As variac¸˜oes das coordenadas fora dos termos de fase s˜ao as mesmas dos casos emR3, as coor- denadas de fase com ´ındice 1 e 2 variam de 0 a π, enquanto que as restantes, ϕ3e t necessitam
ir de 0 a 2π para cobrir todo o espac¸o.
Derivando as relac¸˜oes em (5.1) e (5.2), tomando os quadrados no procedimento inverso ao de reparametrizac¸˜ao, obt´em-se as m´etricas de ambos os espac¸os no novo sistema de coordenadas,
(ds2)AdS5= dρ2− cosh2ρ dt2+ senh2ρ (dθ2+ cos2θ dφ12+ sen2θ dφ22), (ds2)S5= dγ2+ cos2γ dϕ32+ sen2γ (dψ2+ cos2ψ dϕ12+ sen2ψ dϕ22),
(5.3)
que aparentemente est˜ao relacionadas por uma continuac¸˜ao anal´ıtica. Quando ρ ´e muito pe- queno, tem-se em primeira ordem que senhρ ≈ ρ e coshρ ≈ 1 de tal forma que a m´etrica em AdS5tende a forma da m´etrica em S1× R4, enquanto que quando ρ → ∞, senhρ ≈ coshρ ≈ eρ
e a m´etrica do contorno no infinito tende a de S1× S3. A fim de evitar o surgimento de cur-
vas fechadas do tipo tempo e obter relac¸˜oes com a teoria de gauge emR × S3 ´e de costume descompactificar a coordenada t permitindo uma variac¸˜ao livre na reta, −∞ < t < ∞.
Outra importante parametrizac¸˜ao s˜ao as coordenadas de Poincar´e que cobrem me- tade do hiperbol´oide AdS5e podem ser expressas na forma
Y0= x0 z = coshρsent Yi= xi z = nisenhρ, onde i = 1, 2 ou 3, Y4= 1 2z(−1 + z 2− x2 0+ x2i) = n4senhρ Y5= 1 2z(1 + z 2− x2 0+ x2i) = coshρsent, (5.4)
onde as quatro coordenadas n’s s˜ao obtidas das express˜oes para as coordenadas globais, satis- fazendo evidentemente a relac¸˜ao n2i + n24= 1, ou seja, dn2i = dΩ3(θ , φ1, φ2) ´e uma m´etrica de
obt´em-se as express˜oes dY0=dx0 z − x0 z2dz dYi=dxi z − xi z2dz dY4=1 z(xidxi− x0dx0) − 1 2z2(x 2 i − 1 − z2− x20)dz dY5=1 z(xidxi− x0dx0) − 1 2z2(x 2 i + 1 − z2− x20)dz, (5.5)
de onde encontra-se a m´etrica simplificada na forma (ds2)AdS5= 1
z2(dxkdx
k+ dz2), onde k = 0, . . . , 3.
Denotando dzAdzA = dz2+ z2dΩ5(γ, ψ, ϕ1, ϕ2, ϕ3), onde A = 1, . . . , 6 e dΩ5 = (ds2)S5 ´e a
m´etrica em S5, pode-se escrever a m´etrica completa no espac¸o AdS5× S5como
(ds2)AdS 5×S5= 1 z2(dxkdx k+ dz AdzA). (5.6)
As coordenadas de Poincar´e s˜ao ´uteis na representac¸˜ao de cordas abertas que terminam no contorno no infinito no espac¸o AdS (TSEYTLIN, 2012).
5.1 Estrutura causal de AdS5
O estudo da estrutura causal de um determinado espac¸o atrav´es de sua m´etrica com a utilizac¸˜ao de mapeamentos conformes permite a obtenc¸˜ao de simetrias com espac¸os previa- mente conhecidos e utilizados em alguma teoria na f´ısica. Por exemplo, uma das caracter´ısticas b´asicas da correspondˆencia AdS/CFT ´e a identificac¸˜ao do grupo de isometrias de AdSp+2 com
a simetria conforme do espac¸o flat de Minkowski, R1,p. A m´etrica de R1,p em coordenadas globais pode ser expressa como
(ds2)R1,p = −dt2+ dr2+ r2dΩ2p−1,
onde dΩp−1 ´e o elemento de linha da esfera unit´aria (p − 1)−dimensional, Sp−1. Atrav´es da
transformac¸˜ao u±= t ± r, a m´etrica pode ser reescrita na forma,
(ds2)R1,p= −du+du−+
1
4(u+− u−)
2dΩ2 p−1.
Realizando o mesmo procedimento com as transformac¸˜oes u± = tan ˜u± e ˜u± = (τ ± θ )/2, a
m´etrica fica reescrita na forma (ds2)R1,p=
1 4cos2u˜
+cos2u˜−
compactificada na regi˜ao delimitada por | ˜u± |< π/2, restringindo θ ≥ 0 j´a que r ≥ 0, o que resulta numa regi˜ao triangular no plano (τ, θ ). A m´etrica conformalmente reescalonada ´e da forma
(ds2)R1,p= −dτ2+ dθ2+ sen2θ dΩ2p−1,
que pode ser continuada analiticamente por um prolongamente de regi˜oes triangulares com 0 ≤ θ < π e −∞ < τ < ∞ descompactificada, o que coincide com a geometria do universo est´atico de Einstein,R × Sp.
Da mesma forma, considerando sem perda de generalidade o espac¸o AdS5 com
m´etrica dada em (5.3), pode-se utilizar a compactificac¸˜ao da coordenada ρ introduzindo uma nova coordenada β atrav´es da relac¸˜ao tan β = senhρ, onde evidentemente 0 ≤ β < π/2. Com a mudanc¸a de coordenadas ρ → β , tem-se
(ds2)AdS5 = 1
cos2β −dt
2+ dβ2+ sen2
β dΩ23 ,
que apenas reescalonando leva a m´etrica do pr´oprio universo est´atico de Einstein obtida anteri- ormente com a utilizac¸˜ao de uma continuac¸˜ao anal´ıtica. Mas, neste caso, o mapeamento con- forme ocorre apenas em relac¸˜ao a metade deR × S4devido a restric¸˜ao pela metade `a variac¸˜ao da coordenada θ . Assim, observa-se que o contorno de AdSn conformalmente compactifi-
cado identifica-se com a compactificac¸˜ao conforme do pr´oprio espac¸o de Minkowski (n − 1)- dimensional,R1,n−2. Em geral, quando o espac¸o-tempo pode ser compactificado em uma regi˜ao que tem a mesma estrutura de contorno que metade do universo est´atico de Einstein, diz-se que o esse espac¸o ´e assintoticamente AdS (TSEYTLIN, 2012).
5.2 Ac¸˜ao da corda e equac¸˜oes de movimento
No n´ıvel cl´assico, onde os f´ermions est˜ao ausentes, a teoria de supercordas tipo IIB descrita pela ac¸˜ao de Green-Schwarz coincide com a ac¸˜ao de Polyakov que quando resolvida para a m´etrica 2-d, gab, leva a conhecida ac¸˜ao de Nambu-Goto, permitindo assim a obtenc¸˜ao de
determinadas representac¸˜oes semi-cl´assicas de cordas fechadas. A parte bosˆonica da ac¸˜ao da teoria ´e dada por
Sb= 1 2T0 Z d2σ √ −hhabgµ ν(X )∂aXµ∂bXν, (5.7)
onde usualmente X representa as coordenadas da corda enquanto que hab ´e uma m´etrica indu- zida sobre os dois parˆametros que a descrevem, sendo h o seu determinante, e gµ ν a m´etrica
conhecida do espac¸o em que a corda se situa. Observando somente a variac¸˜ao da ac¸˜ao em relac¸˜ao a m´etrica induzida hab, tem-se
δ Sb δ hab ∝ Z d2σ δ ( √ −h) δ hab h cdg µ ν∂cX µ ∂dXν+ √ −hgµ ν∂aXµ∂bXν .
Por outro lado, a variac¸˜ao do termo com determinante pode ser expressa como δ ( √ −h) δ hab = − 1 2 √ −hhab, o que implica na equac¸˜ao de movimento para a m´etrica hab,
Gab= 1 2habh
cdG cd,
onde Gab= gµ ν∂aXµ∂bXν. Calculando o determinante e rearranjando os termos, encontra-se a
relac¸˜ao √ −h = 2 √ −G habG ab ,
onde G ´e o determinante de Gab. Ou seja, se a m´etrica induzida na folha-mundo for obtida de sua equac¸˜ao de movimento derivada da ac¸˜ao de Polyakov e substitu´ıda de volta na mesma retoma-se a forma de Nambu-Goto,
Sb=T0 2 Z d2σ √ −G. (5.8)
Como observado anteriormente, no contexto da teoria de Nambu-Goto, a invariˆancia por reparametrizac¸˜oes garante a equivalˆencia na utilizac¸˜ao da ac¸˜ao de Polyakov no gauge con- forme onde√−hhab→ ηab. No tratamento de cordas em AdS5× S5, utiliza-se
T0= √ λ 2π ≡ R2 2πα0,
onde λ ´e a constante do acomplamento de t’Hooft na teoria supersim´etrica de Yang-Mills N = 4, com R = 1 sendo o raio de AdS5 e S5de interesse. Assim, utilizando a convenc¸˜ao aqui padr˜ao para coordenadas de cordas fechadas, a ac¸˜ao de Polyakov em (5.7) fica expressa como
S= 1 4πα0 Z dτ Z 2π 0 dσ L,
onde L = LAdS+LS´e a densidade lagrangeana considerando as contribuic¸˜oes lineares quadr´aticas
nas coordenadas dos dois espac¸os e suas vinculac¸˜oes. Como introduzido no in´ıcio da sec¸˜ao, utiliza-se a m´etrica natural e as coordenadas no hiperbol´oide para a descric¸˜ao da parte em AdS5,
assim,
LAdS5 = −∂aYP∂
aYP− ˜
Λ(YPYP+ 1),
onde ˜Λ ´e um multiplicador de Lagrange restringindo as coordenadas ao espac¸o AdS5, nova-
mente com o ´ındice a percorrendo os dois parˆametros da corda, τ e σ , e P = 0, ..., 5. Analoga- mente, ao caso da esfera 5-dimensional, utilizando a m´etrica natural euclidiana, tem-se,
onde Λ ´e um multiplicador de Lagrange restringindo as coordenadas euclidianas a esfera e M= 1, ..., 6. Assim, analogamente ao caso em Minkowski, as equac¸˜oes de movimento para as variac¸˜oes nas coordenadas resultam na aparic¸˜ao de um termo linear,
∂a∂aYP− ˜ΛYP= 0, ∂a∂aYM+ ΛXM = 0. (5.9)
Por outro lado, os multiplicadores resultam evidentemente nas equac¸˜oes que definem os dois espac¸os vistas no in´ıcio dessa sec¸˜ao,
YPYP= −1, XMXM= 1. (5.10)
Com o auxilio das segundas derivadas ∂a∂a aplicadas nas duas equac¸˜oes em (5.10) e das
equac¸˜oes em (5.9), reduz-se `as seguintes express˜oes aos multiplicadores, ˜
Λ = ∂aYP∂aYP, Λ = ∂aXM∂aXM.
Tamb´em como no caso de Minkowski, utiliza-se os dois v´ınculos do gauge con- forme sobre os parˆametros, ou seja,
˙
YPY˙P+Y0PYP0+ ˙XMX˙M+ XM0 XM0 = 0, ˙YPYP0+ ˙XMXM0 = 0, (5.11)
com a mesma periodicidade para os casos das cordas fechadas,
YP(τ, σ + 2π) = YP(τ, σ ), XM(τ, σ + 2π) = XM(τ, σ ).
Da natureza quadr´atica das lagrangianas na ac¸˜ao, observa-se a invariˆancia da teoria sob rotac¸˜oes SO(2, 4) relativa `a AdS5e SO(6) relativa `a esfera S5. Dessa forma, obt´em-se as cargas on-shell
conservadas nessas duas hipersuperf´ıcies, SPQ= 1 2πα0 Z 2π 0 dσ (YPY˙Q−YQY˙P), JMN= 1 2πα0 Z 2π 0 dσ (XMX˙N− XNX˙M). (5.12)
Por outro lado, da estrutura espacial observada atrav´es das coordenadas angulares existe uma correspondˆencia entre 3 + 3 geradores de Cartan de SO(2, 4) × SO(6) e as 3 + 3 isometrias lineares da m´etrica de AdS5× S5em (5.3), ou seja, as translac¸˜oes em t e nos dois ˆangulos φa,
S0≡ S50≡ E, S1≡ S12, S2≡ S34,
e as translac¸˜oes nos outros trˆes ϕi,
J1≡ J12, J2≡ J34, J3≡ J56.
condic¸˜oes de Virasoro, ´e poss´ıvel analisar as soluc¸˜oes da teoria expressando a energia E em ter- mos das outras cinco cargas E = E(Sr, Ji; ks), onde ks considera outras poss´ıveis cargas ”ocul-
tas”como n´umeros topol´ogicos que possam estar associados `a forma da corda (TSEYTLIN, 2012).
6 CONCLUS ˜AO
Este trabalho mostrou como se pode obter uma teoria quˆantica de cordas intuitiva- mente a partir da construc¸˜ao de uma ac¸˜ao an´aloga a ac¸˜ao de uma part´ıcula relativ´ıstica livre, uti- lizando suas diversas propriedades, como a invariˆancia por reparametrizac¸˜oes e a invariˆancia por transformac¸˜oes de Lorentz para se obter uma teoria consistente tanto do ponto de vista quˆantico como relativ´ıstico. A ac¸˜ao de Nambu-Goto foi obtida como proporcional a uma ´area relativ´ıstica da folha-mundo da corda no espac¸o-tempo, interpretac¸˜ao an´aloga ao caso da ac¸˜ao proporcional a linha-mundo da part´ıcula relativ´ıstica livre. A invariˆancia por reparametrizac¸˜oes permitiu a construc¸˜ao do gauge do cone de luz, que foi bastante ´util na determinac¸˜ao de uma descric¸˜ao cl´assica da corda em termos de coordenadas transversas de tal forma que fosse poss´ıvel obter uma ac¸˜ao quadr´atica nas coordenadas transversas que descrevesse exatamente a mesma corda da teoria de Nambu-Goto, permitindo o procedimento de quantizac¸˜ao da teoria. Assim, os ope- radores dependentes e independentes do tempo foram escolhidos em analogia a quantizac¸˜ao da part´ıcula relativ´ıstica, as relac¸˜oes de comutac¸˜ao foram impostas, de onde se obteve atrav´es do hamiltoniano da teoria a evoluc¸˜ao dos operadores no tempo. Os modos das coordenadas da corda puderam ser interpretados como operadores de criac¸˜ao e aniquilac¸˜ao de um estado de v´acuo. Por outro lado, os operadores de Virasoro normalmente ordenados das express˜oes cl´assicas passaram a ser interpretados como geradores de reparametrizac¸˜oes nas coordenadas da corda, enquanto que a invariˆancia de Lorentz foi possibilitada atrav´es da quantizac¸˜ao dos geradores de Lorentz, garantindo a sua hermiticidade e seu ordenamento normal, e impondo-os uma das relac¸˜oes de comutac¸˜ao satisfeita pelos geradores do caso da quantizac¸˜ao da part´ıcula relativ´ıstica a fim de obter a fixac¸˜ao da dimens˜ao da teoria em D = 26 e do shift negativo no espectro do operador massa.
O estudo dessa teoria de cordas bosˆonicas teve como objetivo uma introduc¸˜ao a esta vasta ´area de pesquisa com a finalidade de permitir um melhor contato com as diversas linhas de pesquisa comumente estudadas no ˆambito acadˆemico, em especial, a integrabilidade de teoria de cordas, tratada atualmente por muitos pesquisadores de diversas ´areas da f´ısica te´orica.
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