AJUSTE DE EQUAÇÕES

Existem várias equações empíricas destinadas ao ajuste de curvas de potencial de sucção para a região de umidade funicular (Bear, 1972, Corey, 1977, Hillel, 1980). Um grupo de equações bastante promissoras são as equações derivadas da equação de Brooks e Corey (1966). Entre estas, estão a equação de Su e Brooks (1975) e a equação de Van Genuchten (1980). Inicialmente, apresenta-se a equação de Brooks e Corey, conforme Corey (1977), e a seguir apresenta-se as equações de Su e Brooks e Van Genuchten. Estas últimas serão ajustadas aos dados da figura 5.12.

Equação de Brooks e Corey (1966)

A equação de Brooks e Corey para o potencial de sucção é (Corey, 1977, pg 47),

S - S ~

1 - S r

sendo Sr a saturação residual.

A Eq. (5.11) é válida para ¥ > ’4'b. Brooks e Corey denominaram o parâmetro m de índice de distribuição de tamanho de poros. Para um meio uniforme, cuja distribuição de tamanho de poros é concentrada em poucos poros, m assume valores grandes. Teoricamente, para um meio que possua somente um tipo de poro, m tende ao infinito. Para um meio que possua poros variando em uma faixa grande de tamanhos (distribuição de tamanho de poros espalhada) m tende a zero. Assim, m é um parâmetro capaz de caracterizar aproximadamente a distribuição porosa de um material. 0 solos naturais apresentam em média m = 2. Areias de granulometria uniforme possuem m > 5 e solos bem graduados apresentam m < 1.

A Eq. (5.11) é bastante sensível ao valor de Sr. Na realidade, a Eq. (5.11) tem sido utilizada para determinar-se os valores de Sr e ^ (Mualem, 1976). Corey argumenta que quando Sr é obtido a partir da Eq. (5.11) ele indica o volume ocupado por poros que são muitas vezes menores que os poros mais comuns do meio. Desta forma, ele não está relacionado com o fenômeno de desconexão da fase líquida mas sim com a distribuição de tamanho de poros do material. Assim, para solos finòs (argilas) muitas vezes obtém-se valores negativos de Sr. Nestes casos assume-se Sr = 0. 0 valor de ’5'*,, com relação à Eq. (5.11), é o valor de * onde a curva de * versus S sofre uma inflexão. White et alli (1972) obtiveram resultados indicando que o ponto onde dS/d’*' é máximo corresponde ao valor de S em que começa a existir permeabilidade da fase gasosa, ou seja, é o ponto Snmr mostrado na figura 5.4. Assim, segundo White et alli, em % ocorre percolação da fase gasosa e os poros do interior do meio podem ser dessaturados. White et alli argumentam ainda que qualquer dessaturação para * < ’«V ocorre somente em poros superficiais.

A extrapolação das conclusões de White et alli para outros meios porosos não é garantida, principalmente no que se refere a adotar-se o ponto onde dS/d1*' é máximo como o ponto correspondente a Snmr e a Para os dados da figura 5.12 o modelo de Brooks e Corey não teve um bom comportamento. Utilizando-se o procedimento de ajuste recomendado por Corey (1977) obteve-se

Sr = 0,24, = 0,72 e m = 0,97. Portanto, com o método de Corey só foi possível ajustar os dados para 0,2 ^ S í 0,8.

A equação de Su e Brooks apresenta um comportamento melhor em relação aos dados disponíveis, como se verá a seguir.

Equação de Su e Brooks (1975)

A equação de Su e Brooks foi obtida através de um melhoramento da equação de Brooks e Corey. 0 objetivo era obter uma equação válida para valores de ¥ menores que ^ e que ajustasse tanto os dados de drenagem como os dados de umedecimento. A equação de Su e Brooks é (Corey, 1977),

A Eq. (5.12) pode ser rearranjada fornecendo,

it’ = C S 1- " ( 1 - S . r (5.13)

onde C é uma função de a,b,n e Sr.

Comparando-se as Eqs. (5.13) e (5.11) observa-se que n tem o mesmo sentido de m, sendo um parâmetro que depende da distribuição porosa do meio. Estimando-se ^ e Sr a partir dos dados experimentais, a Eq. (5.12) pode ser rearranjada tornando-se uma equação linear a três parâmetros.

A equação de Su e Brooks foi ajustada aos dados da figura 5.12 considerando-se Sr = 0,04 e = 0,1 mlfeO. Da figura 5.9 observa-se que os erros na medição de V variam com S. Porém, por aproximação, considerou-se os pesos de cada valor de V como sendo iguais a 1.Do ajuste da Eq. (5.12)

-4 -4

obteve-se n = 0,3654, a = 2,072.10 e b = 4,607.10 . 0 resultado encontra-se plotado na figura 5.13. Embora não se conheça o comportamento do material para Sr < S < 0,4 para os dados disponíveis a curva ajustada apresenta um bom comportamento. Observa-se que esta equação não é sensível ao valor de ou seja, modificando-se o valor de ^ modificam-se os parâmetros da equação mas a forma da função permanece inalterada.

0 desvio padrão entre a curva ajustada e os dados experimentais foi calculado com base nas Eqs. do Apêndice F, utilizando-se somente os dados da câmara de pressão. Neste caso, tem-se 28 pontos e 3 parâmetros ajustados, de forma que o número de graus de liberdade do ajuste é 25. Utilizou-se também

_vj, (mH^D)

Figura 5.13: Ajuste da equação de Su e Brooks (1975) aos dados de potencial de sucção do backfill.

pesos unitários para todos os valores de W e obteve-se « = 0,2039 mH20.

A equação final do ajuste pode ser simplificada, a partir da Eq. 5.13, como,

* = A SeB (1 - S.)* (5.15)

onde A = 2,317, B = -0,3654 e C = 0,8125.

A seguir apresenta-se a equação de Van Genuchten.

Equação de Van Genuchten (1980)

A equação de Van Genuchten, aplicável a todos os valores de "J*, é dada por (Van Genuchten, 1980),

onde ®, P e >) são parâmetros a determinar.

Comparando-se a Eq. (5.16) com a equação de Brooks e Corey, Eq. (5.11), observa-se que, para valores altos de ♦, Po ~ m e a ~ 1/^. Van Genuchtem mostrou que a Eq. (5.16) é mais sensível a P do que a e, para que esta possa ser utilizada em modelos matemáticos de ka, é necessário que e P estejam relacionados. Assumindo a forma funcional mais simples, Van Genuchten determinou que *) = 1 - 1/P. Dessa forma, a Eq. (5.16) é uma equação não-linear a dois parâmetros, a e P.

Os valores de P , assim como os valores de m na equação de Brooks e Corey, estão relacionados com a distribuição de tamanho de poros do meio. P alto relaciona-se a meios uniformes e P baixo relaciona-se a meios com uma distribuição de tamanho de poros larga.

Para os dados experimentais disponíveis, obteve-se o resultado mostrado na figura 5.14. A curva tracejada foi obtida a apartir do ajuste da Eq.

(5.16) utilizando-se Sr = 0,04. Obteve-se « = 1,099 e P = 2,305. Do valor de <* observa-se que % ~ 0,7 mH20. 0 desvio padrão dos pontos em relação a curva é a = 0,2895 mHzO. 10 5 1 01 - (rnHjO) 10 - 1 -

1 0 " H — i— i— i— l— i— i— i—I— i— i— i— I— i— i— i— |— i— i— r-*-

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

S

Figura 5.14: Ajuste da equação de Van Genuchten (1980) aos dados de potencial de sucção do backfill.

(mHjO)

Figura 5.15: Curvas empíricas ajustadas aos dados de potencial de sucção.

A curva contínua mostrada na figura 5.14 foi obtida do ajuste da Eq. (5.16) considerando que cada valor de ^ tem um peso diferente no ajuste (Apêndice F).

Utilizou-se w = 1/^. Matematicamente, isto implica em privilegiar-se, no ajuste, os pontos obtidos para -9 menores. Da teoria de erros (Pugh e Winslow,

1960) isto é equivalente a considerar-se que os valores menores de 4* possuem erros de medição menores. A hipótese não é ruim visto que utilizou-se valores estimados de ¥ para sucções elevadas.

Com este procedimento, obteve-se a = 1,407 e P = 1,728. 0 desvio padrão obtido, considerando-se o peso de cada valor de foi ® = 0,2409 mH20.

Equação para o Potencial de Sucção do Backfill

A figura 5.15 apresenta, no mesmo gráfico, as três funções ajustadas. A função de Su e Brooks situa-se entre as duas funções calculadas com a equação de Van Genuchten. Na falta de dados experimentais para o backfill na região de

umidade entre Sr e S = 0,4 considera-se que a equação de Van Genuchten ajustada com peso w = 1 /’#' fornece resultados equivalentes ã equação de Su e Brooks. Assim, eiri virtude da equação de Van Genuchten poder ser tratada matematicamente com maior facilidade quando deseja-se calcular a permeabilidade relativa a partir de modelos analíticos, esta será adotada para prever o comportamento do potencial de sucção do backfill.

Para S < Sr, não possui-se dados suficientes para ajustar uma equação para o potencial de sucção. Porém, caso necessite-se de uma curva contínua prevendo o comportamento do potencial de sucção em toda a faixa de umidade, recomenda-se, na falta de informações mais detalhadas, utilizar-se uma equação proposta por Couvillion (1980) para aproximar o potencial de sucção na região de S < Sr. A equação de Couvillion é ajustada de forma que para um valor de S pouco maior que Sr, o valor da função e a sua derivada coincidam com o valor e derivada da função válida para S > Sr.

5.5 CONCLUSÕES

Apresentou-se medições de potencial de sucção para o backfill, realizadas por Ferreira (1989), utilizando o método proposto por Su e Brooks (1980). Mediu-se valores de potencial de sucção em função da saturação para sucções até 2,5 mHzO. Neste valor de sucção o material apresentou uma saturação da ordem de 0,4. 0 desvio padrão das medidas foi estimado em ± 15 % do valor medido (desvio padrão da média para n = 4 pontos).

A fim de completar os dados de potencial de sucção obtidos com o método de Su e Brooks realizou-se duas estimativas da umidade de equilíbrio do backfill em sucções elevadas. As medições foram feitas somente na parcela de finos da mistura e utilizou-se para isto uma câmara de pressão com membrana porosa e um método de adsorção de vapor. As estimativas permitiram aproximar-se o valor de Sr para o backfill e assim ajustar uma função empírica aos dados disponíveis.

Ajustou-se uma função devida a Van Genuchten (1980) (figura 5.15). A função ajustada permite calcular-se o potencial de sucção do backfill em função da umidade em toda a faixa de umidade funicular.

0 método experimental utilizado por Ferreira (1989) na determinação da curva de potencial de sucção apresenta vantagens do ponto de vista de rapidez na execução dos experimentos. Porém, detectou-se uma certa dificuldade na

medição do volume de água drenado da amostra e na medição da saturação inicial da amostra. Como recomendações no sentido de melhorar o método experimental pode-se citar:

(a) Obter a saturação da amostra durante o teste através de medições da massa da câmara que contém a amostra. As medições de massa durante o teste podem ser feitas adaptando-se a câmara da amostra na parte inferior de uma balança digital e utilizando-se uma mangueira flexível para conectar a câmara da amostra ao restante da bancada. Através da medição de massa da amostra não existirá mais influência das bolhas de ar formadas nas tubulações da bancada na medição do volume de água drenado da amostra. Porém, haverá influência das bolhas formadas no interior da câmara. 0 tubo capilar continua sendo utilizado para visualisar-se o movimento da água a partir da amostra e verificar o estado de equilíbrio.

(b) Ao final do teste recomenda-se retirar uma pequena parcela da amostra, com o auxílio de uma espátula, com o objetivo de determinar a umidade da amostra no último valor de sucção aplicado. Após tirar esta parcela, o restante da amostra é retirado da cerâmica utilizando o método relatado, que tem a finalidade de determinar a densidade a seco e por consequência a porosidade. A partir da umidade da amostra no último ponto da curva obtém-se a umidade dos outros pontos somando-se a variação de massa da amostra.

(c) A compactação submersa do meio poroso pode causar alteração na sua estrutura devido à separação da fração mais fina, da fração grossa. A fim de evitar este efeito, recomenda-se compactar a seco a amostra e saturar a amostra e a câmara sob vácuo.

Neste trabalho não se efetuou medições de potencial de sucção em função da temperatura. Para estas medições é necessário manter-se toda a bancada em um ambiente com temperatura controlada. Alternativamente, adotando-se a medição de massa de água por pesagem da câmara, precisa-se manter sob temperatura controlada somente a câmara da amostra, o sistema de medição de pressão e um pequeno tubo capilar. Neste caso, o tubo capilar que recebe a água que deixa a amostra precisaria ter pequenas dimensões e teria a função somente de indicar o equilíbrio na amostra. A cada instante, a água drenada da amostra precisaria ser purgada do sistema. A pressão da fase gasosa teria que ser medida dentro da câmara com temperatura controlada e necessitaria haver, na linha de ar que liga a câmara ao pistão, um dispositivo que evitasse a difusão da umidade evaporada da amostra através da linha de ar.

Com este equipamento pode-se também fazer medições de potencial de sucção no umedecimento da amostra. Para isto, pode-se utilizar o procedimento

sugerido por Su e Brooks (1980).

Com relação à análise de erros e ajuste de equações, considerou-se que a saturação é determinada com maior precisão do que o potencial de sucção. Assim, estimou-se o erro de medição do potencial de sucção considerando que a saturação possue um erro desprezável. Pode-se trabalhar na situação inversa, ou seja, considerar que o erro de determinação de w seja muito menor que o erro na determinação de S. Esta situação é fisicamente mais realista e dessa forma os valores obtidos para os parâmetros dos ajustes seriam um pouco diferentes (ver Pugh e Winslow, 1960).

0 próximo capítulo trata da determinação da condutividade hidráulica do backfill. Para isso, serão utilizados modelos analíticos que permitem a obtenção da curva de condutividade hidráulica a partir da curva de potencial de sucção e serão feitas medidas da condutividade de saturação e da condutividade hidráulica.

CAPÍTULO 6