De modo geral, as rotinas escritas no ambiente do CAS Maxima trazidas neste trabalho funcionam de maneira satisfatória, de modo a ser possível utilizá-las para complementar a rotina de integração nativa do próprio Maxima, a qual,
aparentemente, recorre ao algoritmo de Bernoulli para a integração de funções ra- cionais e não trabalha com extensões que envolvam fórmulas cúbicas ou quárticas, oferecendo resultados muito limitados. Na verdade, os resultados obtidos pelas rotinas presentes neste trabalho têm apresentação muito semelhante à daqueles obtidos pelos CAS Wolfram Alpha e Maple.
Porém, durante a elaboração dos códigos, o autor do presente trabalho obje- tivou apenas obter códigos estáveis e legíveis em uma primeira instância, isto é, apenas códigos que funcionassem e fossem fáceis de compreender. Isto refletiu na eficiência dos códigos.
Por exemplo, em uma computação de resultante sobre �[�][�] de grau 34 na variável � e conteúdo com cerca de 150 dígitos, o algoritmo das subresultantes implementado pelo autor, por exemplo, chegou a demorar 4.1 segundos e utilizar cerca de 550MB de memória, contra cerca de 0.2 segundos e 70MB de memória da rotina nativa do Maxima para o cálculo de resultantes através do algoritmo das subresultantes. O resultado obtido pelas duas implementações, todavia, foi idêntico.
Isto sugere que não necessariamente há falhas no código, mas programação inapropriada, ou seja, os comandos poderiam ser reescritos de modo a aproveitar melhor as potencialidades de cálculo do Maxima, reduzindo drasticamente o tempo de execução.
Corroborando com esta hipótese, após uma alteração dos códigos Group,
PPsDiv e SubRes, todas relativas a simplificações de expressões, o código im-
plementado passou a levar cerca de apenas 0.6 segundos e 135MB para o cálculo da mesma resultante mencionada acima. As alerações que resultaram num ganho de eficiência, contudo, não foram mantidas por uma questão de segurança Ů apesar de proporcionarem um resultado satisfatório dentro da rotina das subresultantes, não foi testado com segurança como afetariam a execução das demais rotinas. O autor pretende realizar estes testes e efetuar estas alterações para maior eficiência em breve.
Finalmente, apontamos para o fato de que os códigos foram testados principal- mente para funções racionais em Q(�). Poucos testes foram feitos utilizando-se corpos K mais gerais. Além disso, é natural que, ao se utilizar os códigos pro- postos com a rotina CubeSolve, o tempo de computação aumente muito, ou
a apresentação das funções fique muito extensa, especialmente no caso real. As configurações ideais para a função IRF, portanto, são
1. para o caso real: recomenda-se utilizar, no máximo, a rotina QuadSolve; apresentação inerte em termos dos fatores da resultante; versão linear do algoritmo de Hermite, ou algoritmo de Horowitz-Ostrogradsky; Algoritmo de Czichowski, ou Lazard-Rioboo-Trager, caso a computação de bases de Gröbner falhe por algum motivo; Algoritmo de Rioboo; conversão para arcos tangentes hiperbólicos;
2. para o caso complexo: recomenda-se utilizar, no máximo, a rotina Cube-
Solve; apresentação inerte em termos dos fatores da resultante; versão
linear do algoritmo de Hermite, ou algoritmo de Horowitz-Ostrogradsky; Algoritmo de Czichowski, ou Lazard-Rioboo-Trager, caso a computação de bases de Gröbner falhe por algum motivo;
Lançamos agora algumas considerações a respeito da integração de uma fun- ção � com coeficientes reais. Digamos que a resultante encontrada durante o processo de obtenção da parte transcendental seja �. Quando (por opção ou impossibilidade) nem todas as raízes deste polinômio são determinadas, somos deixados com um polinômio, digamos ˜�, que é a divisão de � por todos os fatores � ⊗ Ò, onde os Ò são todas as raízes de � que determinamos. A parte inerte de
∫ �, como vimos, será escrita em termos das raízes de ˜�.
Este polinômio poderá conter raízes envolvendo parte imaginária ou não. No caso da integração real, seria desejável, portanto, saber se � possui pelo menos uma raiz real pura e pelo menos uma raiz com unidade imaginária. Desse modo, poderíamos expressar ︁ � = �1+ ︁ γ∈R♣ ˜Qi(γ)=0 Òlog(�i(Ò,�)) + ︁ γ=a+bI∈C♣ ˜Qi(γ)=0 b>0 Òlog(�2+ �2) + �ã,
onde �1é a parte da integral que conseguimos expressar de modo explícito a partir
da determinação de parte das raízes de �, a partir dos algoritmos que estudamos neste trabalho, � = �(�,�,�), � = �(�,�,�), ã = ã(�,�,�) e os ˜�i são fatores
de quadrados, independente do método que utilizamos.
Para realizar esta determinação, é possível recorrer ao algoritmo de Sturm: um algoritmo capaz de calcular o número de raízes reais distintas de um polinômio. Este algoritmo pode ser aplicado a ˜�i, de modo que se � é o número de raízes
reais de ˜�i então grau( ˜�i) ⊗ � é o número de raízes complexas distintas de ˜�i.
Este algoritmo não foi implementado, todavia, nos códigos deste trabalho, de modo que o somatório mais à direita é sempre dado em termos explícitos, não em termos de raízes não determinadas. A fonte original que fundamenta este algoritmo se encontra em [32].
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Integração de Funções
Hiperexponenciais
A.1
O Algoritmo de Almkvist-Zeilberger
Apresentaremos aqui um algoritmo para integração das funções ditas hiperex- ponenciais. Brevemente, seriam aquelas funções cuja derivada logarítmica é racional, como veremos a seguir. O método calcula a integral deste tipo de função quando esta integral é um múltiplo racional da mesma. Este algoritmo se encontra originalmente em [1].
Definição A.1.1. Seja �(�) uma função na variável �. Se �′
/� ∈ K(�), K ⊖ C então dizemos que � é hiperexponencial sobre K(�) (ou que é uma extensão
hiperexponencial de K(�)).
Exemplos de funções hiperexponenciais sobre K(�) (ou simplesmente hiperex- ponenciais) são:
1. as funções racionais, pois é evidente que se � ∈ K(�) então �′
/� ∈ K(�);
2. exponenciais de funções racionais, pois, dada � ∈ K(�), temos que exp(�)′/
exp(�) = �′
∈ K(�);
3. produtos finitos de funções exponenciais, pois se � e � são hiperexponenciais, então (��)′/� �= �′/� + �′
4. potências de funções hiperexponenciais, pois se � é hiperexponencial e � ∈ K então (�r)′/�r = �(�r⊗1)�′/�r = ��′
/� ∈ K(�).
Considere o problema de encontrar a integral de uma função � hiperexponencial sobre K(�), isto é, encontrar uma função � (não necessariamente pertencente a K(�)) tal que
�′ = �
Se assumirmos que o problema acima possui uma solução também hiperexponen- cial, o algoritmo de Almkvist-Zeilberger, o qual discutiremos nesta seção, nos mostra como obtê-la. Consequentemente, quando o algoritmo não é capaz de encontrar qualquer solução hiperexponencial, então não existe solução alguma do problema satisfazendo esta condição. Por este motivo, dizemos que este é um algoritmo de decisão.
Primeiramente, observemos que se � é hiperexponencial então temos que a sua derivada logaritmica à = �′/� pertence a K(�). Se o problema admite solução �
hiperexponencial então � = �′/� e
� = �′ = ��.
Portanto, � = �/�. Naturalmente, � ̸= 0, ou teríamos � = 0, pela equação acima. Portanto, se a solução � existir, deve ser um múltiplo racional de �, o que quer dizer que � ∈ K(�).
Seja, portanto � uma solução do para �′ = �, isto é, � = á� para alguma
função á ∈ K(�). Temos que
�′ = (á�)′ = á′�+ á�′ = (á′+ àá)�.
A equação acima possui solução se e só se á é solução da equação diferencial
de Risch
á′ + àá = 1. (A.1)
Na equação (A.1) acima, há apenas termos racionais, isto é, eliminamos todos os termos puramente hiperexponenciais do problema original e agora nossa questão
se reduz a encontrar soluções racionais.
Mais além, se escrevermos à = �/� em sua forma reduzida com �,� ∈ K[�], e, de modo semelhante, á = �/� em sua forma reduzida com �,� ∈ K[�] e multiplicarmos a equação (A.1) por ��2, vemos que o problema se reduz a encontrar
polinômios �,� ∈ K[�] tais que
��′� ⊗ ���′+ ��� = ��2. (A.2)
Uma vez encontrados polinômios �,� ∈ K[�] que satisfazem (A.2), temos uma solução para o problema original. Basta fazer � = (�/�)�.
Vamos, discutir como resolver a equação (A.2). Nossa abordagem será procurar primeiro algum múltiplo do polinômio �, tal que a equação (A.2) aplicada a este polinômio no lugar de � possua solução em um múltiplo de �. Mostraremos que, para a obtenção do múltiplo de �, precisamos tão somente conhecer � e �. Definimos, para tanto, �0 = �* = �/�⊗ e �1 = �′/�⊗, ambos em K[�]. Observe
que �0 e �1 são relativamente primos. Dividindo (A.2) por gcd(�,�′), temos
��′�0⊗ ���1 + ���0 = ���0 (A.3)
Observe que �0 divide ���1 e, como mdc(�,�) = mdc(�c,�1) = 1, também
divide �. Portanto, podemos dividir (A.3) por �0 obtendo
��′ + ︃ � ⊗ �� 0 �1 ︃ �= ��′,
donde podemos concluir que �0 divide � ⊗ (�/�0)�1, uma vez que �0 divide � e é
relativamente primo a �. Seja � = ℎ1 1≤ ≤ ≤ ℎkk a flq de �. Temos que �0 = ℎ1≤ ≤ ≤ ℎk e �1 = ︀k i=1ℎii ′︂ j̸=iℎjj ︂k i=1ℎi⊗1i = ︀k i=1�ℎ′i ︂k i=1ℎi⊗1i ︂ j̸=iℎj ︂k i=1ℎi⊗1i =︁k i=1 �ℎ′ i ︁ j̸=i ℎj = k ︁ i=1 �ℎ′ i�0 ℎi .
Além disso, para cada ℎi, � �0 �1 ⊕ � �0 �ℎ′i�0 ℎi = �� ℎi ℎ′i ⊕ � ︃ � ℎi ℎ′i+ ︃ � ℎi ︃′ ℎi ︃ = ��′ mod ℎ i.
Cada ℎi divide � pelas contas acima e ambas as parcelas do lado esquerdo na
equação ︃ � ⊗ �� 0 �1 ︃ + ︃ � �0 �1⊗ ��′ ︃ = � ⊗ ��′,
portanto cada ℎi divide mdc(�,� ⊗ ��′). Lançamos o seguinte teorema
Teorema A.1.1 ([35], Cap. 22, ğ4). Sejam �,� ∈ K[�] polinômios relativamente
primos em K[�] constituindo uma solução para (A.2), com � ̸= 0 mônico e � = ℎ11≤ ≤ ≤ ℎkk sendo decomposição em fatores livres de quadrados de �. Definamos
�(�) = resx(�,� ⊗ ��′),
�= max¶� ∈ N ♣ � = 0 ou �(�) = 0♢, �i = gcd(�,� ⊗ ��′), (1 ⊘ � ⊘ �).
Então, � ⊘ � e ℎi ♣ �i, para 1 ⊘ � ⊘ �.
Demonstração. Podemos supor que grau(�) ⊙ 1. Temos que grau(ℎm) > 0, pela
definição de decomposição livre de quadrados. Observe que, como já dissemos, ℎi
divide mdc(�,�⊗��′) para todo �. Em particular, isto quer dizer que grau(mdc(�,�⊗
��′)) > 0 e, portanto �(�) = resx(�,� ⊗ ��′) = 0. Logo, � ⊘ � e ℎi ♣ �i para
1 ⊘ � ⊘ �. Finalmente,
� = ℎ1ℎ22≤ ≤ ≤ ℎmm ♣ �1�22≤ ≤ ≤ �mm ♣ �1�22≤ ≤ ≤ �mm�m+1m+1≤ ≤ ≤ �dd= �.
Portanto, alcançamos nosso objetivo de calcular um múltiplo � = �1≤ ≤ ≤ �dd
de � conhecendo tão somente os polinômios � e �. Observe que � = ︁
�ii
é própria flq de � : se Ò ∈ K e � é um fator irredutível de mdc(�,� ⊗ Ò�′),
então � ♣ �, � ⊗ Ò�′. Por outro lado, se ocorresse �2
♣ �, então teríamos � ♣ �′ e, portanto, � ♣ �, contrariando o fato de que � e � são primos entre si. Assim,
para todo Ò ∈ K, mdc(�,� ⊗ Ò�′) é livre de quadrados. Então, dados Ò
1,Ò2 ∈ K,
se �1 = mdc(�,� ⊗ Ò1�′), �2 = mdc(�,� ⊗ Ò2�′) e � = mdc(�1,�2), então � ♣
�, � ⊗ Ò1�′, � ⊗ Ò2�′, donde � ♣ (Ò1⊗ Ò2)�′ e, portanto, se Ò1 ̸= Ò2, � ♣ �, donde
�= 1. Concluímos que os �i são livres de quadrados e dois a dois primos entre
si.
O algoritmo sugerido pelo TeoremaA.1.1 pode ser melhorado se a cada passo retirarmos �i de � e � ⊗ ��′: se �0 = � e �0 = �, definimos as sequências
�i = mdc(�i⊗1,�i⊗1⊗ �′i⊗1), �i =
�i⊗1⊗ �′i⊗1 �i , �i = �i⊗1 �i . (A.4)
Observe que, dado 1 ⊘ � ⊘ �, se para algum par � tal que 1 ⊘ � < � temos que
�i = mdc(�i⊗k,�i⊗k⊗ ��′i⊗k) então
�i = mdc(�i⊗k2 �i⊗k,�i⊗k2 (�i⊗k⊗ ��′i⊗k))
= mdc(�i⊗k�i⊗k⊗1,�i⊗k(�i⊗k⊗1⊗ �′i⊗k⊗1) ⊗ �i⊗k2 ��′i⊗k)
= mdc(�i⊗k�i⊗k⊗1,�i⊗k�i⊗k⊗1⊗ (� + 1)�i⊗k�′i⊗k⊗1 ⊗ �i⊗k⊗1�i⊗k′ )
= mdc(�i⊗(k+1),�i⊗(k+1)⊗ (� + 1)�′i⊗(k+1))
onde utilizamos o fato de que �i⊗k ♣ �i⊗k⊗1 na última igualdade. O argumento
acima é válido para � = 1 e por indução, válido para qualquer � tal que 1 ⊘ � < �, em particular para � = � ⊗ 1, donde concluímos que �i = mdc(�,� ⊗ ��′), para
todo �. Assim, as sequências definidas em (A.4) também nos fornecem um modo mais eficiente de calcular o múltiplo � fornecido pelo Teorema A.1.1 [35, Cap. 22, ğ4].
Damos prosseguimento à nossa abordagem, buscando um múltiplo � do po- linômio � para o qual a equação (A.2) aplicada a � e � possua solução. Isto é, buscamos uma solução � para a equação
�� �′⊗ (��′ ⊗ �� )� = ��2 (A.5)
cuja existência implica que á = �/� ∈ K(�) é solução de (A.1) e � = ��/� resolve o problema em questão. Reciprocamente, se á = �/� satisfaz (A.1), com
Dividindo-se ambos os lados da equação (A.1) por ℎ = mdc(��,��′
⊗�� ) ∈ K[�], temos a equação equivalente
��′⊗ �� = �, (A.6)
onde � = ��/ℎ,� = (��′
⊗ �� )/ℎ é mônico, e � = �� é não nulo.
A equação (A.6) é uma identidade polinomial à qual corresponde um sistema linear cujas incógnitas são os coeficientes de �. A solubilidade desta equação, portanto, depende da solubilidade do seu sistema linear associado. Assim, tudo o que precisamos é determinar um limite superior para o grau de �, a fim de que tenhamos as dimensões do sistema linear associado. Este limite é fornecido pelo seguinte resultado.
Lema A.1.1 ([35], Cap. 22, ğ4). Sejam �,�,�,� ∈ K[�] satisfazendo (A.6), com �,� não nulos e � mônico, � = max¶grau(�) ⊗ 1, grau(�)♢, e seja Ó ∈ K o coeficiente de �m em �. (Como de costume, Ó = 0 se � < 0 ou grau(�) < �.)
Além disso, seja
�= ⎧ ︁ ︁ ︁ ︁ ︁ ︁ ︁ ︁ ︁ ︁
grau(�) ⊗ � se grau(�) ⊗ 1 < grau(�) ou
Ó /∈ N ⊗ ¶0,1, . . . , grau(�) ⊗ �♢, Ó caso contrário.
Então, o seguinte se verifica.
1. Ou grau(�) = grau(�) ⊗ �, ou grau(�) = Ó > grau(�) ⊗ � e grau(�) ⊗ 1 ⊙
grau(�). Em particular, grau(�) ⊘ �.
2. Se grau(�) ⊗ 1 ⊙ grau(�), então grau(�) ⊗ � ̸= Ó.
3. Se � = 0, então grau(�) ⊗ 1 ⊙ grau(�) e grau(�) = Ó ∈ N.
4. Se grau(�) ⊗ 1 < grau(�) ou Ó /∈ N, então exatamente um � ∈ � [�] satisfaz a equação (A.6).
Lembramos que o polinômio nulo possui grau ⊗∞, portanto grau(�) ⊗ � deve ser interpretado como ⊗∞ se � = 0. Temos que N ⊖ Q ⊖ K, então qualquer inteiro é também um elemento de K.
Demonstração. Faremos uma comparação de coeficientes e graus em (A.6). Pri- meiramente, temos que
grau(�) ⊘ max¶grau(��′), grau(��)♢
max¶grau(�) + grau(�) ⊗ 1, grau(�) + grau(�)♢ = � + grau(�).
Seja Ò o coeficiente de �m+1 em �. Temos que o coeficiente de �m+grau(U ) em ��′
é ÒÖ grau(�), onde Ö = cl(�), e o coeficiente de �m+grau(U ) de �� é ÓÖ. Logo, o
coeficiente de �m+grau(U ) em � é (Ò grau(�) ⊗ Ó)Ö, e grau(�) < � + grau(�) se e
só se esse coeficiente é 0.
Se grau(�)⊗1 < grau(�), então Ò = 0 e Ó é o coeficiente (não nulo) de �, donde grau(�) = grau(�) ⊗ �. Caso contrário, temos que Ò = cl(�) = 1. Finalmente, temos que grau(�) ⊙ grau(�) ⊗ �, onde a desigualdade estrita ocorre se e só se grau(�) ⊗ 1 ⊙ grau(�) e grau(�) = Ó. Com isto, provamos as afirmações 1,2 e 3.
Agora, se �*
∈ K[�] é outra solução para (A.6), então � ⊗ �* satisfaz a equação homogênea �(� ⊗ �*)′
⊗ �(� ⊗ �*) = 0 e, portanto, a afirmação 4 segue da afirmação 3.
Conhecidos os polinômios �,�,� = �� , podemos, portanto, determinar um limite superior para o grau de �. Se o valor de � é inteiro e não negativo, e se grau(�)⊗1 < grau(�), ou se grau(�)⊗� ̸= Ó, tudo o que precisamos fazer é montar e resolver o sistema linear associado a (A.6) cujas incógnitas são os coeficientes de
�. Neste caso, nossa solução para a equação (A.6) é á = �/� ∈ K(�), donde ��/�
é uma integral hiperexponencial de �. Se � é negativo, ou se grau(�) ⊗1 ⊙ grau(�) e grau(�) ⊗ � = Ó, ou se o sistema linear não possui solução, então (A.1) não possui solução racional em á, e, portanto, o problema original não possui solução hiperexponencial. Note que, uma vez que encontramos á = �/� ∈ K(�), é interessante colocar á em sua forma canônica, retirando mdc(�,� ) do numerador e do denominador.
Isto conclui o algoritmo de Almkvist-Zeilberger. A respeito do espaço de soluções do sistema linear associado a (A.6), este é vazio, possui exatamente um elemento, ou é uma variedade afim unidimensional. Neste último caso, em geral, é
preferível escolher por uma solução deste espaço para a qual o polinômio � possua o menor grau possível. O sistema linear em questão é triangular, de modo que pode ser resolvido tão somente através de substituição retroativa, dispensando a eliminação de Gauss, o que leva �(�2) operações em K. Há, no máximo, um 0 na
diagonal, o que ocorre apenas quando grau(�) ⊗ 1 ⊙ grau(�).
A equação A.6 pode ser reduzida ainda mais através das seguintes considera- ções. Temos que mdc(�,�) = mdc(�,�� ) = � e mdc(�,�) = 1, onde � = �� . Pela equação A.6, isso significa que � ♣ �, isto é � = �*�. Assim,
�(�*�)′⊗ �(�*�) = �� =⇒ �(�*′�+ �*�′) ⊗ ��*�= ��
=⇒ ��*′
⊗ (� ⊗ �′)�* = �. (A.7)
A equação (A.7) pode ser utilizada no lugar da equação (A.6) durante o algoritmo de Almkvist-Zeilberger, de modo que só precisamos encontrar o polinômio �* de
grau � ⊗ grau(�) e então multiplicá-lo por � para obter a solução da equação (A.6) e, consequentemente, do problema de integração. Evidentemente, isso diminui a quantidade de operações do algoritmo, uma vez que o sistema induzido pela (A.7) possui � ⊗ grau(�) equações e � ⊗ grau(�) incógnitas.
A.1.1
Exemplos
Exemplo A.1.1 (extraído de [35], Cap. 22, ğ4). Seja � = �nexp(�) ∈ Q(�, exp(�)),
onde � ∈ N. Como vimos, � é hiperexponencial. Sua derivada logarítmica é
�′
� = �+ �
� ,
donde � = � + � e � = �. �(�) = resx(�,� ⊗ ��′) = resx(�,� + � ⊗ �) = � ⊗ �,
donde �(�) = 0 apenas para � = � e, portanto, � = �. O código A.2.1 calcula
�i = 1 para 1 ⊘ � ⊘ �, e �n= �, donde � = �n.
No códigoA.2.2, temos que �� = �n+1, ��′
⊗�� = ⊗�n+1e, portanto, ℎ = �n+1,
�= 1, � = ⊗1 e � = �n. Assim, temos
Temos que � = max¶grau(�)⊗1, grau(�)♢ = 0 > grau(�)⊗1 e, portanto, estamos no primeiro caso do Lema A.1.1, de modo que � = grau(�) ⊗ � = �. Portanto,
� = (�n⊗ 1)�n+ (��n+ �n⊗1)�n⊗1+ ≤ ≤ ≤ + (2�2+ �1)� + (�1+ �0).
O sistema linear a resolver se torna
�n⊗ 1 = 0
��n+ �n⊗1= 0
. . .
2�2+ �1 = 0
�1+ �0 = 0.
O sistema possui solução única e satisfaz �0 ̸= 0, donde mdc(�,� ) = 1. A resposta
retornada é � = � e � = � = �n, onde � = �n+n⊗1︁ i=0 (⊗1)n⊗i�! �!� i.
Dessa forma, se � = 3, temos que � = �3
⊗ 3�2+ 6� ⊗ 6 e � = �3. Portanto, ︁ �3exp(�) = � � (� 3exp(�)) = ︃ �3⊗ 3�2+ 6� ⊗ 6 �3 ︃ (�3exp(�))
= �3exp(�) ⊗ 3�2exp(�) + 6� exp(�) ⊗ 6 exp(�).
De fato,
(�3exp(�) ⊗ 3�2exp(�) + 6� exp(�) ⊗ 6 exp(�))′ =
(3�2
⊗ 6� + 6) exp(�) + (�3⊗ 3�2+ 6� ⊗ 6) exp(�) = �3exp(�).
Exemplo A.1.2 (extraído de [35], Cap. 22, ğ4). Seja � = 1/� ∈ Q(�). Temos que �′/� = ⊗1/� e � = ⊗1, � = �, �(�) = res
x(�, ⊗ 1 ⊗ �) = ⊗(� + 1). Logo,
�= 0 e � = 1. Assim,
Ou seja, � = � = �, � = 1, � = grau(�) = grau(�) ⊗ 1 = 0 e grau(�) ⊗ � = 1 = Ó. Estamos no caso 2 do LemaA.1.1 e a equação acima não possui solução � ∈ Q[�]. Logo ∫(1/�) não é hiperexponencial. Afinal, equivale a log(�), e log(�)′/log(�) =
1/(� log(�)) /∈ Q(�).
Exemplo A.1.3 (extraído de [35], Cap. 22, ğ4). Seja � = ︁1/(�2+ 1)3 ∈
Q(�,√�2+ 1). Temos
�′
� = ⊗
3�
�2+ 1,
de modo que � = ⊗3�, � = �2+ 1, �(�) = res
x(�2+ 1, ⊗ 3� ⊗ �2�) = (2� + 3)3,
�= 0 e � = 1. Assim
(�2+ 1)�′
⊗ 3�� = �2+ 1.
Ou seja, � = � = � = (�2+ 1), � = ⊗� = 3�, � = max¶grau(�) ⊗ 1, grau(�)♢ = 1
e nos encontramos no caso 2 do Lema A.1.1. Agora 1 = grau(�) ⊗ � ̸= Ó = 3, donde, pelo lema grau(�) = Ó = 3. Portanto,
� = (2�2⊗ 3�2)�3+ (�1+ 3�3⊗ 3�1⊗ 1)�2+ (2�2⊗ 3�0)� + (�1⊗ 1) O sistema a resolver é ⊗�2 = 0 3�3⊗ 2�1⊗ 1 = 0 2�2⊗ 3�0 = 0 �1⊗ 1 = 0.
A única solução é �3 = �1 = 1 e �2 = �0 = 0. Logo, � = �3+ �, � = � e � = 1.
Assim, ︁ 1 ︁ (�2+ 1)3 = (� 3+ �) 1 ︁ (�2+ 1)3 = � ︁ (�2+ 1). De fato, ⎛ ︁ � ︁ (�2+ 1) ︀ ︀ ′ = ︁ 1 (�2+ 1) ⊗ �2 ︁ (�2 + 1)3 = 1 ︁ (�2+ 1)3.
Exemplo A.1.4 (gerado com dados obtidos pelos códigos de A.2.1 e A.2.2). Considere a função � = � 3⊗ 3� + 2 �5⊗ 4�3+ 4� Temos � = (� + 2)(� ⊗ 1)2 ℎ= �5+ �4⊗ 5�3⊗ �2+ 8� ⊗ 4 � = �3⊗ 2� � = 5�2⊗ 2 � = �6⊗ 5�4+ 2�3 + 6�2⊗ 4� � = 2 Ó = 5 �= 5.
O sistema induzido pela equação (A.6) é
⊗2�0 = 0 ⊗4 = 0 2�2+ 5�0+ 6 = 0 4�3+ 4�1+ 2 = 0 6�4+ 3�2⊗ 5 = 0 8�5+ 2�3 = 0 �4+ 1 = 0, (A.9) o qual, evidentemente, não possui solução. De fato, para esta função, a rotina
HorOstro, devolve parte logarítmica não nula. Mais precisamente,
︁
� = � ⊗ 2 4(�2⊗ 2)+
︁ 5� ⊗ 4
sendo �3
⊗ 2� livre de quadrados. Pela equação (A.7), o sistema induzido é ⊗2 = 0
2�1⊗ 3 = 0
4�2+ 2�0 = 0
�1+ 1 = 0
o qual, evidentemente, também não possui solução.
Exemplo A.1.5 (gerado com dados obtidos pelos códigos de A.2.1 e A.2.2). Considere a função � = 8� �4+ 4�2+ 4 Temos � = � ℎ= �2 �= �2+ 2 �= 4� �= �3+ 2� �= 1 Ó= 4 �= 4.
O sistema induzido pela equação (A.6) é
⊗2�1 = 0
⊗4�2+ 4�0+ 2 = 0
3�1⊗ 6�3 = 0
⊗8�4+ 2�2+ 1 = 0
cujo espaço de soluções é � = ︁ �0 = 4Ú ⊗ 1,�1 = 0,�2 = 8Ú ⊗ 12 ,�3 = 0,�4 = Ú ︀ . Portanto, � = Ú�4+8Ú ⊗ 1 2 �2+ 4Ú ⊗ 1. escolhendo Ú = 0 temos, portanto, � = (⊗1/2)�2⊗ 1 e
︁ � = (⊗1/2)� 2⊗ 1 � 8� �4 + 4�2+ 4 = ⊗ 4 �2+ 2
Pela equação (A.7), o sistema induzido é
⊗2�1 = 0
⊗4�2+ 2�0+ 1 = 0
�1 = 0
(A.10) cujo espaço de soluções é
� = ︁ �0 = 4Ú ⊗ 12 ,�1 = 0,�2 = Ú ︀ . Portanto, � = Ú�2+4Ú ⊗ 1 2 .
escolhendo Ú = 0 temos, portanto, � = ⊗1/2 e �� = (⊗1/2)�2
⊗ 1.
Exemplo A.1.6 (gerado com dados obtidos pelos códigos de A.2.1 e A.2.2). Considere a função
� = 6�10⊗ 13�8 + 16�6+ 8�4+ 10�2 ⊗ 3 3((�4+ 1)(�2+ 1))2 (�
2+ 1)⊗2/3exp(�2),
Q(�) e uma função exponencial, todas funções hiperexponenciais. Temos � = 6�10⊗ 13�8+ 16�6+ 8�4+ 10�2⊗ 3 ℎ= 36�20 ⊗ 156�18+ 361�16 ⊗ 320�14+ 168�12 ⊗ 40�10 + 462�8+ 64�6 + 52�4 ⊗ 60�2+ 9 �= 3�6+ 3�4+ 3�2+ 3 �= ⊗6�7+ 34�5+ 18�3+ 10� �= 18�16⊗ 21�14+ 27�12+ 51�10+ 63�8+ 93�6+ 45�4 + 21�2 ⊗ 9 �= 7 Ó= ⊗6 �= 9.
O sistema induzido pela equação (A.6) é ⊗3�1⊗ 9 = 0 10�0⊗ 6�2 = 0 ⊗9�3 + 7�1+ 21 = 0 12�4 + 4�2+ 18�0 = 0 ⊗15�5+ �3+ 15�1+ 45 = 0 ⊗18�6⊗ 2�4+ 12�2+ 34�0 = 0 ⊗21�7⊗ 5�5+ 9�3+ 31�1+ 93 = 0 ⊗24�8⊗ 8�6+ 6�4+ 28�2⊗ 6�0 = 0 ⊗27�9⊗ 11�7+ 3�5+ 25�3⊗ 6�1+ 63 = 0 ⊗14�8+ 22�4⊗ 6�2 = 0 ⊗17�9⊗ 3�7+ 19�5⊗ 6�3+ 51 = 0 ⊗�8+ 16�6⊗ 6�4 = 0 ⊗9�9+ 13�7⊗ 6�5+ 27 = 0 10�8⊗ 6�6 = 0 7�9⊗ 6�7⊗ 21 = 0 ⊗6�8 = 0 18 ⊗ 6�9 = 0
cuja solução única é
�1 = ⊗3, �9 = 3
e os demais coeficientes nulos. Portanto, � = 3�9
⊗ 3�, donde ︁ � = 3�9⊗ 3� 6�10⊗ 13�8+ 16�6+ 8�4+ 10�2⊗ 3� = �3⊗ � (�2 + 1)(�4+ 1)(� 2+ 1)⊗2/3exp(�2).
Pela equação (A.7), o sistema induzido é ⊗3�1⊗ 3 = 0 4�0⊗ 6�2 = 0 ⊗9�3+ �1+ 10 = 0 ⊗2�2+ 6�0 = 0 ⊗5�3+ 3�1+ 8 = 0 16�0 = 0 ⊗3�3+ 13�1+ 16 = 0 10�2⊗ 6�0 = 0 7�3⊗ 6�1⊗ 13 = 0 ⊗6�2 = 0 6 ⊗ 6�3 = 0
cuja solução única é
�1 = ⊗1, �3 = 1
e os demais coeficientes nulos. Portanto, � = �3
⊗ �, e �� = 3�9⊗ 3�.
A.2
Pseudocódigos e Códigos para o Algoritmo
de Almkvist-Zeilberger
Apresentamos agora pseudocódigos e códigos para implementação em Maxima para a integração de funções hiperexponenciais via algoritmo de Almkvist-Zeilberger. Os pseudocódigos foram extraídos de [35, Cap. 22, ğ4].
A.2.1
DenMult
Calcula um polinômio � tal que, caso a equação � = (�/�)�, com �′ = � possua
solução no par �,�, então � é um múltiplo de �.
1: função DenMult(�,�)
2: descrição: Dado um corpo K de característica 0 e �,� ∈ K[�] com grau(�) <
grau(�), � mônico e coprimo com �, retorna � ∈ K[�], tal que, para quais-
quer coprimos �,� ∈ K[�], a equação (A.2) implica que � divide � .
3: 4: � ⊂ resx(�,� ⊗ ��′) 5: � ⊂ max¶� ∈ N ♣ � = 0 ou �(�) = 0♢ 6: se � = 0 então 7: devolve 1 8: fim se 9: �0 ⊂ �, �0 ⊂ �
10: para � ⊂ 1 até � faça
11: �i ⊂ mdc(�i⊗1,�i⊗1⊗ �′i⊗1), �i ⊂
�i⊗1⊗ �′i⊗1 �i , �i ⊂ �i⊗1 �i 12: fim para 13: devolve �1�22≤ ≤ ≤ �dd 14: fim função
Código:
DenMult(A,D,x):= block([expr,expr2,R,i,%Z,d,k,V,Hi,a,b,Ans], algebraic:true, expr:A-%Z*diff(D,x), d:0,k:1,V:1, R:SubRes(D,expr,x)[1], R:LFactor(R,%Z,false), if length(R)=1 then( Ans:1, algebraic:false, return(Ans) ), R:Solve(R,%Z,DomSolve),while (k<=length(R) and lhs(R[k])#0) do( i:rhs(R[k]),
if integerp(i) and d<i then d:i, k:k+1 ), if d=0 then( Ans:V, algebraic:false, return(Ans) ), a:A, b:D,
for i:1 thru d do( expr2:a-diff(b,x),
Hi:GCD(b,a-diff(b,x),x,0,0), a:expr2/Hi, b:b/Hi, V:V*Hi^i ), Ans:V, algebraic:false, return(Ans) )$
A.2.2
IHF
Algoritmo de Almkvist-Zeilberger. Encontra a integral de uma função hiperexpo- nencial, desde que esta integral seja também uma função hiperexponencial.
Pseudocódigo:
1: função HyperIntegration(�,�)
2: descrição: Dado um corpo K de característica 0 e �,� ∈ K[�] com grau(�) <
grau(�), � mônico e coprimo com �, retorna �,� ∈ K[�], com � mônico,
satisfazendo (A.2) 3: 4: � ⊂DenMult(�,�) 5: ℎ ⊂ mdc(��,��′⊗ �� ), � ⊂ �� ℎ , � ⊂ ��′⊗ �� ℎ , � ⊂ �� 6: � ⊂ max¶grau(�) ⊗ 1, grau(�)♢ 7: Ó ⊂ coeficiente(�,�m)
8: se grau(�) ⊗ 1 < grau(�) ou Ó /∈ N então 9: � ⊂ grau(�) ⊗ � 10: senão 11: se grau(�) ⊗ � = Ó então 12: devolve ŞinsolúvelŤ 13: senão 14: � ⊂ max¶grau(�) ⊗ �,Ó♢ 15: fim se 16: fim se 17: se � < 0 então 18: devolve ŞinsolúvelŤ 19: fim se 20: � ⊂ e⊗grau(r) ︁ i=0 �i�i 21: � ⊂ � ⊗ ��′+ (� ⊗ �′)�
22: (�0, . . . ,�e⊗grau(r)) ⊂ solucionador(coeficiente(�,�k) = 0,0 ⊘ � ⊘ � ⊗ grau(�)) 23: se ∄(�0, . . . ,�e⊗grau(r)) ♣ � = 0 então 24: devolve ŞinsolúvelŤ 25: senão 26: devolve �� mdc(��,� ), � mdc(��,� ) 27: fim se 28: fim função
Código:
IHF(f,x):= block([A,D,h,r,s,t,m,delta,sigma, e,U,V,H,eq,listu,u,sol,G,Ans], algebraic:true, eq:[], sigma:ratsimp(diff(f,x)/f), A:num(sigma),D:denom(sigma),if (polynomialp(A,[x]) and polynomialp(D,[x]))=false then error("not a hyperexponential function."),
V:DenMult(A,D,x), h:GCD(D*V,D*diff(V,x)-A*V,x,0,0), r:Group(D*V/h,x), s:Group((D*diff(V,x)-A*V)/h,x), t:Group(r*V,x), m:max(hipow(r,x)-1,hipow(s,x)), delta:coeff(s,x,m),
if hipow(r,x)-1<hipow(s,x) or (integerp(delta) and delta>=0)=false then e:hipow(t,x)-m
else if hipow(t,x)-m=delta then( Ans:"unsolvable", algebraic:false, return(Ans) ) else e:max(hipow(t,x)-m,delta), if e<0 then( Ans:"unsolvable", algebraic:false, return(Ans) ), U:sum(u[i]*x^(i-1),i,1,e-hipow(r,x)+1), H:Group(V-r*diff(U,x)+(s-diff(r,x))*U,x), for k:0 thru hipow(H,x) do(
eq:endcons(coeff(H,x,k)=0,eq) ),
listu:makelist(u[i],i,1,e-hipow(r,x)+1), sol:linsolve(eq,listu),
U:sum(rhs(sol[i])*x^(i-1),i,1,length(sol)), if sol=[] then( Ans:"unsolvable", algebraic:false, return(Ans) ), G:ratsimp(r*U/V), Ans:fullratsimp(G*f), algebraic:false, return(Ans) )$