3. PROPOSTAS DE ATIVIDADES
3.1 ÁREA DO CÍRCULO
3.1.4 Tempo Previsto
O tempo previsto para a realização dessa atividade é de duas aulas de 45 minutos cada (90 minutos).
3.1.5 Pré-Requisitos
Para a realização dessa atividade é importante que os alunos saibam que o comprimento de uma circunferência de raio R é dado por C2R. Além disso, é
importante que saibam calcular a área de um triângulo quando se conhece a medida de sua base e de sua altura, calcular a área de um retângulo dada sua base e sua altura e que conheçam a definição de polígono regular.
3.1.6 Recursos Necessários
A fim de que a atividade seja realizada são necessários os seguintes recursos:
Ficha de atividade contendo o enunciado dos exercícios da atividade; Lápis ou caneta;
Computadores com o software GeoGebra 3D instalado; Projetor multimídia;
Arquivo eletrônico Lados_dos_Poligonos_Inscritos.ggb; Arquivo eletrônico Apotemas_dos_Poligonos_Inscritos.ggb; Arquivo eletrônico Comprimento_da_circunferencia.ggb; Arquivo eletrônico Area_do_circulo.ggb;
Arquivo eletrônico Arquimedes_1.ggb; Arquivo eletrônico Arquimedes_2.ggb;
3.2 VOLUME DO CILINDRO (Ver ANEXO II) 3.2.1 Objetivos
Essa atividade tem por objetivo fazer com que o aluno seja capaz de entender por meio da noção intuitiva de limite e do método de exaustão que o volume de um cilindro circular de raio da base R e altura H é dado por V R2H.
3.2.2 Descrição da Atividade
A atividade é composta por três exercícios e um arquivo do GeoGebra 3D, podendo ser realizada individualmente ou em dupla. Nessa atividade o conceito de limite é explorado intuitivamente com o auxílio do software de geometria dinâmica
GeoGebra 3D.
No Exercício 1, considera-se uma tabela em que, para alguns valores de n,
3
n , o aluno deverá determinar, e generalizar, a expressão do volume Vn de um
prisma regular de altura H cuja base é um polígono regular de n lados, em função
apenas da área An de sua base e de sua altura H .
Auxiliado pelo arquivo Prismas_Regulares_Inscritos_no_Cilindro.ggb, no Exercício 2, o aluno, a partir do controle de uma sequência de prismas regulares inscritos em um cilindro de raio da base R e altura H , é levado a concluir que a
sequência de volumes dos prismas regulares inscritos no cilindro vai tender para o volume do cilindro quando o número de lados dos polígonos da base dos prismas tender ao infinito. A figura 18 mostra três situações distintas da janela gráfica do arquivo utilizado no exercício.
Figura 18: Ilustração de três situações distintas da janela gráfica do arquivo Prismas_Regulares_Inscritos_no_Cilindro.ggb
Já no Exercício 3 o estudante é levado a articular e sistematizar os resultados obtidos nos Exercícios 1 e 2 para obter a fórmula do volume do cilindro. Assim, do Exercício 2, onde concluiu que a sequência de volumes dos prismas inscritos tende para o volume do cilindro quando o número de lados dos polígonos das bases dos prismas tende para o infinito, da expressão do volume do prisma regular em função da sua área da base e da sua altura, obtida no Exercício 1, do processo de aproximação realizado na Atividade do Círculo e, por fim, pela passagem ao limite o estudante concluirá que o volume do cilindro é dado por
H R
V 2 . A figura 18 mostra um fragmento do Exercício 3 que procura
sistematizar o raciocínio descrito acima. Na figura 19, V , n An e H, são
respectivamente, o volume, a área do polígono da base e a altura do n-ésimo prisma regular inscrito no cilindro de volume V .
V
limVn lim AnH lim Anlim H H lim An __________________ Figura 19: Fragmento do Exercício 3 da Atividade Volume do cilindro
3.2.3 Ano de Escolaridade Indicado
Essa atividade é indicada para estudantes do 2º ano do Ensino Médio. Dependendo da maturidade da turma, e com devidas adaptações, pode ser aplicada também em uma turma do 9º ano do Ensino Fundamental.
3.2.4 Tempo Previsto
O tempo de duração da atividade é de aproximadamente uma aula (45 minutos).
3.2.5 Pré-Requisitos
Para a realização da atividade é necessário que o aluno tenha realizado a atividade Área do Círculo, saiba a definição de prisma regular e calcular o seu volume quando se conhece a sua base e sua altura.
3.2.6 Recursos Necessários
A fim de que a atividade seja realizada são necessários os seguintes recursos:
Ficha de atividade contendo o enunciado dos exercícios da atividade; Lápis ou caneta;
Computadores com o software GeoGebra 3D instalado; Projetor multimídia;
3.3 VOLUME DO CONE (Ver ANEXO III) 3.3.1 Objetivos
O objetivo dessa atividade é fazer com que o estudante seja capaz de entender por meio da ideia intuitiva de limite e do método de exaustão que o volume de um cone circular de raio da base R e altura H é dado por V R2H
3
1 .
3.3.2 Descrição da Atividade
A atividade é composta por três exercícios e um arquivo do GeoGebra 3D, podendo ser realizada individualmente ou em dupla. Nessa atividade o conceito de limite é explorado intuitivamente com o auxílio do software de geometria dinâmica
GeoGebra 3D.
No Exercício 1, considera-se uma tabela em que, para alguns valores de n,
3
n , o aluno deverá determinar, e generalizar, a expressão do volume Vn de uma
pirâmide regular de altura H cuja base é um polígono regular de n lados, em função
apenas da área An de sua base e de sua altura H. No Exercício 2, auxiliado pelo
arquivo Piramides_Regulares_Inscritas_no_Cone.ggb, o aluno, a partir do controle de uma sequência de pirâmides regulares inscritas em um cilindro de raio da base R e altura H, é levado a concluir que a sequência de volumes das
pirâmides regulares inscritas no cone vai tender para o volume do cone quando o número de lados dos polígonos da base das pirâmides tender ao infinito. A figura 20 mostra três situações distintas da janela gráfica do arquivo utilizado no exercício.
Figura 20: Ilustração de três situações distintas da janela gráfica do arquivo Piramides_Regulares_Inscritas_no_Cone.ggb
Já no Exercício 3 o estudante é levado a articular e sistematizar os resultados obtidos nos Exercícios 1 e 2 para obter a fórmula do volume do cone. Assim, do Exercício 2, onde concluiu que o a sequência de volumes das pirâmides inscritas tende para o volume do cone quando o número de lados dos polígonos das bases dos prismas tende para o infinito, da expressão do volume da pirâmide regular em função da sua área da base e da sua altura, obtida no Exercício 1, do processo de aproximação realizado na Atividade do Círculo e, por fim, pela passagem ao limite, o estudante concluirá que o volume do cone é dado por V R2 H
3
1 . A figura 21 mostra um fragmento do Exercício 3 que procura sistematizar o raciocínio escrito acima. Na figura 21, V , n An e H, são respectivamente, o volume, a área do polígono
da base e a altura da n-ésima pirâmide regular inscrita no cone de volume V .
V limVn An H 3 1 lim H lim. An 3 1 ________________________
3.3.3 Ano de Escolaridade Indicado
Essa atividade é indicada para estudantes do Ensino Médio. Dependendo da maturidade da turma, e com devidas adaptações, pode ser aplicada também em uma turma do 9º ano do Ensino Fundamental.
3.3.4 Tempo Previsto
O tempo de duração da atividade é de aproximadamente uma aula (45 minutos).