A Variedade Dócil

o que é absurdo. Assim, para os valores próprios da matriz P , escritos com as pos-

síveis repetições por λ´1, . . . , λ´j, λ`j`1, . . . , λn`, com λ´i ă 0 e λ`i ą 0, temos os res- pectivos vectores própriosv₁´, . . . , v_j´, v<sub>j`1</sub>` , . . . , vn`. Define-se entãoV_´, o subespaço gerado por todos os vectores próprios associados aos valores próprios negativos

V_´“span!v₁´, . . . , v_j´).

Para cadat0PRdefinimos o conjunto

At0“ tx0PR

n_:

px0, t0qé um ponto dócilu. Podemos agora apresentar o teorema fundamental deste capítulo.

Teorema 3.1 (Teorema da Sincronização Generalizada). Nas condições (H1)–(H3), se

existir pelo menos um ponto dócil para (3.1) então, para todo o t _P R, At é uma variedade de dimensãoj e é o gráfico de uma função definida em V_´. Além disso, se x_pt_qé uma solução de (3.1) limitada em R` entãodpx<sub>p</sub>t<sub>q</sub>, Atq Ñ0 quandotÑ `8.

A demonstração do Teorema 3.1 será feita ao longo da secção 3.2. Por forma a percebermos todos os detalhes e ganharmos mais intuição sobre o mesmo, vamos dividir esta demonstração em vários lemas. A demonstração deste resultado tem como base a demonstração feita por Margheri e Martins em [MM10]. A diferença significativa prende-se com a mudança de variável operada inicialmente que de algum modo a simplifica.

3.2

A Variedade Dócil.

Começamos por notar que, sem perda de generalidade, podemos considerar a origem um ponto dócil. De facto, se `x0, t0

˘

é um ponto dócil, considere-se a mudança de variáveis ˜x_pt_{q “} x_pt_{q ´}x_pt_q, com x_pt_{q “} x`t; x0, t0

˘

. Temos que x_pt; t0, x0q é uma solução da equação (3.1) se e só se ˜x_pt; t0, x0q, com ˜x0 “x0´x0, é uma solução da equação

9 ˜

x_pt_{q “}f_px˜_pt_{q `}x_pt_q, t_{q ´ 9}x_pt_{q –}f˜px˜_pt_q, tq (3.3) É imediato observar que a equação (3.3) verifica a condição de Russel Smith (H3), exactamente para a mesma matrizP e para os mesmos parâmetros ε e λ utilizados

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.2. A Variedade Dócil.

Lema 3.1. O ponto_px˜0, t0qé um ponto dócil para a equação (3.3) se e só sepx0, t0q “ px˜0`xpt0q, t0qé um ponto dócil para a equação (3.1). Em particular, temos que

˜

At0“At0´xpt0q.

Demonstração. Usando a desigualdade _}A_˘B_}2 _ď 2_}A_}2 <sub>`</sub>2<sub>}</sub>B<sub>}</sub>2 e referindo nova- mente a mudança de variáveis ˜x<sub>p</sub>t<sub>q “</sub> x<sub>p</sub>t<sub>q ´</sub>x<sub>p</sub>t<sub>q</sub> podemos de imediato escrever a desigualdade żt0 ´8 e2λt<sub>}</sub>x<sub>p</sub>t; x0, t0q}2dtď2 żt0 ´8 e2λt<sub>}</sub>x˜<sub>p</sub>t; ˜x0, t0q}2dt`2 żt0 ´8 e2λt_}x_pt_q}2dt,

o que nos permite garantir de imediato que se_px˜0, t0qé um ponto dócil para a equa- ção (3.3) então _px0, t0q “ px˜0`x0, t0q é um ponto dócil para a equação (3.1). No sentido contrário, podemos escrever ao invés

żt0 ´8 e2λt_}x˜_pt; ˜x0, t0q}2dtď2 żt0 ´8 e2λt_}x_pt; x0, t0q}2dt`2 żt0 ´8 e2λt_}x_pt_q}2dt,

o que permite mostrar a implicação recíproca.

A primeira observação que fazemos, e tendo em atenção as conclusões do lema anterior, é queAt0 é o gráfico de uma função sobreV´se e só se ˜At0 também o for. Em segundo lugar, note-se que se a origem for um ponto de equilíbrio, i.e. f_p0, t_{q “}0 para todo o t _P R, então necessariamente qualquer _p0, t_q com t _P R será um ponto dócil. Podemos assim, e sem perda de generalidade, assumir que a origem é um ponto dócil para a equação (3.1). Isto irá acima de tudo simplificar imenso a notação usada. Neste caso, a desigualdade (3.2) mostra que

d dt e

2λt_{Vpxq( ď ´e}2λt_ε}x}2_{, (3.4)}

para qualquer soluçãox_pt_qde (3.1). Note-se igualmente que no caso de a matrizP ser

definida positiva, entãoV é uma função de Lyapunov para a equação (3.1) visto que

d

dttVpxqu ď ´2ε}x}

2

´2λV_px_{q ă}0.

Lema 3.2. Supondo que (H3) é válida, então dado um ponto dócil_pα0, t0q, outro qual-

quer ponto _pα1, t0q é dócil se e só se Vpx1pt; α1, t0q ´x0pt; α0, t0qq ă 0 para todo o

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.2. A Variedade Dócil.

Demonstração. Integrando (3.2) no intervalo_pα, τ_qobtemos

e2λτV_px1pτq ´x0pτqq ďe2λαVpx1pαq ´x0pαqq´ ´2ε żτ α e2λt_}x1ptq ´x0ptq}2dt, (3.5)

com x1ptq “ x1pt; α1, t0q e x0ptq “ x0pt; α0, t0q. Vamos então supor que o ponto pα1, t0qé um ponto dócil. Note-se que

żt0 ´8 e2λt}x1ptq ´x0ptq}2dtď2 żt0 ´8 e2λt}x1ptq}2dt` `2 żt0 ´8 e2λt_}x0ptq}2dtă 8, pelo que existe necessariamente uma sucessãotnÑ ´8tal que

e2λt_}x1ptnq ´x0ptnq}2Ñ0. Fazendoα_“tn em (3.5) e fazendonÑ 8vamos obter

e2λτV_px1pτq ´x0pτqq ď ´2ε żτ

´8

e2λt_}x1ptq ´x0ptq}2dt pelo queV_px1ptq ´x0ptqq ă0 para todo otPR.

Reciprocamente, novamente por (3.5) podemos concluir que

0_ď2ε

żt0 ´8

e2λt_}x1ptq ´x0ptq}2dtď ´e2λt0Vpx1pt0q ´x0pt0qq.

Deste modo vamos ter necessariamenteşt_´80 e2λt_}x

1ptq ´x0ptq}2dtă 8, pelo que żt0 ´8 e2λt_}x1ptq}2dtď2 żt0 ´8 e2λt_}x1ptq ´x0ptq}2dt` `2 żt0 ´8 e2λt_}x0ptq}2dtď 8, de onde se pode concluir que_pα1, t0qé um ponto dócil.

Como é habitual em Matemática, procura-se a forma mais simples para represen- tar um determinado objecto. Seguindo este princípio geral, vamos procurar a forma mais simples de representar a forma quadráticaV . Como P é uma matriz simétrica,

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.2. A Variedade Dócil.

podemos assumir que a base de vectores próprios

v1´, . . . , vj´, vj`1` , . . . , vn` é uma base ortonormada. Assim M <sub>“</sub>”v<sub>1</sub>´. . . v<sub>j</sub>´v<sub>j`1</sub>` . . . vn`

ı

é uma matriz ortogonal,

i.e.,MT “M´1. Deste modo

Q_“MTP M _“diag!λ´₁, . . . , λ´_j, λ`<sub>j`1</sub>, . . . , λ`_n).

De maneira a que possamos escrever a forma quadrática V usando a matriz Q, tere-

mos de proceder à mudança de coordenadas

MTX_“Ξ“ ¨ ˚ ˚ ˚ ˝ ξ1 .. . ξn ˛ ‹ ‹ ‹ ‚ .

De notar que as coordenadas de V_´ associadas à basev₁´, . . . , v_j´ são precisamente pξ1. . . ξjqT. Podemos então, sem mais delongas, definir a projecção de Rnm sobre V_´por

π_´: Rnm_ÑV_´

π_´pX_{q “}`ξ1. . . ξj0. . . 0 ˘T

.

Nestas novas variáveis Ξ, a forma quadrática V tem uma representação muito simples. De facto

V_pX_{q “}XTP X_“XTMMTP MMTX_“

“pMTX_qTMTP M_pMTX_{q “}λ´₁ξ₁2_{` ¨ ¨ ¨ `}λ`_nξ_n2.

Lema 3.3. Para a mudança de coordenadas definida anteriormente, existemδ_ą0 eλ tais que, para todo oX_PRn

λ“δV_pX_{q ` }}π_´pX_q}2‰ ą }Ξ}2_{ě }}π_´pX_q}2.

Demonstração. Tomando um número real δ suficientemente pequeno de tal forma

que se verifique

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.2. A Variedade Dócil.

e um outro número realλ verificando as desigualdades

λ_ą 1

1_`δλ´_i e λą

1

δλ`_k

parai_“1, . . . , j e k_“j_`1, . . . , n, iremos obter sucessivamente λ“

δV_pX_{q ` }}π_´pX_q}2_{‰ “}

“λ”_p1_{`</sub>δλ´<sub>1q</sub>ξ<sub>1</sub>2<sub>` ¨ ¨ ¨ ` p</sub>1<sub>`}δλ´_jqξ_j2<sub>`</sub>δλ`_{j`1</sub>ξ<sub>j`1}2 _{` ¨ ¨ ¨ `}δλ`_nξ2_nı_ą

ąξ2_{1` ¨ ¨ ¨ `}ξ_j2_{`</sub>ξ<sub>j`1}2 _{` ¨ ¨ ¨ `}ξ_n2 _{“ }Ξ}}2_ě

ěξ2_{1` ¨ ¨ ¨ `}ξ_j2_{“ }}π_´pX_q}2,

que era precisamente o que se pretendia demonstrar.

A desigualdade demonstrada no lema anterior é fundamental para estabelecer o lema seguinte.

Lema 3.4. Dado t0 P R e o correspondente At0, a funçãoπ´, definida esquematica-

mente por

π_´:At0 Ñπ´pAt0q ĂV´,

é injectiva, contínua e globalmente Lipchitz.

Demonstração. Sabemos à partida que uma projecção num espaço vectorial, usando

a topologia usual, é uma aplicação contínua. Dados dois pontos x1 ‰ x2 em At0, i.e., dados dois pontos dóceis_px1, t0q epx2, t0q, pelo lema 3.2podemos concluir que

V_px1´x2q ă0. Pelo lema 3.3e estabelecendo a correspondênciaMTxi “Ξi, iremos obter as desigualdades

λ_}π_´px1´x2q}2ą }Ξ1´Ξ2}2ě }π_´px1´x2q}2,

mostrando-se assim de imediato queπ_´px1q ‰π_´px2q, pois de outro modo teríamos de ter Ξ1 “ Ξ2 e x1 “ x2. Por outro lado, pela mesma desigualdade podemos ainda escrever

}π_´px1´x2q} ď }Ξ1´Ξ2} ď }M}}X1´X2}, pelo que se conclui queπ_´:A_t0ÑV_´é uma função_}M_}-Lipchitz.

Por forma a podermos prosseguir no caminho que estamos a trilhar para conse- guirmos demonstrar o teorema 3.1, precisamos de introduzir o chamado Princípio

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.2. A Variedade Dócil.

Topológico de Wazewski. Porém, antes de introduzirmos o resultado propriamente

dito, precisamos de estabelecer alguns conceitos.

Definição 3.2. Considere-se um espaço topológico X e um conjunto A _Ă X. A uma aplicação contínua r : X _Ñ A tal que r_pa_{q “} a para todo o a _P A dá-se o nome de

retracção. O conjuntoA diz-se um retracto de X se existir uma retracção r : X _ÑA.

Um resultado clássico de Topologia Algébrica mostra que em Rna fronteira_BDn_“

tx _PRn_{:|x| “ 1u não é uma retracção da bola D}n _{“ tx P}Rn_{: |x| ď1u (ver [Hat02],} pag. 114 para todos os detalhes). Considere-se um campo vectorial contínuo v de-

finido como habitualmente num conjunto aberto A _Ă Rn e um problema de Cauchy $ ’ & ’ % 9 x_“f_px, t_q x_pt0q “x0, (3.6)

para o qual assumimos, como habitualmente, a existência e a unicidade de soluções. Vamos designar o fluxo def por x_pt; t0, x0qe seja Ω um conjunto aberto em RnˆR. Definição 3.3. Um ponto _pt0, x0q P BΩ diz-se um ponto de ingresso para a equação

(3.6) se existirε_ą0 tal que_px_pt, t0, x0q, tq PΩ para todo o tP pt0, t0`εs. Se para além

disso, _px_pt; t0, x0q, tq RΩ para qualquer t P pt0´ε, t0qentão pt0, x0qdiz-se um ponto de ingresso estrito.

Vamos representar por Ωi e Ωsi, respectivamente, o conjunto dos pontos de in- gresso e o conjunto de todos os pontos de ingresso estrito. É imediato comprovar as inclusões

ΩsiĂΩiĂ BΩ.

Estamos agora em condições de apresentar o chamado Princípio Topológico de Wa-

zewski, introduzido por este em [Waz47].

Teorema 3.2 (Princípio Topológico de Wazewski). Assumindo que Ωi “Ωsi, sejaS Ă ΩYΩital queSXΩié um retracto de ΩieSXΩinão é um retracto deS. Então existe necessariamente um ponto_pt0, x0q PSXΩ tal que a respectiva solução de (3.6) verifica pt, x_pt; t0, x0qq PΩ para todo o t P pαpt0, x0q, t0s, onde αpt0, x0q é o limite inferior do

intervalo máximo de existência da soluçãox_pt; t0, x0q.

Este resultado topológico pode de facto ser aplicado ao estudo qualitativo de equa- ções diferenciais. Considere-se uma sobre-solução x_`pt_q e uma sub-solução x_´pt_q,

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.2. A Variedade Dócil.

y(t)

x

1

(t)

_x

1

(t)

x

3

(t)

x

4

(t)

x

+

(t)

x

₋

(t)

Figura 3.1: Comportamento das soluções numa vizinhança das sobre e sub-soluções.

comx_`ptq ąx_´ptqpara todo otPR_{, do problema de Cauchy (3.6), i.e.}

x_{`p</sub>t<sub>q ą</sub>f<sub>p</sub>x<sub>`p}t_q, t_qex_´pt_{q ă}f_px_´pt_q, t_q,

para todo ot_PR_{. Considere-se igualmemte}

Ω“ tpt, x_{q P}R_ˆRn:x_´pt_{q ă}x_ăx_`pt_qu.

Pela definição de sobre-solução e de sub-solução podemos garantir que Ωsi “ Ωi. Dadot0PR, definimos

S _{“ tp}t, x_{q P}ΩYΩi: t“t0u

Pela figura 3.1 é imediato perceber que S _XΩi não é uma retracção de S, sendo no entanto uma retracção de Ωi. Nestas condições pelo Princípio Topológico de Wa- zewski, podemos garantir a existência de uma soluçãoy_pt_qde (3.6) tal que, para todo ot_{P p´8}, t0s, verificar-se-ão as desigualdades

x_´pt_{q ă}y_pt_{q ă}x_`pt_q.

Na verdade Ω é positivamente invariante pelo que as desigualdades também são váli- das em _rt0,`8q. Estamos agora em condições para mostrar que os conjuntosAt0 e V_´são de facto homeomorfos.

Lema 3.5. Dados os conjuntosAt0eV´conforme definidos anteriormente, a aplicação

π_´:At0ÑV´é sobrejectiva.

Demonstração. Começamos por definir o coneC associado à forma quadrática V

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.2. A Variedade Dócil.

o conjunto Ω definido em Rn_ˆRpor

Ω“ tpx, t_{q P}Rn_ˆR: V_px_{q ă}0_u

e Ωt0 “ tpx, tq PΩ : t“t0u. Sepx0, t0q P BΩ e x0 “0 entãopx0, t0q RΩi. Alternativa- mente, se_px0, t0q P BΩ e x0­“0, por (3.4) vamos obter

d dt e 2λt_V px_pt; x0, t0qq ( ˇ ˇ ˇ ˇ t“t0 ď ´2e2λt0_ε}x 0}2ă0.

Assim, numa vizinhança de t0, comtăt0 temosVpxptqq ą0 exptq RΩ e numa vizi- nhança det0, comtąt0 temosVpxptqq ă0 exptq PΩ. Podemos então concluir que

Ωi“Ωsi“ BΩztp0, tq:tPRu. (3.7) Dadoξ_PV_´, a nossa tarefa consiste em encontrarx0PAt0tal que

π_´px0q “ξ“ `

ξ1, . . . , ξj, 0, . . . , 0 ˘

.

Para criarmos a estrutura necessária para aplicarmos o Princípio Topológico de Wa- zewski, vamos definir o conjuntoS por

S _{“ p}x, t0q PRnˆR:π_´pxq “ξ e Vpxq ď0( “ “!px, t0q PRnˆR:λ`<sub>j`1</sub>ξ2<sub>j`1</sub>` ¨ ¨ ¨ `λ`nξn2 ď ´λ´1ξ 2 1´ ¨ ¨ ¨ ´λ´jξ 2 j^π´pxq “ξ )

É fácil comprovar queS é homeomorfo a Dn´j_{. Por outro lado temos que}

S_{X BΩ“} ! px, t0q PRnˆR:λ`<sub>j`1</sub>ξ<sub>j`1</sub>2 ` ¨ ¨ ¨ `λ`_nξ_n2 “ ´λ´1ξ 2 1´ ¨ ¨ ¨ ´λ´jξ 2 j^π´pxq “ξ )

é homeomorfo aSn´j´1_{“ BD}n´j_{. Assim,SX BΩ não é uma retracção de S.} Por outro lado, o conjunto dos pontos de ingresso pode-se escrever na forma

Ωi“ # px, t0q PRnˆR:λ´₁ξ₁2` ¨ ¨ ¨ `λ`_nξ_n2 “0^ n ÿ k“1 ξ_k2_ą0 +

Já foi demonstrado anteriormente que SXΩi “ S X BΩ. Vamos agora mostrar que S_XΩié um retracto de Ωi.

Resumimos os argumentos apresentados em [MM10], adaptados devidamente às nossas condições. É fácil encontrar uma retracçãor1: ΩiÑ BpΩt0ztp0, t0quq. Considere- se de seguida o conjuntoT _{“ t}x _{P BΩ}t0: Vpπ´pxqq “Vpξqu. É imediato mostrar que

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.2. A Variedade Dócil.

r2: BpΩt0ztp0, t0quq ÑT definida por

r2pxq “ Vpξq

V_pπ_´px_qqx

é uma retracção. Definindoπ_`–I_´π_´, o conjuntoT pode ser igualmente definido

pelas igualdades

V_pπ_´px_{qq “}V_pξ_qeV_pπ_`px_{qq “ ´}V_pξ_q.

A primeira igualdade define um conjunto que é difeomorfo a Sj´1 _ĂV_´e o segundo um conjunto difeomorfo a Sn´j´1_ĂV_`, pelo queT pode ser definido como o produto

cartesiano T1 ˆT2 difeormorfo a Sj´1 ˆSn´j´1. Podemos finalmente definir uma retracçãor3:T ÑSX BΩiporr3pxq –ξ`π<sub>`</sub>pxq. Segue de imediato quer3˝r2˝r1é uma retracção de ΩiemSXΩi.

Pelo Princípio topológico de Wazewski existirá um ponto_px0, t0q PSXΩ tal que a soluçãox_pt; x0, t0qverifica necessariamentexpt; x0, t0q PΩ para todo o tPR, ou dito por outras palavras,V_px_pt; x0, t0qq ă0 para todo otPR. Pelo lemma3.2concluímos que o ponto_px0, t0qé dócil e por definição temosπ_´px0q “ξ.

Para concluirmos a demonstração do teorema3.1, precisamos apenas de mostrar que a variedade dócilAt é o limite assimptótico para todas as órbitas limitadas. Lema 3.6. Sex_pt_qé uma solução de (3.1) limitada para todo ot positivo então

d_px_pt_q, Atq ÝÝÝÝÑ tÑ`8 0.

Demonstração. Assumindo nós desde o início que o sistem3.1éT -periódico, a apli-

cação estroboscópica de PoincaréP : Rn_ÑRn

P_px0q “xpT ; x0, 0q

está bem definida. Dado que a sucessão _tx_pkT ; 0, x0qu_kPN é limitada, o respectivo

ω-limite, que representamos pelo conjunto A, será não vazio, compacto e invariante

para a aplicação de Poincaré. Considere-se uma solução y_pt_{q “} y_pt; y0, 0q tal que

y0PA. Como yptqestá contida no conjunto compacto tx_pt; A, 0_q:t_{P r}0, T_su,

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.2. A Variedade Dócil.

verdade, por um argumento perfeitamente análogo poderíamos concluir que o ω-

limite da sucessão_tx_pkT _`t_qukPNé um subconjunto deAt para todo otPR.

De modo a obtermos um contradição, vamos supor que existe uma sucessãotk Ñ `8tal que

dpx_ptkq, Atq ąεą0.

Fazendo tk “lk`hkT , com lk P r0, Ts e hk P Z, visto que tlku e txptkqu são ambas limitadas, podemos assumir que existirãol_{P r}0, T_seP _PRntais quelkÑl e xptkq Ñ P . Deste modo iremos obter

}x_phkT`lq ´P} ď }xptk´lk`lq ´xptkq} ` }xptkq ´P} ďmax tą0 }x 1<sub>ptq}}l</sub> k´l} ` }xptkq ´P} ÝÝÝÝÑ kÑ`8 0.

Concluímos então que x_phkT `lq Ñ P e necessariamente P P Al. Por outro lado, como o sistema (3.1) éT -periódico, verifica-se a igualdade At0`T “At0 pelo que

0_ăε_ăd` x<sub>p</sub>tkq, Atk˘ “d ` x_ptkq, Alk ˘ .

No entanto, temos também que

d`

x_ptkq, Alk˘ ă }xplk;P , lq ´xptkq} ď }xplk;P , lq ´P} ` }P ´xptkq} ÝÝÝÝÑ

kÑ`8 0 o que é uma contradição. Concluímos finalmente qued_px_pt_q, Atq ÝÝÝÝÑ

tÑ`8 0.

Com a demonstração do lema3.6 concluímos a demonstração do teorema 3.1, o resultado central deste capítulo. Podemos agora formalizar de forma conveniente o conceito de Sincronização Generalizada.

Definição 3.4. Dado um conjunto de n osciladores acoplados de dimensão k, regidos por um sistema de equações diferenciais como em (3.1), dizemos que ocorre sincroni-

zação generalizada entre os osciladores quando as órbitas do sistema convergem para

uma variedadeA_t, comt_PR_{, de dimensão estritamente menor do quenk.}

Podemos colocar em perspectiva o conceito de sincronização generalizada perante aquilo que habitualmente aparece na literatura como sincronização. Nesta, para o caso de um sistema como o que estamos a considerar, existe sincronização quando existe uma variedade atractiva do tipo

No documento Gonçalo Nuno Rosado Morais (páginas 45-55)