Abordagem baseada em Desigualdades Matrici ais Lineares

Desigualdades Matriciais Lineares são um conjunto de equações lineares de igualdade e desigualdade onde as variáveis a determinar são matrizes. Seu surgimento ocorreu há mais de cem anos com as pesquisas realizadas por Aleksandr Lyapunov. No entanto, havia poucos algoritmos para a resolução numérica das DMLs. Durante os últimos 30 anos, foram desenvolvidos os algoritmos de pontos interiores capazes de resolver estas desigualdades de maneira rápida e eĄciente. Para a utilização desse método, o sistema e suas restrições precisam ser modelados por equações lineares aĄns. Uma outra exigência, referente ao algoritmo de pontos interiores, é a de que o problema seja convexo (BOYD et al., 1994; SKOGESTAD; POSTLETHWAITE, 2005).

DMLs apresentam como vantagem a capacidade de resolver problemas que envolvem muitas variáveis matriciais e diversas estruturas podem ser impostas a essas variáveis a Ąm de atender a determinado requisito de desempenho. Além disso, DMLs constituem um método Ćexível para resolver problemas relacionados à engenharia de controle como, por exemplo: projeto de controladores �∞, projeto de controladores �2, projeto misto de

controladores ótimos �2/�∞, alocação de polos de sistemas no plano complexo, dentre

3.3. Abordagem baseada em Desigualdades Matriciais Lineares 53

O conceito de matrizes positivas ou negativas deĄnidas é uma importante deĄnição para o entendimento de DMLs. Assim, uma matriz quadrada e real � é dita positiva deĄnida se

�T� � > 0, ∀� ̸= 0, � ∈ Rn×n, � ∈ Rn (82)

e uma matriz quadrada e real � é dita negativa deĄnida se

�T�� <0, ∀� ̸= 0, � ∈ Rn×n, � ∈ Rn (83)

Outra notação para indicar que a matriz � é positiva deĄnida é � ≈ 0 e �, negativa deĄnida é � ∼ 0. Uma característica importante relacionada é que se � é deĄnida positiva então a parte real de todos os autovalores de � é positiva (Ún(� ) > 0) e �,

deĄnida negativa, então Ún(�) < 0 (BOYD et al., 1994).

Assim, as DMLs são normalmente escritas como

�+ �T

1�1�1+ �1T�1�1+ ≤ ≤ ≤ + �nT�n�n+ �nT�n�n ∼0 (84) �i, �i e �, � = 1, ..., � são as matrizes Ąxas, e �i, � = 1, ..., � são as matrizes variáveis.

Na teoria de estabilidade, o sistema linear contínuo no tempo descrito por ˙� = ��, com � ∈ Rn×n _{é assintoticamente estável no senso de Lyapunov se duas condições forem}

satisfeitas

�(�) > 0, ∀� ̸= 0 (85)

˙�(�) < 0, ∀� ̸= 0 (86)

onde �(�) é a função de Lyapunov (BOYD et al., 1994).

Escolhendo como candidata à função de Lyapunov uma função quadrática �(�) =

�T_{� �, com � = �}T _{a determinar, tem-se}

�(�) = �T_{� � > 0, ∀� ̸= 0 ⇔ � ≈ 0 (87)}

˙�(�) = ˙�T

� �+ �T� ˙� = (88)

= (�T_�T_{)� � + �}T_{�(��) = �}T_(�T_{� + � �)� < 0 ⇔ �}T_{� + � � ∼ 0 (89)}

Portanto, para determinar se � é estável deve-se procurar uma solução factível � =

�T _{∈ R}n×n _{tal que}

� ≈0 (90)

54 Capítulo 3. Métodos de Projeto

Nesta pesquisa, o objetivo é encontrar um controlador (�c, �c, �c) com múltiplas en-

tradas e saídas de maneira que o sistema de malha fechada deĄnido em (30) seja estável. Assim, o sistema de malha fechada ( ˜�) é estável no senso de Lyapunov se e somente se

existir uma matriz � = �T _{≈0 tal que}

� ≈0 (92)

˜

�T_{� + � ˜� ∼0 (93)}

Embora a estabilidade do sistema de malha fechada seja prioridade do projeto de controladores, deve-se procurar um controlador que além de garantir a estabilidade do sistema garanta também um desempenho aceitável ao mesmo. Em se tratando de projeto de controladores um dos critérios de desempenho usualmente exigidos é que todos os autovalores do sistema de malha fechada atendam um valor mínimo (Õ0).

A Ąm de alcançar tal desempenho, o critério de estabilidade pode ser redeĄnido como (CHILALI; GAHINET, 1996): o sistema de malha fechada ( ˜�) é estável no senso de Lyapunov

e atende a um requisito de amortecimento mínimo (Õ0) a todos os autovalores se e somente

se existir uma matriz � = �T _{≈0 tal que}

� ≈0 (94) ︀ ︀ ���(�)( ˜� T_{� + � ˜�) ���(�)(� ˜� ⊗ ˜�}T_�) ⊗���(�)(� ˜� ⊗ ˜�T_{�) ���(�)( ˜�}T_{� + � ˜�)} ︀ ︀∼0 (95) onde � = ������(Õ0).

A completa comprovação deste teorema pode ser encontrada no apêndice A desta dissertação, onde são realizados os passos necessários que comprovam que se encontrar uma matriz � que atenda a desigualdade (95), então o controlador projetado garante um amortecimento mínimo ao sistema (Õ0).

Métodos de projeto de controladores baseadas neste critério de estabilidade e desem- penho já foram desenvolvidas na literatura, vide (DE OLIVEIRA; RAMOS; BRETAS, 2010; DE CAMPOS; CRUZ; ZANETTA, 2012;BENTO; RAMOS; CASTOLDI, 2015a). No entanto, tais

métodos, por exigirem que o espaço de busca seja convexo, requerem condições iniciais factíveis para o controlador. Então, normalmente utiliza-se abordagens híbridas compos- tas por métodos que procuram boas condições iniciais e posterior utilização de métodos que empregam (94-95) (DE CAMPOS; CRUZ; ZANETTA, 2012).

Além das abordagens que empregam (94-95), há as que utilizam as normas �2 e �∞

para o projeto de controladores (DE OLIVEIRA; GEROMEL; BERNUSSOU, 2000; RAMOS; ALBERTO; BRETAS, 2004; RAMOS; MARTINS; BRETAS, 2005;DENG; LI; ZHANG, 2015).

Com o objetivo de se projetar um controlador central com múltiplas entradas e múl- tiplas saídas, que atenda a um valor especiĄcado de amortecimento mínimo (Õ0), que

3.3. Abordagem baseada em Desigualdades Matriciais Lineares 55

permita que o sistema de malha fechada seja estável e não exija condições inciais factíveis ao controlador central a se projetar, foi utilizado método de projeto de controladores pre- sente em (RAMOS; ALBERTO; BRETAS, 2004). Tal abordagem é uma combinação da teoria

de alocação de polos (94-95) e de espaços de Hardy (neste caso particular, do espaço �2).

O desenvolvimento completo deste método está presente em (RAMOS, 2002).

A abordagem presente em (RAMOS; ALBERTO; BRETAS, 2004) foi proposta para o

projeto de controladores descentralizados. No entanto, pode-se projetar controladores centralizados a partir da consideração das matrizes variáveis com estrutura completa e não somente diagonal como está informado no artigo. O método é composto por dois estágios onde deve-se aplicar um solver de resolução de desigualdades matriciais lineares. O algoritmo completo é descrito na próxima seção.

3.3.1 Algoritmo

Estágio 1

❏ Passo 1 Ű Escolher � pontos de operação típicos e linearizar as equações que descrevem o sistema ao redor destes pontos de operação, obtendo as matrizes ja- cobianas �i, � = 1, ..., �, � e �, incluir os atrasos de tempo como deĄnido em

(13)-(15), obtendo-se, assim, ¯�, ¯� e ¯� que formarão o sistema de malha aberta.

Além disso, aplicar o método de redução de ordem, equações (42)-(49) obtendo- se, assim, ¯�red, ¯�red e ¯�red com o cuidado das matrizes para todos os pontos de

operação apresentarem a mesma dimensão.

❏ Passo 2 Ű DeĄnir o amortecimento mínimo (Õ0) exigido e calcular � = ������(Õ0).

❏ Passo 3 Ű Construir a representação computacional das matrizes variáveis � e � com estrutura completa e das DMLs:

� ≈0 (96) ︀ ︀ �11 �12 �T 12 �22 ︀ ︀_{∼0 (97)} onde

�11=���(�)( ¯�redi� + � ¯�Tredi+ ¯�redi�+ �T�¯rediT ) (98) �12=���(�)(� ¯�Tredi⊗ ¯�redi� + �T�¯rediT ⊗ ¯�redi�) (99)

�22=�11 (100)

56 Capítulo 3. Métodos de Projeto

❏ Passo 5 Ű Aplicar um solver de DMLs para encontrar � e � sujeito à (96)-(97) e então calcular �c = ��⊗1.

Estágio 2

❏ Passo 6 Ű Calcular �︀i = ¯�redi+ ¯�redi�c para � = 1, ..., �.

❏ Passo 7 Ű Construir a representação computacional das matrizes variáveis � , �,

� e � com estrutura completa e das DMLs: ︀ ︀ � � � � ︀ ︀≈0 (101) ︀ ︀ ︀ ︀ ︀ ︀ ︀ ︀ �11 �12 �13 �14 ⋆ �22 �23 �24 ⋆ ⋆ �33 �34 ⋆ ⋆ ⋆ �44 ︀ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ︀ ∼0 (102)

onde o símbolo * indica simetria e

�11=���(�)(��︀i+�︀Ti�) (103) �12=���(�)(� ¯�redi+�︀Ti �+ ¯� T redi� T _{+ �) (104)} �13=���(�)(�︀Ti � ⊗ ��︀i) (105) �14=���(�)(⊗� ¯�redi+�︀iT�+ ¯�rediT �T + �) (106) �22=���(�)(� ¯�redi+ ¯�Tredi�+ � ¯�redi+ ¯�rediT �

T_{) (107)}

�23=�14T (108)

�24=���(�)(⊗� ¯�redi+ ¯�Tredi� ⊗ � ¯�redi+ ¯�rediT �T) (109)

�33=�11 (110)

�34=�12 (111)

�44=�22 (112)

onde � = 1, ..., �.

❏ Passo 8 Ű Aplicar um solver de DMLs em (101)-(102) para encontrar � , �, � e

�.

❏ Passo 9 Ű Calcular � = � ⊗ �. ❏ Passo 10 Ű Calcular �c = �⊗1�.

❏ Passo 11 Ű Calcular � = �⊗1�. ❏ Passo 12 Ű Calcular �c = �⊗1�T�.