132 Definições de “diâmetro do círculo equivalente”
Símbolo Nome Propriedade equivalente do
círculo
Xa Diâmetro de área projetada
Área projetada se a partícula está em repouso em uma posição
estável Xb Diâmetro de área projetada
Área projetada se a partícula está com orientação aleatória Xc Diâmetro do perímetro Perímetro externo
Definições de “diâmetro estatístico”
Símbolo Nome Propriedade equivalente da esfera
XF Diâmetro de Feret
Distância entre duas tangentes em lados opostos da partícula XM Diâmetro de Martin
Comprimento da linha que divide a imagem da partícula XSH Diâmetro de cisalhamento
Largura da partícula obtida com um corte ocular da imagem
XCH Diâmetro máximo da corda
Máximo comprimento de uma linha limitada pelo contorno da
133 ADENDO II: DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS E GRANULOMETRIA
Exemplos de distribuições contínuas não truncadas (à direita): Distribuição de Gauss (normal):
𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 = 1 𝜎 × 2 × 𝜋× exp − 𝑥 − 𝜇 2 2 ×𝜎2 × 𝑑𝑥 𝑥 0 Distribuição log-normal: 𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 = 1 𝜎 × 2 × 𝜋× exp − ln 𝑥 − 𝜇𝑔 2 ×𝜎𝑔2 × 𝑑𝑥 𝑥 0 Com: 𝜎𝑔 = 1 2× ln 𝑥84 − ln 𝑥16 Distribuição de Weibull: 𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 = 1 − exp − 𝑥 − 𝛿𝑥∗ 𝑛
Distribuição de Rosin-Rammler, ou de Rosin-Rammler-Sperling-Benett (caso especial da distribuição de Weibull para δ = 0):
𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 = 1 − exp − 𝑥𝑥∗ 𝑛 = 1 − exp ln 1 2 × 𝑥 𝑥50 n Distribuição logística:
134 𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 = 1 1 + 𝑥 𝑥50 −𝜆 Distribuição de Hill: 𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 =𝑥𝑎𝑥𝑎 +𝑥50𝑎
135 Exemplos de distribuições contínuas truncadas (à direita):
Distribuição de Rosin-Rammler truncada (bitolada com tamanho máximo xmax):
𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max = 1 − exp − 𝑥 𝑥max−𝑥 𝑥∗ 𝑛 = 1− exp ln 1 2 × 𝑥 𝑥max−𝑥 𝑥50 𝑥max−𝑥50 𝑛 Distribuição de Harris: 𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max = 1 − 1 − 𝑥 𝑥max 𝑎 𝑏
Distribuição de Gates-Gaudin-Schumann (caso especial da distribuição de Harris para a=1):
𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max =
𝑥 𝑥max
𝑎
Distribuição de Gaudin-Meloy (caso especial da distribuição de Harris para a=1): 𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max = 1 − 1 − 𝑥 𝑥max 𝑏 Distribuição de Hill:
136 𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 = 𝑥 𝑥max 1− 𝑥max𝑥 𝑎 𝑥 𝑥max 1− 𝑥 𝑥max 𝑎 + 𝑥50 𝑥max 1− 𝑥50 𝑥max 𝑎 = 𝑥 𝑥max−𝑥 𝑎 𝑥 𝑥max−𝑥 𝑎 + 𝑥 𝑥50 max−𝑥50 𝑎
Distribuição logística truncada:
𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 = 1 1 + 𝑥 𝑥max −𝑥 𝑥50 𝑥max −𝑥50 −𝜆 Distribuição de Broadbent-Callcott: 𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max = 1− exp − x x𝑚𝑎𝑥 1− exp −1
137 ADENDO III: FÓRMULAS PARA DIMENSIONAMENTO DE PENEIRAS
CLASSIFICADORAS Fórmula da Metso/Faço
Onde:
A – área da peneira [m2];
T – alimentação do deck da peneira [m³/h];
C – capacidade básica para separação desejada [(m³/h)/m²]; M – fator dependente da porcentagem de material retido;
K – fator relativo à porcentagem de material de alimentação inferior à metade de tamanho da separação desejada;
P – este fator pode tomar valores entre 1 e 1,4, sendo função do conhecimento e da certeza que se tem dos dados do material a ser peneirado. Em instalações de
mineração, onde os dados do material e da superfície de peneiramento são bastante conhecidos, poderá ser adotado o fator “1”;
Qn– fator de correção: Qn = Q1xQ2x... xQ5xQ6.
Q1– fator relativo à posição do deck (primeiro, segundo ou inferior);
Q2– forma das partículas;
Q3– peneiramento via úmida;
Q4– porcentagem de umidade para peneiramento a seco;
Q5– porcentagem de área aberta utilizada pela tela;
Q6– tipo de peneira.
n
T×P A=
141 Fórmula de Bauman A = Al C1× kb1× kb2× kb3× kb4 Onde: A – área da peneira [m2]; Al– alimentação [m3.h-1];
C1– capacidade básica (unitária) de produção [(m3.h-1)/m2];
kb1– coeficiente relativo à proporção de passante na alimentação [-], cujos
valores são:
Tabela 3.5: Valores de kb1
Passante [%] 30 40 50 60 70- 80 90
kb1 0,75 0,8 0,9 1,0 1,15 1,3 1,5
kb2– coeficiente proporcional à umidade da alimentação (1 para material seco e
0,45 a 0,5 para material úmido) [-];
kb3– coeficiente pra peneiramento via úmida (1,5 a 1,6) ou via seca (1,0) [-];
kb4– coeficiente de forma dos grãos (1 para grãos redondos e 0,8 para cúbicos
142 Fórmula da Smith Engineering Works
A = Al
C1× bs × cs × ds × es × fs
Onde:
C1– capacidade básica de produção [(m3.h-1)/m2];
bs– fator relativo à porcentagem de material retido na tela;
Valores para o fator “bs”
% 10 20 30 40 50 60 70 80 85 90 92 94 96 98 100
bs 1,05 1,01 0,98 0,95 0,9 0,86 0,8 0,7 0,64 0,55 0,5 0,44 0,34 0,3 -
cs – fator relativo à eficiência desejada para o peneiramento;
Valores para o fator “cs”
Eficiência (%) 60 70 75 80 85 90 92 94 96 98
cs 2,1 1,7 1,55 1,4 1,25 1,1 1,05 1,0 0,95 0,9
ds– fator relativo à porcentagem de material menor que a metade da malha;
Valores para o fator “ds”
% < tamanho
metade 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ds 0,55 0,7 0,8 1,0 1,2 1,4 1,8 2,2 3,0 -
143 Valores para o fator “es”
Malha (mm) < 0,8 0,8 0,8-1,6 1,6-3,2 3,2-4,8 4,8-7,9 7,9-9,5 9,5-12,7
es 1,0 1,25 1,5 1,75 1,9 2,1 2,25 2,5
fs– fator relativo ao deck em consideração.
Valores para o fator “fs”
Nível superior 2 º 3 º 4 º
144 Modelo de Menne A = 1 − s − m1/2 7,8 × a × fa × ln 1 − s − m1/2 Ef× 1 − s − m1/2 + Km × Qa Onde:
Qa – vazão mássica na alimentação [t.h-1];
m1/2– fração de material menor que a metade da abertura da peneira, no fluxo de
alimentação do deck [-];
s – fração de material maior que a abertura da peneira, na alimentação do deck [- ];
fa– fração de área aberta da peneira [-];
Ef– eficiência de remoção de finos [-];
E “Km” é um parâmetro dado por:
Km=0; se a > 400 mm; caso contrário:
Km =2,5 × 424 − a 10000
145 Modelo de Luz e Carvalho
Luz e Carvalho (2005) realizaram análise de regressão com valores tabelados para dimensionamento pelo método Allis-Chalmers, propondo assim um modelo que visa evitar o uso de rotinas de interpolação e integrando-o com o modelo probabilístico
A equação clássica de peneiramento pelo método Allis-Chalmers é dada por:
A = Qa ρ ap × Fp Qbas ×Πki Onde: A – área da peneira [m2];
Qa– vazão mássica de alimentação [t.h-1];
ρap– massa específica aparente do material [t.m-3];
Fp– coeficiente de incerteza [-];
Qbas– capacidade básica do peneiramento [(m3.h-1)/m2 = m.h-1];
Πki – “produtório” dos vários fatores de correção, ki [-].
A capacidade básica de peneiramento é dada por:
Qbas = 0,36423 × a2+ 251,28 × a
O fator de correção k1 é referente ao “tamanho metade”, sendo encontrado pela
seguinte equação:
k1 = 4,815 × m
2
1000+ 0,193
146 m – fração de material menor que a metade da abertura equivalente da peneira no fluxo de alimentação do deck [-].
O fator k2 é o fator de correção para a fração retida (fator de grossos), cuja
fórmula é:
k2 = −2,72 × 1 − exp −0,08 × 90,1 − s + 3,7
Onde:
s – fração de material acima da abertura efetiva da peneira na alimentação do deck [-].
O fator k3 é referente ao tipo de abertura, sendo dado por:
Para malha quadrada, k3 = 1;
Para malha redonda, k3 = 0,8;
Para malha retangular, será encontrado pela equação:
k3 = 0,274 × 1 − exp −0,738 × kd − 1 + 1
Onde:
kd– relação entre os lados (eixos) da abertura (d1/d2) [-].
O fator k4 (fator de formato de partículas) pode ser dado por:
Para partículas cúbicas, será igual a 1; Para partículas lamelares, será iguala 0,9;
147 O fator k5 é o fator de eficiência da abertura:
Para peneiramento a seco, será igual a 1;
Para peneiramento a úmido, será encontrado pela seguinte fórmula:
k5 =−0,04 × a − 3,37 + 1,407
O fator k6 é o fator de umidade, sendo encontrado da seguinte forma:
6 % > Umidade < 9 %, k6 = 0,75;
3% > Umidade < 9 %, k6 = 0,85;
Peneiramento completamente úmido ou a umidade for menor que 3 %, k6
= 1.
O fator de área efetiva, k7, é calculado da seguinte maneira:
Se o peneiramento ocorrer no primeiro deck, k7 será igual a 0,9; Se o peneiramento ocorrer no segundo deck, k7 será igual a 0,8; Se o peneiramento ocorrer no terceiro deck, k7 será igual a 0,7.
O último fator, k8, é o fator de área aberta, sendo calculado pela seguinte
expressão: k8 = fa 50= 34 × 1 − exp −0,05 × a − 1,9 + 40 50
148 ADENDO IV: CARACTERÍSTICAS DO MATERIAL UTILIZADO NAS
SIMULAÇÕES
Características das esferas de vidro para simulação Características do material
ρs [kg/m³] e [m] dp [m] ψ [-] εs [-]
2480 0,02 0,000184 0,98 0,387
Características da areia para simulação
Características do material
ρs [kg/m³] e [m] dp [m] ψ [-] εs [-]
2690 0,02 0,000150 0,75 0,43
Características da água para simulação Características do líquido
ρf [kg/m³] s0 [m] ηf [Pa.s] γ [N/m] θ [-] εl [-]