Rela¸c˜oes entre AC, BPI e a restri¸c˜ao de TT aos espa¸cos compactos cuja

espa¸cos compactos cuja topologia ´e a cofinita

Como já foi mencionado na Se¸cão 3.1, Kelley apresentou, em 1950, uma prova da asser¸cão TT =⇒ AC que continha um pequeno erro – observado no artigo de 1951 de Lo´s e Ryll-Nardzewski –, que pode ser facilmente corrigido, tal como o fizemos ao provar, com os argumentos de Kelley, que TT implica AC em ZF−. Representando por TTcf o Teorema de Tychonoff restrito aos espa¸cos compactos cuja topologia é a cofinita, poder´ıamos concluir, com os argumentos originais de Kelley, que TT =⇒ TTcf =⇒ AC. Contudo, podemos questionar se asser¸cão TTcf =⇒ AC é falsa, devido ao fato de um dos argumentos de Kelley estar incorreto. Na presente se¸cão, mostraremos que realmente TTcf não implica AC. Para este propósito, iremos provar, em ZF, a equivalência entre TTcf e a asser¸cão BPI, que é estritamente mais fraca que AC, utilizando os mesmos argumentos dados no artigo [Sch06]. Tal como o autor deste artigo, destaquemos que BPI é mencionado apenas para “identificar” vários princ´ıpios maximais e topológicos que lhe são equivalentes em ZF – destacando que algumas dessas equivalências estão demonstradas na se¸cão anterior. Concentremos agora a nossa aten¸cão em dois de tais princ´ıpios equivalentes a BPI. São eles os seguintes princ´ıpios topológicos:

(TT2) Dado um conjunto X, se 2 = {0, 1} estiver munido da topologia discreta, ent˜ao o espa¸co-produto 2X _{´e compacto.}

(U) Dado um espa¸co topol´ogico X, tem-se que X ´e compacto se, e somente se, toda ultrarrede em X convergir para algum ponto em X.

Como obviamente as topologias discreta e cofinita sobre um mesmo conjunto finito coincidem, tem-se de imediato que TTcf implica TT2 em ZF. Então, para verificar a equivalência entre TTcf e BPI, basta provar que U implica TTcf, pois já temos que as seguintes implica¸cões são válidas:

Lembrando que estamos admitindo a validade da equivalência entre U e BPI. Agora, para provarmos que U implica TTcf em ZF, comecemos com as seguintes defini¸cões: Defini¸cão 3.3.1. Sejam ∆ um conjunto e 6 uma rela¸cão binária sobre ∆. Diz-se que ∆ é direcionado por 6 se h∆, 6i for uma pré-ordem satisfazendo a seguinte condi¸cão: para todo subconjunto finito Φ de ∆, existe uma cota superior em ∆ para Φ segundo 6. Agora, sejam X um conjunto e ν : ∆ −→ X uma fun¸cão. Diz-se que ν é uma rede em X se ∆ for direcionado por 6.4 _{Caso ν seja uma rede em X, para cada δ ∈ ∆, denota-se}

ν(δ) por xδ. Neste caso, representa-se ν por hxδiδ∈∆. △

Defini¸cão 3.3.2. Sejam X um conjunto, hxδiδ∈∆ uma rede em X e z ∈ X. Se X for um espa¸co topológico, diz-se que hxδiδ∈∆ converge para z, e representa-se por xδ → z, se, para toda vizinhan¸ca aberta V de z em X, existir um δ0 ∈ ∆ tal que, para todo δ > δ0 em ∆, xδ ∈ V . Agora, seja φ(x) uma propriedade que se aplica a cada x ∈ X. Diz-se que hxδiδ∈∆satisfaz residualmente φ(x), ou que φ(xδ) residualmente, se existir um δ0 ∈ ∆ tal que, para todo δ > δ0 em ∆, φ(xδ) vale. Diz-se que hxδiδ∈∆ é uma ultrarrede se, para todo A ⊆ X, ou xδ ∈ A residualmente ou xδ ∈ X \ A residualmente.5 Por fim, diz-se que hxδiδ∈∆ é residualmente constante se existir um x ∈ X tal que

xδ= x residualmente. △

E claro que, para todo conjunto X e toda rede hxδiδ∈∆ em X, se hxδiδ∈∆ for residualmente constante, então existe um único x ∈ X tal que xδ = x residualmente. Portanto, se existir um x ∈ X que testemunhe que hxδiδ∈∆ é residualmente constante, diremos especificamente que hxδiδ∈∆ é residualmente constante de valor x. Agora, prossigamos apresentando o seguinte

Lema 3.3.3 (ZF). Dados um conjunto X e uma ultrarrede hxδiδ∈∆ em X, se existir

um F ⊆ X tal que F é finito e xδ ∈ F residualmente, então hxδiδ∈∆ é residualmente 4_{Em virtude desta defini¸c˜}_{ao, segue de imediato que toda sequência hx}

nin>1 e, para todo ordinal α,

toda α-sequˆencia hxξiξ<α s˜ao redes em seus respectivos contradom´ınios.

5_{E interessante destacar que, dado um conjunto X, a cada rede em X podemos associar um ﬁltro}_´

sobre X e vice-versa da seguinte maneira: dada uma rede ν = hxδiδ∈∆ em X, considere o conjunto

F (ν) := {A ⊆ X : xδ∈ A residualmente}. Verifica-se que F (ν) é um filtro sobre X e que F (ν) é um

ultrafiltro se, e somente se, ν for uma ultrarrede. Agora, dado um filtro F sobre X, considere sobre o conjunto ∆ (F) := {hA, xi : A ∈ F e x ∈ A} a rela¸cão binária 6 que é definida pela seguinte senten¸ca: para todo hA, xi, hB, yi ∈ ∆ (F), hA, xi 6 hB, yi se, e somente se, B ⊆ A. Mostra-se que ∆ (F) é direcionado por 6. Considere ν (F) : ∆ (F) −→ X definida por ν (F) hA, xi = x. Pela constru¸cão, tem-se que ν (F) está bem definida, implicando que ν (F) é uma rede em X. Além disso, verifica-se que, para todo filtro G sobre X, F (ν (G)) = G.

constante.

Demonstra¸c˜ao:

Suponha que exista um F ⊆ X tal que F seja finito e xδ ∈ F residualmente. Então, pode-se fixar um δ0 ∈ ∆ tal que, para todo δ > δ0 em ∆, xδ ∈ F . Admita que hxδiδ∈∆ não seja residualmente constante. Assim sendo, para todo x ∈ F , não é verdade que xδ∈ {x} residualmente. Como hxδiδ∈∆ é uma ultrarrede em X, segue então que, para todo x ∈ F , xδ ∈ X \ {x} residualmente. Logo, para cada x ∈ F , pode-se fixar um δx ∈ ∆ tal que, para todo δ > δx em ∆, xδ ∈ X \ {x}. Ora, o conjunto ∆F := {δ0} ∪ {δx : x ∈ F } é um subconjunto finito de ∆. Então, pode-se fixar uma cota superior δF em ∆ para ∆F. Consequentemente, teremos que, para todo δ > δF em ∆, xδ ∈

x∈F

X \ {x} = X \ [

x∈F

{x} = X \ F , uma contradi¸c˜ao. Portanto, conclui-se que

hxδiδ∈∆ ´e residualmente constante.

Lema 3.3.4 (ZF). Dados um conjunto I 6= ∅, uma fam´ılia {Xi : i ∈ I} de conjuntos

e uma rede hxδiδ∈∆ no produto cartesiano Y

i∈I

Xi, se hxδiδ∈∆ for uma ultrarrede, ent˜ao,

para todo i ∈ I, hxδ(i)iδ∈∆ ´e uma ultrarrede em Xi. Demonstra¸c˜ao:

Seja hxδiδ∈∆ uma rede qualquer em Y = Y

i∈I

Xi. Pode-se veriﬁcar facilmente que: (**) dada uma fam´ılia {Zi : i ∈ I} de conjuntos tal que, para todo i ∈ I, Zi ⊆ Xi,

se xδ ∈ Y

i∈I

Zi residualmente, ent˜ao, para todo i ∈ I, xδ(i) ∈ Zi residualmente. Agora, suponha que hxδiδ∈∆ seja uma ultrarrede. Fixe arbitrariamente um j ∈ I e um A ⊆ Xj. Ent˜ao, dado um i ∈ I, considere o conjunto

Zi := (

Xi, se i 6= j; A , se i = j. Considere agora o conjunto Z :=Y

i∈I

Zi ⊆ Y . Suponha que não seja verdade que xδ(j) ∈ A residualmente. Então, já que Zj = A, segue de (**) que não é verdade que xδ ∈ Z residualmente. Como hxδiδ∈∆ é uma ultrarrede em Y , segue então que xδ ∈ Y \ Z residualmente. Com isso, pode-se fixar um δ0 ∈ ∆ tal que, para todo δ > δ0 em ∆, xδ ∈ Y \ Z. Logo, para todo δ > δ0 em ∆, existe um k ∈ I tal que xδ(k) 6∈ Zk. Ora, se fosse k 6= j, ter´ıamos que Zk = Xk, uma contradi¸cão. Assim, tem-se que k = j e, por conseguinte, que Zk = A. Consequentemente, para todo δ > δ0 em ∆, xδ(j) 6∈ A. Logo, xδ(j) ∈ Xj\ A residualmente. Então, como A ⊆ Xj foi fixado arbitrariamente, segue que

hxδ(j)iδ∈∆ é uma ultrarrede em Xj. Portanto, já que j ∈ I foi fixado arbitrariamente, conclui-se que, para todo i ∈ I, hxδ(i)iδ∈∆ é uma ultrarrede em Xi. Lema 3.3.5 (ZF). Dados um conjunto I 6= ∅, uma fam´ılia {Xi : i ∈ I} de espa¸cos

topol´ogicos, uma rede hxδiδ∈∆ no espa¸co-produto Y = Y

i∈I

Xi e um ponto z ∈ Y , xδ → z

em Y se, e somente se, para todo i ∈ I, xδ(i) → z(i) em Xi. Demonstra¸c˜ao:

Por um lado, suponha que xδ → z em Y . Fixe arbitrariamente um j ∈ I e uma vizinhan¸ca aberta U de z(j) em Xj. Ent˜ao, dado um i ∈ I, considere o conjunto

Vi := (

Xi, se i 6= j; U , se i = j. Pela constru¸cão, é óbvio que o conjunto V :=Y

i∈I

Vi é uma vizinhan¸ca aberta de z em Y . Como xδ → z em Y , pode-se então fixar um δ0 ∈ ∆ tal que, para todo δ > δ0 em ∆, xδ∈ V . Logo, para todo δ > δ0 em ∆, xδ(j) ∈ U e, por conseguinte, xδ(j) → z(j) em Xj. Já que j ∈ I foi fixado arbitrariamente, segue então que, para todo i ∈ I, xδ(i) → z(i) em Xi.

Por outro lado, suponha que, para todo i ∈ I, xδ(i) → z(i) em Xi. Tome uma vizinhan¸ca aberta básica V qualquer de z em Y . Sendo assim, existe uma fam´ılia {Vi : i ∈ I} de conjuntos tal que, para todo i ∈ I, Vi é um aberto em Xi e que satisfaz a condi¸cão de que o conjunto J := {i ∈ I : Vi 6= Xi} é finito e V =

i∈I

Vi. Ora, para cada i ∈ I, tem-se que Vi é uma vizinhan¸ca aberta de z(i) em Xi e, por hipótese, que xδ(i) → z(i) em Xi. Então, para cada i ∈ J, pode-se fixar um δi ∈ ∆ tal que, para todo δ > δi em ∆, xδ(i) ∈ Vi. Como o conjunto ∆J := {δi : i ∈ J} é um subconjunto finito de ∆, pode-se então fixar uma cota superior δJ em ∆ para ∆J. Logo, para todo i ∈ J e todo δ > δJ em ∆, xδ(i) ∈ Vi. Além disso, é óbvio que, para todo i ∈ I \ J e todo δ ∈ ∆, xδ(i) ∈ Vi. Consequentemente, para todo δ > δJ em ∆, xδ ∈ V . Portanto, como V foi

tomada qualquer, conclui-se que xδ → z em Y .

Mesmo com enunciado e prova muito simples, o resultado a seguir é de relevante importância para se estabelecer a equivalência entre TTcf e BPI. Este resultado – devido a Alexey Muranov (cf. [Sch06, Se¸cão 3, p. 287]) – está enunciado no seguinte

Lema 3.3.6 ([Sch06], ZF). Dados um conjunto X e uma ultrarrede hxδiδ∈∆ em X,

em X ou hxδiδ∈∆ ´e residualmente constante. Demonstra¸c˜ao:

Suponha que X esteja munido da topologia cofinita. Admita que exista um ponto z ∈ X tal que hxδiδ∈∆ não convirja para z. Então, existe uma vizinhan¸ca aberta V de z em X para a qual não é verdade que xδ ∈ V residualmente. Como hxδiδ∈∆ é uma ultrarrede em X, tem-se que xδ ∈ X \ V residualmente. Tem-se também que X \ V é finito, já que V é um aberto não vazio da topologia cofinita sobre X. Portanto, segue do

Lema 3.3.3 que hxδiδ∈∆ ´e residualmente constante.

Teorema 3.3.7 ([Sch06], ZF). U implica TTcf. Demonstra¸c˜ao:

Seja F uma fam´ılia qualquer de espa¸cos compactos cuja topologia é a cofinita. Fixe então uma indexa¸cão {Xi : i ∈ I} de F por algum conjunto I. Com isso, considere o espa¸co-produto Y =Y

i∈I

Xi. Se for Y = ∅, então Y é compacto, pois a única topologia sobre ∅ é o conjunto {∅}. Se for I = ∅, então Y = {∅}, que também é compacto, já que a única topologia sobre {∅} é o conjunto {∅, {∅}}. Logo, podemos supor que Y e I são ambos não vazios. Fixe então um z ∈ Y . Agora, tome uma ultrarrede qualquer hxδiδ∈∆ em Y . Pelo Lema 3.3.4, tem-se que, para todo i ∈ I, hxδ(i)iδ∈∆ é uma ultrarrede em Xi. Então, segue do Lema 3.3.6 que, para todo i ∈ I, hxδ(i)iδ∈∆converge para qualquer ponto em Xi ou é residualmente constante. Com isso, pode-se definir ζ : I −→

[

i∈I

Xi pondo

ζ(i) := (

z(i) , se hxδ(i)iδ∈∆ convergir para qualquer ponto em Xi; ci, se hxδ(i)iδ∈∆ for residualmente constante de valor ci.

Pela constru¸cão, tem-se claramente que ζ está bem definida e que, para todo i ∈ I, xδ(i) → ζ(i) em Xi. Assim, pelo Lema 3.3.5, conclui-se que xδ → ζ. Como hxδiδ∈∆ foi tomada qualquer, tem-se que toda ultrarrede em Y converge para algum ponto em Y . Então, supondo-se que o princ´ıpio U valha, pode-se concluir que Y é compacto. Portanto,

segue que U implica TTcf.

Finalmente, em virtude do Teorema 3.3.7 e das implica¸c˜oes em (*), podemos encerrar a presente se¸c˜ao com seu principal resultado, o qual se encontra enunciado no seguinte

Espa¸cos (pseudo)m´etricos e

topol´ogicos em ZF

No presente cap´ıtulo, iremos apresentar alguns “horrores” da Análise Real e da Topologia da Reta no modelo básico de Cohen, dez condi¸cões sob as quais N é Lindelöf e alguns resultados sobre: espa¸cos (pseudo)métricos e topológicos na ausência de ACω, espa¸cos topológicos SE e SSE na ausência de ACω(R). Além disso, apresentaremos alguns resultados resultados de consistência relacionados, por exemplo, à paracompacidade de ω1 e sobre a não metrizabilidade de ω1 em ZF.

4.1 Sobre o modelo b´asico de Cohen

No in´ıcio dos anos de 1960, Paul J. Cohen revolucionou a Teoria dos Conjuntos ao criar o método de “forcing”, que é hoje largamente empregado em provas de consistência e de independência. Este método foi introduzido por Cohen exatamente para provar que a nega¸cão de AC e de CH (a Hipótese do Cont´ınuo, a qual declara que: “2ℵ0 _{= ℵ}

1”) são asser¸cões consistentes, respectivamente, com ZF e com ZFC. Com rela¸cão à nega¸cão de AC, Cohen utilizou o seu método de “forcing” para construir um modelo de ZF no qual AC é falso. Este modelo, denotado a partir de agora por M1, é comumente chamado na literatura matemática de o “modelo básico de Cohen”. Trabalhando em M1, Cohen obteve um resultado que veio a se tornar o primeiro de uma sucessão de “horrores” da Análise Real e da Topologia da Reta na ausência de AC. Este resultado – de enunciado muito simples, mas de consequências “desastrosas” – está expresso no seguinte

Fato 4.1.1. Em M1, existe um subconjunto infinito de R que é Dedekind-finito. Fixando então um tal subconjunto infinito de R e denotando-o por C, segue imediatamente da Proposi¸cão 1.1.19 que, em M1, todo subconjunto infinito de C é não

enumerável (em particular, tem-se que C é não enumerável). Mais que isso: em virtude do Teorema 2.2.1, conclui-se do Fato 4.1.1 que ACω é falso em M1. Logo, AC é, de fato, falso em M1.

Para continuar com o “circo de horrores” no modelo de Cohen, iremos provar alguns fatos que são consequências do Fato 4.1.1 – muitos deles tão “chocantes” quanto este último. São eles:

Fato 4.1.2. Em M1, R n˜ao pode ser bem ordenado. Prova:

Suponha, por absurdo, que exista uma boa ordem sobre R em M1. Denotando por 6 uma tal boa ordem, tem-se então que C está bem ordenado por 6. Logo, existe um único isomorfismo de ordem f : C −→ t. o. (C, <). Como C é infinito, segue que ω 6 t. o. (C, <), i.e., que ω ⊆ t. o. (C, <). Então, por ser f bijetora, tem-se claramente que f−1_{[ω] ⊆ C é equipotente a ω e, por conseguinte, que C possui um subconjunto} infinito enumerável, uma contradi¸cão. Portanto, tem-se que, em M1, R não pode ser

bem ordenado.

Fato 4.1.3. Em M1, existem um ponto x ∈ R e um A ⊆ R tais que x ∈ A, mas toda

sequˆencia em A n˜ao converge para x.

Prova:

Iniciamente, aﬁrmamos que:

(*) dado um X ⊆ R, se X for infinito e Dedekind-finito, então existe um elemento de X que é ponto de acumula¸cão de X.

Com efeito: suponha que X ⊂ R seja infinito e Dedekind-finito e admita que qualquer elemento de X seja ponto isolado. Tome a base enumerável B = {]a, b[ : a, b ∈ Q e a < b} de R. Note que B é infinita, pois, obviamente, o conjunto {]n, n + 1[ : n < ω} ⊂ B é infinito. Sendo assim, pode-se fixar uma enumera¸cão {In : n < ω} de B. Como B é uma base de R e cada ponto em X é suposto isolado, tem-se então que, para todo x ∈ X, existe um k < ω tal que Ik ∩ X = {x}. Defina então φ : X −→ ω pondo φ(x) := min {k ∈ ω : Ik∩ X = {x}}. Pela constru¸cão, é claro que φ está bem definida e que é injetora, i.e., que X ω. Disso, segue que X é enumerável (pela Proposi¸cão 1.1.14). Consequentemente, teremos que X é um subconjunto infinito enumerável de si próprio, contradizendo a Proposi¸cão 1.1.19.

Então, pode-se fixar um x0 ∈ C que é ponto de acumula¸cão de C. Agora, considere o conjunto A0 := C \ {x0}. Como C é Dedekind-finito, então A0 também é

Dedekind-finito (pelo Corolário 1.1.20). Assim, tem-se que toda sequência em A0 assume um número finito de valores, pois: dado um conjunto Dedekind-finito X, se existisse uma sequência s em X assumindo um número infinito de valores, então im(s) seria um subconjunto infinito enumerável de X, uma contradi¸cão. Então, toda sequência em A0 que converge é quase constante. Disso, segue que toda sequência em A0 não converge para x0, já que x0 6∈ A0. Portanto, basta tomar x = x0 e A = A0 para concluir que, em M1, existem um ponto x ∈ R e um A ⊆ R tais que x ∈ A, mas toda sequência em A não

converge para x.

Fato 4.1.4. Em M1, existe um A ⊆ R tal que toda sequˆencia em A possui uma

subsequência convergente, mas A não é fechado nem limitado em R.

Prova:

Considere o ponto x0 ∈ C que é obtido na prova do Fato 4.1.3, juntamente com o conjunto A0 = C \ {x0}. É evidente que x0 6∈ A0. Além disso, tem-se que x0 é um ponto de acumula¸cão de A0, já que é um ponto de acumula¸cão de C. Logo, x0 ∈ A0 \ A0 e, por conseguinte, A0 não é fechado em R. Agora, note que toda sequência em A0 possui uma subsequência constante (logo convergente), visto que toda sequência em A0 assume um número finito de valores. Se A0 for ilimitado em R, nada mais a fazer. Se A0 for limitado em R, há dois casos a considerar: caso x0 seja um ponto de acumula¸cão de A0 à esquerda, considere f : ]x0− 1, x0[ −→ R definida por f (x) = tan

2 (2x − 2x0+ 1)

. Claramente, tem-se que f está bem definida e que é estritamente crescente. Além disso, vê-se facilmente que f é um homeomorfismo.

Afirmamos que o conjunto B := fA0∩ ]x0− 1, x0[ é infinito e Dedekind-finito. Com efeito: já que x0 é um ponto de acumula¸cão de A0 à esquerda, tem-se então que o conjunto A0 ∩ ]x0− 1, x0[ é infinito. Disso, e de f ser injetora, segue que B é infinito. Suponha, por absurdo, que B seja Dedekind-infinito. Sendo assim, existe um conjunto B0 que é subconjunto infinito enumerável de B (pela Proposi¸cão 1.1.19). Como f é uma bije¸cão, tem-se que o conjunto f−1_[B

0] ⊆ A0 ∩ ]x0− 1, x0[ é infinito enumerável. Ora, já que A0 é Dedekind-finito, então A0∩ ]x0− 1, x0[ também é Dedekind-finito (pelo Corolário 1.1.20). Consequentemente, teremos um conjunto Dedekind-finito que possui um subconjunto infinito enumerável, contradizendo a Proposi¸cão 1.1.19. Afirmamos agora que B é ilimitado em R. De fato: tome um c ∈ R arbitrário. Já que f é sobrejetora, então existe um b ∈ ]x0− 1, x0[ tal que c = f (b). Como x0 é um ponto de acumula¸cão de A0 à esquerda, tem-se que A0 ∩ ]b, x0[ 6= ∅. Fixe então um a0 ∈ A0 ∩ ]b, x0[. Assim, tem-se que a0 ∈ A0 ∩ ]x0− 1, x0[ e que b < a0. Como f é estritamente crescente, segue que f (b) < f (a0), i.e., que c < f (a0). Logo, existe um y ∈ B tal que c < y. Então, já que c ∈ R foi tomado arbitrário, conclui-se que B é ilimitado superiormente.

Agora, já que A0∩ ]x0− 1, x0[ é infinito e Dedekind-finito, pode-se fixar, por (*), um z0 ∈ A0 ∩ ]x0− 1, x0[ que é um ponto de acumula¸cão deste conjunto em R e, por conseguinte, em ]x0− 1, x0[. Como f é cont´ınua e injetora, segue da Proposi¸cão 1.2.21 que f (z0) ∈ B é um ponto de acumula¸cão de B. Tome então o conjunto A1 := B \{f (z0)}. Ora, é claro que B = A1∪ {f (z0)}. Assim, tem-se que A1 é ilimitado em R, já que o é B. Além disso, com os mesmos argumentos dados para A0, conclui-se que A1 não é fechado em R e que toda sequência em A1 possui uma subsequência convergente.

Finalmente, caso x0 seja um ponto de acumula¸cão de A0 à direita, considere g : ]x0, x0 + 1[ −→ R definida por g(x) = tan

2(2x − 2x0 − 1)

. Tal como f , tem-se claramente que g está bem definida e que é estritamente, além de ser um homeomorfismo. Então, com argumentos análogos aos que foram dados para f , obtém-se um conjunto A1 que satisfaz o que é desejado. Portanto, basta tomar A = A0, se A0 for ilimitado em R, ou A = A1, se for o contrário, para concluir que, em M1, existe um A ⊆ R tal que toda sequência em A possui uma subsequência convergente, mas A não é fechado nem limitado

em R.

Fato 4.1.5. Em M1, existem um ponto x ∈ R e uma fun¸c˜ao f : R −→ R tais que f ´e

sequencialmente cont´ınua em x, mas f n˜ao ´e cont´ınua em x.

Prova:

Novamente, considere o ponto x0 ∈ C que é obtido na prova do Fato 4.1.3, juntamente com o conjunto A0 = C \ {x0}. Seja então χ : R −→ R a fun¸cão-caracter´ıstica de A0, i.e., a fun¸cão tal que, para todo x ∈ R,

χ(x) := (

1 , se x ∈ A0; 0 , se x 6∈ A0.

Afirmamos que χ não é cont´ınua em x0. Com efeito: já que x0 ∈ A0 e, para todo δ > 0, ]x0− δ, x0+ δ[ é uma vizinhan¸ca aberta de x0 em R, segue então que existe um x ∈ ]x0− δ, x0+ δ[ ∩ A0. Além disso, tem-se que x0 6∈ A0. Logo, fixando um ε > 0 tal que ε 6 1, conclui-se que, para todo δ > 0, existe um x ∈ A0 de forma que |x − x0| < δ e |χ(x) − χ(x0)| = |1 − 0| = 1 > ε.1

Agora, tomando uma sequência qualquer hxnin>1 em R que converge para x0, considere o conjunto M := {n ∈ ω \ 1 : xn∈ A}. Note que M é finito, pois: se M fosse infinito, ir´ıamos concluir que existe uma sequência em A0 convergindo para x0 (pelo 1_{Cabe aqui destacar que, em ZF, prova-se facilmente o seguinte fato mais geral: “dados espa¸cos}

topol´ogicos X e Y , uma fun¸c˜ao f : X −→ Y e um ponto x0 ∈ X, se Y for T1 e existir um ponto

z∈ Y \ {f (x0)} que pertence a imagem por f de qualquer vizinhan¸ca aberta de x0 em X, então f não é

Teorema 2.1.6), contradizendo o fato de que toda sequência em A0 não converge para x0. Logo, se for M = ∅, teremos que, para todo n ∈ ω \ 1, xn 6∈ A0. Se for M 6= ∅, então M terá elemento máximo. Com isso, tome

k (M ) := (

0 , se M = ∅; max (M ) , se M 6= ∅.

Pela constru¸cão, é claro que k (M ) está bem definido. Além disso, é fácil ver que, para todo natural n > k (M ), xn 6∈ A0. Então, para todo natural n > k (M ), χ(xn) = 0. Disso, é imediato concluir que, para toda vizinhan¸ca aberta V de 0 em R, o conjunto {n ∈ ω \ 1 : χ(xn) 6∈ V } é finito, i.e., que χ(xn) → 0. Já que χ(x0) = 0, tem-se então que χ(xn) → χ(x0). Como a sequência s foi tomada qualquer, segue que χ é sequencialmente cont´ınua em x0. Portanto, basta tomar x = x0 e f = χ para concluir que, em M1, existem um ponto x ∈ R e uma fun¸cão f : R −→ R tais que f é sequencialmente cont´ınua

em x, mas f n˜ao ´e cont´ınua em x.

Fato 4.1.6. Em M1, existe um espa¸co métrico que tem base enumerável, mas não é

separ´avel.

Prova:

Considere, em M1, o conjunto C munido da topologia de subespa¸co de R. Tome a base enumerável B = {]a, b[ : a, b ∈ Q e a < b} de R. Assim, tem-se que o conjunto BC := {C ∩ I : I ∈ B} é uma base de C e que é enumerável, pois está indexado por um conjunto enumerável (veja Proposi¸cão 1.1.14). Além disso, note que C não possui subconjunto enumerável denso algum, pois: se existisse um tal subconjunto enumerável de C, este seria infinito (já que C é um subespa¸co infinito de R), uma contradi¸cão. Portanto, tem-se que, em M1, C é um subespa¸co de R que tem base enumerável, mas

não é separável.

E interessante aqui observar que o Fato 4.1.6 implica a nega¸cão do item (6) do Teorema 4.2.1 da se¸cão a seguir. Como consequência disso, tem-se que, em M1, o espa¸co métrico discreto enumerável N não é Lindelöf. Contudo, N é separável, pois, obviamente, é um subconjunto enumerável denso de si próprio. Pelo Teorema 2.1.7, tem-se então que Ntem base enumerável. Portanto, segue do Fato 4.1.6 o seguinte

No documento Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM (páginas 74-84)