Quantização de uma teoria de cordas bosônica relativística

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DEPARTAMENTO DE F´ISICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM FÍSICA

OT ´AVIO AUGUSTO DE PINHO HOLANDA

QUANTIZAÇ ÃO DE UMA TEORIA DE CORDAS BOS ÔNICA RELATIVÍSTICA

FORTALEZA 2020

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Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em F´ısica da Univer-sidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do T´ıtulo de Mestre em F´ısica.

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Area de Concentração: F´ısica da Matéria Con-densada.

Orientador: Prof. Dr. Geov´a Maciel de Alencar Filho.

Coorientador: Prof. Dr. Marcony Silva Cunha.

FORTALEZA 2020

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Biblioteca do Curso de F´ısica

A000p Holanda, Ot´avio Augusto de Pinho.

Quantização de uma teoria de cordas bosônica relativ´ıstica / Otávio Augusto de Pinho Holanda. – Fortaleza, 2020.

52.:il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de F´ısica, Fortaleza, 2020.

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Area de Concentração: F´ısica da Matéria Condensada. Orientação: Prof. Dr. Geová Maciel de Alencar Filho.

1. Ação de Nambu-Goto. 2. Formalismo lagrangiano. 3. Quantização. 4. Gauge cone de luz. 5. Modo de Virasoro. I. T´ıtulo.

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Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em F´ısica da Univer-sidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do T´ıtulo de Mestre em F´ısica.

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Area de Concentração: F´ısica da Matéria Con-densada.

Aprovada em 28 de outubro de 2020.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Geov´a Maciel de Alencar Filho Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Marcony Silva Cunha Universidade Estadual do Cear´a (UECE)

Prof. Dr. Thiago Simonetti Fleury International Institute of Physics (UFRN)

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Neste trabalho, constrói-se uma teoria relativ´ıstica para cordas abertas e fechadas com base no formalismo lagrangiano para part´ıculas relativ´ısticas livres, cuja ação é proporcional a linha-mundo da part´ıcula. A consequente invariância por reparametrizações da ação não-linear ob-tida, conhecida como ação de Nambu-Goto, permite a imposição do chamado gauge cone de luz, onde são utilizadas as famosas coordenadas do cone de luz, que facilitam o procedimento de quantização da teoria. Neste gauge, a corda passa a ser descrita pelas coordenadas transversas, uma constante de integração e uma componente conservada de seu momento. Esta descrição permite, então, a obtenção de uma ação quadrática somente nas coordenadas transversas que implique nas mesmas condições de contorno e equação de movimento, facilitando o procedi-mento de quantização. As relações de comutação dos modos da expansão para a solução das coordenadas transversas permite interpretá-los como operadores de criação e aniquilação, além de também implicar na necessidade de ordenamento para a quantização do modo de Virasoro de ordem zero. Observa-se que a exigência de uma invariância de Lorentz na teoria fixa a di-mensão do espaço-tempo em D = 26 e ocasiona um shift na expressão para a massa dos diversos estados de part´ıculas. Por fim, ilustra-se o semelhante procedimento de quantização covariante e a necessidade de v´ınculos para a construção de uma teoria fisicamente consistente.

Palavras-chave: Ação de Nambu-Goto. Formalismo lagrangiano. Quantização. Gauge cone de luz. Modo de Virasoro.

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In this work, a relativistic theory for open and closed strings is constructed based on the la-grangian formalism for relativistic free particles, in which the action is proportional to the particle’s world-line. The invariance under reparametrization of the obtained action, known as Nambu-Goto action, allows the imposition of the so called light-cone gauge, in which the famous light-cone coordinates are used, making it easy for the quantization procedure. In this gauge, the string is described by the transverse coordinates, a constant of integration and a con-served component of its momentum. This description allows one to obtain a quadratic action on these transverse coordinates that imply the same boundary conditions and equation of mo-tion, facilitating the quantization procedure. The commutation relations between the expansion modes of the general solution for the transverse coordinates allows a interpretation in terms of creation an annihilation operators, forcing the quantized Virasoro zero mode to be ordered. Also, it is observed that the Lorentz invariance of the theory fixes the space-time dimension with D= 26 and shifts the expression for the masses of the various particle states. At last, a similar procedure of covariant quantization is presented emphasizing the need of some constraints for physical consistency of the theory.

Keywords: Nambu-Goto action. Lagrangian formalism. Quantization. Light-cone gauge. Vira-soro mode.

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ηµ ν M´etrica do espac¸o-tempo de Minkowski D-dimensional X(τ, σ ) Vetor coordenada D-dimensional

XI(τ, σ ) Coordenadas transversas Pτ _{Vetor densidade de momento}

p Vetor momento

M2 Massa ao quadrado

L_n⊥ Modos de Virasoro

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 8

2 A AC¸ ˜AO DE NAMBU-GOTO . . . 10

2.1 As equac¸˜oes de movimento . . . 12

2.2 Correntes conservadas na folha-mundo . . . 13

2.3 O gauge est´atico . . . 14

2.4 Generalização do gauge estático . . . 16

2.5 Equação de onda e a expansão em modos . . . 18

2.6 Gauge cone de luz e os modos de Virasoro . . . 20

3 QUANTIZAC¸ ˜AO DAS CORDAS ABERTAS . . . 23

3.1 Operadores de Virasoro e a quest˜ao do ordenamento . . . 28

3.2 A invariˆancia de Lorentz na teoria quantizada . . . 31

3.3 A construção do espaço de estados . . . 32

3.4 O caso das cordas fechadas . . . 35

4 QUANTIZAC¸ ˜AO COVARIANTE . . . 37

4.1 Operadores de Virasoro . . . 37

4.2 V´ınculos . . . 38

4.3 A construção covariante do espaço de estados . . . 41

4.4 O caso covariante para cordas fechadas . . . 44

5 CORDAS EM ADS₅ . . . 45

5.1 Estrutura causal de AdS5 . . . 47

5.2 Ação da corda e equações de movimento . . . 48

6 CONCLUS ˜AO . . . 52

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1 INTRODUC¸ ˜AO

Os diversos artif´ıcios matemáticos para a f´ısica descobertos no passar dos últimos séculos permitiram a percepção e a resolução de diversos problemas através da conexão dos resultados ou métodos de diferentes teorias. Foi dessa forma que nasceu a possibilidade de se descrever part´ıculas em teoria quântica de campos através da quantização de cordas rela-tiv´ısticas (BECKER; BECKER; SCHWARZ, 2006). Essa identificação permitiu que as cordas dessa forma tratadas fossem candidatas promissoras à esperada teoria de unificação de todas as forças da natureza. Como a teoria de cordas possibilita a inclusão da gravidade, torna-se também uma teoria quântica da gravitação. Por outro lado, como poderá ser observado no de-correr deste trabalho, a interpretação de part´ıculas como estados quânticos de uma teoria de cordas pode ser obtida de forma bastante intuitiva através de uma analogia com a teoria clássica e quântica de uma part´ıcula relativ´ıstica livre (ZWIEBACH, 2004).

O ponto crucial que permite esta conexão entre as cordas clássicas e a teoria de cordas é o tratamento das coordenadas que a descrevem como campos quânticos que atuarão em um espaço de estados de part´ıculas. A construção desse espaço é feita de maneira análoga aos procedimentos de quantização canônica em teoria de campos, pois a solução geral para o campo, que neste caso satisfaz uma equação do tipo onda, também permitirá a interpretação em termos de operadores de criação e aniquilação, ou seja, os diversos estados de part´ıculas serão constru´ıdos com base em um estado de vácuo aniquilado por um dos dois tipos de modos do campo quantizado. Mas para a realização deste procedimento pelo formalismo hamiltoniano será necessária a obtenção de uma ação equivalente que leve as mesmas condições de contorno e equação de movimento para as coordenadas transversas da corda, que a determinarão por completo a menos de outras quantidades conservadas. Em analogia a quantização de part´ıculas, os geradores de Lorentz podem ser devidamente quantizados através de expressões hermitianas e normalmente ordenadas em detrimento da possibilidade de imposição de uma invariância de Lorentz na teoria (ZWIEBACH, 2004).

A conexão entre os estados da teoria quântica de cordas bosônicas e as poss´ıveis part´ıculas que esta descreve pode ser feita através da obtenção do auto-valor do operador massa nesses estados e das equações de Schrödinger respectivamente satisfeitas pela função de onda de cada, de tal modo a encontrar analogias com equações de movimento em teorias clássicas de campo previamente conhecidas. Intuitivamente, pode-se dizer que cada part´ıcula é descrita por um modo de vibração da corda, que é caracterizado por um determinado conjunto de operadores de criação, assim como diferentes sons são obtidos a partir de diferentes vibrações mecânicas das cordas de um violão (KAKU, 1999).

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Existem tanto cordas abertas como cordas fechadas. As abertas possuem duas pon-tas enquanto que as fechadas não possuem nenhuma. Pode-se construir teorias de cordas com apenas um desses dois tipos ou com ambos. Além disso, as teorias podem ser dividas em bosônicas e de supercordas. As cordas bosônicas são as aqui estudadas, vivem em 26 dimensões e todas as suas vibrações representam bósons, tornando-a um pouco distante da realidade. Por outro lado, as supercordas vivem em 10 dimensões e seus espectros de estados incluem tanto bósons como férmions, que estão relacionados através da supersimetria. Durante o passar das décadas observou-se que o estudo de teorias de cordas contribuiu bastante para o desenvolvi-mento de outras áreas não apenas do ponto de vista matemático como do f´ısico, possibilitando a obtenção de ferramentas adequadas ao entendimento de teorias da f´ısica de part´ıculas, em especial as teorias de gauge, assim como para uma interpretação estat´ıstica da entropia de um buraco negro, por exemplo (ZWIEBACH, 2004).

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2 A AC¸ ˜AO DE NAMBU-GOTO

Na relatividade especial o movimento de uma part´ıcula livre entre dois pontos do espaço-tempo de Minkowski pode ser obtido através de uma ação proporcional a um invariante de Lorentz conhecido como tempo próprio, que mede o per´ıodo que a part´ıcula leva para percor-rer uma linha-mundo qualquer entre estes dois pontos num referencial de repouso instantâneo. No entanto, o comprimento próprio dessa linha-mundo, definido em termos do produto interno de quadrivetores, coincide com o tempo próprio a menos de uma constante multiplicativa ab-soluta na teoria, a velocidade da luz c (RINDLER, 2006). Como o percurso de uma corda relativ´ıstica forma em princ´ıpio uma superf´ıcie no espaço-tempo, analogamente chamada de folha-mundo, então a construção de uma área própria possibilita a determinação análoga de uma ação para a descrição do movimento desse objeto.

O comprimento no espaço-tempo de Minkowski D-dimensional é definido através de uma generalização da expressão euclidiana em termos do produto interno de vetores (RIN-DLER, 2006). Da mesma forma, a área de um paralelogramo delimitada por dois vetores ~u e ~v no espaço euclidiano pode ser escrita em termos de produtos internos como

|~u ×~v| =p(~u ×~v) · (~u ×~v) =p(~u ·~u) (~v ·~v) − (~u ·~v) (~u ·~v). (2.1) Assim, a generalização torna-se natural já que o cálculo de áreas no espaço euclidiano depende apenas dessa expressão. No entanto, a ordem dos dois termos dentro da raiz importa nesse caso já que o produto em Minkowski também pode ser negativo (KAKU, 1999).

A folha-mundo da corda relativ´ıstica é caracterizada por dois parâmetros através de uma função vetorial D-dimensional X (τ, σ ) que a localiza no espaço-tempo. Por conveniência admite-se que o parâmetro τ tenha relação com o tempo de tal modo que um varie com a variação do outro e tenha-se ∂τX06= 0 em todos os pontos. Da mesma forma que no espaço

euclidiano, o elemento de área relativ´ıstico dA é constru´ıdo a partir da generalização de (2.1) com as variações parciais dessa função em relação aos dois parâmetros, ∂_τX e ∂_σX, levando em consideração o valor absoluto do termo dentro da raiz, ou seja

dA= dτdσ q |(∂τX) 2 (∂σX) 2 − (∂σX· ∂σX) 2_|. (2.2) O comportamento do sinal do termo que se tira o valor absoluto dentro da raiz depende da orientação da folha-mundo já que envolve vetores tangentes a mesma. Na realidade, a existência de direções tangentes do tipo-tempo em toda a folha-mundo é suficiente para mostrar que o termo em questão é sempre negativo. Isso de fato deve ocorrer, pois a inexistência de tais

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direções em algum ponto ou porção da folha-mundo impossibilitaria localmente a obtenção de um referencial instantaneamente em repouso (ZWIEBACH, 2004). Assim, como ∂τX e ∂σX

s˜ao vetores linearmente independentes, tem-se que o vetor v(λ ) = ∂τX+ λ ∂σX, com λ um

número real qualquer, pode assumir todas as direções poss´ıveis do plano tangente a um ponto qualquer da folha-mundo. Logo, para que sempre existam λ ’s tais que v(λ ) possa ser tanto do tipo-espaço como do tipo-tempo a equação v(λ )2= vµ_{(λ )v}

µ(λ ) = 0 deve ter discriminante

positivo, ou seja (∂τX· ∂σX) 2 − (∂σX) 2 (∂τX) 2 > 0. (2.3)

Por outro lado, é importante observar o comportamento do elemento de área em (2.2) sob reparametrizações do tipo ˜τ = ˜τ (τ , σ ) e ˜σ = ˜σ (τ , σ ). Obviamente, o cálculo de integrais duplas no plano determina como muda o elemento de integração dτdσ , enquanto que a mudança na raiz é determinada pela invariância do intervalo relativ´ıstico ds2= dX · dX sob esse tipo de transformação. Denotando as variáveis da folha-mundo por ξ1= τ e ξ2= σ , tem-se

que o termo dentro da raiz ´e exatamente |det(g)| da matriz g de elementos gi j = ∂iX· ∂jX, onde

∂_ξ_i= ∂i. Nesta notac¸˜ao, tem-se que

dξ1dξ2= d ˜ξ1d ˜ξ2|det(∂ ξi/∂ ˜ξj)|,

enquanto que a invariˆancia do intervalo relativ´ıstico, utilizando a soma de ´ındices repetidos, implica que gi j = ˜gkl∂iξ˜k∂jξ˜l. Assim, tem-se tamb´em

det(g) = det( ˜g) det(∂ ˜ξi/∂ ξj)2,

o que indica que a raiz em (2.2) transforma-se inversamente ao elemento de integração. Ou seja, o funcional de área relativ´ıstica A procurado seria dado pela expressão

A= Z dτdσ q (∂τX· ∂σX) 2_{− (∂} τX) 2_(∂ σX) 2_, (2.4) invariante não somente por transformações de Lorentz mas também por reparametrizações das variáveis τ e σ que caracterizam a folha-mundo (ZWIEBACH, 2004).

Como o funcional de área A tem unidade de comprimento quadrado, [L]2, tem-se que a constante de proporcionalidade entre a ação da teoria e esse funcional deve ter unidade de momento angular por comprimento quadrado, ou seja, unidade de massa por tempo [M] / [T ]. Um candidato seria a razão entre uma suposta tensão na corda T0 e a velocidade da luz c, que

permite na realidade tal interpretação f´ısica na presença de um sinal negativo (ZWIEBACH, 2004). A ação da corda seria então dada pela expressão

S= − (T0/c) Z dτdσ q (∂τX· ∂σX) 2 − (∂τX) 2 (∂σX) 2 , (2.5)

(13)

mais comumente conhecida por ac¸˜ao de Nambu-Goto de uma corda relativ´ıstica (NAMBU, 1973).

2.1 As equac¸˜oes de movimento

Com a ação da seção anterior, pode-se agora obter as equações de movimento para tentar interpretar melhor a teoria constru´ıda. Denotando as derivadas por ∂τX = ˙X e ∂σX= X0,

e definindo a densidade lagrangiana da ac¸˜ao por L ˙X,X0_{= − (T} 0/c) q ˙ X· X02 − ˙X2_X02_, _(2.6)

pode-se então utilizar o formalismo lagrangiano para obter as equações de movimento. A variação da lagrangiana é dada por

δL = ∂L ∂ ˙X · δ ˙

X+∂L ∂ X0 · δ X

0_,

expressão que pode ser reescrita, através da regra do produto para derivadas, em termos das variações nas coordenadas da folha-mundo como

δL = ∂ ∂ τ ∂L ∂ ˙X · δ X + ∂ ∂ σ ∂L ∂ X0· δ X − ∂ ∂ τ ∂L ∂ ˙X + ∂ ∂ σ ∂L ∂ X0 · δ X. (2.7)

Denotando σ ∈ [0, σ1] e a coordenada com relação temporal monotônica τ ∈

τi, τf na integral

da ação em (2.5), pode-se assumir δ X (τi, σ ) = δ X τf, σ = 0 como variações nulas dos

esta-dos iniciais da corda previamente conheciesta-dos. Utilizando essa consideração obtém-se a seguinte expressão para a variação da ação

δ S = Z dτ [Pτ_{· δ X]}σ1 0 − Z dτdσ (∂τPτ+ ∂σPσ) · δ X , (2.8)

ondePτ _{= ∂}L /∂ ˙X e Pσ _{= ∂}L /∂X0_{. Assim, obtém-se que a equação de movimento}

asso-ciada a invariância da ação é dada por

∂τPτ+ ∂σPσ = 0. (2.9)

Em um espaço-tempo de Mikowski D-dimensional, tem-se da expressão de variação da ação em (2.8) que o primeiro termo exige 2D condições de contorno na folha-mundo para o caso de cordas abertas. Em cordas fechadas, o produto interno em ambos extremos do parâmetro σ coincidem, anulando a integral. Uma forma de anular os termos relevantes se dá através das conhecidas condições de Dirichlet, em que a ponta espacial da corda é fixada, ou seja δ Xµ(τ, σ∗) = 0, onde σ∗ representa uma das duas pontas e µ = 1, ..., D − 1. O caso µ = 0 é exclu´ıdo por conta da relação entre τ e o tempo. Outra forma é impor Pσ_{(τ, σ}∗_{) = 0,}

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permitindo variações arbitrárias de δ X 6= 0, comumente chamada de condição de ponta livre do tipo Neumann. As diversas condições de contorno para cordas relativ´ısticas definem para cada ponta a chamada Dp-brana, uma região espacial p-dimensional ao qual a ponta está restrita a se mover. Nos casos anteriores, tem-se duas D0-branas, pontas fixas, e uma D(D − 1)-brana, pontas livres, respectivamente, onde o D à frente refere-se a Dirichlet (ZWIEBACH, 2004). 2.2 Correntes conservadas na folha-mundo

Para identificar alguma corrente da teoria, estuda-se a invariância da ação por al-gum tipo de transformação. A mais simples é dada pelas translações infinitesimais nos campos que neste caso são as variáveis Xµ _{da corda, que é válida para a ação de Nambu-Goto onde}

L = L ˙X,X0_{. Assim, considera-se as variações δ X}µ_{= ε}µ_{, onde ε}µ _{são constantes}

infinite-simais, que não dependem dos parâmetros τ e σ . Para prosseguir, observa-se que a equação de movimento (2.9) implica em

(∂τPτ+ ∂σPσ) · δ X = 0, (2.10)

enquanto que a invariância da densidade lagrangiana (2.6) por tal transformação requer

Pτ_{· δ ˙}_X₊Pσ_{· δ X}0_{= 0.} _(2.11)

Dessas duas equações, têm-se então que

∂τ(Pτ· δ X) + ∂σ(Pσ· δ X) = 0. (2.12)

Dessa forma, substituindo δ Xµ _{= ε}µ _{na última equação, tem-se que a quantidade j}i ₌_Pi_,

onde i = (τ, σ ), identifica-se com a corrente conservada da folha-mundo para translações in-finitesimais. A carga conservada q = p é dada portanto pela integral do termo temporal jτ _na

coordenada espacial σ da corrente, ou seja, p(τ) =

Z σ1

0 P

τ_{(τ, σ ) dσ ,}

onde escolheu-se σ ∈ [0, σ1] de tal modo que a fronteira representa as pontas, no caso de uma

corda aberta, ou o mesmo ponto após um per´ıodo, no caso de uma corda fechada, sem perda de generalidade (ZWIEBACH, 2004). Evidentemente, através da equação de movimento pode-se observar que a carga é realmente conservada já que tanto para cordas abertas com pontas livres quanto fechadas tem-se

˙ p(τ) = − Z σ1 0 ∂σP σ dσ =Pσ(τ, 0) −Pσ_{(τ, σ} 1) = 0. (2.13)

(15)

p é denominado de momento da corda já que é uma carga conservada por translações infinite-simais. Assim, tem-se que a interpretação f´ısica dePτ _{é a de uma densidade de momento da}

corda (BARBASHOV; NESTERENKO, 1990).

Em consequência da invariância da densidade Lagrangiana por transformações de Lorentz, pode-se considerar também rotações infinitesimais no espaço-tempo para obter a res-pectiva corrente conservada. Neste caso, a variação nas coordenadas da corda é dada por δ Xµ = εµ νXν de tal forma que a relação de Lorentz δ (X · X ) = 0 seja satisfeita, o que

im-plica de imediato na antisimetria dos infinitésimos εµ ν_{. Utilizando a equação (2.12), a variação}

das coordenadas da corda e a antisimetria dos infinitésimos desta transformação, obtém-se ana-logamente que a corrente conservada é dada por

Mi µ ν = XµP i ν− XνP i µ.

Assim, tem-se analogamente que a carga conservada neste caso seria dada por M_{µ ν}(τ) = Z X_µPτ ν− XνPµτ dσ , (2.14)

objeto antissim´etrico que de acordo com o formalismo lagrangeano no caso quadridimensional est´a associado a um tipo de momento angular da corda pelas componentes Mi j, onde i, j = 1, 2, 3

(BARBASHOV; NESTERENKO, 1990). 2.3 O gauge est´atico

Para se entender melhor a teoria constru´ıda escolhe-se uma parametrização es-pec´ıfica para τ e σ em termos das coordenadas da corda, já que a mesma é invariante por reparametrizações. A mais simples poss´ıvel é conhecida como a condição do gauge estático, onde a variável τ da corda coincide com o tempo de X0= ct, para todo ponto da folha mundo. Essa parametrização permite a interpretação f´ısica de alguns resultados em analogia ao for-malismo lagrangiano para cordas não-relativ´ısticas. A energia da corda neste gauge pode ser calculada a partir da densidade hamiltoniana

H = ˙~X · ~Pτ₋L . _(2.15)

A parte espacial da densidade de momento pode ser escrita como, ~

Pτ _{= (T} 0/c)2

h

~_X0 _X_˙_{· X}0_{− ˙}_~_{X X}02i_/_{L .}

Substituindo essa express˜ao em (2.15) e considerando o gauge est´atico X0= cτ, H = (T0/c)2X˙0

h

X00 X˙· X0 − ˙X0X02 i

(16)

A densidade lagrangiana para o gauge est´atico se reduz a L = −(T0/c) r ˙_~_X_{· ~}_X₀2 +c2− ˙~_X2_~_X0₂ .

Considerando neste gauge uma corda reta girando num plano de acordo com o vetor ~

X = (σ1/π) cos (πσ /σ1) (cos (πct/σ1) , sin (πct/σ1)) ,

a densidade lagrangiana ser´a dada por L = −T0sin2(πσ /σ1), que implica numa densidade

hamiltoniana constante,H = T0, dando consistência à definição dessa na ação de Nambu-Goto

como uma tens˜ao na corda. Assim, a energia da corda ser´a dada por E=

Z σ1

0 H dσ = T0

σ1.

Neste caso a corda também possui um momento angular J = M12 que, da definição, pode ser

escrito em termos de um produto vetorial bidimensional como J= Z σ1 0 |~X× ~Pτ_{|dσ = (σ} 1T0/πc) Z σ1 0 cos2(πσ /σ1) dσ = σ12T0/2πc.

Logo, o momento angular da corda em rotação é proporcional ao quadrado da energia, J = E2/2πT0c. Por sua vez, a constante de proporcionalidade identifica-se com o parâmetro de

inclinação, α0 = (J/¯h) /E2, muito utilizado em teoria de cordas, que mede a razão entre o momento angular em unidades de ¯h, a constante de Planck, e o quadrado da energia. Essa relação é uma caracter´ıstica da teoria aqui constru´ıda já que em mecânica newtoniana, o mesmo sistema f´ısico tem momento angular J ∝√E. Em termos de α0, a constante presente na ação de Nambu-Goto em (2.5) pode ser reescrita como

T0/c = 1/2πα0¯hc2,

uma forma que ´e comumente utilizada em teoria de cordas, em unidades de ¯h = c = 1 (ZWIE-BACH, 2004).

No caso da corda reta em rotação pode-se observar que as linhas espaciais de σ constante são perpendiculares as de τ constante, ou seja,

˙ ~

X· ~X0= 0.

Essa expressão pode ser assumida, sem perda de generalidade, como uma condição de gauge para o parâmetro σ , já que trata apenas da forma como é constru´ıda a dependência das coor-denadas da corda em relação a este parâmetro. A expressão para a componente temporal da

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densidade de momento pode ser escrita, utilizando as duas condições do gauge estático, como Pτ 0₌_{H /c = (T} 0/c) |~X0|/ q 1 −~X˙2/c2 .

Com essas duas condições, observa-se que~X˙ é como uma velocidade de uma porção da corda em σ , enquanto que ds = |~X0|dσ trata-se de um elemento de linha dessa porção. Então, T0ds

é análogo a uma energia de repouso dessa porção, enquanto que a raiz age como um fator gama relativ´ıstico, ou seja, dE = T0γ (~X˙)ds. Além disso, comoPσ 0= 0 no gauge estático, em decorrência de ∂σX0= 0, obtém-se da equação de movimento em (2.9) que

∂tPτ 0= ∂tH /c = 0.

Assim, a energia da corda ser´a conservada no tempo, ou seja, ˙

E= Z

∂tH dσ = 0.

2.4 Generalização do gauge estático ´

E poss´ıvel obter uma parametrização que generalize o gauge estático, onde também estará inclu´ıdo o gauge cone de luz, comumente utilizado para o procedimento de quantização. Para isso, é considerada uma combinação linear arbitrária das coordenadas da corda X , em forma de um produto escalar com um vetor n, como proporcional ao parâmetro τ por uma constante λ , ou seja,

n· X = λ τ.

Assim, o gauge estático é obtido quando se faz n = (−1, 0, 0...) e λ = c (ZWIEBACH, 2004). No gauge generalizado, se dois pontos distintos x1e x2satisfazem a condição para

um mesmo parâmetro τ, então será válida a relação (x1− x2) · n = 0. Ou seja, esses pontos

formam um hiperplano ortogonal a n. Então, neste caso a corda coincide, para cada τ, com a curva de interseção da folha-mundo com o hiperplano caracterizado pelo parâmetro temporal. Considerando os dois pontos como pertencentes a corda e n um vetor tipo-tempo, pode-se obter um referencial inercial S0 onde apenas n0₀6= 0. Mas como n0· (x0₁− x0₂) = n0₀ x00₁ − x00₂ = 0, tem-se que a corda é, portanto, tipo-espaço, o que é algo razoável de acordo com a intuição para o caso do gauge estático, em que o parâmetro temporal da corda coincide com o tempo (ZWIEBACH, 2004).

Evidentemente, a escolha de λ é arbitrária já que o vetor n pode ser reescalonado. Uma possibilidade de escolher λ em termos de uma constante conhecida se dá tomando n de tal forma que n · p, onde p é o momento da corda, seja conservado, já que no caso de cordas abertas presas a branas ˙p6= 0 em geral. Para isso, basta assumir que n ·Pσ _{= 0 nas pontas, já}

(18)

que a equação (2.13) garante a conservação requerida. Assim, assumindo que τ é adimensional, pode-se tomar λ = ˜λ (n · p) de tal maneira que a unidade da nova constante será [ ˜λ ] = [T ] / [M], ou seja, velocidade por força. A velocidade absoluta na teoria é a da luz, c, enquanto que a constante absoluta com unidade de força é a tensão na corda, T0. Portando pode-se tomar

˜

λ v c/T0= 2πα0¯hc2,

ou seja, ˜λ é da ordem da α0em unidades naturais, onde ¯h = c = 1. Por convenção, a condição de gauge fica reescrita na forma

n· X = β α0(n · p) τ, (2.16)

utilizando-se β = 2 para cordas abertas e β = 1 para cordas fechadas.

Na seção anterior, obteve-se a condição do gauge estático para σ de tal forma que as linhas espaciais de τ e σ constantes fossem perpendiculares entre si, o que resultou na conservação expl´ıcita da energia ou dePτ 0_{. Assim, analogamente a τ, a generalização ocorre}

requerendo a conservação de n ·Pτ_{, que coincide com} Pτ 0 _{no gauge estático. Para mostrar}

que isso é poss´ıvel basta observar que a mudança dessa expressão por uma reparametrização σ → ˜σ é dada por

n·Pτ ₌d ˜σ

dσ (n ·P

τ_{(τ, ˜}

σ )) . (2.17)

Assim, pode-se escolher uma mudança de parametrização de tal forma que o lado direito de (2.17) dependa apenas de τ, de onde é obtida a condição de gauge para σ ,

n· p = Z

n·Pτ_{(τ) dσ = σ}

1n·Pτ,

que implica de imediato na não dependência em τ. Por questão de convenção, utiliza-se σ1= π

para cordas abertas e σ1= 2π para cordas fechadas, sem perda de generalidade, j´a que pode

ser feita uma reparametrizac¸˜ao da forma σ → πσ /σ1 ou 2πσ /σ1. Assim, analogamente a

condic¸˜ao para τ em (2.16), tem-se

n· p = (2π/β ) n ·Pτ_. _(2.18)

Completa-se, então, a generalização do gauge estático (ZWIEBACH, 2004).

Analogamente, pode-se demonstrar neste caso que a ortogonalidade das linhas de τ e σ constante, de onde a condiç ão de gauge estático para σ foi obtida, também será válida, mas neste caso na própria folha-mundo da corda. Utilizando ∂σ(n · X ) = 0 e a definiçãoPσ =

∂L /∂X0, obt´em-se a express˜ao

n·Pσ _{= 1/2πα}02 _˙ X· X0

(19)

Como ∂τ(n · X ) = β α0(n · p), basta mostrar que n ·Pσ ´e nulo em todo caso para se obter a

ortogonalidade requerida. Fazendo o produto interno entre a equação de movimento (2.9) e o vetor n, e utilizando a independência em τ de n ·Pτ_{, obtém-se que}

∂σ(n ·Pσ) = 0.

Logo, n ·Pσ _{´e constante em σ . Para o caso das cordas abertas, esse termo ´e nulo nas pontas}

e, portanto, para todo σ , enquanto que para as cordas fechadas, há uma simetria per´ıodica que permite escolher uma curva de σ constante de tal forma que esta seja ortogonal ao vetor tipo-espaço X0 em algum ponto, já que existe uma direção tipo-tempo tangente a folha que, pela independência linear, pode ser utilizada para construir uma direção ortogonal apropriada. Assim, neste ponto, é novamente válido que n ·Pσ _{= 0 e, portanto, em todo caso}

˙

X· X0= 0, (2.19)

v´ınculo que neste caso decorre das próprias condições de gauge, ao contrário do que foi feito no caso do gauge estático (AMMON; ERDMENGER, 2015).

2.5 Equação de onda e a expansão em modos

Evidentemente, as expressões para as quantidades f´ısicas consideradas até aqui po-dem ser facilmente reduzidas com as relações que decorrem das condições de gauge. Utilizando o v´ınculo em (2.19) na definição da densidade de momento, a expressão é reduzida a

Pτ_{= 1/2πα}0_X02_X_˙_/p_{− ˙}_X2_X02_.

Por outro lado, tomando o produto interno com o vetor n em ambos os lados, utilizando o gauge em (2.16) e n · ˙X = β α0(n · p), ´e encontrado que

˙

X2+ X02= 0. (2.20)

Dessa forma, existem dois v´ınculos dados pelas as equac¸˜oes (2.19) e (2.20), que podem ser resumidos em

˙

X± X02

= 0. (2.21)

Substituindo o v´ınculo da equação (2.20) nas expressões para osP’s e utilizando o fato de X0 ser tipo-espaço, obtém-se

Pτ _{= 1/2πα}0 _˙

X, (2.22)

e

(20)

Assim, a equação de movimento em termos das coordenadas da corda é simplesmente uma equação de onda,

¨

X− X00= 0. (2.24)

A partir da equação de onda e das condições de contorno, pode-se analisar a solução para as coordenadas da corda em termos de modos (ZWIEBACH, 2004). Considerando uma corda aberta de pontas livres, a solução mais geral para a equação (2.24) é dada por

X= (1/2) ( f (τ + σ ) + g (τ − σ )) , (2.25) onde f e g são funções de um argumento que possuem a mesma natureza vetorial de X . Neste caso, a condição de contorno é a nulidade dePσ _{nas pontas que, pela expressão em (2.23),}

é equivalente a mesma nulidade para X0. Derivando a expressão em (2.25) e tomando a nuli-dade em σ = 0, decorre que as derivadas das funções f e g coincidem, ou seja, diferem por uma constante que, por sua vez, pode ser considerada nula sem perda de generalidade para o problema em questão. Assim, resta que

X = (1/2) ( f (τ + σ ) + f (τ − σ )) .

Da condição de nulidade em σ = π, decorre a periodicidade da derivada de f em intervalos de 2π. Assim, assumindo a continuidade das coordenadas da corda, a derivada f0 pode ser expandida em uma série de Fourier na forma

f0(u) = f1+ ∞

∑

n=1

(ancos nu + bnsin nu) .

Integrando a expressão para a derivada, pode-se reescrever a função em termos de novas cons-tantes Ane Bn,

f(u) = f0+ f1u+ ∞

∑

n=1

(Ancos nu + Bnsin nu) .

Dessa forma, a soluc¸˜ao geral fica reescrita como X = f₀+ f₁τ +

∞

∑

n=1

(Ancos nτ + Bnsin nτ) cos nσ . (2.26)

Em geral, é mais prático utilizar uma constante complexa ao invés de duas reais, ou seja, pode-se reescrever os termos da série na forma,

Ancos nτ + Bnsin nτ = Cn∗einτ+Cne−inτ,

onde Cn= (1/2) (An+ iBn). Para o procedimento de quantização dessa teoria, a introdução dos

(21)

disso, substituindo ˙X da equação (2.26) na expressão para a densidade de momento em (2.22) e integrando para obter o momento da corda p, resta apenas a integral no vetor constante f1,

p= 1/2πα0 Z π

0

( f1+ . . . ) dσ = 1/2α0 f1.

A soluc¸˜ao geral para as coordenadas da corda em termos de p e dos an’s fica na forma

X= x0+ 2α0pτ − i √ 2α0 ∞

∑

n=1

a∗_neinτ− ane−inτ cos nσ/

√

n, (2.27)

onde x0= f0. Por outro lado, será também útil a introdução de vetores αn, n ∈Z, através de

αn= an √ n e α−n = a∗n √ n para n positivo, e α0 = √

2α0p, de tal forma que a solução geral poderá ser reescrita na forma

X= x0+ √ 2α0α0τ + i √ 2α0

_∑

n6=0 (1/n) αne−inτcos nσ , (2.28)

simplificando bastante as express˜oes para as duas primeiras derivadas, ˙ X=√2α0

_∑

n∈Z αne−inτcos nσ , (2.29) e X0= −i√2α0

_∑

n∈Z αne−inτsin nσ , (2.30)

de onde também obtém-se as expressões ˙

X± X0=√2α0

_∑

n∈Z

αne−in(τ±σ ). (2.31)

2.6 Gauge cone de luz e os modos de Virasoro

O gauge a ser utilizado para o procedimento de quantização, como observado ante-riormente, é o gauge cone de luz, onde escolhe-se o vetor n do gauge generalizado de tal forma que

n· X = X+= X0+ X1 /√2,

ou seja, n = (−1/√2, 1/√2, . . . ). A componente do momento paralela a n a ser conservada ´e n· p = p0+ p1 /√2 = p+,

de maneira que as duas condições de gauge dadas pelas equações em (2.16) e (2.18) passam à forma X+ = β α0p+τ , e p+ = (2π/β )Pτ +, enquanto que a segunda coordenada é X− =

(22)

X0− X1_/√_{2. J´a as coordenadas restantes, chamadadas de transversas, s˜ao}

XI=X2, X3, . . . , Xd,

considerando um espaço-tempo de Minkowski em d + 1 dimensões (ZWIEBACH, 2004). O produto escalar de dois vetores u e v nesse espaço pode ser escrito em termos destas coordenadas como

u· v = −u+v−− u−v++

d

∑

I=2

uIvI, (2.32)

em geral, omitindo-se o somatório em I. Neste caso, a condição em (2.20) leva à expressão −2X˙+± X+0 X˙−± X−0+X˙I± XI0= 0.

Como decorre do gauge generalizado que ˙X+ = β α0p+ e X+0 = 0, tem-se ent˜ao, assumindo p+6= 0, a express˜ao ˙ X−± X−0= 1 β α02p+ ˙ XI± XI02, (2.33)

expressões que determinam as primeiras derivadas de X− em termos das derivadas das coor-denadas transversas. Da definição, observa-se que p+ anula-se somente no caso de part´ıculas não-massivas movendo-se no sentido negativo de X1, em que p0= −p1, caso que pode ser exclu´ıdo do formalismo aqui tratado, já que a nulidade pode ocorrer com p−. Assim, basta conhecer X− em algum ponto P da folha-mundo para determiná-lo em qualquer outro ponto Q,

X−(Q) = X−(P) + Z ˙ X−dτ + Z X−0dσ .

No entanto, para o caso de cordas fechadas não é garantida a nulidade da integral em σ num contorno fechado, em que P = Q e τ é constante, devendo-se assumir um v´ınculo não-trivial,

Z 2π 0

X−0dσ = 0.

Utilizando a notação X−(P) = x−₀ para a constante de integração, tem-se portanto que a evolução completa da corda é determinada por três quantidades, a componente conservada do momento p+, a constante de integração x−₀, e as coordenadas transversas XI (ZWIEBACH, 2004).

Considerando novamente o caso de uma corda aberta, observa-se da solução geral dada pela equação (2.28) que a solução para X+ dada pelo gauge em τ é tal que apenas o vetor constante α₀+ é não-nulo. Como as novas coordenadas são combinações lineares das antigas, segue que a solução geral na equação (2.28) será a mesma para todas. Assim, pode-se utilizar a expressão em (2.31) para as coordenadas transversas e do cone para substituir em (2.33), de

(23)

onde é obtida a relação √ 2α0

_∑

n∈Z α_n−e−in(τ±σ )= 1 2p+ _p_,q∈Z

∑

α I pαqIe−i(p+q)(τ±σ ). (2.34)

Fazendo a mudança de ´ındice q → n − p no somatório em q do lado direito da equação (2.34), obtém-se da independência linear das exponenciais complexas que

√

2α0α_n−= 1 2p+

∑

p∈Z

α_n−pI α_pI, (2.35)

mostrando que as constante α_nIna solução para XIde fato determinam as constantes necessárias para se obter a solução geral de X−a menos da constante de integração. O somatório na equação (2.35) define os modos transversos de Virasoro,

L⊥_n = (1/2)

_∑

p∈Z

α_n−pI αI_p, (2.36)

que neste caso coincidem com os modos da expansão de X−. Um fato interessante é a não-negatividade da massa da corda calculada pela expressão relativ´ıstica (ZWIEBACH, 2004),

M2= −p2= 2p+p−− pIpI. (2.37) Como, por definição, vale a relação vetorial α0=

√

2α0p, segue da express˜ao (2.35) com n = 0 que 2p+p− = 1 α0 1 2α I 0α0I+ ∞

∑

n=1 α_nI∗α_nI ! = pIpI+ 1 α0 ∞

∑

n=1 naI∗_naI_n, onde utilizou-se também as relações α−n= αn∗= a∗n

√

n. Assim, da express˜ao para a massa da corda em (2.37), ´e obtida a positividade

M2= 1 α0 ∞

∑

n=1 naI∗_n aI_n_{> 0.} (2.38)

(24)

3 QUANTIZAC¸ ˜AO DAS CORDAS ABERTAS

Para a quantização da teoria constru´ıda classicamente deve-se escolher os opera-dores quânticos independentes, ou de Schrödinger, e dependentes, ou de Heisenberg, da coor-denada temporal τ da corda (GASPERINI; MAHARANA, 2007). Evidentemente, sabe-se da seção anterior que classicamente a solução geral é determinada pelas coordenadas transversas XI’s, a constante de integração x−₀ e a componente conservada do momento p+. Por outro lado, da equação (2.33) e da condição de ortogonalidade, tem-se que

˙ X− = 1 4α0p+ ˙ XIX˙I+ XI0XI0, de onde obt´em-se, utilizando a express˜ao em (2.22), que

Pτ −_{= π/2p}+ Pτ IPτ I₊ X I0_XI0 4π2_α02 ! .

Ou seja, além dePτ + _{ser determinado por p}+_{, a componente}_Pτ − _{é também determinada por}

p+, al´em dosPτ I_{’s e das coordenadas transversas X}I_{’s. Assim, os operadores independentes}

de τ devem ser

Operadores de Schr¨odinger: x−₀, XI(σ ) e p+,Pτ I_{(σ ) ,} _(3.1)

enquanto que os dependentes, portanto,

Operadores de Heisenberg: x−₀ (τ) , XI(τ, σ ) e p+(τ) ,Pτ I_{(τ, σ ) .} _(3.2)

O próximo passo para a quantização é definir as relações de comutação entre os ope-radores em (3.1) e em (3.2). Evidentemente, como as coordenadas da corda atuam como cam-pos em espaços bidimensionais, ou seja, que dependem de dois parâmetros, então as relações de comutações para operadores que não comutam necessitam de uma delta de Dirac na coordenada espacial σ , enquanto que no caso dos operadores de Heisenberg deve-se considerar a coorde-nada temporal τ fixa, levando às equal-time commutation relations (relações de comutação a tempo fixo) (KAKU, 1999). Assim, deve-se ter para as componentes transversais, dependentes de σ , que

XI_{(τ, σ ) ,}_Pτ J

τ , σ0 = iηIJδ σ0− σ , (3.3) e para os dois operadores restantes, independentes de σ ,

(25)

onde g−+ = −1 é uma componente da métrica em coordenadas do cone de luz, como indica o produto interno em (2.32). Todas as combinações restantes em pares de operadores comu-tam. As relações para os operadores de Schrödinger são semelhantes, omitindo-se apenas o parâmetro temporal τ (ZWIEBACH, 2004).

Classicamente, a expansão em modos para a solução geral contribui para o trata-mento quântico da teoria, porém a forma da densidade lagrangiana na ação de Nambu-Goto não contribui para a obtenção do hamiltoniano da teoria por conta da presença de uma raiz que a torna uma combinação infinita de potências das coordenadas da corda. Uma forma de corrigir este problema se dá procurando uma ação que leve às mesmas soluções, ou seja, às mesmas equações e condições de contorno. No entanto, já que as condições de gauge determinam X+ por p+ e X− a menos de uma constante de integração x−₀, basta buscar uma densidade lagran-giana que dependa apenas das derivadas das coordenadas transversais e que levem a mesma equação de onda (ZWIEBACH, 2004). Pode-se considerar uma poss´ıvel combinação linear quadrática da forma

L_X˙I_{, X}I0_{= c}

1X˙IX˙I+ c2XI

0

XI0,

onde c1e c2s˜ao constantes. Na realidade, tomando c1= −c2= 1/4πα0, pode-se verificar que

a ac¸˜ao

S= 1 4πα0

Z

dτdσX˙IX˙I− XI0XI0 (3.5) satisfaz as condições de contorno, juntamente com a equação de movimento transversal. A variação da densidade lagrangiana é dada por

δL = 1 2πα0 ∂τ δ X I _˙ XI− ∂σ δ X I_XI0_.

Utilizando a integração por partes como anteriormente para a ação de Nambu-Goto, encontra-se δ S = − 1 2πα0 Z dτ XI0δ XI π 0+ Z π 0 δ XI ¨ X− X00 ,

lembrando que as variações iniciais e finais das coordenadas em relação a τ são nulas, anulando portanto a integral da derivada total em τ. Assim, tem-se novamente as condições de contorno XI0 = 0 para pontas livres e δ XI = 0 para pontas presas a branas de dimensões mais baixas que a parte espacial do espaço-tempo considerado, e a equação de onda é também satisfeita

¨

XI− XI00 = 0 (3.6)

sob a condição de minimização da ação δ S = 0.

Para estudar a evolução dos operadores, constrói-se agora, ainda classicamente, o Hamiltoniano a ser quantizado a partir da ação descoberta. Utilizando a definição em (2.15),

(26)

a nova densidade lagrangiana em (3.5) e a expressão para a densidade de momento em (2.22), obtém-se H = πα0_Pτ IPτ I₊ 1 4πα0X I0_XI0 (3.7) como a nova densidade Hamiltoniana. Evidentemente, para a quantização deve-se utilizar a expressão em termos dos Pτ I_{’s e dos X}I0_{’s já que o próprio operador Hamiltoniano é quem}

ditará a evolução temporal dos XI’s. A evolução de um operador A numa teoria quântica de campo é dada pela equação de Heisenberg,

i ˙A(τ, σ ) = [A (τ, σ ) , H (τ)] . (3.8) Assim, utilizando a expressão para o novo hamiltoniano em (3.7), tem-se para a evolução das coordenadas transversas da corda que

i ˙XI(τ, σ ) = XI(τ, σ ) , πα0 Z dσ0Pτ J τ , σ0Pτ J τ , σ0 ,

onde j´a utilizou-se o fato de [XI, XJ0] = ∂σ0X

I_{, X}J_{= 0. Agora, utilizando as relac¸˜oes de}

comutação para as componentes transversas em (3.3), obtém-se que XI_{(τ, σ ) ,}_Pτ J

τ , σ0Pτ J τ , σ0 = 2iPτ I(τ, σ ) δ σ − σ0 , que, quando substitu´ıda na express˜ao anterior, leva a

˙

XI = 2πα0Pτ I_, _(3.9)

relação que coincide com a expressão clássica em (2.22). Analogamente, pode-se obter a evolução dePτ I _{através da equação de Heisenberg,}

i ˙Pτ I(τ, σ ) = Pτ I_{(τ, σ ) , 1/4πα}0 Z dσ0XJ0 τ , σ0 XJ 0 τ , σ0 ,

onde já utilizou-se o fato dePτ I_,Pτ J_{= 0. Utilizando novamente as relações de comutação}

em (3.3), encontra-se [Pτ I_{(τ, σ ) , X}J0 τ , σ0] = ∂σ0 Pτ I_{(τ, σ ) , X}J τ , σ0 = −iηIJδ0 σ − σ0 , de onde obt´em-se [Pτ I_{(τ, σ ) , X}J0 τ , σ0 XJ 0 τ , σ0] = −2iXI 0 δ0 σ − σ0 ,

(27)

partes, leva a

˙

Pτ I _{= 1/2πα}0_XI00_. _(3.10)

Assim, observa-se que das equações (3.10) e (3.9), a equação de onda é novamente obtida (ZWIEBACH, 2004). Por outro lado, as equações de Heisenberg para x−₀ e p+ são triviais, já que ambos comutam tanto comPτ I _{como com X}I0_{, sendo assim independentes também de τ}

mesmo na representac¸˜ao de Heisenberg, ˙

x−₀ = 0 e ˙p+= 0.

Um resultado clássico importante é a identificação do modo zero de Virasoro com o novo hamiltoniano (ZWIEBACH, 2004). Utilizando as expressões em (2.29) e (2.30), pode-se obter a seguinte relação

˙

XIX˙I+ XI0XI0 = 2α0

_∑

m,n∈Z

α_mIα_nIe−i(m+n)τcos(m + n)σ .

Substituindo a expressão paraPτ _{da equação (2.22) na nova densidade hamiltoniana, tem-se}

para o hamiltoniano,

H(τ) = 1/4πα0 Z π

0

dσX˙IX˙I+ XI0XI0, ou seja, utilizando a express˜ao anterior,

H(τ) = (1/2π)

_∑

m,n∈Z α_mIα_nIe−i(m+n)τ Z π 0 cos(m + n)σ . Assim, tem-se H(τ) = 1 2_n

∑

_∈Zα I nα−nI = L⊥0.

No entanto, como será observado a seguir, os modos α_nI da solução geral para XInão comutarão em geral quando tratados como operadores quânticos, fazendo com que seja necessário um ordenamento em expressões como as dos modos de Virasoro (ZWIEBACH, 2004).

Com a dinâmica do operador XI(τ, σ ) obtida, pode-se observar da equação (3.9) que

[XI(τ, σ ) , ˙XJ τ , σ0] = 2πα0iηIJδ σ − σ0 . (3.11) Derivando a expressão obtida em relação a σ ,

(28)

Assim, obt´em-se o seguinte resultado,

[ ˙XI(τ, σ ) + XI0(τ, σ ) , ˙XJ τ , σ0 + XJ

0

τ , σ0] = 4πα0iηIJδ0 σ − σ0 .

Utilizando a equação (2.31) do lado esquerdo da equação anterior com τ = 0, encontra-se,

∑

m0,n0∈Z e−im0σ_e−in0σ0_[αI m0, α J n0] = 2πiη IJ δ0 σ − σ0 . Multiplicando ambos os lados pelo operador

1 4π2 Z π 0 Z π 0 dσ dσ0eimσeinσ0,

todos os termos do somatório serão nulos com exceção do termo com m0= m e n0= n, restando,

[α_mI, α_nJ] = iη IJ 2π Z π 0 dσ eimσ d dσ Z π 0 dσ0einσ0δ σ − σ0 = mηIJδm+n,0, (3.12)

relação que evidentemente não depende de τ já que ei(m+n)τδm+n,0 = δm+n,0, como é de se

esperar para os modos de XI. Assim, como adiantado anteriormente, a quantização dos mo-dos α_nI implica que os mesmos não necessariamente comutarão entre si, fazendo com que seja necessário o ordenamento de expressões como as dos modos de Virasoro (KAKU, 1999).

Pondo m = 0 em (3.12), observa-se que α₀I comuta com todos os modos, espera-se então que este modo não comute com o termo restante da solução geral para a coordenada em (2.28), xI₀. Utilizando a solução geral para integrar a expressão (3.11) de σ = 0 a σ = π, resta apenas os termos sem dependência em σ ,

[xI₀+√2α0α₀Iτ , ˙XJ τ , σ0] = 2α0iηIJ, que pode ser reescrita com o aux´ılio da express˜ao (2.29) na forma,

∑

n∈Z

[xI₀, α_nJ] cos nσ0e−inτ =√2α0iηIJ.

Da independência linear das funções exponenciais e−inτ e das trigonométricas cos nσ0, resta que

[xI₀, α_nJ] =√2α0iηIJδn0. (3.13)

Para garantir a hermiticidade do operador XI basta assumir a hermiticidade das quantidades reais na teoria cl´assica, (xI₀)†= x₀I e (α₀I)†= α₀I, enquanto que as quantidades complexas sa-tisfazem (α_nI)†= α−nI , para n 6= 0. Ou seja, o conjugado hermitiano na teoria quantizada tem

(29)

ser reescrito em termos dos aI_n= α_nI/√ne dos aI†_n = α_−nI /√n, onde n_{> 1, como} [aI_m, aJ†_n ] = δm,nηIJ,

indicando que os mesmos satisfazem relações semelhantes a dos operadores canônicos de criação e aniquilação da mecânica quântica não-relativista. Dessa forma, denomina-se α_nI e aI_nde ope-radores de aniquilação, enquanto que seus conjugados hermitianos respectivos são chamados de operadores de criação da teoria quântica aqui desenvolvida (ZWIEBACH, 2004).

3.1 Operadores de Virasoro e a quest˜ao do ordenamento

A definição dos modos de Virasoro na equação (2.36) mostra que no caso n 6= 0 tem-se sempre que n − p 6= −p, ou seja, os operadores de criação e aniquilação presentes na expressão sempre comutarão. No entanto, quando n = 0, todos os termos são formados por operadores de criação e aniquilação de mesma ordem que não comutam, com exceção do termo com p = 0. Assim, para a quantização, torna-se necessário o ordenamento apenas do modo de Virasoro de ordem zero, L⊥₀. Os modos de Virasoro quantizados são denominados simplesmente por operadores de Virasoro. Para a quantização de quantidades dependentes de operadores de criação e aniquilação não ordenados utiliza-se em geral o procedimento conhecido como ordenamento normal com o intuito de facilitar a atuação destas quantidades quantizadas no estado de vácuo da teoria, a ser definido posteriormente (KAKU, 1999). Neste procedimento, operadores de aniquilação ficam sempre a direita de operadores de criação. Utilizando a relação de comutação em (3.12), a expressão para o modo zero de Virasoro pode ser escrita na forma

L⊥₀ = 1 2α I 0α0I+ ∞

∑

p=1 α_−pI α_pI+1 2 ∞

∑

p=1 pηII,

onde utilizou-se [α_−pI , α_pI] = −pηII para os termos de p_{6 1 e posteriormente a mudança p →} −p. Sendo D = d + 1 a dimensão do espaço, então ηII_{= D − 2. Assim,}

L⊥₀ =1 2α I 0α0I+ ∞

∑

p=1 α_−pI α_pI+D− 2 2 ∞

∑

p=1 p.

Obteve-se, então, da própria expressão clássica uma forma normalmente ordenada para o operador de Virasoro de ordem zero, mas com a presença de uma série aparentemente divergente. No entanto, assumindo que a relação de comutação (3.12) é tal que m → m−s, onde s→ −1 é uma constante complexa, tem-se que a série infinita na expressão anterior coincide exatamente com a continuação anal´ıtica da função zeta,

ζ (s) =

∞

∑

p=1

(30)

que ´e tal que ζ (−1) = −1/12 (KAKU, 1999). Neste sentido, tem-se a seguinte express˜ao L⊥₀ = 1 2α I 0α0I+ ∞

∑

p=1 α_−pI α_pI+ a,

onde a = −(D − 2)/24. Da expressão clássica para a massa em (2.37), tem-se então a forma quantizada respectiva, M2= 1 α0 ∞

∑

n=1 naI†_naI_n+ a ! ,

mostrando que a quantização exige uma mudança negativa, para D > 2, na massa do estado de vácuo, que é aniquilado por aI_n (KAKU, 1999). Além disso, as formas obtidas para os operadores de Virasoro e de massa implicam em (L⊥_n)†= L⊥_−n e na hermiticidade M2† = M2, como era de se esperar. Apesar de não comutarem entre si, os operadores de Virasoro formam a conhecida álgebra de Witt e o cálculo de seus comutadores também necessitam de cuidado devido a exigência do ordenamento normal (ZWIEBACH, 2004). Para observar este fato, é útil saber a relação de comutação desses com os operadores de criação e aniquilação. Como a constante a do modo zero não intefere no comutador, pode-se utilizar a expressão clássica para obter

[L⊥_m, α_nJ] = 1 2_p

∑

_∈Z[α

I

m−pαpI, αnJ] = −nαm+nJ .

Da relação em (3.13), obtém-se também

[L⊥_m, xI₀] = −i√2α0α_mI.

Para obter as regras de comutação entre os operadores de Virasoro é interessante separá-los em termos normalmente ordenados,

L⊥_n = 1 2_k≥0

∑

α I m−kαkI+ 1 2_k<0

∑

α I kαm−kI .

O primeiro termo possui sempre operadores de aniquilação à direita, enquanto que no segundo termo há sempre operadores de criação à esquerda, estando ambos portanto normalmente orde-nados. Esta forma pode também ser utilizada para o operador de ordem zero já que a constante anão interfere no comutador como citado anteriormente. Assim, tem-se

[L⊥_m, L⊥_n] = 1 2_k≥0

∑

[α I m−kαkI, L⊥n] + 1 2_k<0

∑

[α I kαm−kI , L⊥n].

(31)

criação e aniquilação, obtém-se [L⊥_m, L_n⊥] =1 2_k≥0

∑

(m − k)α I m+n−kαkI+ 1 2_k<0

∑

(m − k)α I kαm+n−kI +1 2_k≥0

∑

kα I m−kαk+nI + 1 2_k<0

∑

kα I k+nαm−kI . (3.14)

A primeira linha é evidentemente normalmente ordenada pela mesma razão da expressão di-vida em dois termos utilizada para L⊥_n. No entanto, o ordenamento da expressão na segunda linha depende dos valores de m e n. Quando m + n 6= 0, todos os operadores nos somatórios comutarão, resultando em

[L⊥_m, L⊥_n] = (m − n)L⊥_m+n, para m + n 6= 0. Por outro lado, quando m + n = 0, tem-se a express˜ao

[L⊥_m, L⊥_−m] = 1 2_k≥0

∑

(m − k)α I −kαkI+ 1 2_k<0

∑

(m − k)α I kα−kI +1 2_k≥0

∑

kα I m−kαk−mI + 1 2_k<0

∑

kα I k−mαm−kI . (3.15)

Fazendo a mudança k → −k no segundo somatório da primeira linha, k → m + k no primeiro somatório da segunda linha, e k → m − k no segundo somatório da segunda linha, encontra-se

[L⊥_m, L⊥_−m] =

_∑

k≥0

(m − k)α_−kI α_kI+

_∑

k≥1

(m + k)α_−kI α_kI+ (D − 2)A(m),

onde utilizou-se a equação (3.12) para obter o terceiro termo, em que A(m) é dado por A(m) = 1 2 m

∑

k=0 k(m − k) = 1 12(m 3_{− m).}

Assim, para o caso espec´ıfico em que m + n = 0, tem-se a express˜ao [L_m⊥, L⊥_−m] = 2mL⊥₀ + 1

12(D − 2)(m

3_{− m).}

Como o primeiro termo coincide com a expressão para m + n 6= 0, a relação pode ser expressa no caso geral como (ZWIEBACH, 2004),

[L⊥_m, L⊥_n] = (m − n)L⊥_m+n+D− 2 12 (m

3_{− m)δ}

m+n,0. (3.16)

Além disso, pode-se também interpretar os operadores de Virasoro através da forma como atuam no operador coordenada XI(τ, σ ) (ZWIEBACH, 2004). Dos comutadores com os operadores de criação e aniquilação, pode-se utilizar as expressões em (2.29) e (2.30) para se

(32)

obter [L⊥_m, XI(τ, σ )] = ξτ mX˙I+ ξmσXI 0 , onde ξτ

m(τ, σ ) = −ieimτcos mσ e ξmσ(τ, σ ) = eimτsin mσ . Para uma mudança de parametrização

dada por τ → τ + εξτ

m(τ, σ ) e por σ → σ + εξmσ(τ, σ ), a coordenada da corda muda por

XI(τ0, σ0) = XI(τ, σ ) + ε[L⊥_m, XI(τ, σ )].

Ou seja, os operadores de Virasoro atuam nas coordenadas da corda como um gerador de reparametrizac¸˜oes na folha-mundo (KAKU, 1999).

3.2 A invariˆancia de Lorentz na teoria quantizada

As cargas conservadas classicamente sobre invariâncias por transformações de Lo-rentz infinitesimais, obtidas em (2.14), são chamadas de geradores de LoLo-rentz. Utilizando a solução geral em termos de modos para as coordenadas da corda e suas derivadas, pode-se mostrar que a expressão clássica desses geradores é dada por

Mµ ν= x₀µpν− xν 0pµ− i ∞

∑

n=1 1 n(α µ −nαnν− α−nν αnµ). (3.17)

Resta saber novamente como tal expressão pode ser quantizada para que a invariância de Lo-rentz seja satisfeita. Da mesma forma que os operadores de Virasoro geram reparametrizações na folha-mundo da corda, os geradores de Lorentz irão gerar transformações de Lorentz no espaço-tempo (ZWIEBACH, 2004). A expressão mais delicada para quantização é a de M−I que analogamente ao caso da quantização da part´ıcula relativ´ıstica deve ser um operador her-mitiano, normalmente ordenado, satisfazendo a relação

[M−I, M−J] = 0. A expressão clássica é dada por

M−I= x−₀ pI− xI₀p−− i ∞

∑

n=1 1 n(α − −nαnI− α−nI αn−).

O primeiro termo é hermitiano já que x₀− comuta com pI e ambos são hermitianos. Por outro lado, isso não ocorre com o segundo termo, que pode ser reescrito numa forma hermitiana,

xI₀p−= 1 2(x

I

(33)

O somatório dos modos é completamente hermitiano em decorrência de (αn)†= α−n. Assim,

uma poss´ıvel expressão quântica completamente hermitiana é dada por M−I= x−₀ pI+1 2(x I 0p−+ p−xI0) − i ∞

∑

n=1 1 n(α − −nαnI− α−nI αn−).

Para o ordenamento normal, basta observar da equação (2.35) que tanto p−∝ α₀− como os α_n−, para n 6= 0, podem ser escritos em termos de operadores de Virasoro normalmente ordenados, restando a expressão quântica hermitiana e normalmente ordenada,

M−I= xI₀pI− 1 4α0p+ xI₀(L⊥₀ + a) + (L⊥₀ + a)xI₀−√ i 2α0p+ ∞

∑

n=1 1 n(L ⊥ −nαnI− α−nI L⊥n). (3.18)

Utilizando esta expressão e as relações de comutação anteriores, resta que a garantia de uma invariância de Lorentz na teoria seja dada pela nulidade do comutador

[M−I, M−J] = − 1 α0p+2 ∞

∑

m=1 Bm(α−mI αmJ− α−mJ αmI), onde B_m= m 1 − 1 24(D − 2) + 1 m 1 24(D − 2) + a .

Assim, para possibilitar uma invariância de Lorentz na teoria, deve-se ter a nulidade de todas as constantes Bm, onde m ≥ 1. Da expressão para Bmisso evidentemente será satisfeito quando

o termo linear em m for nulo, ou seja, D = 26, assim como o termo linear em m−1, ou seja, a= −1. Então, observa-se que a invariância de Lorentz na quantização da teoria de cordas de Nambu-Goto exige uma fixação da dimensão do espaço em D = 26 e um shift negativo a = −1 na massa (ZWIEBACH, 2004).

3.3 A construção do espaço de estados

A quantização da teoria de Nambu-Goto para cordas abertas resolve o problema do espectro cont´ınuo de massa e da ausência de polarizações para o tratamento do fóton. Na teoria clássica, apenas o estado de vácuo é não-massivo e este não possui polarização. A possibili-dade de tratar a teoria em termos de operadores de criação e aniquilação permite a quantização do espectro de massa, enquanto que o shift negativo decorrente do procedimento de ordena-mento do modo zero de Virasoro resulta na existência de estados não-massivos com ´ındices de polarização. Por convenção, utiliza-se o espaço dos momentos para a construção do estado de vácuo da teoria, cuja descrição é dada pela componente conservada p+ e pelas componentes transversas ~pT, ou seja,

(34)

Estes são os chamados estados de vácuo para todos os valores de momento. Como de praxi, impõe-se que estes estados são aniquilados pelos operadores aI_n, ou seja,

aI_n|p+,~pTi = 0, (3.20)

onde n ≥ 1 e I = 2, . . . , 25. Analogamente, os estados excitados são obtidos através da atuação dos diversos operadores de criação aI†_n no estado de vácuo. Assim, um estado de base geral do espaço constru´ıdo é dado por,

|λ i = ∞

∏

n=1 25

∏

I=2 (aI†_n)λn,I_|p+_,~p Ti, (3.21)

onde os λn,I s˜ao constantes inteiras positivas que indicam em forma de potˆencia quantas vezes

o operador de criação aI†_n atua no estado de vácuo, ou seja, o espaço de Hilbert da teoria é um espaço vetorial de dimensão infinita por ser gerado por infinitos estados de base |λ i. Um estado geral neste espaço é, portanto, uma superposição linear desses vários estados de base.

Para interpretar fisicamente o espaço de estados, observa-se a atuação do operador massa nestes. Evidentemente, da expressão em (3.22) para o operador massa com a constante de shift fixada em a = −1, tem-se

M2= 1 α0 ∞

∑

n=1 naI†_naI_n− 1 ! . (3.22)

O somat´orio em (3.22) define o chamado operador n´umero N⊥, N⊥=

∞

∑

n=1

naI†_naI_n, (3.23)

que das regras de comutação em (3.12), observa-se que satisfaz relações semelhantes as do operador número para o oscilador harmônico quântico,

[N⊥, aI†_n] = naI†_n , e

[N⊥, aI_n] = −aI_n.

Como o operador número é normalmente ordenado, segue que esse também aniquila o estado de vácuo,

N⊥|p+,~p_Ti = 0.

Por outro lado, conhecendo a sua atuação no estado de vácuo e a sua relação de comutação com os operadores de criação e aniquilação pode-se obter a sua atuação em diferentes estados.

(35)

Assim, para um estado do tipo aI†₂ |p+,~pTi, tem-se

N⊥aI†₂ |p+,~pTi = [N⊥, aI†₂]|p+,~pTi + aI†₂N⊥|p+,~pTi = 2aI†₂ |p+,~pTi.

Analogamente, obt´em-se

N⊥aJ†₃ aI†₂|p+,~pTi = 5aJ†₃ aI†₂|p+,~pTi.

Ou seja, os estados de base são auto-estados do operador número com auto-valor igual a soma dos modos dos operadores de criação deste estado. Para o estado de base geral |λ i, tem-se um auto-valor N⊥ λ = ∞

∑

n=1 25

∑

I=2 nλn,I.

Analogamente, pode-se construir um espaço de estados dual com o conjugado hermitiano do estado de vácuo hp+,~pT| para completar a estrutura do espaço de Hilbert com um produto

interno, definindo a relac¸˜ao,

hp0+,~p0_T|p+,~pTi = δ (p

0₊

− p+)δ (~p0T− ~pT),

juntamente com a linearidade e a antilinearidade para produtos envolvendo estados arbitrários. Para cada estado independente do tempo |λ i, sua evolução será dada por,

|λ , τi = e−iHτ|λ i, (3.24)

onde H = L⊥₀ − 1 é o operador hamiltoniano. Ou seja, derivando a expressão (3.24) em relação a τ, tem-se evidentemente que o estado dependente do tempo satisfaz a equação de Schrödinger com o hamiltoniano da teoria (ZWIEBACH, 2004).

Como os auto-valores do operador número são todos inteiros não-negativos, segue da expressão (3.22) para o operador massa que seus auto-valores serão limitados por

M2≥ −1/α0,

em passos inteiros de 1/α0 dependendo da ordem dos operadores de criação, ou osciladores, presentes no estado considerado. O estado geral dependente do tempo a descrever determi-nada part´ıcula pode ser constru´ıdo a partir dos estados de base com a mesma quantidade de operadores criação, somando-se sobre todos os valores de momento poss´ıveis,

|Ψ, τi = Z d p+d~pTψI1...Ik(τ, p + ,~pT)aIn11. . . a Ik nk|p + ,~pTi, (3.25) onde ψI1...Ik(τ, p +_,~p

T) é a função de onda que caracteriza a amplitude da part´ıcula no estado

(36)

a repetição dos ´ındices I’s também representam somas neste caso. Da independência linear entre os estados de base na equação de Schrödinger,

i∂τ|Ψ, τi = (α

0_pI_pI_{+ N}⊥_{− 1)|Ψ, τi,}

(3.26) onde utilizou-se H = L⊥₀ − 1 = α0pIpI+ N⊥− 1, obt´em-se,

i∂τψI1...Ik(τ, p

+

,~pT) = (α0pIpI+ N⊥− 1)ψI1...Ik(τ, p

+

,~pT), (3.27)

onde neste caso N⊥j´a representa o auto-valor do estado respectivo.

Com k = 0 em (3.25), obt´em-se o estado de part´ıcula mais simples, |Ψ, τi =

Z

d p+d~pTψ (τ , p+,~pT)|p+,~pTi. (3.28)

Neste caso, N⊥= 0, e a equação de Schrödinger é dada por, i∂τψ = (α

0_pI_pI_{− 1)ψ,} _(3.29)

que é precisamente a equação do campo escalar no espaço dos momentos em coordenadas do cone de luz com m2= −1/α0, indicando que o estado |Ψ, τi descreve possivelmente um táquion. Por outro lado, com k = 1, tem-se

|Φ, τi = Z

d p+d~pTφI(τ, p+,~pT)aI1|p+,~pTi, (3.30)

e como neste caso N⊥= 1, a equação de Schrödinger fica na forma,

i∂τφI = α0pJpJφI, (3.31)

que é precisamente a equação do campo vetorial clássico de Maxwell em coordenadas do cone de luz, indicando que |Φ, τi descreve possivelmente um fóton (ZWIEBACH, 2004). Assim, tem-se que o ordenamento da expressão para os operadores de Virasoro utilizando-se uma continuação anal´ıtica e a exigência de uma invariância de Lorentz na teoria causaram um shift preciso no operador massa M2 de tal forma que o estado não-massivo pudesse descrever um fóton.

3.4 O caso das cordas fechadas

Neste caso, o procedimento de quantização é análogo ao das cordas abertas. O conjunto dos operadores na quantização da teoria de Nambu-Goto para as cordas fechadas, em decorrência das condições de contorno para a solução geral em (2.25) não permitirem a igualdade entre f e g, será exatamente uma cópia duplicada do caso das cordas abertas, ou seja,

(37)

para todo operador A na solução geral estará associado um outro ¯Aindependente tal que [A, ¯A] = 0. A periodicidade na coordenada σ implica na identidade α0= ¯α0 permitindo a descrição da

corda em termos de apenas um momento p = ¯pque, por consistˆencia quˆantica, exige a igualdade entre os modos zeros das coordenadas x0= ¯x0(ZWIEBACH, 2004).

Todos os operadores barrados na solução geral satisfazem as mesmas relações de comutação que os operadores não-barrados da teoria para as cordas abertas satisfazem entre si. Assim, a solução geral pode ser escrita na forma,

X(τ, σ ) = x0+ √ 2α0α0τ + i p α0/2

_∑

n6=0 e−inτ n (αne inσ_{+ ¯} αne−inσ). (3.32)

Da definição para do modo zero de Virasoro observa-se também que a igualdade α₀− = ¯α₀− implicará em,

L⊥₀ = ¯L⊥₀. O operador massa ser´a dado por,

M2= 2 α0(N

⊥_{+ ¯}_N⊥_{− 2),}

enquanto que o hamiltoniano,

H= L⊥₀ + ¯L⊥₀ − 2.

O estado de v´acuo ´e novamente denotado por |p+,~pTi, sendo aniquilado tanto pelos

operadores de aniquilação não-barrados como pelos barrados, ¯an. Os estados de base do espaço

de estados ser˜ao dados por,

|λ , ¯λ i = " ∞

∏

n=1 25

∏

I=2 (aI†_n)λn,I # × " ∞

∏

n=1 25

∏

J=2 ( ¯aJ†_n )λ¯n,J # |p+,~pTi.

O estado geral dependente do tempo de maior interesse na teoria quântica de cordas bosônicas fechadas será o de massa nula, onde N⊥= ¯N⊥= 1,

|Ψ, τi = Z

d p+d~pTψIJ(τ, p+,~pT)a₁I†a¯J†₁ |p+,~pTi. (3.33)

Com o novo hamiltoniano, a equação de Schrödinger para a função de onda será dada por, i∂τψIJ = (α0/2)pLpLψIJ, (3.34)

de tal forma que as componentes de ψIJ estarão associadas ao campo do gráviton através da

parte simétrica de traço nulo, ao campo de Kalb-Ramond através da parte antissimétrica e ao campo do d´ılaton através do traço (ZWIEBACH, 2004).