Adaptações no Método de Exaustão

Como já foi visto anteriormente, o método de exaustão foi criado pelo matemático grego Eudoxo e, posteriormente, muito utilizado por Euclides e Arquimedes em seus trabalhos. No entanto, durante a Idade Média e Renascimento, o método de exaustão teve algumas variações como veremos a seguir. Destacamos aqui alguns matemáticos que fizeram tal adaptação, são eles: Nicolau de Cusa, Simon Stevin e Fermat.

Nicolau de Cusa (1401-1464) era um filósofo escolástico e também utilizava o método de exaustão em muitos dos seus trabalhos, contudo não como Euclides e Arquimedes. Por exemplo, no caso da quadratura do círculo ele empregava os métodos infinitesimais pensando o círculo como um polígono de infinitos lados e utilizava o método de exaustão apenas como um complemento para a realização de seus cálculos. Rezende (2003) ressalta esse fato, pois segundo o autor:

Nicolau de Cusa introduziu em seus cálculos matemáticos tanto as “quantidades infinitamente pequenas” como as “infinitamente grandes”. Definiu quantidade infinitamente pequena como “aquela que não pode ser feita menor”, e a infinitamente grande como “aquela que não pode ser feita maior”. Para demonstrar o resultado de Arquimedes para a quadratura do círculo usou explicitamente a idéia de infinitesimais. Esta idéia de descrever o círculo como um polígono de “número infinito” de lados, presente de forma marcante na demonstração de Nicolau de Cusa, aparece também nos trabalhos de M. Stifel (1486-1567) e de François Viète (1540-1603). Nicolau usou também o método de exaustão para “complementar”a sua demonstração.(REZENDE, 2003, p.165-166) Segundo Boyer (2012), Nicolau possuía melhores habilidades eclesiásticas do que matemáticas. Além disso, pela maneira como abordou o problema da quadratura do círculo, considerando-o como sendo um polígono de infinitos lados, Nicolau ficou conhecido como um equivocado quadrador de círculo. Não obstante as críticas recebidas, ainda assim, ele possui o mérito de ser um dos primeiros europeus da Idade Média a tentar resolver um problema muito discutido por matemáticos da antiguidade. No entanto, quem vai dar um passo adiante e mais decisivo na adaptação do método de exaustão é o matemático Simon Stevin.

Simon Stevin (1548-1620) era conhecedor do trabalho de Nicolau. Contudo não lhe agradava o procedimento indireto utilizado na versão antiga do método de exaustão e, em consequência disso, foi eliminando gradativamente de seu trabalho

o processo de redução ao absurdo optando pela passagem ao limite. Boyer (2012) assegura esse fato quando destaca o fato que:

Como homens práticos que eram, Stevin, Kepler e Galileu necessitavam dos métodos de Arquimedes, mas desejavam evitar os rigores do método de exaustão. Em grande parte foram as modificações introduzidas por este motivo nos antigos métodos infinitesimais que finalmente conduziram ao Cálculo, e Stevin foi um dos primeiros a sugerir modificações. (BOYER, 2012, p.228) Pode-se dizer que, na verdade, a adaptação do método de exaustão feita por Stevin consistiu basicamente na utilização do conceito de limite de forma intuitiva, que lhe permitia demonstrar certos resultados de uma maneira mais prática e eficiente.

Pierre de Fermat (1601-1665) também utilizou o conceito de indivisíveis em seus trabalhos. Segundo Roque (2012):

Além de Roberval, Fermat e Pascal utilizaram o método dos indivisíveis para encontrar áreas delimitadas por diferentes curvas. No entanto, foram propostas modificações importantes, constituindo-se um novo método dos indivisíveis no qual a área não era decomposta em um número infinito de linhas, mas concebida como a soma de um número indefinido de retângulos. Essa soma difere da área original por uma quantidade que pode ser tornada menor que qualquer quantidade dada. Surgiu, assim, uma nova maneira de calcular áreas por meio da aproximação de uma área por retângulos infinitamente finos, e essa ferramenta podia ser aplicada a qualquer figura curvilínea. (ROQUE, 2012, p.348)

A utilização de tal conceito e a técnica desenvolvida permitiu que Fermat apresentasse o método de exaustão dos gregos sob um novo ponto de vista, um ponto de vista mais algébrico e que muito se aproxima dos métodos utilizados pelo Cálculo. De acordo com Roque (2012):

Há uma diferença fundamental entre essa técnica e o método de exaustão usado pelos gregos, entre eles Arquimedes, pois aqui não se usa nenhuma prova indireta para se chegar ao resultado final. ... , Arquimedes mostrava que duas áreas são iguais usando um raciocínio por absurdo, concluindo que a suposição de que uma é maior que a outra leva à contradição. Já no exemplo dado3_{, o} número de retângulos aumenta indefinidamente e considera-se uma aproximação da soma quando n se torna muito grande. Além disso, no caso dos gregos, o “cálculo” de uma área consistia em uma comparação entre áreas. Aqui, o objetivo é calcular uma área qualquer por meio de uma aproximação obtendo-se uma expressão

3 _{Esse exemplo a que a autora se refere é dado pela mesma em seu livro na página 348 ao} fazer uma adaptação para a linguagem matemática atual do raciocínio empregado por Fermat para o cálculo da área abaixo da parábola 2

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analítica. Substituindo valores numéricos nessa expressão, tem-se o valor da área para cada caso particular. O procedimento de dupla redução ao absurdo, usado pelos antigos geômetras, era indireto, ao passo que o novo método permite obter a área diretamente. (ROQUE, 2012, p.348 - 349)

A maneira como Fermat abordava problemas de áreas fez com que o método de exaustão pudesse ser visto de outra forma, uma forma que desempenhará um papel fundamental não somente relativo ao cálculo de áreas, mas também com respeito ao desenvolvimento do próprio cálculo integral.