Métodos de Projeto As abordagens utilizadas com o intuito de se projetar controladores centralizados a
3.2 Abordagem baseada na Solução da Equação de Riccat
O problema de Regulador Quadrático Linear (RQL) ou, do inglês, Linear Quadratic
Regulator (LQR) é aplicado em muitas áreas de pesquisa em sistemas elétricos. O índice
de desempenho é um funcional e sua minimização é alcançada pela solução da equação de Ricatti com restrições estruturais de realimentação de saídas (SIMOES COSTA; FREITAS; SILVA, 1997;DOTTA; SILVA; DECKER, 2009a).
Este método de projeto foi originalmente apresentando em (GEROMEL, 1987) e seu
uso para o projeto de controladores em dois níveis usando sinais de medição fasorial sincronizada foi apresentando em (DOTTA; SILVA; DECKER, 2009b). Este método leva
48 Capítulo 3. Métodos de Projeto
em consideração a existência de restrições estruturais a serem impostas na estratégia de controle tais como a descentralização e a realimentação de saídas.
A partir do modelo linear do sistema com inclusão do modelo de atraso de tempo, equações (10)-(11) e posterior redução, equações (42)-(49), e do modelo da estrutura de controle a ser obtida, equações (16)-(17), pode-se deĄnir as matrizes
�a = ︀ ︀ �¯ red �¯red� c 0 �c ︀ ︀ (50) �a = ︀ ︀ �¯ red 0 0 � ︀ ︀ (51) �a = ︁ ¯ �red 0 ︁ (52) �a = ︀ ︀ ⊗�c ⊗�c ︀ ︀ (53)
e o vetor de estados aumentado �a= ︁
�T �T c
︁T
. Assim o sistema aumentado pode ser deĄnido por
˙�a= �a�a+ �a�a (54)
�a= �a�a (55)
Este processo transforma o problema de realimentação de saída dinâmica em um problema de saída estática com realimentação de saída �a = ⊗�a�a ou �a = ⊗�a�a�a.
Se as matrizes �c e �c estão na forma canônica observável e os polos do controlador
centralizado estão Ąxos então as matrizes �a, �a e �a são conhecidas. As matrizes �c e �ccorrespondentes aos ganhos e zeros do controlador centralizado devem ser determinados
dos ganhos de saída estáticos. Portanto, o problema de compensador dinâmico é reduzido para um problema de realimentação de saída constante.
Este problema pode ser resolvido por um problema ótimo de restrições estruturais (GEROMEL, 1987). Tal problema consiste em determinar uma estratégia de controle que
minimize um índice de desempenho quadrático
�(�a, �a) = 1 2 ︁ ∞ 0 (� T a��a+ �Ta��a)�� (56)
onde a matriz positiva semi-deĄnida � e a matriz positiva deĄnida � são matrizes de pesos.
A solução do problema de controle ótimo com restrições estruturais é obtida através da equação de Riccati generalizada (GEROMEL, 1987)
�T
3.2. Abordagem baseada na Solução da Equação de Riccati 49
onde � é a matriz que é usada para direcionar a solução até que as restrições estruturais sejam satisfeitas.
Em (DOTTA; SILVA; DECKER, 2009b) foi utilizado este método para o projeto de um
controlador centralizado usando sinais de medição fasorial sincronizada. No entanto, tal método projeta um controlador para um determinado ponto de operação e não consi- dera robustez a variações de parâmetros do sistema decorrentes de variação de carga ou topologia do sistema.
A Ąm de projetar um controlador que seja robusto a variações de parâmetros pode- se incorporar a teoria de incertezas (TRINH; ALDEEN, 1993) ao método (DOTTA; SILVA; DECKER, 2009b). Considerando um sistema elétrico composto por � subsistemas, cada
um associado a um ponto de operação. Deixe �i ∈ Rni, �i ∈ Rmi e �i ∈ Rwi os vetores de
estado, controle e saída do �-ésimo subsistema respectivamente e ︁N
i=1�i = �, ︁Ni=1�i = � e︁N
i=1�i = �. Então o �-ésimo subsistema pode ser descrito por
˙�i(�) = [�ii+ Δ�ii(�(�))]�i(�) + �i�i(�) + N ︁ j=1 j̸=i [�ij+ Δ�ij(�(�))]�j(�) (58) �i(�) = �i�i(�) (59)
onde � = 1, ..., � e �ij ∈ Rni×nj, �i ∈ Rni×mi e �i ∈ Rwi×ni (�, � = 1, ..., �) são matrizes
reais constantes. Deixe as incertezas de parâmetros satisfazerem as seguinte condição
Δ�ij(�(�)) = �i�ij(�(�)) (60)
onde �, � = 1, ..., � e Δ�ij(�(�)) ∈ Rni×nj são as incertezas estruturais em �ij respec-
tivamente. A matriz �ij ∈ Rmi×nj é dependente das incertezas e é função contínua de �(�).
O sistema (58-59) pode ser reescrito numa forma mais compacta como
˙� = [� + Δ�(�(�))]�(�) + ��(�) (61)
�(�) = ��(�) (62)
onde � =︁ �T
1 ≤ ≤ ≤ �TN ︁T
∈ Rné um vetor de estado global, � =︁ �T
1 ≤ ≤ ≤ �TN ︁T
∈ Rm
é um vetor de controle global, � = ︁ �T
1 ≤ ≤ ≤ �TN ︁T
∈ Rw é um vetor de saída global e � = (�ij) ∈ Rn×n, � = ����(�1, ..., �N) ∈ Rn×m e � = ����(�1, ..., �N) ∈ Rw×n são
matrizes reais constantes.
Similarmente, a equação (60) pode ser reescrita como
50 Capítulo 3. Métodos de Projeto
onde
Δ�(�(�)) = (Δ�ij(�(�))) ∈ Rn×n (64)
O problema de realimentação de saída constante consiste na resolução da equação generalizada de Riccati, equação (57). A Ąm de lidar com incertezas com a matriz �, deve-se escolher apropriadamente as matrizes � e �.
Para o caso onde não há incertezas associadas com a matriz de entrada de controle �, a matriz de pesos de controle � é escolhida como (TRINH; ALDEEN, 1993)
� = 1
1 + Ö�m (65)
onde �m é a matriz identidade, Ö > 1 é um número escalar real e a matriz de pesos de
estados � é dividida em duas partes, ou seja, � = �1+�2. Então a matriz �1 é escolhida
para reĆetir as incertezas da matriz de estados � como
�1 ≈ �T(�(�))�(�(�)) (66)
para ∀�(�) ∈ R. A matriz de incertezas �(�(�)) pode ser particionada como
�(�(�)) =
N ︁ i=1
�i(�)�i (67)
onde �i ∈ Rm×n são matrizes constantes, ♣�i(�)♣ ⊘ ¯�i, ∀� ∈ �, onde ¯�i is o limite máximo
em �i(�) e � é a dimensão do vetor de incertezas �(�). A escolha da matriz �1 pode ser
realizada como �1 = N ︁ i=1 �¯�2i�Ti �i+ ��n (68)
onde � é um número real.
A matriz �i pode ser determinada da equação por
�i = (♣�i♣T♣�i♣)⊗1♣�i♣T♣Δ�i♣ (69)
admitindo um valor conhecido de Δ�i e um conjunto � de pontos de operação (� =
1, ..., �).
Assim, pelo que foi exposto é possível projetar um controlador central robusto a va- riações de parâmetros admitindo os pesos corretos das matrizes � e � para resolver a equação generalizada de Riccati. A próxima seção descreve o algoritmo modiĄcado de pro- jeto de controladores presente em (DOTTA; SILVA; DECKER, 2009b) para a consideração
3.2. Abordagem baseada na Solução da Equação de Riccati 51
3.2.1 Algoritmo
❏ Passo 1 Ű DeĄnir a ordem e os polos do controlador e, assim, montar as matrizes
�c e �c na forma canônica observável;
❏ Passo 2 Ű DeĄnir o atraso de tempo e construir as matrizes �a, �a e �a para todos
os � pontos de operação;
❏ Passo 3 Ű DeĄnir um valor de Ö e fazer
�= 1
1 + Ö� (70)
❏ Passo 4 Ű Determinar Δ�a a partir de um conjunto � de pontos de operação
Δ�a = 1 � N ︁ i=1 �ai (71) ❏ Passo 5 Ű Calcular �= (♣�a♣T♣�a♣)⊗1♣�a♣♣Δ�a♣ (72)
❏ Passo 6 Ű DeĄnir � e � e calcular
�1 = ��T�+ �� (73)
❏ Passo 7 Ű DeĄnir � = 0 e �0 = 0 e resolver a equação de Ricatti
�T
a�0+ �0�a⊗ �0�a�⊗1�aT�0+ �1 = 0 (74)
❏ Passo 8 Ű Para � = � + 1, calcular
�k = �⊗1�a�k⊗1(� ⊗ �aT(�a�aT)⊗1�a) (75) ❏ Passo 9 Ű Calcular �= �1+ �T k�k Ö (76)
❏ Passo 10 Ű Resolver a equação de Ricatti
�T
52 Capítulo 3. Métodos de Projeto
❏ Passo 11 Ű Calcular
‖ �k⊗ �k⊗1 ‖e< � (78)
onde � é um número real positivo.
❏ Passo 12 Ű Se a condição não é atendida, retornar ao Passo 8, senão determinar o ganho factível � e a matriz de realimentação de saída �a
� = �⊗1�Ta�k⊗1 ⊗ �k (79)
�a= ��aT(�a�aT)⊗1 (80)
❏ Passo 13 Ű Determinar as matrizes �c e �c através da equação
�a = ︀ ︀ ⊗�c ⊗�c ︀ ︀ (81)
A convergência deste algoritmo fornece as matrizes �c e �c que deĄnem o controlador,
sendo que as matrizes �c e �c foram deĄnidas no início do algoritmo.