AC ω (R) e espa¸cos topol´ogicos SE e SSE

Na presente se¸cão, iremos enunciar e demonstrar, em ZF, algumas equivalências para ACω(R) que estão relacionadas às no¸cões topológicas de: espa¸co SE, espa¸co SSE, espa¸co pseudométrico separável e subespa¸co Lindelöf de R. Além disso, iremos provar, em ZF, que todos os subespa¸cos SSE de R são separáveis. Inicialmente, daremos a nossa contribui¸cão apresentando uma constru¸cão, em ZF, de um exemplo possivelmente conhecido, mas para o qual não conseguimos obter a constru¸cão em nenhuma de nossas referências. Este exemplo é o seguinte e interessante

Exemplo 4.4.1. Existe um espa¸co topológico compacto SE que é SSE. Constru¸cão:

De in´ıcio, lembre-se que o conjunto [ω]<ω _{é enumerável (pelo Corolário 2.1.3).} Como obviamente [ω \ 1]<ω ⊂ [ω]<ω_{, então segue do Corolário 1.1.16 que [ω \ 1]}<ω

é enumerável. Fixe então uma indexa¸cão {Xk : k < ω} de [ω \ 1]<ω. Agora, considere o conjunto A := {0} ∪ 1

n : n ∈ ω \ 1

munido da topologia de subespa¸co de R. Tome a sequˆencia hxnin>1 em R tal que, para todo n ∈ ω \ 1, xn:=

que A ´e um subespa¸co compacto de R.6 _{Al´em disso, tem-se que, para todo n ∈ ω \ 1,} 1

´e um aberto em A, pois, obviamente,

{1} = 1 2, 3 2 ∩ A e, para todo n ∈ ω \ 2, 1 n = 1 n + 1, 1 n − 1 ∩ A.

Considere então o conjunto B0 := 1 n : n ∈ ω \ 1 ∪ 0, 1 n ∩ A : n ∈ ω \ 1 e note que este conjunto é enumerável, por ser união finita de conjuntos indexados por um conjunto enumerável (veja Proposi¸cão 1.1.14 e Teorema 2.1.4).

Aﬁrmamos que B0 ´e uma base de A. Com efeito: para cada n ∈ ω \ 1, tem-se que 1 n e 0, 1 n ∩ A = −1,1 n

∩ A são abertos em A, i.e., todo elemento de B0 é um aberto em A. Tome um aberto U qualquer em A. Sendo assim, existe um aberto V em R tal que U = V ∩ A. Se for U = ∅, nada a fazer. Se for U 6= ∅, tome um z ∈ U qualquer. Há dois casos a considerar:

(1) Se ocorrer que z 6= 0, teremos obviamente que existe um ´unico n ∈ ω \ 1 tal que z ∈ 1

⊆ U .

(2) Se ocorrer que z = 0, então V será uma vizinhan¸ca aberta de 0 em R. De R ser corpo ordenado arquimediano, seguirá que existe um k ∈ ω \1 tal que

−1 k, 1 k ⊆ V , implicando que 0,1 k ∩ A = −1 k, 1 k ∩ A ⊆ V ∩ A = U .

Dos dois casos acima, segue que, para todo z ∈ U , existe um B ∈ B0 tal que z ∈ B ⊆ U . Agora, seja B uma base qualquer de A.7 _{Considere, para cada m, n ∈ ω \ 1 tais} que m 6 n, o conjunto Bhm,ni :=

B ∈ B : 0,1 n ∩ A ⊆ B ⊆ 0, 1 m ∩ A . Considere ent˜ao o conjunto M := hm, ni ∈ (ω \ 1)2

: m 6 n e ∃ B ⊆ A B ∈ Bhn,mi e note que este conjunto é enumerável, já que está contido em um produto finito de um conjunto enumerável por si mesmo (veja Teorema 2.1.5). Note ainda que, para todo hm, ni ∈ M , Bhm,ni 6= ∅. Considere agora, para cada F ∈ [ω \ 1]<ω, o conjunto AF :=

n : n ∈ F

. Facilmente se veriﬁca que, para todo hm, ni ∈ M ,

Bhm,ni = B ∈ B : ∃ F ⊆ n \ m B = 0,1 n ∩ A ∪ AF .

6_{Veja a nota de rodap´e da p´}_{agina 83.}

7_{Note que A admite ao menos uma base B de tamanho c. De fato: basta ﬁxar uma base B} ∗ de A

(por exemplo, B∗ = B0) e tomar a fam´ılia B := B∗∪ P (A \ {0}). Facilmente se veriﬁca que essa fam´ılia

Al´em disso, para todo F ⊆ n \ m, existe um k < ω tal que F = Xk (pois, obviamente, P (n \ m) ⊂ [ω \ 1]<ω). Consequentemente, para todo hm, ni ∈ M ,

k(m, n) := min k ∈ ω : 0, 1 n ∩ A ∪ AXk ∈ Bhm,ni

est´a bem deﬁnido.

Tome, para cada hm, ni ∈ M , o conjunto Bhm,ni := 0, 1 n ∩ A ∪ AX_k(m,n) ∈ Bhm,ni. Ent˜ao, para cada hm, ni ∈ M , tem-se que

0,1 n ∩ A ⊆ Bhm,ni ⊆ 0, 1 m ∩ A.

Agora, afirmamos que o conjunto B1 :=Bhm,ni : hm, ni ∈ M ⊆ B é uma base local enumerável para o ponto 0. De fato: é claro que B1 é enumerável, pois está indexado por um conjunto enumerável. Pela própria defini¸cão dada para B1, é evidente que todo elemento de B1 é uma vizinhan¸ca aberta de 0 em A. Seja W uma vizinhan¸ca aberta qualquer de 0 em A. Com aquele argumento dado em (2), conclui-se que existe um m ∈ ω \ 1 tal que

0, 1

∩ A ⊆ W . Como B ´e uma base de A e

0, 1 m

∩ A ´e uma vizinhan¸ca aberta de 0 em A, ent˜ao existe um B ∈ B tal que 0 ∈ B ⊆

0, 1

∩ A. Novamente com aquele argumento dado em (2), conclui-se que existe um n ∈ ω \ 1 tal que

0,1 n

∩ A ⊆ B, já que B é uma vizinhan¸ca aberta de 0 em A. Consequentemente, existe um hm, ni ∈ M tal que 0,1 n ∩ A ⊆ Bhm,ni ⊆ 0, 1 m ∩ A ⊆ W . Logo, existe um B ∈ B1 tal que B ⊆ W . Disso, é fácil concluir que o conjunto B2 :=

1 n : n ∈ ω \ 1 ∪ B1 ´e uma base de A. Como B1 ⊆ B e, para cada n ∈ ω \ 1, tem-se que

1 n

está contido em qualquer base de A, segue de imediato que B2 está contido em B. Além disso, é claro que B2 é enumerável, por ser união finita de conjuntos enumeráveis.8

Uma outra maneira de concluir que B possui uma subfam´ılia enumerável que também é base do subespa¸co A é a seguinte: para cada n ∈ ω \ 1 e cada F ∈ [ω \ 1]<ω, considere o conjunto Bhn,F i := 0,1 n ∩ A

∪ AF. Com isso, considere agora o conjunto V0 := Bhn,F i : hn, F i ∈ (ω \ 1) × [ω \ 1]<ω e observe que este conjunto é enumerável, pois está indexado por um produto finito de conjuntos enumeráveis. Assim, tem-se que o conjunto B3 := 1

: n ∈ ω \ 1

∪ (B ∩ V0) é enumerável, por ser união finita de conjuntos enumeráveis. Sem muita dificuldade, verifica-se também que B3 é uma base de A que está contida em B.

Portanto, da argumenta¸c˜ao que foi dada, segue que A, como subespa¸co de R, ´e

8_{Esta primeira forma de argumentar para a constru¸c˜}_{ao do exemplo ´e, de fato, bastante trabalhosa,}

mas é dada com o intuito de estabelecer uma compara¸cão com o argumento dado para a demonstra¸cão do Teorema 2.2.11, na qual ACωé utilizado.

um espa¸co topológico compacto SE que é SSE. Observa¸cão 4.4.2. Note que, apesar do uso de ACω(R) na prova do Teorema 2.3.2, o Exemplo 4.4.1 nos mostra que existem casos em que não é necessário usar princ´ıpio de escolha algum para se provar que certos espa¸cos topológicos SE são SSE. Porém, isto não é verdade para o espa¸co R, como será visto no Teorema 4.4.5, logo mais adiante. △

E interessante destacar que, utilizando argumento análogo ao que é dado no penúltimo paragráfo da constru¸cão do Exemplo 4.4.1, pode-se provar uma das implica¸cões do seguinte complemento ao Teorema 4.3.3:

Teorema 4.4.3. S˜ao equivalentes: (i) ACω.

(ii) Todo espa¸co topológico SSE é separável. Demonstra¸cão:

(i) =⇒ (ii) : Já está demonstrada (veja Corolário 2.2.15).

(ii) =⇒ (i) : Tal como na prova de (ii) =⇒ (i) do Teorema 4.3.3, suponha que ACω não valha e considere o espa¸co pseudométrico não separável, X = {h0, 0i} ∪

[

n>1 Bn, que é constru´ıdo a partir desta suposi¸cão. Agora, como o conjunto [ω]<ω _{é enumerável} e, obviamente, [ω \ 1]<ω ⊂ [ω]<ω_{, tem-se então que [ω \ 1]}<ω _{é enumerável. Considere,} para cada F ∈ [ω \ 1]<ω, o conjunto XF :=

[

n∈F

Bn. Considere agora, para cada n ∈ ω \ 1 e cada F ∈ [ω \ 1]<ω, o conjunto Bhn,F i := B

h0, 0i, 1 n

∪ XF. Tome então o conjunto V0 := Bhn,F i : hn, F i ∈ (ω \ 1) × [ω \ 1]<ω e observe que este conjunto é enumerável, pois está indexado por um produto finito de conjuntos enumeráveis. Tome agora uma base B qualquer de X. Considere então o conjunto B1 := {Bn : n ∈ ω \ 1} ∪ (B ∩ V0). Note que B1 é enumerável, por ser união finita de conjuntos enumeráveis. Verifica-se, sem muita dificuldade, que B1 é uma base de X que está contida em B. Então, já que B foi tomada qualquer, conclui-se que X é SSE. Consequentemente, existe um espa¸co pseudométrico (logo topológico) SSE que não é separável. Portanto, a implica¸cão segue

por contraposi¸c˜ao.

Como já foi visto, o Teorema 4.2.1 nos garante que ACω(R) é equivalente à asser¸cão “todo subespa¸co de R é separável”. Contudo, tal equivalência não é de longe a ´

unica entre ACω(R) e asser¸c˜oes topol´ogicas que envolvem certas fam´ılias de subespa¸cos de R, conforme nos diz o seguinte e importante

Lema 4.4.4. S˜ao equivalentes: (i) ACω(R).

(ii) ACω restrito às fam´ılias (enumeráveis) de subconjuntos densos de R. (iii) Todo subespa¸co de R é separável.

(iv) Todo subespa¸co SE de R é separável. (v) Todo subespa¸co denso de R é separável. Demonstra¸cão:

(i) ⇐⇒ (iii) : J´a est´a demonstrada (veja o Teorema 4.2.1).

(i) =⇒ (ii) : É imediato, já que toda fam´ılia de subconjuntos densos de R é obviamente constitu´ıda por subconjuntos não vazios de R.

Para prosseguir com a demonstra¸cão, considere inicialmente a base enumerável B = {]a, b[ : a, b ∈ Q e a < b} de R. Fixe então uma indexa¸cão {]an, bn[ : n < ω} de B. Para cada n < ω, tome o correspondente ]an, bn[ ∈ B e defina ϕn : ]0, 1[ −→ ]an, bn[ pondo ϕn(x) = (bn− an)x + an. Claramente, para todo n < ω, ϕn está bem definida e é um homeomorfismo. Considere ψ : R −→ ]0, 1[ definida por ψ(x) = 1

2 1 + x 1 + |x| . Sem muita dificuldade, verifica-se que ψ está bem definida e que é um homeomorfismo. Finalmente, para cada n < ω, tome fn : R −→ ]an, bn[ definida por fn(x) = (ϕn◦ ψ)(x). ´

E claro que, para todo n < ω, fn é um homeomorfismo, pois o são ϕn e ψ. Agora, prossigamos com a prova das seguintes implica¸cões:

(iii) ⇐⇒ (iv) : Por um lado, valendo (iii), é imediato concluirmos que todo subespa¸co SE de R é separável. Por outro lado, como R é SE, então todo subespa¸co de Ré SE (pela Proposi¸cão 1.2.11). Portanto, supondo-se que (iv) valha, podemos concluir que todo subespa¸co de R é separável.

(ii) =⇒ (v) : Seja D um subespa¸co denso qualquer de R. Para cada n < ω, temos claramente que f−1

n : ]an, bn[ −→ R é cont´ınua e sobrejetora (por ser a inversa de um homeomorfismo) e que D ∩ ]an, bn[ é denso em ]an, bn[ (pois a interse¸cão de um subespa¸co aberto com um subconjunto denso é denso em um tal subespa¸co). Sendo assim, para cada n < ω, conclu´ımos que o conjunto Dn := fn−1D ∩ ]an, bn[ é um subconjunto denso de R (já que a imagem de um subconjunto denso por uma fun¸cão cont´ınua e sobrejetora é um denso no contradom´ınio). Considere então o conjunto F := {Dn: n < ω}. Temos obviamente que F é uma fam´ılia enumerável de subconjuntos densos de R. Com isso, se admitirmos que (ii) valha, podemos então concluir que existe uma fun¸cão-escolha para F, i.e., uma fun¸cão φ : F −→S F tal que, para todo n < ω, φ (Dn) ∈ Dn. Considere agora, para cada n < ω, dn := fn(φ (Dn)). Afirmamos que o conjunto D0 := {dn: n < ω} é um

subconjunto enumerável denso de D. Com efeito: claramente, temos que D0é enumerável. Ora, para cada n < ω, é evidente que dn∈ fn[Dn] = D ∩ ]an, bn[ ⊆ D. Segue obviamente disso que D0 ⊆ D e que D0 intersecta cada elemento do conjunto BD := {D ∩ I : I ∈ B}. Como BD é uma base de D (visto que B é uma base de R), então D0 é denso em D. Consequentemente, D é um subespa¸co separável de R.

(v) =⇒ (i) : Seja F uma fam´ılia infinita enumerável qualquer de subconjuntos não vazios de R. Fixe então uma enumera¸cão {Xn: n < ω} de F. Com isso, tome o conjunto

D := [

n<ω

fn[Xn] ⊆ R. Observe que, para cada n < ω, o correspondente ]an, bn[ ∈ B é tal que D ∩ ]an, bn[ ⊇ D ∩ fn[Xn] = fn[Xn] 6= ∅ (pois, por hipótese, Xn 6= ∅). Como B é uma base de R, então D é um subespa¸co denso de R. Assim, supondo-se que (v) valha, pode-se concluir que existe um conjunto D0 que é subconjunto enumerável denso de D. Logo, conclui-se que D0 também é denso em R (pois um denso em um subespa¸co denso é denso). Considere agora o conjunto M := {n ∈ ω : D0∩ fn[Xn] 6= ∅}. Afirmamos que M é infinito. De fato: suponha que M seja finito. Para ver que isto nos levará a uma contradi¸cão, note inicialmente que:

D0 = D0∩ D = D0∩ [ n<ω fn[Xn] = D0∩   [ n∈M fn[Xn] ∪ [ n∈ω\M fn[Xn]  ⊆ ⊆ [ n∈M fn[Xn] ∪ [ n∈ω\M (D0∩ fn[Xn]) ⊆ [ n∈M ]an, bn[ ∪ ∅ = [ n∈M ]an, bn[ .

Com isso, temos que D0 está contido em uma união de subconjuntos limitados de R. Sendo M finito, seguirá que D0 é limitado em R, contradizendo o fato de D0 ser denso em R (já que R é ilimitado em si mesmo). Então, fixando-se uma indexa¸cão {dk : k < ω} de D0, conclui-se que, para todo n ∈ M , k(n) := min {k ∈ ω : dk ∈ fn[Xn]} está bem definido. Considere agora o conjunto FM := {Xn : n ∈ M } ⊆ F. Ora, é claro que FM é uma subfam´ılia infinita de F, por ser imagem do conjunto infinito M pela enumera¸cão de F. Obviamente, para todo n ∈ M , dk(n) ∈ fn[Xn]. Com isso, defina φ : FM −→ S FM pondo, para todo n ∈ M , φ (Xn) := fn−1 dk(n). Como é fácil verificar que n = m implica fn = fm, e temos que {Xn : n < ω} é uma enumera¸cão de F, segue então que φ está bem definida. Além disso, temos que φ é uma fun¸cão-escolha para FM, já que, para todo n ∈ M , φ (Xn) ∈ fn−1[fn[Xn]] = Xn. Como F foi tomada qualquer, conclu´ımos que “toda fam´ılia infinita enumerável de subconjuntos não vazios de R possui uma subfam´ılia infinita que admite uma fun¸cão-escolha”. Ora, sabemos que esta asser¸cão é equivalente a ACω(R) (pelo Teorema 2.4.2). Portanto, segue da validade de (v) que ACω(R) também

vale.

principais resultados desta se¸cão, que é dado pelo seguinte Teorema 4.4.5. São equivalentes:

(i) ACω(R).

(ii) Todo espa¸co topol´ogico SE ´e SSE.

(iii) Todo espa¸co pseudométrico separável é SSE. (iv) [0, 1] é SSE.

(v) R ´e SSE. Demonstra¸c˜ao:

(i) =⇒ (ii) : J´a est´a demonstrada (veja Teorema 2.3.2).

(ii) =⇒ (iii) : Sabemos que todo espa¸co pseudométrico separável é SE (pelo Teorema 2.1.7). Portanto, admitindo-se a validade de (ii), pode-se concluir que todo espa¸co pseudométrico separável é SSE.

(iii) =⇒ (iv) : Como Q é um subconjunto enumerável denso de R, então o conjunto Q ∩ [0, 1] ⊂ Q é enumerável (pelo Corolário 1.1.16) e subconjunto denso de [0, 1] (já que o conjunto B = {]x, y[ ∩ [0, 1] : x, y ∈ R} \ {∅} é uma base de [0, 1] tal que todo elemento de B intersecta Q). Assim, tem-se que [0, 1] é um subespa¸co separável de R. Portanto, admitindo-se que (iii) valha, pode-se concluir que [0, 1] é SSE.

(iv) =⇒ (v) : Já sabemos que ]0, 1[ é homeomorfo a R. Então, para provar que (iv) implica que R é SSE, é basta mostrar que (iv) implica que ]0, 1[ é SSE. Para mostrar isso, tome uma base B qualquer de ]0, 1[ e considere o conjunto

B′ _:= 0,1 n : n ∈ ω \ 1 ∪ 1 − 1 n, 1 : n ∈ ω \ 1 ∪ B.

Afirmamos que B′_{é uma base de [0, 1]. Com efeito: é imediato concluir que todo elemento} de B é um aberto em [0, 1], pois, obviamente, ]0, 1[ é um aberto em [0, 1]. Além disso, é claro que, para todo n ∈ ω \ 1,

0,1 n = −1,1 n ∩ [0, 1] e 1 − 1 n, 1 = 1 − 1 n, 2 ∩ [0, 1] são abertos em [0, 1]. Logo, todo elemento de B′ _{é um aberto em [0, 1]. Seja U um aberto} em [0, 1], i.e., U = V ∩ [0, 1], para algum aberto V em R. Caso seja U = ∅, nada a fazer. Caso contrário, tome um z ∈ U qualquer. Temos então três casos a considerar:

(1) Se for z = 0, como U ⊆ V , ent˜ao V ser´a uma vizinhan¸ca aberta de 0 em R. Disso, e de R ser corpo ordenado arquimediano, concluiremos que existe um k ∈ ω \ 1 tal que −1 k, 1 k

⊆ V . Com isso, teremos que 0,1 k = −1 k, 1 k ∩ [0, 1] ⊆ V ∩ [0, 1] = U .

(2) Se for z = 1, com argumento an´alogo ao do caso anterior, iremos concluir que existe um k ∈ ω \ 1 tal que

1 − 1 k, 1 + 1 k

⊆ V . Por conseguinte, teremos que 1 − 1 k, 1 = 1 − 1 k, 1 + 1 k ∩ [0, 1] ⊆ V ∩ [0, 1] = U .

(3) Se for z 6= 0 e z 6= 1, teremos que z ∈ U \ {0, 1} = V ∩ ([0, 1] \ {0, 1}) = V ∩ ]0, 1[. Como obviamente V ∩ ]0, 1[ é um aberto em ]0, 1[, então existirá um B ∈ B ⊂ B′ tal que z ∈ B ⊆ U \ {0, 1} ⊆ U .

Dos três casos acima, segue que, para todo z ∈ U , existe um B ∈ B′ _{tal que z ∈ B ⊆ U .} Então, admitindo-se a validade de (iv), pode-se concluir que existe uma base enumerável B′

0 de [0, 1] contida em B′. Sendo assim, considere o conjunto B0 := B0′ ∩ B. Ora, é claro que B0 é enumerável, já que B0 ⊂ B0′. Mais do que isso: temos que B0 é uma base de ]0, 1[. De fato: como B0 ⊆ B, temos claramente que todo elemento de B0 é um aberto em ]0, 1[. Seja W um aberto qualquer em ]0, 1[. Como ]0, 1[ é um aberto em [0, 1], é imediato concluir que W também é um aberto em [0, 1]. Se for W = ∅, nada a fazer. Se for W 6= ∅, tome um w ∈ W qualquer. De B′

0 ser base de [0, 1], conclu´ımos que existe um B ∈ B′

0 tal que w ∈ B ⊆ W . J´a que W ⊆ ]0, 1[, ent˜ao 0 6∈ B e 1 6∈ B. Disso, e de termos B′

0 ⊆ B′, segue de imediato que B ∈ B. Logo, B ∈ B0′ ∩ B = B0. Portanto, temos que ]0, 1[ ´e SSE.

(v) =⇒ (i) : Suponha que (v) valha. Conforme o Lema 4.4.4, para se concluir a validade de ACω(R), é suficiente provar que todo subespa¸co denso de R é separável. Para provar isso, tome um subespa¸co denso D qualquer de R. Sendo assim, pode-se mostrar facilmente que o conjunto B := {]a, b[ : a, b ∈ D e a < b} é uma base de R. Então, da validade de (v), conclui-se que existe uma base enumerável B0 de R contida em B. Fixe então uma indexa¸cão {]an, bn[ : n < ω} de B0. Agora, defina ϕ : B −→ D pondo ϕ (]a, b[) := a. É claro que ϕ está bem definida, por constru¸cão. Considere então o conjunto D0 := ϕ [B0] ⊆ D e note que este conjunto é enumerável, já que é imagem de um conjunto enumerável por uma fun¸cão (veja Corolário 1.1.17). Afirmamos que D0 é denso em D. Com efeito: para concluir o afirmado, basta mostrar que D0 é denso em R (já que D0

D = D0

∩ D). Mostremos isso: ﬁxe arbitrariamente um n < ω e considere o correspondente ]an, bn[ ∈ B0. Tome um z ∈ ]an, bn[ qualquer e ﬁxe um ε > 0 tal que ε 6 1

2min {z − an, bn− z}. Tome agora o conjunto V := ]z − ε, z + ε[ ⊂ ]an, bn[. Como B0 é uma base de R e V é, obviamente, uma vizinhan¸ca aberta de z em R, conclui-se que existe um k < ω tal que o correspondente ]ak, bk[ ∈ B0 satisfaz a condi¸cão de que z ∈ ]ak, bk[ ⊆ V ⊂ ]an, bn[. Segue facilmente disso que ak ∈ ]an, bn[. Além disso, pela defini¸cão de ϕ, é claro que ak = ϕ (]ak, bk[) ∈ D0. Consequentemente, ]an, bn[ ∩ D0 6= ∅. Como n < ω foi tomado arbitrário, conclui-se que D0 é denso em R e, por conseguinte,

que D é separável. Portanto, já que D foi tomado qualquer, segue que todo subespa¸co

denso de R ´e separ´avel.

Observa¸cão 4.4.6. Para as demonstra¸cões do Lema 4.4.4 e do Teorema 4.4.5, demos a nossa contribui¸cão apresentando a justificativa de todos os detalhes das provas dadas pelo autor do artigo [Gut04], no qual obtivemos os resultados que estão expressos no lema e

no teorema referidos. △

Corol´ario 4.4.7. S˜ao equivalentes: (i) ACω(R).

(ii) Todo subespa¸co Lindel¨of de R ´e SSE. Prova:

(i) =⇒ (ii) : Pelo fato de R ser SE, tem-se que todo subespa¸co de R é SE (pela Proposi¸cão 1.2.11). Então, valendo ACω(R), pode-se concluir, pelo Teorema 4.4.5, que todo subespa¸co de R é SSE.

(ii) =⇒ (i) : Basta verificar que a contrapositiva vale. Suponha que ACω(R) não valha. Sendo assim, segue do Teorema 4.4.5 que [0, 1] não é SSE. Ora, temos que [0, 1] é Lindelöf, por ser compacto (veja Teorema 2.1.12). Portanto, existe um subespa¸co

Lindelöf de R que não é SSE.

Corol´ario 4.4.8. Se todo espa¸co métrico Lindelöf for SSE,9 _{então AC}

ω(R) vale.

O Corolário 4.4.8 é uma consequência imediata do Corolário 4.4.7, pois segue obviamente da sua hipótese que todo subespa¸co Lindelöf de R é SSE.

Agora, com o propósito de motivar o último dos principais resultados desta se¸cão, vamos nos reportar ao Teorema 4.4.3. A princ´ıpio, pode parecer surpreendente que o item (ii) desse teorema, quando restrito aos subespa¸cos de R, possa ser provado em ZF. Contudo, isso é justamente o que garante o último dos principais resultados apresentados nesta se¸cão, o qual passamos a enunciar no seguinte

9_{Observe que n˜}_{ao faz sentido enunciar este corol´}_{ario com a hip´}_{otese mais geral de que todo espa¸co}

topológico Lindelöf é SSE, devido ao seguinte fato: a compactifica¸cão de Alexandroff de um dado espa¸co discreto não enumerável é um espa¸co Lindelöf (por ser compacto) que não tem base enumerável alguma (já que possui um subconjunto não enumerável de pontos isolados).

Teorema 4.4.9. Todo subespa¸co SSE de R é separável. Demonstra¸cão:

Seja A um subespa¸co SSE de R. Como é evidente que ∅ é um subespa¸co SSE separável de R, podemos então supor que A é não vazio. Sem perda de generalidade, podemos supor também que todo a ∈ A é ponto de acumula¸cão de A, pois, se a ∈ A for ponto isolado, então {a} pertencerá a qualquer base de A.10 _{Agora, considere os seguintes} conjuntos:

B1 := {]a, b[ ∩ A : a, b ∈ A} ;

B2 := {[c, d[ ∩ A : c, d ∈ A e ∃ δ > 0 (]c − δ, c[ ∩ A = ∅)} ; B3 := {]e, f ] ∩ A : e, f ∈ A e ∃ δ > 0 (]f, f + δ[ ∩ A = ∅)} .

Afirmamos que o conjunto B := (B1∪ B2∪ B3) \ {∅} é uma base de A. Com efeito: todos os elementos de B são abertos em A, pois: dados a, b, c, d, e, f ∈ R quaisquer, temos que ]a, b[ ∩ A é claramente um aberto em A e, caso existam δ, δ′ _{> 0 tais que} ]c − δ, c[ ∩ A = ∅ = ]f, f + δ′_{[ ∩ A, teremos também que [c, d[ ∩ A = ]c − δ, d[ ∩ A e} ]e, f ] ∩ A = ]e, f + δ′_{[ ∩ A são abertos em A. Seja U um aberto em A, i.e., U = V ∩ A,} para algum aberto V em R. Caso seja U = ∅, nada a fazer. Caso contrário, teremos que V 6= ∅, o que implica que V é uma união de intervalos abertos e limitados em R. Assim, podemos supor, sem perda de generalidade, que U é um aberto básico não vazio de A da forma ]x, y[ ∩ A, com x, y ∈ R e x < y. Seja então w ∈ U = ]x, y[ ∩ A qualquer. Como w ∈ A, então w é um ponto de acumula¸cão de A. Logo, ]x, y[ ∩ (A \ {w}) 6= ∅, pois, obviamente, ]x, y[ é uma vizinhan¸ca aberta de w em R. Consequentemente, temos três casos a considerar. São eles:

(1) Existem a, b ∈ A tais que a ∈ ]x, w[ e b ∈ ]w, y[. Disso, segue imediatamente que w ∈ ]a, b[ ∩ A ⊆ ]x, y[ ∩ A = U .

(2) Existe d ∈ A tal que d ∈ ]w, y[ e ]x, w[ ∩ A = ∅. Conclui-se facilmente disso que [w, d[ ∩ A ⊆ ]x, y[ ∩ A = U . Tomando δ = w − x > 0, tem-se evidentemente que ]w − δ, w[ ∩ A = ]x, w[ ∩ A = ∅.

(3) Existe e ∈ A tal que e ∈ ]x, w[ e ]w, y[ ∩ A = ∅. Facilmente se conclui disso que ]e, w] ∩ A ⊆ ]x, y[ ∩ A = U . Tomando δ = y − w > 0, tem-se obviamente que ]w, w + δ[ ∩ A = ]w, y[ ∩ A = ∅.

10_{Em virtude da Proposi¸c˜}_{ao 1.2.2, tem-se que A ´e SE e, por conseguinte, que o conjunto dos pontos}

isolados de A (que, eventualmente, estejamos descartando) é, no máximo, infinito enumerável – e não há conflito algum entre a nossa suposi¸cão e a hipótese de A ser SSE.

Pelos três casos acima, tem-se que, para todo w ∈ U , existe um B ∈ B tal que w ∈ B ⊆ U . Então, já que o subespa¸co A é SSE, segue que existe uma base enumerável B0de A contida em B.

Para prosseguirmos com a demonstra¸c˜ao, provemos agora o seguinte

Fato 4.4.10. Dado A ⊆ R tal que A 6= ∅ e dados intervalos I, J ⊂ R com extremos

inferiores, respectivamente, aI, aJ ∈ A tais que aI 6∈ I e aJ 6∈ J, se I ∩ A = B = J ∩ A

e B 6= ∅, ent˜ao aI = aJ. Prova:

Suponha, por absurdo, que tenhamos aI < aJ (para o caso aI > aJ, a prova segue de forma análoga). Como B 6= ∅, podemos fixar um c ∈ B. Logo, c ∈ J e aI < aJ < c. Disso, de termos que c ∈ I e de I ser intervalo com extremo inferior aI, seguirá que aJ ∈ I. Já que aJ ∈ A, teremos então que aJ ∈ I ∩ A = B. Portanto, como também

B = J ∩ A ⊆ J, concluiremos que aJ ∈ J, uma contradi¸c˜ao.

Agora, observe que todos os elementos de B são obviamente não vazios (pela própria defini¸cão de B). Com isso, podemos definir f : B −→ A pondo

f (B) :=                 

min (B) , se B tiver elemento m´ınimo; aI, se B n˜ao tiver elemento m´ınimo

e existir um intervalo limitado I, com extremo inferior aI, tal que B = I ∩ A, aI ∈ A e aI 6∈ I.

Notemos que f está bem definida, pois: se B ∈ B tiver elemento m´ınimo, então é claro que f (B) existirá, será unicamente determinado e pertencerá a B ⊆ A. Se B ∈ B não tiver elemento m´ınimo, então, pela defini¸cão de B, teremos que B = I ∩ A, para algum intervalo limitado I, com extremo inferior aI ∈ A e aI 6∈ I. Ora, se tivermos outro intervalo limitado J, com extremo inferior aJ ∈ A e aJ 6∈ J, tal que B = J ∩ A, então o Fato 4.4.10 nos garante que aI = aJ. Consequentemente, além de existir e pertencer a A, também teremos f (B) unicamente determinado.

Considere então o conjunto D := f [B0] ⊆ A. É claro que D é enumerável, pois é imagem de um conjunto enumerável por uma fun¸cão (veja Corolário 1.1.17). Além disso, temos que D é denso em A. De fato: isto é consequência de um resultado mais geral, enunciado no seguinte

do subespa¸co A, ent˜ao f [B∗] ´e denso em A. Prova:

Dado U ∈ B∗ qualquer, como B∗ ⊆ B, segue disso que U 6= ∅ e que existe um intervalo limitado I tal que U = I ∩ A. Tome então um v ∈ U qualquer. Como U ⊆ A, então v ∈ A e, por conseguinte, v é ponto de acumula¸cão de A. Ora, disso, e de U ser aberto em A, segue que {v} ⊂ U . Sendo assim, existe um w ∈ U tal que w 6= v. Sem perda de generalidade, podemos supor que v < w. Como R é T2, e ser T2 é uma propriedade hereditária (pela Proposi¸cão 1.2.11), segue que o subespa¸co A também é T2. Assim, existem U1 e U2 abertos em A tais que v ∈ U1, w ∈ U2 e U1∩ U2 = ∅. Agora, observe que U ∩ U1 e U ∩ U2 são claramente abertos em A e que v ∈ U ∩ U1 e w ∈ U ∩ U2. Ora, temos que B∗ é, por hipótese, uma base do subespa¸co A. Por conseguinte, existem V, W ∈ B∗ tais que v ∈ V ⊆ U ∩ U1 e w ∈ W ⊆ U ∩ U2. É imediato ver que V ∩ W = ∅, pois claramente V ⊆ U1 e W ⊆ U2. Caso W tenha elemento m´ınimo, teremos então que f (W ) ∈ W . Como obviamente W ⊆ U , seguirá disso que f (W ) ∈ U . Caso contrário, teremos que f (W ) 6∈ W e que f (W ) será o extremo inferior de algum intervalo limitado

No documento Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM (páginas 98-110)