem parte” (VANZ; GRANDO, 2013, p. 5). Cada área de conhecimento constitutiva do currículo da Educação Básica em suas diferentes etapas (educação infantil, ensino fundamental e Ensino Médio) deve visar o desenvolvimento do pensamento conceitual nos estudantes.
A Matemática, de acordo com Brasil (2006), possibilita o desenvolvimento do pensamento lógico-matemático. Seus conteúdos básicos do Ensino Médio estão organizados em quatro blocos: números e operações, funções, geometria, análise de dados e probabilidade. Cada bloco de conteúdo é constituído por conceitos, cuja aprendizagem possibilita o desenvolvimento de uma forma de pensamento conceitual específico nos estudantes. Para Vygotsky (1993, p. 198, tradução livre)
[...] a assimilação da álgebra eleva a um nível superior o pensamento aritmético, permitindo compreender qualquer operação aritmética como um caso particular de uma expressão algébrica, proporcionando uma visão mais livre, mais abstrata e generalizada e assim mais profunda e rica do que operações com quantidades concretas. [...] a álgebra libera o pensamento da criança do cativeiro das dependências numéricas concretas e o eleva a um nível de pensamento mais generalizado (VYGOTSKY, 1993, p. 198, tradução livre).
O pensamento algébrico é uma construção humana e, portanto, possibilita para a criança a elevação do pensamento generalizado quando considera os estágios de entendimento desse campo, pelos quais a própria humanidade teve que passar até chegar na complexidade de abstração que existe hoje. Pois, se, por exemplo, ensinar propriedades das equações e técnicas de resolução, sem o estudante apropriar-se do significado do conceito de equação e de sua representação por meio de um simbolismo constitutivo da linguagem Matemática, há grandes possibilidades desse estudante não desenvolver um pensamento genérico acerca dos valores que satisfaçam a igualdade.
Como já indicado, os saberes docentes podem ser classificados como saberes experienciais, disciplinares, pedagógicos e curriculares. Considerando que a profissão professor é uma prática social e que os objetos de trabalho do professor de Matemática são os conceitos
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matemáticos, o presente texto se faz a partir de uma pesquisa que tem como foco saberes disciplinares necessários na prática docente. Nesse sentido, cabe destacar que, no programa curricular de um curso de licenciatura em Matemática, há conteúdos, como transformação linear, que não fazem parte do currículo da Educação Básica, mas que devem ser compreendidos pelo futuro professor.
Considerando que a Álgebra Linear, como um ramo do campo da álgebra, é potencial no desenvolvimento cognitivo dos sujeitos, proponho uma pesquisa3 que tem como objetivo investigar relações existentes entre os conceitos matemáticos que compõem o currículo do Ensino Médio da Educação Básica e o conceito transformação linear, objetivando identificar de que forma o estudo desse conceito pode contribuir na formação do professor de Matemática da Educação Básica. Tais objetivos são delimitados pela questão: quais entendimentos acerca do conceito transformação linear, no contexto da Álgebra Linear, são apresentados por um grupo de licenciandos de um curso de Matemática?
1.1 O contexto histórico na constituição dos conceitos matemáticos do campo da álgebra e a formação do professor de Matemática: considerações iniciais
Os conceitos da álgebra que hoje compõe o currículo da Educação Básica, e em especial do Ensino Médio, têm um percurso histórico de desenvolvimento. A começar pela palavra
álgebra que não possui “etimologia nítida como, por exemplo, a palavra ‘aritmética’, que deriva
do grego arithmos (‘número’)” (BAUMGART, 1992, p. 1). Ela é uma variante latina da palavra árabe al-jabr e foi usada no título de um livro escrito em Bagdá, por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi. “A tradução literal do título completo do livro é ‘ciência da restauração (ou reunião) e redução’, mas matematicamente seria melhor ‘ciência da transposição e cancelamento’ [...] ou ‘ciência das equações’” (Ibidem).
Originalmente a palavra álgebra referia-se a equações, no entanto, é sabido que hoje tem um significado muito mais amplo. O percurso da álgebra ao longo da história da humanidade, para adquirir tal significado, apresenta uma grande elevação a nível de significado conceitual, passando da compreensão de equações e métodos de resolução, ao estudo de estruturas Matemáticas como grupos, anéis e corpos. Como cada conceito imbricado nesse processo aparece de uma maneira ou outra no currículo de Matemática do Ensino Médio, entende-se ser pertinente uma breve retomada da história da álgebra para que tais conceitos,
3 A qual fundamenta a presente escrita.
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que compõem o currículo do Ensino Médio e que estão envolvidos com este campo da Matemática, sejam situados.
A álgebra surgiu quase que ao mesmo tempo na Babilônia e no Egito, ao que se tem os primeiros registros, respectivamente, em escrita cuneiforme e papiros. No entanto, a álgebra Babilônia era mais moderna, resolviam sistemas de equações por substituição e, na maioria das vezes, pelo método paramétrico4, enquanto que os egípcios, em função de seu sistema de numeração relativamente primitivo, resolviam equações lineares sem os métodos sofisticados dos babilônicos. Usavam o método que viria a ser chamado posteriormente, como regra de falsa posição, que consistia em estimar uma resposta inicial e realizar uma correção final.
Os gregos, principalmente na escola pitagórica, desenvolviam métodos de resolução de equações muito próximos dos babilônicos, no entanto, os entendimentos desse povo em relação a álgebra, estava muito ligado à geometria. Produtos notáveis, por exemplo, foram enunciados por Euclides, em sua obra Elementos em termos de área de um quadrado. Essa forma de conceber a álgebra, pela geometria, se explica pela dificuldade conceitual com frações e números irracionais que os gregos apresentavam (BAUMGART, 1992).
Após a ocupação romana, “a Matemática grega deu uma parada brusca [...]. Todavia, alguns séculos mais tarde o matemático grego Diofanto, deu novo impulso à álgebra na trilha dos antigos métodos babilônicos” (BAUMGART, 1992, p. 9), mas a álgebra apresentou pouco progresso até a resolução geral das equações cúbicas e quadráticas, possibilitadas pelas invenções dos matemáticos hindu-arábicos (sistema de numeração) e europeus (invenção da imprensa com tipos móveis que acelerou a padronização dos símbolos).
Cardano e Viète representaram “o divisor de águas do pensamento algébrico (separando o antigo fluxo raso da ‘solução manipulativa de equações’ da moderna corrente profunda que começa com propriedades teóricas das equações) ” (BAUMGART, 1992, p. 14). Cardano, foi o primeiro a exibir três raízes para as cúbicas de Scipione del Ferro, e reconhecer as raízes negativas operando com os números, que hoje chamamos de complexos. E Viète foi o primeiro a introduzir letras como coeficientes genéricos. No entanto, esses dois matemáticos não tiveram
4 “O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico dos
problemas encontrados em escrita cuneiforme [...]. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme” (BAUMGART, 1992, p. 4) e a notação algébrica é moderna: Comprimento, largura. Multiplique comprimento por largura, obtendo assim a área 252. Somei comprimento e largura e obtive 32. Pede-se comprimento e largura (A). O método era tomar metade de 32 (que é 16), elevar ao quadrado (16²=256) e o resultado diminuir do outro dado que o problema disponibilizava (256-252=4) (B). Se extraia a raiz quadrada deste novo número que aparecia (√4 = 2) e fazendo 16 menos 2 e 16 mais 2 se encontravam largura e comprimento (C). A -> 𝑥 + 𝑦 = 𝑘 𝑥𝑦 = 𝑃 B -> (𝑘
2) 2− 𝑃 = 𝑡² C -> 𝑘² 4 − 𝑡 2= 𝑃 → (𝑘 2+ 𝑡)( 𝑘 2− 𝑡)
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sucesso em desenvolver a generalidade que buscavam (estruturas algébricas), por não entenderem os números negativos.
Foi Albert Girard (1629), alguns anos depois, “que sugeriu, aceitando-se também números imaginários como raízes, que seria possível afirmar que uma equação admite tantas raízes quanto é seu grau” (BAUMGART, 1992, p. 15). Com René Descartes (1637) e sua representação geométrica dos números a partir de segmentos com sentidos opostos, os números negativos foram mais aceitos e após quase duzentos anos Carl Friedrich Gauss, lançando mão do plano-xy criado por Descartes, publicou a representação geométrica dos números complexos. Assim, “os fundamentos da moderna formulação estrutural da álgebra, iniciados por Viète, esperaram cerca de dois séculos para que Niels Henrik Abel (1824) e especialmente Évariste Galois (1831) introduzissem a ideia de grupo” (BAUMGART, 1992, p. 16). Pois, entre outros fatores, foi necessária uma profunda compreensão de todos os tipos de números: positivos, racionais, irracionais, negativos e complexos.
O conceito de grupo não emergiu de súbito desses matemáticos, além de uma percepção implícita do conceito de grupo, nos trabalhos de “Pierre de Fermat sobre probabilidade e teoria dos números (1635); e, contemporaneamente, com Descartes, sobre geometria analítica (1637) [...]; a fundamentação do cálculo por Newton e Leibniz [...]” (BAUMGART, 1992, p. 17), alguns componentes do conceito de grupo e corpo já eram discerníveis por volta de 1650 a. C., pois os egípcios, por exemplo, sabiam que se permutassem os números em uma multiplicação, a resposta seria a mesma, e usavam livremente a lei distributiva. Mas foi, Galois quem desenvolveu o conceito de grupo de permutações, e provou com isso que a solução de qualquer equação polinomial depende da estrutura de permutações associadas a essa equação.
Foi nesse período de intensa atividade na direção de uma crescente abstração na álgebra, que Hamilton desenvolve uma teoria formal definindo soma e produto de pares de números complexos, levando-o a desenvolver uma álgebra de ternas que daria a linguagem para trabalhar com vetores no espaço. Mas, existia uma dificuldade na multiplicação. E para entendê-la, Hamilton escrevia suas ternas na forma a + bi + cj e, “esperava ainda que o comprimento do produto de vetores fosse igual ao produto dos comprimentos, i.e., que a² + b² + c² = x² + y² + z² fato que chamou lei dos módulos” (MILIES, 20--?, p. 34).
Na tentativa de preservar a lei dos módulos, ele introduziuquatérnios tais como a + bi + cj + dk ou (a, b, c, d) como extensão dos números complexos e após quase quinze anos de estudos lhe ocorreu que “as leis fundamentais sugeridas pelos sistemas até então conhecidos, não eram dados apriorísticos que deviam ser sempre assumidos, uma vez que o conjunto dos
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quatérnios é o primeiro exemplo conhecido onde a ordem dos fatores altera o produto” (Ibidem, p. 36-37).
Ao perceber que a comutatividade não era um axioma irrevogável, os matemáticos começaram a experimentar novos sistemas, e as matrizes, que por exemplo, inicialmente, foram utilizadas como método para resolver sistemas lineares5, ganharam atenção e desenvolvimento axiomático próprio. Baumgart (1992, p. 29) complementa ainda, indicando que
[...] em 1925 August Heisemberg descobriu que a álgebra das matrizes corresponde exatamente à Matemática não comutativa que descreve os fenômenos da mecânica quântica. (E) em colaboração com Jmaes Joseph Sylvester, Cayley (c. 1846) começou a trabalhar também com a teoria dos invariantes algébricos, que ficaria no ar por algum tempo e que, como as matrizes, recebera parte de sua motivação dos determinantes. [...] (Assim) o desejo de uma teoria geral de estrutura (começando com a resolução de equações polinomiais e as relações entre raízes e coeficientes) levou ao ‘completamento’ do sistema dos números complexos; e como, por sua vez, uma extensão dos números complexos aos números hipercomplexos criou novas estruturas. (BAUMGART, 1992, p. 29).
Dessa forma, considerando a trajetória histórica da álgebra, é possível verificar que esse campo da Matemática se expandiu, ampliando o nível de relações conceituais. Com o estudo de novas estruturas algébricas, foi possível, inclusive, o desenvolvimento de novos ramos, como por exemplo, o estudo dos vetores algébrica e geometricamente a partir de regras que formam a base para o que conhecemos hoje como Álgebra Linear.
Conceitos como matrizes, sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores6, que constituem o ramo Álgebra Linear, são abordados em diferentes
disciplinas que compõem o currículo de formação inicial do professor de Matemática. No entanto, o entendimento do porquê de tais disciplinas serem abordadas no currículo da formação inicial do professor de Matemática da Educação Básica, não está claro. Alguns destes conceitos, como matrizes e sistemas lineares, estão indicados, na forma de conteúdo, no programa curricular da Educação Básica, mas outros como, transformação linear ou espaço vetorial não aparecem de forma explícita.
Considerando a história da álgebra, é possível verificar que o estudo das matrizes pode ganhar sentido quando considerado o contexto histórico de desenvolvimento desse campo, como também, que conceitos como equação e estruturas algébricas marcaram o desenvolvimento da humanidade. Pela história, é justificável, por exemplo, o ensino de
5 Há registros, em um manuscrito do século I a. C. K’ui-ch’ang Suan-Shu (Nove capítulos sobre a arte da
Matemática), de um método de resolver problemas práticos do dia-a-dia dos autores, em que consiste em colocar em duas colunas os coeficientes referentes à primeira e segunda equação e operar com estes coeficientes para simplificar e eliminar alguma incógnita para realizar a substituição (TAVARES; PEREIRA, 2010).
6 Conceitos identificados no Conteúdo programático da disciplina Álgebra Linear que integra o programa
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matrizes, equações e sistemas lineares na Educação Básica. Diante de tais considerações, corrobora-se com Fiorentini e Oliveira (2013, p. 924-925), de que o saber profissional do professor de Matemática, é
um saber que se mostra complexo, entretecendo aspectos conceituais [...] do campo da Matemática e aspectos didáticos-pedagógicos, sobretudo ao elaborar a tarefa, ao mediar a gestão da aprendizagem e a sensibilidade para com os alunos. Isso demanda, em sua formação, uma compreensão profunda e diversificada da Matemática enquanto saber de relação [...]. O domínio desses conhecimentos certamente proporcionará condições para o professor explorar e desenvolver, em aula, uma Matemática significativa, isto é, uma Matemática que faça sentido aos alunos, ao seu desenvolvimento intelectual, sendo capaz de estabelecer interlocuções/conexão entre a Matemática mobilizada/produzida pelos alunos e aquela historicamente produzida pela humanidade.
Quando nos referimos à necessidade de o professor conhecer com profundidade as Matemáticas, especialmente a escolar, queremos dizer que não basta o professor dominar procedimentos matemáticos e saber utilizá-los em demonstrações ou na resolução de exercícios e problemas. Para a docência em Matemática é importante
que o professor saiba justificar esses procedimentos, conheça outros procedimentos histórico-culturalmente produzidos, conheça os conceitos e ideias atuais, bem como a evolução histórica dos mesmos.” (FIORENTINI; OLIVEIRA,
2013, p. 924-925, grifo nosso).
Diante do exposto, é possível conjecturar a hipótese de que para um professor de Matemática da Educação Básica, intervir positivamente na formação Matemática de seus estudantes, é necessário ter amplo conhecimento epistemológico dos conceitos que compõe o currículo da Educação Básica.
2 Caminho Metodológico
Com a finalidade de obter indicativos de respostas para o problema de estudo, é necessário considerar um tipo de delineamento de pesquisa, pois a maneira pela qual um problema é concebido e estruturado para ser investigado, intervém nos resultados da pesquisa. Desse modo, considerando o objetivo e a questão da investigação apresentados, entendo que a tradição hermenêutica, presente na abordagem qualitativa, é um caminho que possibilita o desenvolvimento da pesquisa, pois parte do pressuposto de que as pessoas “agem em função de suas crenças, percepções, sentimentos e valores e seu comportamento tem sempre um sentido, um significado que não se dá a conhecer de modo imediato, precisando ser desvelado” (ALVES, 1991, p. 54).
O pesquisador encontra-se imerso no contexto em função de compreender as interligações que emergem dele, e a partir das livres observações, as dimensões e as categorias de interesse surgem progressivamente durante o processo de produção e análise dos dados (ALVES, 1991). Nessa abordagem, o pesquisador representa peça fundamental da pesquisa e os dados obtidos não podem ser generalizados estatisticamente, uma vez que “conhecedor e
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conhecido estão sempre em interação e a influência dos valores é inerente ao processo de investigação” (Ibidem, p. 55). Os dados resultantes, desse modo, são predominantemente descritivos e expressos através de palavras.
Considerando a abordagem qualitativa é compreensível que o foco do estudo vá sendo progressivamente ajustado durante a investigação, pois “a focalização prematura do problema e a adoção de um quadro teórico a priori turvam a visão do pesquisador, levando-o a desconsiderar aspectos importantes que não se encaixam na teoria” (ALVES, 1991, p. 56), no entanto, o pesquisador ao escolher um campo já o faz com algum objetivo e ao iniciar a produção de dados, alguma teoria já o orienta. Por isso, são importantes três grandes etapas no estudo qualitativo: período exploratório, investigação focalizada e análise final e elaboração do relatório (Ibidem).
A problemática da presente pesquisa já implica uma forma de produção de dados, uma vez que o período exploratório já aconteceu antes do delineamento da presente problemática. Desse modo, o período exploratório se deu a partir do estudo em Lipschutz; Lipson (2011) do conceito transformação linear e de conceitos intrinsicamente relacionados a esse, como por exemplo, matrizes, vetores, espaço vetorial, função, núcleo, imagem etc. Como também, estudo da história da álgebra e da Álgebra Linear, a partir de proposições apresentadas por Baumgart (1992).
O estudo da Álgebra Linear, como um ramo da álgebra, na universidade, geralmente acontece em duas abordagens: no estudo formal dos espaços vetoriais e no estudo do 𝑅𝑛 com cálculos de matrizes (PRADO, 2016). No entanto, a Álgebra Linear tem suas raízes históricas em diferentes campos da Matemática: na álgebra, está ligada às equações lineares, matrizes, quatérnios e sistemas de números hipercomplexos; na geometria, ligada à segmentos de linha direcionados, geometria afim e geometria projetiva; “e em análise, equações diferenciais lineares e espaços de dimensões infinitas de vários tipos. Finalmente, a Álgebra Linear tem suas raízes na física do século 19 de Maxwell, Gibbs e Heaviside” (MOORE, 1995, p. 263, tradução livre). Deste modo, em função da complexidade e variedade de fenômenos matemáticos, a unificação desse ramo é recente, aconteceu em torno de 1930, mesmo que desde os séculos XVII e XVIII existisse uma certa intuição, por parte dos matemáticos, de que deveria existir uma certa conexão entre álgebra e geometria.
Em função de legitimar os números complexos, começou-se a desenvolver um sistema de representação geométrica o qual levou a desenvolver métodos de análise vetorial no plano, e com a descoberta de que a multiplicação com os quatérnios não é comutativa uma série de
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operações aplicadas aos vetores passaram a ser estudadas, culminando na base do que conhecemos hoje como Álgebra Linear (REIS, 2016).
Um dos conceitos que possibilitou a expansão desse ramo, ao longo do desenvolvimento das teorias dos determinantes e matrizes, e do estudo sobre vetores (pela física, geometria e álgebra), foi o de transformação linear a partir do estudo de “fórmulas para transformação de coordenadas no plano e no espaço” (SANTOS, 2007, p. 13). O conceito tornou-se familiar com o desenvolvimento das técnicas de Gauss sobre medidas geodésicas e com o teorema sobre multiplicação de determinantes desenvolvido por Cauchy. Por muito tempo matrizes não foram consideradas entidades distintas capazes de formar um sistema algébrico, mas sim como transformações no espaço tridimensional. Ou seja, tão significativo é o conceito, que as operações algébricas com matrizes, por exemplo, só foram desenvolvidas por que tiveram como princípio as transformações lineares.
Os entendimentos referentes a história da Álgebra Linear, possibilitaram um olhar atento sobre Ementas e Conteúdo programático de disciplinas que compõem o currículo de um curso de Matemática licenciatura, de uma universidade localizada do noroeste do estado do Rio Grande do Sul. Buscou-se identificar quais conceitos matemáticos são apresentados na Ementa e no Conteúdo programático da disciplina Álgebra Linear e verificou-se que a disciplina objetiva ensinar álgebra matricial, suas propriedades, operações e aplicações, com ênfase na compreensão dos conceitos e técnicas necessários para o estudo de sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores e diagonalização de operadores.
Considerando o estudo da história da álgebra realizado, percebeu-se que a Ementa da disciplina não menciona números complexos, ou estruturas algébricas, mesmo sendo essas de suma importância para o desenvolvimento das matrizes e dos espaços vetoriais. Assim sendo, buscou-se, nas Ementas das outras disciplinas, que compõe o currículo desse curso, verificar quais delas abordam conceitos, que de alguma forma, relacionam-se com a definição transformação linear e que foram importantes para o desenvolvimento da álgebra e da Álgebra Linear. A seguir, apresenta-se um quadro com as disciplinas selecionadas, e também, uma breve descrição contendo justificativa de porquê foram selecionadas.
Quadro 1: descrição de quais disciplinas foram selecionadas com justificativa
Disciplinas Breve descrição
Prática de Ensino: Análise de Dados e Probabilidade
11 Tópicos de Matemática I Ambas abordam elementos da análise combinatória, como
a permutação, fundamental para compreensão da função
determinante7.
Cálculo II Abordam o conceito vetor. Pelo Cálculo, como objeto matemático e, pela Física, como grandeza.
Física I
Cálculo III Propõe o estudo de equações diferenciais ordinárias de ordem superior e de sistemas de equações diferenciais de primeira ordem e assim, o estudo das raízes complexas. Geometria Analítica Tem como objetivo a apresentação de que a álgebra e a
geometria estão fortemente associadas no desenvolvimento de seus conceitos.
Prática de Ensino: Geometria Aborda o conceito transformação no contexto da geometria, com figuras planas.
Prática de Ensino: Números e Operações
Trata, pelo contexto histórico, os conjuntos numéricos e o campo algébrico.
Pré-Cálculo Aborda os conjuntos numéricos, operações algébricas e polinomiais, e funções.
Tópicos de Matemática II Aborda o sistema de números complexos enfocando operações com números complexos, representação geométrica, valor absoluto, forma polar ou trigonométrica, teorema de Moivre, bem como, a topologia do plano Complexo. Estuda também os sistemas lineares, analisando as técnicas de resolução e enfocando a álgebra e a geometria das equações que constituem estes sistemas. Fundamentos de Álgebra Estuda a manipulação formal de equações, operações
Matemáticas e polinômios a partir das estruturas de grupo, anel e corpo.
Fonte: produção da autora (2017).
2.1 Sujeitos da pesquisa
Após essa análise buscou-se, junto a secretaria do curso de Matemática considerado, os estudantes que ainda não estão formados, mas que já cursaram tais disciplinas. Considerando esse critério, foram selecionados 4 licenciandos, sendo que um é a autora da presente pesquisa. Com esses 3 estudantes realizou-se uma prova (Anexo I). Os registros das resoluções e respostas às questões da prova, por estes 3 estudantes, compõem o banco de dados empíricos da presente pesquisa. No decorrer do texto, os licenciandos serão identificados por E1, E2 e E3, e a prova como Instrumento de Coleta de Dados.
7 O determinante de uma matriz se dá pela soma algébrica tomando o termo principal (formado pelo produto dos
n elementos da diagonal da esquerda para a direita, que é aquela em que os índices dos elementos são iguais), fazendo-se a permutação simples dos índices das colunas e analisando a paridade (números de inversões) de cada permutação para multiplicar a permutação por -1 se o número de paridades é ímpar e por 1 se é par. Deste modo, se tomada uma matriz quadrada de ordem n = 3, a função determinante terá n! termos, ou seja, 6 termos, pois o termo principal da matriz |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33| será T = 𝑎11. 𝑎22. 𝑎33 sendo a permutação dos segundos índices 123, 231, 312, 132, 213, 321 obtendo assim os termos 𝑎11. 𝑎22. 𝑎33, 𝑎12. 𝑎23. 𝑎31 e 𝑎13. 𝑎21. 𝑎32 positivos e os termos
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A prova realizada com os estudantes é composta por 20 questões e, foi elaborada considerando o período exploratório de estudo da história da álgebra e do conceito transformação linear, e de análise das Ementas e Conteúdos Programáticos das disciplinas indicadas. A seguir, apresenta-se o Quadro 2 com breve descrição sobre quais conceitos cada questão trata e com que objetivo.
Quadro 2: descrição do objetivo de cada questão do Instrumento de Coleta de Dados em anexo
Questões Breve descrição Objetivo: analisar se o estudante
tem conhecimento 1 e 2 Números complexos; representação
geométrica dos números complexos.
Da necessidade histórica, a partir da qual o conjunto dos números complexos foi construído.
3, 4 e 5 Vetores; representação geométrica dos vetores; propriedades do espaço vetorial.
De que a representação geométrica dos números complexos é semelhante a representação geométrica dos vetores;
de que os vetores possuem espaço próprio com propriedades próprias.
6, 7, 8 e 9 Matrizes; estrutura algébrica das matrizes; sistemas de equações lineares; determinante.
Das propriedades das matrizes e assim da estrutura algébrica à qual ela faz parte;
da relação existente entre matrizes e sistemas lineares;
das diferentes formas de resolver sistemas lineares.
10 e 11 Vetores; representação geométrica da adição de vetores; determinante; área de paralelogramo; matriz.
Do significado geométrico do determinante.
12, 13, 14, 15, 16 e 17
Função; transformação geométrica; transformação linear.
De que transformação é um tipo de função entre dois espaços vetoriais.
18, 19 e 20 Expressão analítica, representação geométrica e matriz da transformação linear.
Acerca da expressão analítica da transformação linear, bem como da representação geométrica e matricial;
da diferença entre uma transformação geométrica qualquer e uma transformação linear.
Fonte: produção da autora (2017).
As análises serão feitas sob a luz da teoria histórico-cultural, pois ela considera que cada conceito é importante para o desenvolvimento psicológico das funções cerebrais, ou seja, importante para a formação dos sujeitos. No entanto, esse desenvolvimento do pensamento conceitual necessita do social, uma vez que cada conceito possui um significado historicamente e culturalmente estabelecido e cada pessoa é capaz de produzir sentidos em relação a ele, mas que sempre podem ser negociados e elevados a um nível de significação maior, mais próximo
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ao construído ao longo da história da humanidade. Assim, a unidade explora dialeticamente teoria e prática, concreto e abstrato etc. para compreender que “aquilo que hoje se apresenta diante de nossos olhos é apenas uma síntese do processo histórico em transformação” (FIORENTINI; LORENZATO, 2009, p. 66).
Diante do exposto, apresenta-se como unidade de análise: a formação do conceito transformação linear na formação de um grupo de licenciandos de um curso de Matemática e possíveis relações com o currículo de Matemática do Ensino Médio. Nessa unidade de análise busca-se atender ao objetivo da pesquisa, por isso é realizado um estudo sobre currículo em Brasil (2006) e Rio Grande do Sul (2009), para verificar quais são as orientações de currículo do Ensino Médio à nível de currículo prescrito. Também, buscou-se junto ao laboratório de Matemática da referida universidade, livros didáticos de Ensino Médio, uma vez que, currículo também é ditado a nível de interpretações impressas em livros didáticos. Foram considerados autores como Dante (2000, 2003), Bianchini; Paccola (2004) e Paiva (2004), em função de que no laboratório a maioria dos livros didáticos eram dos referidos autores. A unidade se estrutura a partir das seguintes subunidades: conjunto dos números complexos e espaço vetorial: quais entendimentos foram apresentados pelos licenciandos?; a relação entre matrizes, sistemas de equações lineares e determinante: quais entendimentos foram apresentados pelos licenciandos?; a relação entre função e transformação linear.
Com a unidade busca-se estabelecer a rede de relações historicamente construídas entre os conceitos que estruturam o conceito transformação linear, considerando o quão importante é, para um futuro professor de Matemática, a apropriação destas relações. Como aporte teórico para a ampliação das condições de análise serão considerados: Caraça (1956), Prado (2016), Silva (2016), Brasil (2006), Baumgart (1992), Rio Grande do Sul (2009), Dante (2000, 2003), Bianchini e Paccola (2004), Paiva (2004), Stormowski (2008), Nébias (1999), Góes e Cruz (2006), Santos (2007), Nogueira (2013), Moore (1995), Milies [20--?].
3 A formação do conceito transformação linear na formação de um grupo de licenciandos de um curso de Matemática e possíveis relações com o currículo de Matemática do Ensino Médio
Ao longo da introdução e metodologia construiu-se um percurso histórico do desenvolvimento do campo da álgebra e do ramo Álgebra Linear, e fica explícito que Álgebra Linear é um ramo de estudos da Matemática novo, mas o conceito sistema de equações lineares,
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por exemplo, ou matriz aparecem nos estudos dos primeiros algebristas da história. Desse modo, a história mostra “que muitas vezes o desenvolvimento de um assunto não foi linear nem simples, que os matemáticos levaram muito tempo para compreender a importância de um conceito e, às vezes, até para admiti-lo como válido” (MILIES, 20--?, p. 1).
Foi com o entendimento e representação dos números complexos, como pares ordenados de números reais, que Hamilton, no século XIX desenvolveu toda uma álgebra, definindo formalmente, entre outras coisas, a soma e produto de pares ordenados permitindo também trabalhar com os vetores no plano. Hamilton então, trabalhou durante dez anos, no problema de desenvolver uma álgebra de ternas de números reais para trabalhar com os vetores no espaço também. Dessa forma, semelhante ao que era feito com os números complexos, mas considerando uma dimensão a mais, Hamilton introduziu os quaterniós e chegou na fórmula fundamental dos símbolos i, j, k: i² = j² = k² = ijk = -1, que implica nas fórmulas ij = −ji = k;
jk = −kj = i; ki = −ik = j (MILIES, 20--?).
Para conseguir chegar na fórmula algébrica Hamilton precisou focar antes na representação geométrica da multiplicação em duas dimensões, e indicou que a mesma é baseada nos “comprimentos dos vetores, bem como no ângulo formado entre eles [...]. O primeiro é um valor unidimensional (comprimento), o segundo depende da direção do eixo de rotação (um valor bidimensional) [...], assim, a multiplicação representa os produtos escalar e vetorial” (REIS, 2016, p. 9). Com a multiplicação dos quaterniós definida a partir das fórmulas chega-se ao que conhecemos hoje como produto vetorial de a = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3𝑘 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)
e b = 𝑏1𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑏3𝑘 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), ou seja: ab ( 𝑎2𝑏3− 𝑎3𝑏2, 𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3, 𝑎1𝑏2− 𝑎2𝑏1), que também pode ser obtido a partir do determinante |
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
| (LEITHOLD, 1997). Na época, o conjunto dos quaternións “constituiu o primeiro exemplo de anel não comutativo, com divisão. [...] Pouco tempo depois, Cayley introduziu um novo conceito [...] matriz [...] e observou uma explicita relação com os quatérnios” (MILIES, 20--?,p. 36-41).
Foi com o desenvolvimento desse ramo algébrico não comutativo, os quais fazem parte os números hipercomplexos, os quaterniós e as matrizes, e com o desenvolvimento de métodos de análise de uma nova entidade Matemática, atualmente chamada vetor, que a teoria dos espaços vetoriais ganharam forma, e com ela, a Álgebra Linear, como é conhecida hoje. Mas é importante ressaltar o desenvolvimento de outros conceitos matemáticos que influenciaram na teoria dos espaços vetoriais, como por exemplo, função. Pois, a teoria só foi construída a partir da extensão de função à funcional linear (ou transformação linear) (MOORE, 1995).
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O desenvolvimento do conceito função se divide em três significativas etapas: antiguidade (onde a noção de função aparece como dependência de valores de forma intuitiva), idade média (noção de função está ligada a representação geométrica de modo mecânico) e idade moderna (função passa a ser representada por representações analíticas) (MACIEL, 2011). Há também a evolução da definição em três grandes ideias: “a de relação entre quantidades variáveis (Lagrange, por exemplo), a de relação entre conjuntos (Bourbaki) e a de transformação (Boole)” (SILVA; REZENDE, 1999, p. 31).
Com a ideia de que função é uma relação entre conjuntos (não só de números reais) e que transforma x em f(x), não é necessário que os vetores tenham representação geométrica para formar um espaço vetorial, mas sim que satisfaçam os axiomas, assim sendo, polinômios e matrizes, por exemplo, podem formar um espaço vetorial (NOGUEIRA, 2013).
Segundo Nogueira (2013, p.13),
a análise de livros didáticos de Matemática constitui um parâmetro indicador do estado atual em que se encontra o ensino da Álgebra Linear. Especificamente no Ensino Médio, pode-se constatar pela leitura de Morgado et. al. (2001) que o conteúdo de Álgebra linear é apresentado simplesmente para a resolução de sistemas de equações, onde a única aplicação de matrizes se restringe apenas na resolução de sistemas (NOGUEIRA, 2013, p. 13).
Tal abordagem dos livros didáticos pode configurar-se como consequência do que sugerem documentos orientadores de currículo. Conforme as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 77), no trabalho com geometria, deve-se abordar “posições relativas de retas e círculos [...] interpretadas sob o ponto de vista da álgebra, o que significa discutir a resolução de sistemas de equações”, além de ser desejável que o professor “aborde com seus alunos o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico [...] quanto algébrico (caracterizado pelas suas coordenadas)” relacionando as operações executadas com as coordenadas com seu significado algébrico, para “corrigir a distorção causada pelo fato de que é um tópico matemático importante, mas que está presente no Ensino Médio somente nas aulas de Física”.
No referido documento, dispensa-se o estudo de determinantes e também, sugere-se “a resolução de sistemas 2 X 3 ou 3 X 3 [...] via operações elementares (o processo de escalonamento), com discussão das diferentes situações (sistemas com uma única solução, com infinitas soluções e sem solução) ” (BRASIL, 2006, p. 78). Já no Referencial Curricular do Rio Grande do Sul (RIO GRANDE DO SUL, 2009) é sugerido que sejam abordadas a resolução de sistemas lineares a partir dos determinantes, bem como os conteúdos de matrizes, no 2º ano do Ensino Médio.
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Referente ao estudo dos números complexos “devem ser apresentados como uma histórica necessidade de ampliação do conjunto de soluções de uma equação” (BRASIL, 2006, p. 71). Dessa maneira, autores de livros didáticos do 3º ano do Ensino Médio, como Dante (2000, 2003), Paiva (2009) e Bianchini; Paccola (2004), indicam trabalhar com os números complexos a partir da resolução de equações cujas raízes são números não reais e após, abordam um parágrafo ou dois contando sobre como historicamente esses números causaram estranhezas e logo define-se o conjunto e apresenta-se como operar com eles.
Nos livros didáticos do 2º ano do Ensino Médio os autores destinam um capítulo todo para matrizes e outro para sistemas lineares, alguns ainda deixam um capítulo todo para determinantes associando-os a resolução de sistemas lineares a partir das matrizes. Dante (2003, 2012) introduz matriz como tabelas com ordenações entre linhas e colunas, e indica que são aplicadas à informática. Já autores como Paiva (2004) e Bianchini; Paccola (2004) introduzem matrizes com um fato histórico: o livro chinês Os nove capítulos da arte Matemática que traz a resolução de sistemas de equações lineares dispondo os coeficientes em linhas e colunas. Logo em seguida, os autores trabalham a representação genérica das matrizes, as classificam e apresentam como operar com elas.
Dante (2003, 2010) e Bianchini; Paccola (2004) abordam o determinante logo em seguida às matrizes como um número associado à matriz quadrada obtido por meio de operações que envolvem todos os elementos das matrizes, e quando abordam a solução de sistemas lineares indicam que pode ser calculado pelo determinante da matriz dos coeficientes do sistema. Já Paiva (2004) aborda primeiro sistemas lineares e a resolução pelo escalonamento, para depois trazer um capítulo sobre o conceito determinante com aplicação na resolução de sistemas lineares.
Referente ao conceito vetor, mesmo sendo sugerido o trabalho com eles, por Brasil (2006), poucos autores o abordam em seus livros didáticos, e quando abordam é como leitura optativa, ou curiosidade. Deste modo, “o estudo da Álgebra Linear do Ensino Médio (Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares), não explora todos os aspectos da disciplina, pois, segundo Chagas (2014), sem o conceito de vetores, o aspecto geométrico é desprezado” (REIS, 2016, p. 5).
Dante (2010) disponibiliza um tópico dentro do capítulo sobre determinantes, para apresentar os vetores como segmentos orientados equipolentes cuja representação geométrica é por coordenadas, num sistema de referência cartesiano do plano ou do espaço. Na sequência, Dante (2010) define o que são combinações lineares e como a partir delas, é possível descobrir
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se os vetores são Linearmente Independentes (LI), ou Linearmente Dependentes (LD). É no momento dessa verificação que se utiliza de uma propriedade que “diz que, se uma matriz tem pelo menos uma fila que é combinação linear das outras filas paralelas a ela, então o determinante é zero” (Ibidem, p. 137), introduzindo assim a ideia de resolução de um sistema linear. Dante (2010, p. 137) cita que
historicamente, os determinantes apareceram como ferramenta de apoio à resolução de sistemas lineares. Dado um sistema linear de n equações lineares em n incógnitas, ele será determinado (ou seja, terá solução única) se as n equações lineares forem linearmente independeste e compatíveis. Assim, o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema não pode ser nulo (DANTE, 2010, p. 137).
Quando o autor aborda a representação geométrica dos vetores, utiliza-se dessa citação e justifica-a pela área do paralelogramo, ou volume do paralelepípedo que surgem com a representação dos vetores no plano, ou no espaço. Do mesmo modo, Paiva (2004) indica meia página de curiosidade, abordando os vetores em seu livro didático para o 2º ano do Ensino Médio e utiliza o determinante com abordagem diferente de Dante (2010), para encontrar um vetor perpendicular, dado dois vetores não colineares em sua representação canônica.
Além de vetores, sistemas de equações lineares e matrizes, outro conceito que estrutura o ramo da Álgebra Linear, como já citado no início deste tópico, é transformação linear, pois Cayley introduz o conceito matriz, por estar interessado nas transformações lineares, tanto é que “a composição das mesmas lhe sugeriu naturalmente a definição de produto de matrizes e, consequentemente, a de inversa de uma matriz” (MILIES, 20--?,p. 41)8.
Transformações geométricas como simetria, por exemplo, já eram estudadas desde os matemáticos egípcios, mas Cayley foi o primeiro estudioso das transformações geométricas a estabelecer e definir operações algébricas entre as matrizes para obter uma transformação matricial para as transformações geométricas, e assim, o estudo das transformações lineares (STORMOWSKI, 2008).
O conceito transformação linear não é abordado no Ensino Médio, no entanto, Stormowski (2008, p. 6-7) já analisa:
num panorama geral os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) sugerem que os conteúdos matemáticos abordados no Ensino Médio serão de ampliação e aprofundamento daqueles estudados no Ensino Fundamental. [...] As atividades que envolvem as transformações de uma figura no plano devem ser privilegiadas (nos terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental), porque permitem o desenvolvimento de conceitos geométricos de uma forma significativa [...] O estudo
8 Considerando a base canônica R², o vetor 𝑥⃗ = (1,1/3) e a matriz A = [0 −1
1 0 ], pode-se calcular A𝑥⃗ = [0 −1
1 0 ] [ 1 1/3] = [
−1/3
1 ] = 𝑦⃗. Ou seja, a multiplicação de A por 𝑥⃗ pode então ser vista como uma ação de transformação do vetor 𝑥⃗ = (1,1/3) no vetor 𝑦⃗ = (−1/3,1) (LUZ, MATOS, NUNES, 2004).
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das transformações isométricas (transformações no plano euclidiano que conservam comprimentos, ângulos e ordem de pontos alinhados) é um excelente ponto de partida para a construção das noções de congruência. [...] O estudo das transformações que envolvem a ampliação e redução de figuras é um bom ponto de apoio à construção do conceito de semelhança. [...] (STORMOWSKI, 2008, p. 6-7).
Nos documentos para o Ensino Médio não há uma referência explícita às transformações geométricas como ocorre com os documentos para o Ensino Fundamental, mas por existir a sugestão de ampliação e aprofundamento dos conceitos estudados no ensino fundamental, e pelas transformações receberem tanto privilégio naquela etapa de escolarização, o Ensino Médio deveria tratar das transformações novamente. E, alguns livros didáticos como Bianchini e Paccola (2004), dentro do capítulo de matrizes, abordam (Figura 1), mas como uma aplicação das matrizes, mesmo que historicamente os eventos tenham acontecido em uma outra ordem de apresentação.
Figura 1 – Transformações lineares como aplicação de matrizes
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Os documentos oficiais e livros didáticos apontam que o ensino dos conceitos que estruturam o ramo Álgebra Linear na Educação Básica tem acontecido da seguinte forma:
[...] apresenta a Teoria das Matrizes de forma estruturada. Começa com a definição de matriz e sua representação, avança rumo às operações com matrizes, associa as matrizes a sistemas lineares e, para a solução destas, apresenta o cálculo de determinantes. [...] Não explora o contexto histórico sob o qual os conceitos matemáticos surgiram. No entanto, pode-se perceber [...] As operações algébricas com matrizes, por exemplo, têm como mote as transformações lineares [...] nossos alunos do Ensino Médio poderiam ser bastante beneficiados com livros-texto que apresentassem os fatos levando-se em consideração o curso histórico dos acontecimentos, descobertas e conceitualizações.
Tome-se como exemplo a sucessão de trabalhos que levou à consolidação do conceito de determinante. Dos problemas práticos que pautavam os matemáticos da Antigüidade, somos conduzidos a técnicas algébricas de resolução de sistemas de equações simultâneas e à Regra de Cramer. A partir de Cramer registramos um interesse crescente por teorias que facilitaram o cálculo de determinantes, e os cálculos envolvendo mudanças de variáveis já permitem vislumbrar a utilidade da notação simplificada de coeficientes em forma de tabela, exatamente como foi apontado por Gauss. Tem-se aí uma proposta de orientação didática que alterna entre atividades práticas e a consolidação de teorias, com a subseqüente validação de sua utilidade por meio de uma nova e mais desafiadora atividade prática – uma simulação do que os fatos históricos mostraram ter ocorrido. (SANTOS, 2007, p. 39-40). Não só como forma de tornar o estudo dos conceitos da Álgebra Linear que compõe o currículo do Ensino Médio mais atrativos, mas abordar matrizes, determinantes, sistemas de equações lineares, números complexos, transformações geométricas (ou lineares) e até mesmo vetores de forma interligada e conexa, é uma forma de possibilitar o desenvolvimento significativo destes conceitos científicos, possibilitando assim, o desenvolvimento das funções psicológicas superior dos estudantes do Ensino Médio via o estabelecimento de relações conceituais.
Segundo Vygotsky, o pensamento conceitual, é uma função psicológica superior e acontece a partir do controle consciente dos sistemas de generalizações dos sentidos e significado das palavras. Para desenvolver esse controle é necessário desenvolvimento dos processos que resultam na formação dos conceitos. Nébias (1999), analisa a pesquisa de Vygotsky e aponta que há três fases básicas na trajetória da formação de conceitos: agregação desorganizada (quando se aplica as palavras corretamente, antes de tomar consciência do conceito real), pensamento por complexos (quando a palavra ainda não é portadora de conceito, mas está associada ao objeto concreto), generalização e diferenciação (quando o grau de abstração possibilita consciência da própria atividade mental) (NÉBIAS, 1999).
Vygotsky chamou de verdadeiro conceito ao conceito o qual o estudante consegue organizar de forma consciente, sistemática e abstrata, ou seja, quando se chega na terceira fase de formação do conceito, não mais associando ao objeto concreto, mas a palavra dentro de uma
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rede de conceitos. Assim “[...] para que um conceito se forme, não como um conhecimento isolado, mas como um elemento estrutural da ciência, é muito importante introduzir os conceitos não sucessivamente, um após o outro, mas como um sistema” (TALÍZINA, 1988
apud NÉBIAS, 1999, p. 139).
Semanticamente, o significado da palavra possibilita alto nível de generalidade, mas se modifica à medida que o estudante utiliza a palavra em novas situações, pois os processos intelectuais de abstração e generalização progridem com os novos sentidos produzidos em relação ao mesmo conceito. Assim, quando se introduz matrizes como um operador para transformar figuras, ou pontos do plano cartesiano, e, posteriormente, como uma forma de resolver sistemas lineares, a significação do conceito matriz será elevada, conduzindo-a ao chamado conceito verdadeiro. Do mesmo modo, determinante, sistemas lineares e até mesmo vetores e transformações lineares.
3.1 Conjunto dos números complexos e espaço vetorial: quais entendimentos foram apresentados pelos licenciandos?
A profissão professor tem grande significado social, uma vez que o “conceito tem uma origem social e sua formação envolve antes a relação com os outros, passando posteriormente a ser de domínio da própria criança” (GÓES; CRUZ, 2006, p. 33). Nesse sentido, é função do professor possibilitar aos seus alunos a aprendizagem dos conceitos científicos, e na perspectiva Vygotskyana, a significação dos conceitos através da produção de sentidos em diferentes contextos.
Os licenciandos que fizeram parte da pesquisa detém de entendimentos sobre os conceitos científicos abordados no decorrer do texto. Neste momento, busca-se, a partir de seus registros como resposta às questões propostas, compreender que sentidos eles atribuem aos conceitos que culminaram no desenvolvimento do ramo da Matemática Álgebra Linear.
Como abordado na metodologia, foram uma série de fatores que desencadearam o estudo de diferentes estruturas algébricas e assim, organizando os diferentes entes matemáticos, no entanto, fica muito marcado o entendimento de números complexos como mote para esses estudos. Por isso a Questão 1, busca explorar os entendimentos que os licenciandos possuem em relação à necessidade da criação do conjunto dos números complexos. E, é evidente que E1, E2 e E3 (Figura 2), construíram o entendimento de que a criação desse conjunto numérico surge da necessidade de explicar um fato matemático, no entanto, apenas E2 explicou que fato foi
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esse9, capaz de desencadear um estudo de propriedades e operações para a criação de um conjunto específico.
Figura 2 – Registro das respostas referente à Questão 1 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E1, E2 e E3.
9 Como uma equação era vista como a formulação Matemática de um problema concreto, se no processo de
resolução aparecia uma raiz quadrada de um número negativo, isto era interpretado apenas como uma indicação de que o problema originalmente proposto não tinha solução. Mas, com o conceito grupos de permutações desenvolvidos por Galois, as soluções das equações se tornaram abstratas e o que impulsionou a necessidade foi o desenvolvimento de entendimentos de que deveriam existir soluções.
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E1 e E3 justificaram essa necessidade voltadas para a representação, mas, fica evidente que não se apropriaram da representação geométrica dos números do conjunto. É possível conjecturar que, pelo registro de E3, os números complexos são confundidos com os números irracionais, ao mencionar as lacunas existentes na reta numérica e logo em seguida, seguir com o exemplo das diagonais do polígono que não podem ser representadas por números inteiros se tomadas como medida o lado. Na Questão 2 (Figura 3) essa evidência é confirmada, uma vez que a questão pede que os licenciandos representem geometricamente um número complexo, e E3 escreve não saber representar e E1 não representa certo.
Figura 3 – Registro das respostas referente à Questão 2 do Instrumento de Coleta de Dados
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Referente aos vetores, a Questão 3 pede a representação geométrica de dois vetores as quais E1 e E3 representaram adequadamente (Figura 4)10.
Figura 4 – Registro das respostas referente à Questão 3 do Instrumento de Coleta de Dados
Fonte: registro de E1 e E3.
Mas, em função do nível de apropriação da representação geométrica dos números complexos, não souberam responder a Questão 4, que perguntava, com justificativa, se existe relação da representação geométrica dos números complexos e dos vetores11 (Figura 5).
Figura 5 – Registro das respostas referente à Questão 4 do Instrumento de Coleta de Dados
10 E2 esqueceu de responder esta questão no dia em que foi aplicada a Prova.
11 Como a questão 4 depende da representação obtida na questão 3, foi desconsiderada a resposta de E2, uma vez
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Fonte: registro de E1, E2 e E3.
A análise das respostas à estas questões, evidencia que os licenciandos apresentam o entendimento da necessidade da criação do conjunto dos números complexos para solucionar equações, mesmo que não esteja tão claro em suas escritas. A representação geométrica apresentada pelos licenciandos possibilita a análise, embasada em Vygotsky, de que, o conceito não alcançou o nível de abstração que pode ser chamado de conceito verdadeiro, pois os sentidos atribuídos pelos licenciandos distanciam-se do significado conceitual. E, sendo assim, não elaboraram o entendimento da origem Matemática dos vetores, uma vez que está relacionada a representação geométrica dos números complexos (REIS, 2016).
É importante retomar que no início do século XIX, “era inconcebível que pudesse existir uma álgebra comum da aritmética onde, por exemplo, a lei comutativa da multiplicação pudesse ser violada” (SILVA, 1997, p. 39), no entanto, quando Hamilton estuda a álgebra formal de pares de números complexos e percebe que podem ser pensados entidades orientadas no plano, naturalmente, começa a buscar entender a ideia a três dimensões passando do número complexo binário à triplas ordenadas, mas isso causa grande dificuldade de compreender a multiplicação. Hamilton observou que a “dificuldade desaparecia se usasse quádruplas em vez de triplas e se abandonasse a lei comutativa para a multiplicação” (SILVA, 1997, p. 40), chegando a descoberta dos quatérnios. Assim, a parte mais conhecida dos cálculos dos quatérnios realizados por Hamilton, foi a teoria dos vetores, onde Silva (1997, 42-43) explica que
[...] em seu Elements of Quarternions, o vetor é intuitivamente definido como uma reta tendo não somente um comprimento mas também uma direção. Ele considera, ainda, as propriedades estruturais de um conjunto de vetores sobre os quais uma adição e uma multiplicação por escalares são autorizadas. O quatérnio é concebido, por ele, como um operador que se constitui em um elemento de um espaço vetorial, ou de uma álgebra a quatro dimensões, munido de uma estrutura (SILVA, 1997, 42-43).
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Tão logo, os vetores foram criados, necessitaram de uma estrutura Matemática própria, em função da peculiaridade da multiplicação não-comutativa. Essa estrutura começou a ser forjada por Hamilton, mas, como Silva (1997) aborda em sua dissertação, foi Grassmann que desenvolveu classes de álgebra de maior generalidade, quando
em vez de considerar apenas quádruplas ordenadas de números reais, ele considerou n-uplas ordenadas de números reais [...] construiu assim um vasto edifício algébrico-geométrico do espaço vetorial de n dimensões [...] não somente antecipou todos os grandes conceitos do cálculo vetorial, mas seus trabalhos são também muito profundos numa teoria de espaços vetoriais tais como se tem hoje [...] ele constituiu objetos [...] e a partir desses objetos, chegou as noções de dependência e independência linear (entendida como mudanças), combinações lineares, dimensão, espaço vetorial sobre os reais e base (SILVA, 1997, p. 44-52).
As ideias lançadas por Grassmann estavam além de seu tempo, por isso, foi preciso os trabalhos de outros algebristas tais como Cayley e geômetras como Peano, para retirar a teoria de Grassmann do estado de incompreensão em que se situava e traduzi-la em uma linguagem mais clara para os matemáticos (SILVA, 1997). Peano, foi um dos matemáticos responsáveis pela axiomatização de muitos conceitos matemáticos.
A Questão 5 aborda essas estruturas algébricas e questiona se os licenciandos recordam à qual estrutura os vetores fazem parte (Figura 6). E3 escreve não saber; E1 responde, mas de forma equivocada, pois se refere ao conjunto dos números reais, o que não está fora de questão se consideramos que um vetor é constituído de n-uplas ordenadas de números reais, mas a forma de operar com a adição e multiplicação de vetores é diferente de quando trabalhadas com adição e multiplicação de números reais, por isso, os vetores não se encaixam no conjunto dos números reais. E2 mostra maior elaboração conceitual referente a vetor ao representá-lo por pares ordenados e ao escrever sobre a comutatividade da adição de vetores, mas deixa de citar espaço vetorial e a operação de multiplicação do vetor por escalar.
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Fonte: registro de E1, E2 e E3.
Os licenciandos produziram entendimentos sobre necessidade para criação dos conceitos matemáticos, mas não elaboraram compreensão em relação à origem do conjunto dos números complexos e dos vetores. Do mesmo modo, sabem representar geometricamente um vetor, mas não um número complexo, ou, mesmo sabendo representar geometricamente o vetor, tem dificuldade com a representação algébrica dele. Isso indica que os conceitos números complexos e vetores, podem ser elevados a um nível de significação maior a partir da ideia de sistema conceitual, pois como estudou Vygotsky (1996 apud DAMAZIO, 2011, p. 224)
[...] é muito estreito e interessante o vínculo entre os diversos conceitos. A recíproca inter-relação e transferência dos conceitos, que é um reflexo da recíproca transferência e vinculação dos fenômenos da realidade, traz por consequência que cada conceito surge relacionado com todos os restantes e uma vez formado vem a determinar, por assim dizer, seu lugar no sistema de conceitos anteriormente conhecido (VYGOTSKY, 1996 apud DAMAZIO, 2011, p. 224).
Algumas relações ainda podem ser estabelecidas, como por exemplo, se o vetor é representado por um par ordenado no plano, algebricamente não pode ser representado por um número real e sim por n-uplas ordenadas de números reais, logo, o modo de operar com eles difere dos números reais, ou também, os números complexos são representados por pares ordenados de números, uma vez que historicamente a representação geométrica dos vetores tem origem na representação dos números complexos.
Quanto maior o número de relações de qualidade estabelecidas formando um sistema conceitual, é possível converter o conceito em um meio fundamental para “compreender como se assimila adequadamente a experiência social da humanidade historicamente formada” (VYGOSTKY, 1996 apud DAMAZIO, 2011, p. 229). Assim, ter consciência das relações e das implicações delas na experiência social da humanidade, é se apropriar desta função social da
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profissão professor e saber gestar a aprendizagem buscando possibilitar aos alunos a ressignificação e a recriação da cultura Matemática herdada.
3.2 A relação entre matrizes, sistemas de equações lineares e determinante: quais entendimentos foram apresentados pelos licenciandos?
Álgebra linear é um ramo da Matemática recente, mas os conceitos que influenciaram o seu desenvolvimento, como por exemplo, equações, matrizes e determinante, se fazem presente, como já abordado, desde o princípio da álgebra babilônica e egípcia. A curiosidade que desencadeou os estudos antigos, posteriormente constituindo o campo da Matemática chamado álgebra, foi em relação à resolução de equações. Vários povos, por anos, estudaram métodos de como resolver, não somente uma, mas várias equações interligadas de maneira que as incógnitas eram as mesmas12. No livro K’ui-ch’ang Suan-Shu (Os Nove Capítulos sobre a
Arte Matemática), publicado na China durante o século I da era cristã, há uma sistematização de métodos que eram usados por este povo para resolver problemas. Eles eram modelados como sistemas de equações lineares e expressos em uma estrutura de números organizados em linhas e colunas (matrizes), a partir destas, eram manipuladas algumas expressões padronizadas conduzindo para a resolução dos sistemas de equações lineares (TAVARES; PEREIRA, 2013). Os povos que resolviam sistemas de equações, buscavam encontrar um conjunto de valores para as incógnitas que satisfizessem simultaneamente todas as equações. Em geral usavam processos simples para conseguir eliminar uma incógnita que hoje chamamos de
método da adição. No entanto, o povo chinês desenvolveu um método mais elaborado de
organizar os coeficientes das equações em uma estrutura para operar com esses, a fim de eliminar as incógnitas, que é essencialmente, o método desenvolvido por Gauss, 17 séculos depois da publicação do livro chinês. Ou seja, esse povo desenvolveu um método de organização dos números, que posteriormente seria chamado de matrizes, e que despertou a curiosidade de muitos matemáticos futuros que ao estudarem as matrizes descobriram e construíram regras chegando ao conhecido hoje como teoria dos determinantes.
Leibniz, por exemplo, contribuiu com a notação. Ele criou uma maneira de representar cada elemento da matriz a partir de uma combinação de “dois números, tal como no sistema
12 Veja a seguir um exemplo e problema chinês, com linguagem adaptada, que faz parte do livro K’ui-ch’ang
Suan-Shu (Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática), publicado na China durante o século I da era cristã:
Três feixes de uma colheita de boa qualidade, dois feixes de uma de qualidade regular são vendidos por 39 dou. Dois feixes de boa, três de regular são vendidos por 34 dou. Qual o preço do feixe para cada uma das qualidades? (TAVARES; PEREIRA, 2013).
