Topologia e Convexidade

5.4

Topologia e Convexidade

No resto deste capítulo iremos considerar um conjunto hiper-regular estritamente convexo abstractoD de classe C8, coincidindo com a caracterização geométrica dos conjuntosDk,λ, paraλP p0, 3kqztk,p4˘

?

7_qk_{3,_p7_˘2?11_qk_{5_u.

Considere-se o conjunto H formado por todos os rectângulos isotéticos con- tidos no conjunto D. Os elementos de H podem ser definidos pelo triplo orde-

nado _px, h, v_{q P} D _ˆR`<sub>o ˆ</sub>R`_{o, com centro em x, cujo comprimento horizontal é} dado porh, sendo v naturalmente o comprimento vertical. Quando h_“0 ouv_“0, temos rectângulos degenerados com área nula. O próximo resultado estabelece o elo essencial entre a topologia e a geometria dos conjuntosD e H . Apresentamo-lo em

termos mais gerais do que a discussão particular em que estamos interessados.

Teorema 5.3. Considere-se um conjuntoD_ĂR2 e o conjunto de todos os rectângulos isotéticosH nele contidos. O conjunto D é convexo e compacto se e apenas se H fôr

também compacto e convexo.

Demonstração. Vamos supôr queD é convexo e compacto. Considere-se uma sequên-

cia_pxn, hn, vnqnPN ĂH . Pela compacidade de D podemos encontrar uma subsuces- são convergente_px1

nqnPN Ă pxnqnPN. Pela mesma propriedade, existe uma constante L_ą0 tal que, para todo o_px, h, v_{q P}H , temos h_ďL e v_ďL. Desta observação é pos-

sível encontrar uma subsucessão_px˚

n, h˚n, vn˚qnPN Ă pxn, hn, vnqnPN e um rectângulo px, h, v_qtais que

px˚_n, h˚_n, v_n˚_{q ÝÝÝÑ}

nÑ8 px, h, vq.

Precisamos de mostrar que_px, h, v_{q P}H . Essencialmente isto é equivalente a mostrar que H é um conjunto fechado. Vamos fazê-lo demonstrando que o complementar deH , representado por HC_{, é um conjunto aberto. Considere-sepχ, θ, νq PH}C_{. Exis-} tirá pelo menos um dos vértices de_pχ, θ, ν_qque não está contido no emD. Devido a D

ser um conjunto fechado, com uma escolha apropriada deε, podemos encontrar uma

bola de raioε centrada centrada neste vértice contida em DC_{. Assim toda a vizinhança} de_pχ, θ, ν_q dos rectângulos com vértice nessa bola está contida emHC_{. Isto mostra} que HC _{é um conjunto aberto, o que implica necessariamente que px, h, vq P H .} Deste modo mostra-se queH é um conjunto compacto. A convexidade de H segue directamente da convexidade de D. De facto, dados dois rectângulos R0, R1 P H , centrados emC0 eC1, com alturas v0 e v1 e com larguras h0 eh1 respectivamente,

5. RECTÂNGULOSISOTÉTICOS 5.4. Topologia e Convexidade

qualquer dos seus vértices será dado por

v_ik_“Ci`γk ˆ hi 2 , 0 ˙ `δk ´ 0,vi 2 ¯ ,

para k_PI4 “ t1, . . . , 4u, com γk “ ´1 sekP t2, 3u e 1 para os restantes casos e com δk “ ´1 sekP t3, 4ue 1 para os restantes casos. SendoRλ“ p1´λqR0`λR1, por um lado, o centro deRλ será Cλ “ p1´λqC0`λC1. Por outro lado, é imediato que para

k_PI4 temos v_λk _{“ p}1_´λ_q „ C0˘ ˆ h0 2 , 0 ˙ ˘ ´ 0,v0 2 ¯ `λ „ C1˘ ˆ h1 2 , 0 ˙ ˘ ´ 0,v1 2 ¯ .

Assim os vértices do rectângulo Rλ serão combinações linear convexas dos vértices correspondentes dos rectângulosR0eR1. Pela convexidade deD obtemos o resultado desejado.

Reciprocamente, vamos supôr queH é convexo e compacto. A convexidade de D segue imediatamente. Para demonstrar a compacidade, considere-se uma sucessão pxnq Ă D. Pode-se então encontrar uma sucessão pxn, hn, vnq P H . Pela compaci- dade de H , existe uma subsucessão convergente_pxk, hk, vkq Ă pxn, hn, vnqpara um rectângulo_px, h, v_{q P}H . Necessariamente xk ÑxPD.

Dado um rectângulo centrado no ponto x, R _{“ p}x, h, v_q, com h _ą 0, definimos

proporção geométrica deR como o quociente

σ_pR_{q “} v h.

É fácil mostrar _BH coincide com o conjunto cujos rectângulos têm pelo menos um vértice em_BD. Naturalmente é neste conjunto que iremos encontrar a solução maxi-

mal para o nosso problema. Definindo a aplicação µ : H _Ñ R`_{0 que mede a área de} um rectângulo_px, h, v_{q P}H pela forma habitual

µ_px, h, v_{q “}hv,

tratando-se µ de uma aplicação contínua em H , pelo teorema de Weirstrass ela tem

necessariamente um máximo em H . O melhor que poderíamos desejar era que esta aplicação fosse côncava. Podemos no entanto encontrar facilmente exemplos que mostram que esta propriedade não se verifica (ver fig. 5.2(b)). A proposição seguinte mostra que µ é uma função quasi-côncava. A unicidade da solução não pode ser

5. RECTÂNGULOSISOTÉTICOS 5.4. Topologia e Convexidade

concluída de imediato, mas existem outras propriedades que juntamente com a geo- metria específica dos domíniosD serão suficientes para demonstrar tanto a desejada

unicidade, como a monotonia da convergência.

Proposição 5.3. A funçãoµ : H _ÑR`₀ definida pela expressãoµ_px, h, v_{q “}hv é uma função quasi-côncava.

Demonstração. Pela proposição 5.2 uma função diferenciável µ é quasi-côncava se

o seu domínio é convexo e para quaisquer pontos _px0, h0, v0q e px1, h1, v1q em H verifica-se

µ_px1, h1, v1q ěµpx0, h0, v0q ñ x∇µpx0, h0, v0q,px1´x0, h1´h0, v1´v0qy ě0. Mostrámos anteriormente que H é um conjunto convexo. Vamos assumir que para os rectângulos considerados temosµ_px1, h1, v1q ěµpx0, h0, v0q. Teremos então

x∇µ_px0, h0, v0q,px1´x0, h1´h0, v1´v0qy “v0h1`h0v1´2v0h0. (5.2) Quandov1 ěv0 e h1 ěh0 a desigualdade (5.2) segue imediatamente. Vamos supôr quev1ěv0e queh1 ăh0. Existirão então constantesδ0ě0 eε0ą0 tais que

v1“v0`δ0 ^ h1“h0´ε0.

Devido ao facto de µ_px1, h1, v1q ě µpx0, h0, v0q teremos δ0h0 ´ε0pv0`δ0q ě 0, pelo que

v0h1`h0v1´2v0h0“δ0h0´ε0v0ąδ0h0´ε0pv0`δ0q ě0,

o que mostra a desigualdade (5.2). Por simetria emh e v a mesma desigualdade será

válida no caso em que v1 ă v0 e h1 ě h0. Isto é o suficiente para demonstrar a quasi-concavidade deµ quando definida sobre H .

Para_px0, h0, v0q ‰ px1, h1, v1q, a funçãoµ seria estritamente quasi-côncava se

µpx1, h1, v1q ěµpx0, h0, v0q ñ x∇µpx0, h0, v0q,px1´x0, h1´h0, v1´v0qy ą0. Fazendov0“h0“v1“h1ex0‰x1 teremos

5. RECTÂNGULOSISOTÉTICOS 5.4. Topologia e Convexidade

(a) Optimização sobre um conjunto não convexo.

(b) Caso em que o conjunto de maximizantes é infinito.

Figura 5.2: Casos em que o problema apresenta máximos locais e em que o máximo não é único.

o que contraria a condição estrita. Todos estes resultados sobre o conjunto H e sobre a funçãoµ são ainda assim suficientes para mostrar que o conjunto dos valores

maximais globais de µ sobre H , embora possa conter mais de um ponto, é ainda

assim convexo. A unicidade terá de vir necessariamente da geometria particular do conjuntoD.

P

P

P

P

B

B

B

B

Figura 5.3: A partição da fronteira do conjuntoD.

5. RECTÂNGULOSISOTÉTICOS 5.4. Topologia e Convexidade

hiper-regular, ficam bem definidos os pontosPi, comi“1, . . . 4,

x_pP1q “ max

pα,βqPBDtαu, ypP2q “pα,βqPBDmax tβu,

x_pP3q “ min

pα,βqPBDtαu, ypP4q “pα,βqPBDmin tβu.

Pelo lema5.1sabemos que existe uma parametrizaçãoγ :_r0, 2π_{s Ñ B}D de classe C8 de_BD. Pelo lema5.2, para os pontosPi definidos acima, podemos associar, com uma reparametrização se necessária,θiP p0, 2πq, tais queγpθiq “Pieθiďθi`1. Podemos então definir a partição_BD_{“ Y}4_i“1Bi, onde

Bi“tpx, yq P BD :px, yq “γpθq ^θiďθďθi`1u, para i“1, 2, 3; B4“tpx, yq P BD :px, yq “γpθq ^θP rθ4, 2πs Y r0, θ1su.

(5.3)

Uma representação destas partições é dada na figura5.3. Precisamos ainda fixar um pouco mais de notação. Para qualquer rectânguloR_PH definimos

a_pR_{q “} ˆ max x pRq, maxy pRq ˙ , b_pR_{q “} ˆ min x pRq, maxy pRq ˙ , c_pR_{q “} ˆ min x pRq, miny pRq ˙ , d_pR_{q “} ˆ max x pRq, miny pRq ˙ . (5.4)

Para quaisquer rectângulos R1, R2 P H dizemos que apR1q e apR2q são vértices cor- respondentes. A mesma relação é facilmente extendida para os restantes vértices. Sempre que não houver risco de confusão escrevemos a_pR_{q “} a. A proposição se-

guinte mostra que a partição_tBkusepara os vértices dos rectângulos.

Proposição 5.4. Dado um conjunto hiper-regularD e a partição _tBkukPI4 de BD con-

forme definida em (5.3), os elementos desta partição separam os vértices de qualquer rectângulo não-degeneradoR_PH , i.e., #_pR_XBiq ď1, para qualqueriPI4.

Demonstração. Considere-se o rectângulo não degenerado R _{“ p}x, h, v_{q P} H , com vértices_ta, b, c, d_u, conforme definidos em (5.4). Vamos mostrar que sea_{P B}D então a_PB1. Pelo facto deD ser um conjunto hiper-regular então em cada ponto deBD está definido um hiperplano (no nosso caso uma recta) de suporte. Comecemos por supor que a _P B3. Existirá então um ponto α no exterior de D tal que a recta de suporte que passa ema é definida por todos os pontos p em R2 _{tais quexÝÑpa,}ÝÑ_{αay “0. Sem} perda de generalidade vamos supôr que esta recta não é paralela a nenhum dos eixos coordenados. Além disso, para qualquerq_PD temos que_xÝÑqa,ÝÑαa_{y ă}0. ComoR é um

5. RECTÂNGULOSISOTÉTICOS 5.4. Topologia e Convexidade

sendo m o declive do segmento de recta que une os pontos a e α, perpendicular

ao hiperplano de suporte de _BD em a, pelo lema 5.2 e discussão sobre sequente podemos concluir que m _ă 0. Se m _“ tan_pθ_q então θ _{P p}0, π_{2_q. Por construção =pÝÑad,ÝÑaαq P p0, π{2_qo que implica _xÝÑad,ÝÑaαy ą0, o que é equivalente a dizermos que

d _R D. Deste absurdo podemos concluir que a _R B3. De modo análogo poderíamos mostrar que a _R B2 YB4 o que implica que a P B1. No caso da recta de suporte ser paralela a um dos eixos coordenados então poderíamos repetir todo o raciocínio uma vez que estamos a assumir que o domínio não tem lados paralelos aos eixos coordenados. Ainda do mesmo modo mostra-se que seb_{P B}D então b_PB2, secP BD entãoc_PB3 e sedP BD então dPB4.

Vamos agora definir o conjunto de todos os rectângulos que têm pelo menos as extremidades de uma diagonal em_BD.

Definição 5.6. Dado um conjunto hiper-regular D, para a partição _tBkukPI4 definida

em (5.3) definimos o conjunto H2 como o conjunto de todos os rectângulos deH com

dois vértices diagonalmente opostos em_BD,

H2“ tRPH : papRq PB1^cpRq PB3q _ pbpRq PB2^dpRq PB4qu. (5.5)

De seguida vamos dar uma caracterização topológica dos elementos deH , que nos permite identificar o conjunto onde os valores maximais serão encontrados. Essen- cialmente, removendo todos os rectângulos degenerados, mostramos na proposição seguinte que as soluções do nosso problema encontram-se necessariamente emH2. Proposição 5.5. SejaD um conjunto convexo em posição genérica. Se um rectângulo R é um ponto interior de H então existe um outro R˚_PH tal que R_ĂR˚. Além disso, R_PH2 se e só se não existeR˚ PHztRutal queRĹR˚.

Demonstração. Usando a métrica induzida de R4 em H , é fácil mostrar que se R _P intH então necessariamente R_{X B}D _{“ H}. É então possível construir por homotetia um outro rectânguloR˚_PintH tal que R_ĂR˚.

Para demonstrar a segunda parte da proposição, comecemos por supôr queR _P

H2. Sem perda de generalidade vamos supôr quetapRq, cpRqu Ă BD. Pela proposição

5.4sabemos quea_pr_{q P}B1. Isto permite-nos concluir imediatamente que o declive da sua recta de suporte é negativo ou nulo. Se existir R˚ P H tal que R_Ĺ R˚, então se

a_“a_pR_{q ­“}a_pR˚_{q “a}˚ _teremos