ABORDAGEM DA POROELASTICIDADE - ASPECTOS DA MODELAGEM COMPUTACIONAL

3 ASPECTOS DA MODELAGEM COMPUTACIONAL

3.1 ABORDAGEM DA POROELASTICIDADE

As equações que governam o problema de poroelasticidade são verdadeiramente complexas; desta forma, o uso de soluções analíticas torna-se inviável. Sendo assim, a modelagem numérica transforma-se em uma ferramenta efetiva para análise desse tipo de problema. O programa Abaqus^® foi utilizado como ferramenta para a construção do modelo numérico. A capacidade do programa para solucionar problemas desse tipo, foi avaliada com a modelagem de problemas mais simples, como o material seco e o acoplamento com fluido. Este foi demonstrado com o problema da coluna poroelástica proposta por Detournary e Cheng (2003). As soluções foram comparadas com soluções analíticas. Tais resultados estão expostos no apêndice B.

O meio poroso é abordado de forma convencional: esta abordagem toma o meio poroso como sendo um material multifásico. O programa considera a existência de dois

fluidos no meio. Um deles é o líquido molhante, o qual é assumido como parcialmente incompressivo. O outro fluido em geral é o gás, que é tido com relativamente compressível. Quando o meio é parcialmente saturado, os dois fluidos coexistem num ponto: quando são totalmente saturados, os espaços vazios estão totalmente preenchidos pelo fluido molhante. Neste estudo o meio é totalmente saturado.

O volume elementar é constituído por um volume de grãos da parte sólida, um volume de vazio totalmente preenchido pelo líquido, que por sua vez é livre para se mover através do meio poroso. Em alguns sistemas pode ocorrer que uma parcela significante do líquido seja irredutível. O programa fixa a malha de elementos finitos na parte sólida; o fluido pode se mover através da malha. A parte mecânica do modelo é baseada no princípio das tensões efetivas. As equações de equilíbrio e da continuidade discretizadas são solucionadas por meio do método de Newton. A condição de equilíbrio é expressa pela equação 4.1, que adota o princípio do trabalho virtual para um determinado volume em um tempo t qualquer.

∫

⁼

∫

^⋅ ⁺ _V ^⋅ ^v ⁺ _V ⁺ ^t ^w ^V

vσ ^:δεdV STS δVdS f δ dV ⁽sφ n ⁾ρ g^.δ dV _(4.1)

δv = campo de velocidade virtual δɛ = taxa de deformação virtual Ts= força de superfície

ƒ = força de massa σ = tensão

ρw = massa específica do fluido g = aceleração da gravidade

n_t = volume de fluido absorvido pelo meio poroso por unidade de volume ϕ = porosidade do meio

s = saturação

38 Considerações da parcela fluida

Observa-se que para fluido de baixa velocidade a lei de Forchheimer (equação 4.2) transforma-se na lei de Darcy.

( )

k = permeabilidade do meio poroso β = coeficiente de velocidade

n’= carga piezométrica

A equação de balaço de massa usando a lei de Forchheimer é dada pela equação 4.3.

δu_w = campo variacional relativo a poro-pressão

ρW = massa específica em uma configuração de referência

∆t = tempo de incremento

ks = permeabilidade em função da saturação n = vetor normal a superfície S1

39 3.2 O CRITÉRIO DE FALHA

Os modelos constitutivos elastoplásticos mais utilizados em estruturas geológicas são o de Drucker-Prager e o de Mohr-Coulomb, que são descritos em termos de tensões efetivas. Estes modelos possuem um parâmetro de resistência associado à coesão e outro ao atrito intergranular. (DRUCKER; PRAGER, 1952; SHIELD, 1955 apud FAJER, 2008). São estes os dois modelos implementados no programa Abaqus^®. A seguir descreve-se o modelo de Drucker-Prager, pois foi este o modelo utilizado na modelagem deste trabalho.

A equação (4.4) mostra a abordagem feita para o modelo de Drucker-Prager linear, que é escrito em termos dos três invariantes (p, q, r) de tensão. Sendo p a pressão hidroestática, q a tensão equivalente de Von Mixes e r o terceiro invariante de tensão desviatória. Evidências experimentais mostram que a tensão intermediária possui uma importância fundamental na falha da matriz rochosa, não podendo ser completamente desprezada.

0 c ptan R

F= − ϕ− = (4.4)

Figura 3.1:Drucker-Prager no plano meridional

Sendo:

φ(θ, fi) = ângulo de atrito do material c = coesão do material

Figura 3.2: Superfície de escoamento para Drucker-Prager linear

Para o fluxo plástico temos que definir o fluxo potencial através da equação 4.6..

3.3 LEI DE ENDURECIMENTO E/ OU DEGRADAÇÃO

A rocha pode admitir três comportamentos depois da falha, sendo o perfeitamente plástico (Figura 3.3), ou os comportamentos de endurecimento e /ou degradação. Com relação aos dois últimos, eles não são excludentes, de modo que em um primeiro momento a rocha pode ter o comportamento de endurecimento e depois sofrer degradação. Estes então representados na Figura 3.4.

b Figura 3.3: Gráfico do comportamento perfeitamente plástico

Figura 3.4: Diferentes comportamento de tensão-deformação sobre diferentes pressões de confinamento (NOURI et al., 2011).

O estudo aborda o comportamento de endurecimento, pois, segundo a literatura, este comportamento consegue descrever bem o fenômeno. Por outro lado, o comportamento de degradação possui resultados altamente dependentes da malha, isto é, os elementos da malha devem estar associados ao tamanho do grão. Nouri et al.

(2012) assumem que o elemento deve ter no mínimo 10 vezes o tamanho do grão. Além do tamanho dos elementos, a malha também deve ser orientada na direção das bandas de deformação. Como visto na revisão bibliográfica, este tipo de modelagem exige um método de regularização da energia da fratura. A Figura 3.5 representa a superfície de endurecimento linear para o critério de Drucker-Prager.

Figura 3.5: Drucker-Prager no plano meridional

3.4 LEI DE EROSÃO (TAXA DE PRODUÇÃO DE AREIA)

Para que se possa definir o critério de erosão é necessário o conhecimento de que existem duas principais fontes de material erodido no poço. A primeira é a chamada fonte volumétrica. Esta consiste no material desprendido devido a elevadas tensões e transportado pelo fluxo de fluidos através dos poros. A segunda fonte a que se vai fazer referência consiste na erosão superficial, isto é, o material que é desprendido da parede do poço devido à ação hidrodinâmica do escoamento do fluido sobre a superfície. Neste trabalho, a lei de erosão adotada foi a lei de erosão para geometrias descrita por Papamichos e Stavropoulou (1998), que por sua vez se baseia na teoria da filtração de Einstein.

A. equação 4.7 representa a equação da taxa de produção de areia.

i i s s

q q m c

) 1 (

φ ρ ⁼λ ⁻

• (4.7)

Tem-se que:

m = taxa de massa sólida erodida, ɸ = porosidade

43 ρ_s= densidade do sólido

ρ_f= densidade do fluido

cs = concentração de sólidos fluidizados

Sendo λ é o coeficiente de erosão, associado à máxima deformação plástica removido da malha de elementos finitos.

A porosidade do meio erodido é alterada e a permeabilidade também, obedecendo à equação (4.9), conhecida como equação de Carman-Kozeny.

)

3.5 MALHA ADAPTATIVA NO PASSO DE EROSÃO

A erosão que ocorre na parede do poço é descrita pela equação de geração de massa, que determina a velocidade de retirada do material. O Abaqus^® fornece ferramentas para que se determine a velocidade com que a erosão ocorre. Isto é feito pelo programa através do uso de malhas adaptativas do tipo Euleriana-Lagrangiana.

Este tipo de malha permite impor uma velocidade de erosão, mantendo uma progressão

normal à parede do poço, e ajustando os nós da superfície (parede do poço ou superfície canhoneada) para dar conta da grande perda de material. (Figura 3.6).

O domínio de malha adaptativa é restrito a uma região perto do poço ou do túnel canhoneado, o que permite que ocorra uma suavização perto da superfície em torno da perfuração, fazendo com que a erosão progrida. A velocidade de movimentação da malha é dependente da equação de erosão, acoplada ao Abaqus^® através de uma subrotina (Umeshmotion).

Figura 3.6: Movimento da malha

A suavização da malha é definida no passo de erosão. A malha adaptativa usa um método em que cada incremento consiste numa fase lagrangiana seguida por uma fase eureliana. Desta forma, na fase lagrangiana nenhuma suavização ocorre, uma vez que as equações de equilíbrio convergem, então o resultado das deformações plásticas equivalentes nos nós é utilizado para realizar a suavização da malha.

4 ESTUDO DE CASOS

O reservatório de Marlim consiste em uma série de lobos submarinos coalescentes, não confinados, resultando em vasto corpo arenoso maciço e relativamente homogêneo, de granulometria média a fina e porosidade da ordem de 30%, com espessura média de 47 m, inconsolidados. Abriga petróleo de densidade entre 17º e 21º API, biodegradado. Nas porções oeste e noroeste do campo, aparecem depósitos de geometria alongada que registram as fácies arenosas ligadas a canais alimentadores dos lobos distais. A Figura 4.1 mostra a localização do complexo de Marlim na bacia de Campos, estado do Rio de Janeiro.

Figura 4.1: Localização do Campo de Marlim na Bacia de Campos, (MARTINS et al., 2009).

A análise composicional dos arenitos de Marlim revelou uma composição arcosiana, com cerca de 30% de feldspatos, principalmente potássicos. É baixa a taxa de alteração desses minerais quando comparados a outros reservatórios terciários da bacia, o que reduz a presença de caulinita e outros argilominerais que, potencialmente, prejudicam o fluxo durante a produção. A condição de alta friabilidade desses reservatórios acarreta baixa recuperação dos testemunhos coletados no campo,

dificultando medições das condições petrofísicas. Ao mesmo tempo, a natureza friável da rocha favorece a produção de sólidos juntamente com o petróleo (MARTINS et al., 2009).

4.1 OBTENÇÃO DE DADOS

Os dados utilizados nas simulações foram coletados na literatura; até que se tivesse um conjunto de dados consistente sobre o campo de Marlim, dados das

propriedades elásticas foram retirados de Soares e Nicolino (1999) e as tensões in situ de Souza et al. (2012). O conjunto de dados estão reunidos na Tabela 4.1.

Tabela 4.1: Dados de Marlim Leste

Propriedades Valor Unidades(SI)

Propriedades físicas

ρb Densidade da camada 2,15 g/cm³

ɸ Porosidade 0,3 adimensional

Propriedades elásticas

E Modulo de elasticidade 7584,2 MPa

ʋ Coeficiente de Poisson 0,4 adimensional

α Constante de Biot’s 1 adimensional

Φ Ângulo de cisalhamento

interno 30 graus

4.2 CONSIDERAÇÕES NO CÁLCULO DO VOLUME DE AREIA

O programa fornece como variável de saída VOLC, que é o valor da variação do volume no elemento devido à erosão no domínio de malha adaptativa – considerando que o elemento é composto de sólido e liquido, sendo o volume de líquido igual à porosidade, pois o meio é 100% saturado. A quantidade real do material sólido corroído depende da porosidade da rocha e é dado pela equação (4.1).

(

−ϕ

)

∗

=VOLC 1

V_AREIA (4.1)

Onde:

VOLC = Volume do elemento removido da malha ϕ = porosidade

Uma segunda consideração a ser feita é referente ao empolamento ou expansão volumétrica, que é um fenômeno característico de solos e rocha. Quando a escavação ocorre, o material granular assume um volume solto, maior do que quando está em seu estado de compactação natural: este fato, em parte, é consequência do arranjo das partículas. A Figura 4.2 mostra o arranjo cúbico onde a porosidade é a maior possível, e o arranjo romboédrico onde esta se minimiza.

Figura 4.2: Empacotamento mais aberto e mais fechado para esferas de tamanho uniforme

O coeficiente de empolamento

χ

é dado pela equação 4.2. Sendo Vn, o volume do material no estado de compactação natural e V_solto, o volume ocupado pelo material solto.

Solto

V Vn χ=

(4.2)

Para o arenito o coeficiente de empolamento é da ordem de 0.6, ou seja, a parte sólida do arenito sofre uma expansão de 60%. Desta forma, o volume total de areia produzida é dado pela equação 4.3.

(

¹ ^χ

)

V_{T_Areia} = _Areia∗ + (4.1)

onde:

VT Areia = volume total de areia expandida

Sendo assim, os resultados expostos a seguir referem-se ao volume de areia total, calculados com a equação 4.3.

4.3 MODELO EM DUAS DIMENSÕES

O poço a ser considerado é um poço vertical que possui uma primeira zona de interesse situada a 2.730 metros de profundidade. O gradiente de sobrecarga adotado é de 0.65psi/ft. O poço possui o diâmetro de 8.5 polegadas. A Figura 4.3 representa o esquema do poço perfurado.

Figura 4.3: Representação do poço

A primeira simulação foi realizada com dados da Tabela 4.1, dados de Marlim leste, considerando a rocha com um o meio poroso, contínuo e isotrópico.

Posteriormente foram variados os parâmetros para que se pudesse analisar como o programa responde a essas variações. O objetivo deste caso é determinar sob que condições o poço vertical, de completação aberta, será levado à ruptura. A Figura 4.4 mostra a malha de elementos finitos utilizada nas simulações, a qual possui 2.087 nós e 1.993 elementos do tipo quadrilateral linear para estado plano de deformação e pressão de poros (CPE4P).

Figura 4.4: Malha de elementos finitos utilizada.

A seguir estão os resultados da análise inicial feita com os dados da Erro! Fonte de referência não encontrada.. Os dados foram plotados para a fase de perfuração e para diversos tempos na fase de produção.

A Figura 4.5 mostra a deformação plástica equivalente para a fase de perfuração, como é de se esperar a maior taxa de deformação na parede do poço devido ao dano à formação, causado pela perfuração, e também uma maior localização da deformação na direção da maior tensão.

Figura 4.5: Deformação plástica equivalente na fase de perfuração.

Da Figura 4.26 até a Figura 4.7 está representada a evolução da deformação plástica equivalente no tempo para a fase de produção; observa-se que a deformação na parede do poço diminui e posteriormente aumenta em direção à formação. Este fato é decorrente do processo de malha adaptativa, que remove os elementos que alcançam a plastificação máxima.

Figura 4.6: Deformação plástica equivalente para a produção A) t = 2,5h, B) t = 20,5h

Figura 4.7:Deformação plástica equivalente para a produção. C) t =55h

Na fase de perfuração, o índice de vazios cresce ao redor do poço (Figura 4.8), pois a porosidade aumenta devido ao fenômeno de dilatância provocada pela relaxação, decorrente da remoção do material da perfuração.

Figura 4.8: Índice de vazios na fase de perfuração.

Na Figura 4.9 observa-se que na fase de produção o índice de vazios vai se reduzindo e a região onde se encontra a maior porosidade também vai diminuindo. Isso é decorrente do fato de a cavidade estar se estabilizando, então a região com alta porosidade vai sendo removida devido à produção de areia. Conforme a cavidade vai se estabilizando na região ao redor do poço, a porosidade volta para o seu valor inicial de 30%.

52 A

Figura 4.9: Índice de vazios no tempo. A) t=2,5h, B) t=20,5h, C) t=55h

A Figura 4.10 mostra o gráfico da evolução da porosidade no tempo. Os dados foram coletados na direção de 90°, ou seja, da direção da maior tensão, pois nessa direção os efeitos sobre a porosidade são maiores. Em Papamichos e Malmanger (1999) a porosidade aumenta com o tempo: no modelo implementado no Abaqus® a porosidade no primeiro instante aumenta e depois ela passa a diminuir com o tempo.

Isto é efeito do processo de adaptação de malha, e, desta forma, o modelo não representa o efeito de areia solta. Como citado anteriormente, o material degradado é

retirado, com a evolução da produção a cavidade se estabiliza e a porosidade tende a voltar ao seu valor inicial.

Figura 4.10: Evolução da porosidade no tempo.

A Figura 4.11 representa o mapa de distribuição da variável POR, que é associada à variação da pressão de poros; a variável é excesso de poro pressão. Foram realizadas tentativas de se trabalhar com a queda de pressão de poros, porém a análise não convergiu. Foi adotada a estratégia de fixar as pressões nas fronteiras declarando estas com condições de contorno sobre toda a análise – logo não foi possível analisar o problema sobre a situação de depleção do reservatório.

Figura 4.11: Mapa da pressão de poros na fase de produção, t=1h.

Observa-se na Figura 4.12 que a tensão na fase de perfuração é menor do que na fase de produção. Isso é devido ao fato de que na fase de produção o drawdown também atua na parede do poço como uma pressão de compressão.

Figura 4.12: Mapa da tensão principal mínima na fase da perfuração.

Na Figura 4.13 e na Figura 4.14 é possível notar que as tensões ao redor do poço na fase de produção inicialmente têm o seu valor em módulo aumentado, decorrente do fato de que a pressão de drawdown atua como uma pressão de compressão na parede do poço; porém, com o passar do tempo o poço produzindo, a tensão diminui. Isso é decorrente do alívio nas tensões.

Figura 4.13: Mapa da tensão principal mínima na fase de produção. A) t= 2,5h

55 B

Figura 4.14: Mapa da tensão principal mínima na fase de produção. B) t= 20,5, C) t=55h

A Figura 4.15 mostra a tensão máxima na fase de perfuração do poço. Notam-se tensões na parede do poço menores do que na fase de produção, decorrente da presença do fluido de perfuração, que atua no sentido oposto das tensões in situ, diminuindo a concentração de tensões na parede e mantendo a estabilidade.

Figura 4.15: Mapa da tensão principal máxima na fase de perfuração.

A Figura 4.16 mostra que a máxima tensão na formação mantém valores muito próximos, não apresentando variações significativas ao longo da produção. Ao se comparar as tensões com a fase de perfuração nota-se que estas são bem maiores na fase de produção, isto também por causa do drawdown.

Figura 4.16: Mapa da tensão principal máxima na fase de produção. A)t= 2,5h, B) t=20,5, C) t=55h.

A seguir, são apresentados os resultados obtidos com as variações realizadas nos principais parâmetros, para que se pudesse obter a influência de cada um desses parâmetros na produção de areia. Será representada apenas a deformação plástica equivalente, pois a produção de areia está diretamente ligada à plastificação da formação.

4.3.1 Variação das tensões in situ

Nos dados utilizados a razão entre as tensões horizontais é de (σH/σh =1,1).

Dessa forma, fica difícil a visualização da erosão na parede do poço, pois, como foi visto anteriormente, a diferença entre as tensões é um dos principais fatores responsáveis pela instabilidade do poço e a consequente produção de sólidos.

Inicialmente foram realizadas simulações em um poço horizontal, e não houve mudanças consideráveis nos resultados obtidos com o poço vertical, então foram realizadas simulações aumentando-se a razão entre as tensões para (σ_H/σ_h=2,5) de forma a tornar a erosão na parede do poço visível.

A Figura 4.18 e a Figura 4.18 representam a deformação plástica equivalente para a razão de 2,5 entre as tensões.

A Figura 4.19 expõe o gráfico de volume de areia produzido para a variação das tensões in situ.

Figura 4.17: Deformação plástica equivalente na fase de produção. A)t= 2,5h.

58 B

Figura 4.18: Deformação plástica equivalente na fase de produção. B) t= 20,5h, C) t=55h.

Figura 4.19: Volume de areia produzido considerando a diferença entre as tensões in situ.

0,E+00 2,E-03 4,E-03 6,E-03 8,E-03 1,E-02 1,E-02

0 10 20 30 40 50 60

volume de areia(in^3/in)

Tempo (h)

vol 1° carregamento vol 2° carregamento

A Figura 4.20 mostra a corrosão ocorrida na malha na região do poço quando se aumenta a diferença entre as tensões.

Figura 4.20: Corrosão da malha no tempo.

4.3.2 Variação do módulo de elasticidade

O módulo de elasticidade foi variado para saber como o programa responde a esta variação. Analisando a sequência das Figura 4.21 até a Figura 4.24 observa-se o acréscimo na deformação e consequentemente na erosão na parede do poço, para valores menores de E. Sendo este um parâmetro elástico, quanto maior o seu valor maior a capacidade da rocha para suportar carga. Esse resultado condiz com o esperado, isto em se tratando de uma simples análise de sensibilidade. Na

Figura 4.25 estão demonstrados os valores de volume de areia produzida para os diferentes valores de módulo de elasticidade; observa-se que para maiores valores de E ocorreu uma rápida estabilização dos valores de produção de areia, enquanto para o menor valor esta estabilidade não foi alcançada.

60 A

Figura 4.21:Deformação plástica equivalente para E = 1000MPa. A) t = 2,5h B) t = 55h.

Figura 4.22: Deformação plástica equivalente para E = 5000MPa. A) t = 2,5h

61 B

Figura 4.23: Deformação plástica equivalente para E = 5000MPa. B) t = 55h.

Figura 4.24: Deformação plástica equivalente para E = 7584MPa. A) t = 2.5h, B) t = 55h

Figura 4.25: Influência da variação do módulo de elasticidade no volume de areia produzido.

4.3.3 Variação do coeficiente de Poisson

Da Figura 4.27 até a Figura 4.29 demonstra-se a evolução da deformação plástica no início e no fim da fase de produção; observa-se que quanto maior o Poisson menor o valor da deformação. Isto se deve ao fato de que a tensão aplicada à rocha provoca uma maior deformação elástica no elemento de rocha: desta forma, a mesma condição é aplicada aos três casos, sendo a parcela de deformação plástica maior no caso em que Poisson é menor.

Figura 4.26: Deformação plástica equivalente para Poisson 0,2. A) t = 2,5h.

0,E+00 2,E-03 4,E-03 6,E-03 8,E-03 1,E-02 1,E-02

0 10 20 30 40 50 60

Volume de areia(in^3/in)

Tempo(h)

E_7584 E-5000 E_1000

63 B

Figura 4.27: Deformação plástica equivalente para Poisson 0,2. B) t = 55h.

Figura 4.28: Deformação plástica equivalente para Poisson 0,3. A) t = 2,5h, B) t = 55h

64 A

Figura 4.29: Deformação plástica equivalente para Poisson 0,4. A) t = 2,5h, B) t =55h.

A Figura 4.30 representa o gráfico de volume de areia produzido para as três variações de Poisson: o programa responde de forma satisfatória, visto que a produção de areia está associada à magnitude da deformação plástica. Como já exposto, para valores menores de Poisson, maiores são os valores de deformação plástica e consequentemente maiores o volume de areia produzido.

Figura 4.30: Volume de areia produzido para diferentes valores de Poisson.

4.3.4 Variação do drawdown

Da Figura 4.32 à Figura 4.34 representa-se a variação do drawdown: nota-se que, para menores valores de drawdown, o valor do volume de produção de areia é menor – fato que condiz com o relatado na literatura. Verificou-se também que para

No documento LISTA DE FIGURAS (páginas 49-120)