Algebras estandarmente estratificadas e m´ ´ odulos inclinantes

Nesta se¸cão demonstraremos que se A é uma álgebra estandarmente estratificada, então existe um A-módulo inclinante generalizado T associado a A, tal que F (4) ∩ Y(4) = add T . Mostraremos também que o anel de endomorfismos B = EndA(TA) é também uma K-álgebra estandarmente estratificada.

Mais ainda, mostraremos que EndB(T0) ´e Morita equivalente a A, onde T0 ´e

o B-m´odulo inclinante generalizado associado a B.

Os resultados apresentados nesta se¸c˜ao est˜ao contidos no trabalho de C. Xi, em [26], bem como [2] numa abordagem distinta.

Come¸camos então definindo o que é um módulo inclinante generalizado. Defini¸cão 3.5.1. 1. Seja A uma K-álgebra. Um A-módulo T ∈ mod A

e dito um m´odulo inclinante generalizado se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

(a) pd T < ∞;

0 → AA→ T0→ T1 → · · · → Ts→ 0,

com Ti ∈ add T , para i = 1, 2, . . . , s.

2. Dualmente, um A-módulo T é dito um A-módulo coinclinante generalizado se estão satisfeitas as condi¸cões:

(a) id T < ∞;

(b) Exti_A(T, T ) = 0, para todo inteiro i ≥ 1; (c) Existe uma seq¨uˆencia exata do tipo

0 → Ts→ · · · → T1→ T0 → D(AA) → 0,

com Ti ∈ add T , para i = 1, 2, . . . , s.

Antes de provarmos a existência de um A-módulo inclinante generalizado especial, ligado a categoria F (4) quando A é uma álgebra estandarmente estratificada, faremos algumas observa¸cões e daremos destaque a algumas propriedades da subcategoria F (4) ∩ Y(4).

Observa¸cão 3.5.2. Seja A uma K-álgebra estandarmente estratificada. Então: 1. A categoria Y(4) ∩ F (4) é auto-ortogonal, isto é, Exti_A(W, Y ) = 0,

∀ W, Y em Y(4) ∩ F (4) e ∀i ≥ 1.

2. Para cada X ∈ F (4), existe uma seq¨uˆencia exata 0 −→ X −→ W −→ X0−→ 0, com W ∈ Y(4) ∩ F (4) e X0 ∈ F (4).

A primeira afirma¸cão é um caso particular da Proposi¸cão 3.4.17. A segunda afirma¸cã decorre da aplica¸cão do Lema 2.1.10 com θ = 4 e do fato de que F (4) é fechado por extensões (Observa¸cão 2.1.2).

Existe um resultado an´alogo ao ´ıtem (2) da observa¸c˜ao acima para a categoria Y(4), que enunciaremos no seguinte lema.

Lema 3.5.3. Seja A uma K-álgebra estandarmente estratificada. Então, para cada Y ∈ Y(4), existe uma seqüência exata 0 −→ Y0−→ W −→ Y −→ 0, com W ∈ Y(4) ∩ F (4) e Y0 ∈ Y(4).

Demonstra¸cão. Sejam Y ∈ Y(4) e γ : P → Y a sua cobertura projetiva em mod A. Como A é uma álgebra estandarmente estratificada, em virtude do Corolário 3.3.5 e da Proposi¸cão 3.4.2, P ∈ F (4). Consideremos a seqüência exata

0 −→ ker(γ) −→ P −→ Y −→ 0.

De outro lado, em virtude do Lema 2.1.10, existe uma seq¨uˆencia exata da forma 0 −→ ker(γ) −→ Y0−→ X −→ 0, com Y0 _{∈ Y(4) e X ∈ F (4). Se}

ker(γ) −−−→ P   y   y Y0 −−−→ W ´

mutativo 0 0   y   y 0 −−−→ ker(γ) −−−→ P −−−→ Y −−−→ 0   y   y 0 −−−→ Y0 −−−→ W −−−→ Y −−−→ 0   y   y X X   y   y 0 0.

Desde que P, X ∈ F (4), Y, Y0 ∈ Y(4) e tais categorias são fechadas por extensões, pela Observa¸cão 2.1.2 e a Proposi¸cão 3.4.18, temos que W esta em F (4) ∩ Y(4). Demonstramos pois que a seqüência exata

0 −→ Y0−→ W −→ Y −→ 0 satisfaz as condi¸c˜oes requeridas.

Antes de proseguir para a prova de que para uma álgebra estandarmente estratificada A, com rela¸câo a seqüência 4, existe um A-módulo inclinante generalizado T que determina os módulos Ext-injetivos em F (4), lembrare- mos alguns fatos gerais sobre módulos.

Se A é uma K-álgebra, pode-se provar (como “forma dual” à efetu- ada na Propasi¸cão 2.1, Cap. I, em [6]) que o funtor contravariante F = HomA( , TA) : mod A −→ B − mod quando restrito a subcategoria add (T )

estabelece uma equivalência contravariante entre a subcategoria add(T ) de mod A e a subcategoria P(B) dos B-módulos projetivos à esquerda de B.

Desta forma conclu´ımos que o posto de K0(B) = K0(EndA(T )) ´e igual

ao n´umero de somandos indecompon´ıveis, n˜ao isomorfos, de T .

Observa¸cão 3.5.4. Vamos observar agora um importante fato sobre a teor´ıa inclinante, que pode ser encontrado em [23], Corolário 1 do Teorema 1.19, que é o seguinte: Seja A uma álgebra artiniana e TA um A-módulo inclinante

generalizado. Então o número de classes de isomorfia dos A-módulos simples ´

e igual ao n´umero de classes dos B-m´odulos simples, onde B = EndA(TA).

Estamos agora em condi¸cões de enunciar um dos mais importantes resultados desta se¸cão, que é o teorema abaixo.

Teorema 3.5.5. Seja A uma K-álgebra estandarmente estratificada. Então existe um A-módulo inclinante generalizado T , único a menos da multiplicidade dos somandos diretos indecompon´ıveis, tal que add T = F (4) ∩ Y(4). Demonstra¸cão. Seja X ∈ F (4) qualquer. Como A é estandarmente estratificada, então pela Observa¸cão 3.5.2 (2), existe uma seqüência exata

0 −→ X−1−→ W0−→ X0−→ 0,

onde X−1 = X, W0 ∈ F (4) ∩ Y(4) e X0 ∈ F (4). Pela mesma raz˜ao, para

X0 ∈ F (4) existe uma seq¨uˆencia exata da forma

0 −→ X0−→ W1−→ X1−→ 0,

com W1 ∈ F (4) ∩ Y(4) e X1 ∈ F (4). Desta maneira constru´ımos n

seq¨uˆencias exatas da forma

com Wi ∈ F (4)∩Y(4) e Xi−1e Xi em F (4), 0 ≤ i ≤ n. Aplicando o funtor

HomA(Xn−1, ) a cada seqüência i, i = 1, 2, . . . , n, obtemos a seqüência

exata longa

Ext1_A(Xn−1, Wi) −→ Ext1A(Xn−1, Xi) −→ Ext2A(Xn−1, Xi−1)

−→ Ext2_A(Xn−1, Wi) −→ Ext2A(Xn−1, Xi) −→ Ext3A(Xn−1, Xi−1)

. ... ...

−→ Extj_A(Xn−1, Wi) −→ ExtjA(Xn−1, Xi) −→ Extj+1A (Xn−1, Xi−1)

. ... ...

−→ Extn−1_A (Xn−1, Wi) −→ Extn−1A (Xn−1, Xi) −→ ExtnA(Xn−1, Xi−1).

Como Wi ∈ F (4) ∩ Y(4) e Xi, Xi−1 ∈ F (4), pela Observa¸c˜ao 3.5.2 (1),

vale que Extj_A(Xn−1, Wi) = Ext j+1

A (Xn−1, Wi) = 0, para todo j ≥ 1. Portanto

Extj_A(Xn−1, Xi) ∼= Ext j+1

A (Xn−1, Xi−1) = 0, para todo j ≥ 1 e i = 1, 2, . . . , n.

Logo temos que

Ext1_A(Xn−1, Xn−2) ∼= Ext2A(Xn−1, Xn−3) ∼= · · · ∼= ExtnA(Xn−1, X−1).

Desde que Xn−1∈ F (4), ent˜ao, em virtude do Corol´ario 3.4.14, pd Xn−1≤

n − 1 e logo Extn_A(Xn−1, X−1) ∼= Ext1_A(Xn−1, Xn−2) = 0. Assim a seq¨uˆencia

exata

n−1 = (0 −→ Xn−2−→ Wn−1−→ Xn−1−→ 0)

cinde, o que implica que Xn−2´e um somando direto de Wn−1∈ F (4) ∩ Y(4)

e, portanto, que Xn−2 ∈ F (4) ∩ Y(4).

Usando as seqüências i constru´ımos uma nova seqüência exata da se-

guinte forma 0 //X−1 //W0 // W1 // W2 //· · · X0 == X1 == //Wn−2 // W_n−10 //0. Xn−2 ;;

Notemos que na seq¨uˆencia obtida

0 −→ X−1−→ W0−→ · · · −→ Wn−2−→ Wn−10 −→ 0, (3.4)

tanto W_n−10 = Xn−2 quanto Wi, para 0 ≤ i ≤ n − 2, est˜ao em F (4) ∩ Y(4).

Até aqui temos constru´ıdo para cada X = X−1 ∈ F (4) uma seqüência

do tipo (3.4). Em particular, como AA ∈ F (4) existe uma seq¨uˆencia da

forma

0 −→ AA−→ W0−→ · · · −→ Wn−2−→ Wn−1−→ 0, (3.5)

com Wi ∈ F (4) ∩ Y(4), para 0 ≤ i ≤ n − 1.

Seja o A-m´odulo T0 = ⊕n−1_i=0Wi. Como T0 ∈ F (4) ∩ Y(4), pelo Corol´ario

3.4.14 resulta que pd T0 ≤ n − 1. De outro lado, pela Observa¸cão 3.5.2 (1), temos que Extj_A(T0, T0) = 0, para todo j ≥ 1. Assim, junto com a seqüência em (3.5) temos que T0 é um A-módulo inclinante generalizado.

Mostremos agora que F (4) ∩ Y(4) = add (T0). Pela constru¸c˜ao de T0 = ⊕n−1

i=0Wi, com Wi ∈ F (4) ∩ Y(4), temos claramente que add (T0) ⊆ F (4) ∩

Y(4). Para a inclusão contraria, seja M ∈ F (4) ∩ Y(4). É fácil ver que T_A0 ⊕ MA é também um A-módulo inclinante generalizado. Assim, temos

pela Observa¸cão 3.5.4 que o número de B = EndA(T0)-módulos simples, é

igual ao número de ¯B = EndA(T0 ⊕ M )-módulos simples, não isomorfos.

De outro lado este número, pela observa¸cão feita anteriormente é igual ao número de somandos diretos de T0. Portanto M ∈ add (T0) e esta aprovado que F (4) ∩ Y(4) = add (T0). Finalmente observemos que se existir um A- módulo inclinante generalizado T00 tal que F (4) ∩ Y(4) = add (T00), teremos que eles têm os mesmos somandos diretos indecompon´ıveis e difierem na

A unicidade, a menos da multiplicidade, garantida pelo terema anterior motiva a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 3.5.6. Seja A uma K-álgebra estandarmente estratificada. O A-módulo inclinante generalizado T , com seus somandos diretos indecompon´ıveis não isomorfos, de multiplicidade um, tal que F (4)∩Y(4) = add (T ) ´

e denominado m´odulo inclinante caracter´ıstico associado a 4.

O passo a seguir é demonstrar que o módulo inclinante caracter´ıstico de uma álgebra quase-hereditária é também coinclinante. Para isto enunciaremos uma série de resultados e defini¸cões que usaremos em tal demonstra¸cão. Seja A uma K-álgebra. Denotamos por P<∞_{(A) e I}<∞_{(A), respecti-}

vamente, as subcategorias de mod A formadas pelos A-módulos X tais que pd X < ∞ e pelos A-módulos Y tais que id Y < ∞. Com esta nota¸cão, definimos a dimensão projetiva finit´ıstica de A, que denotaremos por pf d A, como o supremo das dimensões projetivas dos objetos de P<∞A, ou seja, pf d A = sup{pd X : X ∈ P<∞(A)}.

Seguintes dois lemas foram provados em [5].

Proposi¸c˜ao 3.5.7. Seja A uma ´algebra tal que id AA< ∞ e que idAA < ∞.

Ent˜ao id AA = idAA e I<∞(A) = P<∞(A).

Proposi¸c˜ao 3.5.8. Se id AA < ∞, ent˜ao idAA < ∞ se, e somente se, a

dimens˜ao projetiva finit´ıstica de A ´e finita.

O teorema abaixo, cuja prova pode ser encontrada em [1], garante que a

dimensão projetiva finit´ıstica de uma álgebra estandarmente estratificada é finita.

Teorema 3.5.9. Seja A uma K-álgebra estandarmente estratificada. Então pf d A ≤ 2n − 2, onde n é o posto de K0(A).

Por fim enunciamos uma proposi¸cão que fornece uma condi¸cão suficinte e necessaria para que o módulo inclinante caracter´ıstico seja também coinclinante.

Proposi¸cão 3.5.10. Sejam A uma K-álgebra estandarmente estratificada e T seu módulo inclinante caracter´ıstico associado. As seguintes condi¸cões são equivalentes:

1. T ´e um A-m´odulo coinclinante generalizado. 2. id AA < ∞.

Demonstra¸cão. Demonstremos que (1) implica (2). Suponhamos que T é um A-módulo coinclinante generalizado. Logo existe uma seqüência exata

0 −→ Ts−→ Ts−1−→ · · · −→ T0−→ D(AA) −→ 0,

com Ti ∈ F (4) ∩ Y(4), 0 ≤ i ≤ s. Como cada Ti ∈ F (4), ent˜ao, pelo

Corol´ario 3.4.14, pd Ti < ∞ e, portanto, pd D(AA) < ∞, ou equivalentemente

id AA< ∞. Assim (1) implica (2) est´a provada.

Para mostrar que (2) implica (1), suponhamos que id AA < ∞. Ent˜ao

pd D(AA) = m < ∞. Desde que D(AA) ∈ Y(4), aplicando iteradamente o

(i), i = 1, 2, . . . , m, de seq¨uˆencias exatas da forma:

i = (0 −→ Yi−→ Wi−→ Yi−1−→ 0)

com Yi−1e Yi em Y(4), sendo Y−1 = D(AA), e Wi ∈ F (4) ∩ Y(4). Tamb´em

como na prova do Teorema 3.5.5, utilizando a Observa¸cão 3.5.2, obtemos que a seqüência m cinde e que Ym−1 ∈ F (4) ∩ Y(4). Dessa forma, constru´ımos

a seq¨uˆencia exata

0 −→ W_m0 −→ Wm−1−→ · · · −→ W0−→ D(AA) −→ 0, (3.6)

onde W_m0 = Ym−1. Como Wm0 e cada Wiest˜ao em F (4)∩Y(4) = add T (Teo-

rema 3.5.5), resulta que a seqüência em (3.6) e o fato de que Exti_A(T, T ) = 0, para todo i ≥ 1 (Observa¸cão 3.5.2), garantem que as condi¸cões (b) e (c) da Defini¸cão 3.5.1 (2) se verificam. Portanto, para mostrar que T é um A-módulo coinclinante basta verificar que id T < ∞. De um lado, como T ∈ F (4) ∩ Y(4) resulta do Corolário 3.4.14 que pd T < ∞, ou seja T ∈ P<∞_{(A). De outro lado, o Teorema 3.5.9 estabelece que a dimens˜}_ao

finit´ıstica de A é finita, o que junto com a hipótese de que id A < ∞ resulta, pela Proposi¸cão 3.5.8, em que P<∞_{(A) = I}<∞_{(A), ou seja que T tem}

dimens˜ao injetiva finita.

Corolário 3.5.11. Seja A uma K-álgebra quase-hereditária. Então o A- módulo inclinante caracter´ıstico associado T é também um A-módulo coinclinante generalizado.

Demonstra¸c˜ao. Da Proposi¸c˜ao 3.4.13 (3) vem que id AA< ∞ e portanto

No Corolário 3.5.11 a condi¸cão de que a álgebra seja quase-hereditária é essencial. Para verificar isto temos o seguinte exemplo dado em [26].

Exemplo 3.5.12. Sejam K um corpo algebricamente fechado e a K-´algebra A = K[x, y]/hx, yi2_{. Como A ´}_{e local, ent˜}_{ao ela ´}_{e estandarmente estratificada.}

Notese que A ∼= KQ/I, onde Q ´e o carc´as ·1gg β

α 77

e I = hα2, β2, αβ, βαi. As correspondentes representa¸cões associadas ao módulo projetivo P1 e ao módulo injetivo I1 são, respectivamente

P1 : ·K3 ₀ ₀ ₀ 1 0 0 0 0 0 gg ₀ ₀ ₀ 0 0 0 1 0 0 77 I1 : ·K3 ₁ ₀ ₀ 0 0 0 0 0 0 . gg ₁ ₀ ₀ 0 0 0 0 0 0 77

Claramente I1 P1. Assim temos que F (4) = add A e Y(4) = mod A.

Portanto F (4) ∩ Y(4) = F (4) = add A. Mas como A é local os módulos de dimensão injetiva finita são os A-módulos injetivos. Desde que I1 ∈/

F (4) ∩ Y(4), então não existe nenhum módulo de dimensão injetiva finita em F (4) ∩ Y(4) e, portanto, não existe módulo coinclinante T tal que F (4) ∩ Y(4) = add T.

A seguinte proposi¸cão garante a existência de uma fam´ılia de sequências exatas relacionadas com os módulos indecompon´ıveis de F (4) ∩ Y(4). Proposi¸cão 3.5.13. Seja A uma K-álgebra estandarmente estratificada. Então, para cada 1 ≤ i ≤ n, existe uma seqüência exata curta

0 −→ 4_i−→ T (i) −→ X(i) −→ 0,β(i)

onde β(i) é uma Y(4)-aproxima¸cão minimal à esquerda de 4_i, X(i) ∈ F (4₁, . . . , 4_i−1), T (i) ∈ F (4) ∩ Y(4) é indecompon´ıvel e F (4) ∩ Y(4) = add(⊕n

Demonstra¸cão. Seja um i = 1, . . . , n fixado. Como Ext1_A(4_j, 4_i) = 0, para todo j ≥ i, então pelo Lema 2.1.9 existe uma seqüência exata curta

0 −→ 4_i β

−→ T0(i) π

−→ X0(i) −→ 0,

com T0(i) ∈ Y(4) e X0(i) ∈ F (4₁, . . . , 4_i−1). Desde que 4_i e X0(i) estão em F (4), que é uma subcategoria fechada por extensões (Observa¸cão 2.1.2), temos também que T0(i) ∈ Y(4) ∩ F (4).

Por outro lado, pelo Teorema 2.4, Cap. 1 em [6], existe uma decomposi¸cão de T0(i) = T (i) ⊕ T00(i) e, em conseqüência por ser π0 um epimorfismo, uma decomposi¸cão de X0(i) = X(i) ⊕ X00(i) tal que a sequência acima é reescrita na forma: 0 - ∆_i β(i) 0 - T (i) ⊕ T00(i) - π(i) 0 0 π00(i) X(i) ⊕ X00(i) - 0

onde β(i) é a versão minimal à esquerda de β0(i). Consideremos então a sequência exata:

0 −→ 4_i−→ T (i)β(i) −→ X(i) −→ 0.π(i) (3.7) Uma vez que as categorias Y(4) e F (4) são fechadas por somandos diretos (Corolário 3.3.5) temos que T (i) ∈ Y(4) ∩ F (4) e X(i) ∈ F (4₁, . . . , 4_i−1). A verifica¸cão de que β(i) é uma Y(4)-aproxima¸cão à esquerda de 4_i é de forma dual à feita na prova do Lema 2.1.6 e, por isso, a omitiremos aqui.

Demonstremos ent˜ao que T (i) ´e indecompon´ıvel. Para tanto, vamos supor que T (i) = T1⊕ T2, com Tj 6= 0, para j = 1, 2. Se denotamos β(i) = (β1, β2)t

e π(i) = (π1, π2), onde βj : 4i−→ Tj e πj : Tj−→ X(i), para j = 1, 2,

temos que βj 6= 0, para toda j = 1, 2, pois β(i) ´e minimal. De outro lado,

Portanto, temos o seguinte diagrama de pull-back: 4_i β1 // β2 T1 −π1 T2 π2 // X(i).

Como X(i) ∈ F (4₁, . . . , 4_i−1), temos ent˜ao que HomA(4i, X(i)) = 0. Por-

tanto π1β1 = π2β2 = 0. Assim do fato de que −π1β1 = π20 = 0, re-

sulta da propriedade universal do pull-back que existe um homomorfismo α : 4_i−→ 4_i tal que β1 = β1α e β2α = 0. Claramente α n˜ao ´e invert´ıvel e

como EndA(4i) é um local, (pois 4i é um A-módulo indecomponivel) por-

tanto α é nilpotente. Indutivamente é fácil ver que β1αm = β1, para qualquer

inteiro positivo m ≥ 1. Em particular, se m é igual ao ´ındice de nilpotência de α então β1 = 0, o qual contradiz o fato de que β1 6= 0. Portanto, T (i) é

indecompon´ıvel.

A seqüência (3.7), garante que os fatores de composi¸cão de T (i) são os fatores de composi¸cão de 4_i e os de X(i) ∈ F (4₁, . . . , 4_i−1), que são os simples Sj com j ≤ i, sendo que Si deve ocorrer pelo menos uma vez. Dessa

forma temos que para i 6= j, T (i) e T (j) são não isomorfos pois β é não nula. Assim os módulos T (i), 1 ≤ i ≤ n, são dois a dois não isomorfos. Em conseqüência, obtemos pois que F (4) ∩ Y(4) = add(⊕n

i=1T (i)).

Nosso intuito agora ´e estudar o anel dos endomorfismos EndA(T ) do A-

módulo inclinante associado a uma álgebra estandarmente estratificada A. Come¸camos com algumas observa¸cões gerais.

Observa¸cão 3.5.14. Relembraremos aqui alguns fatos bem conhecidos, cuja verifica¸cão é bastante simples e por isso será omitida, e que serão bem uteis para o lema a seguir.

1. Se A é um anel qualquer e T é um A-módulo à direita, então T admite uma estrutura natural de B-módulo à esquerda, onde B = EndA(T ),

que é dada por f.x := f (x), para f ∈ B e x ∈ T . Mas do que isso, T é um B-A-bimódulo.

2. Se X é um A-módulo à direita, então HomA(XA,BTA) tem uma estru-

tura natural de B-m´odulo `a esquerda, dada por β ∗ f = β ◦ f, para todo β ∈ B e para todo f ∈ HomA(XA,BTA). Dessa forma podemos consi-

derar o grupo abeliano G = HomB(HomA(XA,BTA),BTA) sobre o qual

também é poss´ıvel definir uma estrutura de A-módulo à direita, que é dada por (ψ α)(g) = ψ(g)α, para ψ ∈ G, α ∈ A e g ∈ HomA(XA, TA).

3. Sejam R e S dois anéis quaisquer. Consideremos M um R-módulo à esquerda, N um S-módulo à direita e U um R − S bimódulo. Então

HomR(RM, HomS(NS,RUS)) ∼= HomS(NS, HomR(RM,RUS)),

como grupos abelianos.

Observa¸cão 3.5.15. Sejam A uma K-álgebra estandarmente estratificada e T o A-módulo inclinante associado. Então o funtor F = HomA( , T ) :

mod A −→ B mod é exato em F (4) (este fato é decorrência imediata da Proposi¸cão de Y(4)).

Para estabelecer algumas rela¸cões entre os A-módulos de F (4) e as suas imagens a través do funtor F em B mod, fixaremos antes algumas nota¸cões.

Consideremos 4 = (4₁, 4₂, . . . , 4_n) a seqüência de módulos estandares (à direita) com rela¸cão a qual A é estandarmente estratificada. Vamos deno- tar por 40_i o B-módulo à esquerda HomA(4n−i+1, T ) e por 4

a seqüência (40₁, 40₂, . . . , 40_n) de B-módulos à esquerda.

Com estas nota¸c˜oes, temos o seguinte lema que relaciona os A-m´odulos em F (4) e as suas imagens em B mod pelo funtor F .

Lema 3.5.16. Sejam A uma K-álgebra estandarmente estratificada e T o A- módulo inclinante caracter´ıstico associado. Consideremos a K-álgebra B = EndA(T ). Então:

1. Para cada X ∈ F (4), a fun¸c˜ao avalia¸c˜ao

eX : XA−→ HomB(HomA(XA,BTA),BT )

e um isomorfismo de A-m´odulos (`a direita).

2. O funtor F = HomA( , T ) ´e uma equivalˆencia de categorias entre

F (4) e sua imagem F (F (4)), que ´e uma subcategoria de B − mod. 3. Para cada X ∈ F (4), sua imagem F (X) ∈ B mod admite uma 40-

filtra¸c˜ao.

Demonstra¸cão. Para a prova de (1) observemos que o isomorfismo vale para X = T . Então para os somandos diretos de T , portanto para todos os módulos em add T .

Suponhamos que X ∈ F (4). Pela prova do Teorema 3.5.5, via a observa¸cão 3.5.2 (2), obtemos uma fam´ılia de seqüências exatas {i}n−1i=1, com

1 : ( 0 −→ X −→ T0−→ X0−→ 0) e i : ( 0 −→ Xi−1−→ Ti−→ Xi−→ 0),

onde Ti ∈ F (4) ∩ Y(4) = add( T ) , Xn−1 = Tn−1 e Xi ∈ F (4), para

Consideramos a seq¨uˆencia n−2. Se denotamos HomA(XA, TA) por X∗ e

aplicamos o funtor HomA( , T ) a n−2, obtemos a seq¨uˆencia exata curta

0 −→ T_n−1∗ −→ T∗

n−2−→ X

∗

n−3−→ 0, pois o funtor HomA( , T ) ´e exato em

F (4) pela Observa¸c˜ao 3.5.15.

Se aplicamos o funtor HomB( ,BT ) (que ser´a denotado tamb´em por ∗)

a seq¨uˆencia acima, obtemos o seguinte diagrama comutativo 0 //Xn−3 // e_Xn−3 Tn−2 // e_Tn−2 Tn−1 // e_Tn−1 0 0 //X_n−3∗∗ //T_n−2∗∗ //T_n−1∗∗ .

Desde que eTn−2 e eTn−1 são isomorfismos, então eXn−3 é também um isomor-

fismo. Usando o mesmo argumento repetidamente a cada uma das seqüências n−3, . . . , 1, nesta ordem, obtemos através da seqüência 1 que eX é um iso-

morfismo, o que prova (1).

Para (2), basta provar que o funtor HomA( , TA) : mod A −→ B − mod

e um funtor fiel e pleno de F (4) na subcategoria de B-mod formada pela sua imagem. Assim o que resta provar ´e que HomA(X, Y ) ∼= HomB(Y∗, X∗),

para quaisquer X, Y ∈ F (4) (como grupos abelianos).

Desde que BTA é um B − A-bimódulo e que Y∗ e X∗ são B-módulos à

esquerda, ent˜ao podemos aplicar a Observa¸c˜ao 3.5.14 escolhendo R = B, S = A, U =B TA, M = Y∗ e N = X, obtendo assim que

HomB(Y∗, X∗) = HomB(Y∗, HomA(X, T )) ∼= HomA(X, HomB(Y∗, T )),

mas, pela parte (1), temos que YA ∼= HomB(HomA(Y, T ), T )A, e portanto

Seja X ∈ F (4). Para provar (3) usaremos indu¸c˜ao sobre o n´umero de ele- mentos de Supp4(X) = {i ∈ {1, 2, . . . , n} : [X : 4_i] 6= 0}. Se |Supp4(X)| =

1, ent˜ao X ∼= 4t_j, para algum j ∈ {1, 2, . . . , n} e algum t ≥ 1. Portanto HomA(X, T ) ∼= HomA(4tj, T ) ∼= (4

n−j+1)t. Logo F (X) ∼= (4

n−j+1)t tem

uma 40-filtra¸c˜ao.

Suponhamos que a afirma¸cão é verdadeira para todo A-módulo M ∈ F (4) tal que 1 ≤ |Supp4(M )| < m. Seja X ∈ F (4) tal que Supp4(X) =

{i1, i2, . . . , im}, com 2 ≤ m ≤ n, e im = max Supp4(X). Pela Observa¸c˜ao

3.3.3, existe um subm´odulo M ⊂ X tal que Supp4(X/M ) = {i1, i2, . . . , im−1},

e a seqüência exata 0 −→ M −→ X −→ X/M −→ 0 está em F (4). Aplicando o funtor F nesta seqüência, obtemos a seguinte seqüência em B mod:

0 −→ F (X/M ) −→ F (X) −→ F (M ) ∼= (40n−im+1)

t_{−→ 0.}

Como |Supp4(X/M )| < m, então, pela hipótese de indu¸cão, resulta que

F (X/M ) admite uma 40-filtra¸cão, o que junto com a ultima seqüência exata leva à conclusão de que F (X) também admite uma 40-filtra¸câo.

Com este lema e lembrando a observa¸c˜ao anterior de que HomA(T (i), T ),

i = 1, 2, . . . , n, onde T = ⊕n

i=1T (i) ´e o A-m´odulo inclinante caracter´ıstico,

são os representantes dos B-módulos projetivos à esquerda, indecompon´ıveis, provaremos no teorema que segue que a álgebra B = EndA(T ) é uma álgebra

estandarmente estratificada com rela¸cão à ordem oposta na qual A o é. Proposi¸cão 3.5.17. Sejam A uma álgebra estandarmente estratificada, relativa à seqüência de A-módulos (à direita) estandares 4 = (4₁, 4₂, . . . , 4_n)

e T = ⊕n

j=1T (j) o A-módulo inclinante caracter´ıstico. Então a K-álgebra

B = EndA(T ) é uma álgebra estandarmente estratificada com seqüência

de B-m´odulos (`a esquerda) estandares 40 = (40₁, 40₂, . . . , 40_n), onde 40_i =

HomA(4n−i+1, T ).

Demonstra¸cão. Seja 4 = (4₁, 4₂, . . . , 4_n) a seqüência de A-módulos (à direita) estandares, relativa a uma ordem fixada, para qual A é uma ´

algebra estandarmente estratificada. Para cada i = 1, 2, . . . , n, denotamos por P0(i) o B-m´odulo (`a esquerda) HomA(T (n − i + 1), T ), que se-

gundo a observa¸cão feita apos do Lema 3.5.16, é projetivo e indecompon´ıvel. Fixemos a seqüência do conjunto dos idempotentes, primitivos e ortogo- nais de B segundo a seqüência ordenada dos B-módulos projetivos indecompon´ıveis (P0(1), P0(2), . . . , P0(n)). Mostremos que a seqüência 40 = (40₁, 40₂, . . . , 40_n), onde 40_i = HomA(4n−i+1, T ) é a seqüência de B-módulos

(à esquerda) estandares. Ou seja, vamos mostrar que para cada i = 1, 2, . . . , n, 40_i é o quociente de P0(i) pelo submódulo gerado pelas imagens dos B- homomorfismos de P0(j) para P0(i), com j > i.

Primeiramente, para um i = 1, 2, . . . , n fixado, pela Proposi¸cão 3.5.13, existe uma seqüência exata em F (4)

0 −→ 4_i0

β(i0)

−→ T (i0) −→ X(i0) −→ 0,

onde i0 = n − i + 1, β(i0) é uma Y(4)-aproxima¸cão minimal à esquerda de 4_i0 e X(i0) ∈ F (4₁, 4₂, . . . , 4_i0₋₁); além disso, os fatores de composi¸cão de

T (i0) s˜ao A-m´odulos simples Sm, com m ≤ i0 = n − i + 1. Aplicando o funtor

em F (4), obtemos a seguinte seq¨uˆencia exata em B mod: 0 −−−→ F (X(i0)) −−−→ P0(i) F (β(i

0₎₎

−−−−→ 40_i −−−→ 0. (3.8)

Seja j > i e consideremos g ∈ HomA(P0(j), P0(i)) = HomA(F (T (j0), F (T (i0)),

onde j0 = n − j + 1 < i0. Como o funtor F ´e uma equivalˆencia contravariante entre F (4) e F (F (4)) ⊂ B mod (Lema3.5.16 (2)), temos que g = F (h), para algum h ∈ HomA(T (i0), T (j0)). Da mesma forma como o observado

para o ´ındice i0, a Proposi¸cão 3.5.13 garante que s fatores de composi¸cão de T (j0) são simples Sk, com k ≤ j0 ≤ i0. Assim, pelo Lema 3.2.7, obtemos que

HomA(4i0, T (j0)) = 0 e, portanto, a composta hβ(i0) = 0. Em consequˆencia

temos que

HomA(hβ(i0), T ) = HomA(β(i0), T ) HomA(h, T ) = HomA(β(i0), T )g = 0,

e, portanto, que Im g ⊆ F (X(i0)). A seqüência exata (3.8) e este ultimo fato, mostraram que 40_ié o máximo quociente de P0(i) com fatores de composi¸cão com ´ındice no máximo i. Portanto esta provado que 40 = (40₁, 40₂, . . . , 40_n), onde 40_i = HomA(4n−i+1, T ) é a seqüência de B-módulos (à esquerda) es-

tandares.

Mostremos por fim que BB ∈ F (40). Como para cada i = 1, 2, . . . , n,

P0(i) = F (T (n − i + 1)) e T (n − i + 1) ∈ F (4) temos, pelo Lema 3.5.16 (3), que P0(i) tem uma 40-filtra¸c˜ao, ou seja P0(i) ∈ F (40). Logo BB ∈ F (40) e

esta provado que B é estandarmente estratificada, com rela¸cão à seqüência 40 de B-módulos à esquerda.

A Proposi¸cão 3.5.17 garante que a álgebra B = EndA(T ) é estandarmente

estratificada (à esquerda) e, por seu lado, o Teorema 3.5.5 garante que existe um B-módulo (à esquerda) inclinante caracter´ıstico BT0, então surge a per-

gunta: a álgebra dos endomorfismos de T0, A0 = EndA(T0), é equivalente à

algebra original A? antes para responder esta questão, necessitamos do lema que segue, que a exemplo do Lema 3.5.16, relaciona também a categoria F (4) e a sua imagem F (F (4)) em B mod, onde F é o funtor HomA( , T ).

Lema 3.5.18. Sejam A uma álgebra estandarmente estratificada, T o módulo inclinante caracter´ıstico associado e B = EndA(T ). Se X, Y ∈ F (4), então

Ext1_B(F (Y ), F (X)) ∼= Ext1_A(X, Y ), onde F ( ) = HomA( , T ).

Demonstra¸cão. Suponhamos que X, Y ∈ F (4). Então, pela Observa¸cão 3.5.2 (2), existe uma seqüência exata da forma 0 −→ Y −→ T0−→ Y0−→ 0,

com T0 ∈ F (4) ∩ Y(4) = add T e Y0 ∈ F (4). Aplicando o funtor

HomA( , T ), que é exato em F (4), obtemos a seqüência exata

0 −→ F (Y0) −→ F (T0) −→ F (Y ) −→ 0.

Agora aplicando o funtor HomB( , F (X)) na anterior seq¨uˆencia obtemos

a seq¨uˆencia exata longa

· · · −→ HomB(F (T0), F (X)) −→ HomB(F (Y0), F (X)) −→ Ext1B(F (Y ), F (X))

−→ Ext1_B(F (T0), F (X)) −→ · · · .

tivo. Usando o Lema 3.5.16 (2) obtemos o seguinte diagrama comutativo HomB(F (T0), F (X)) //_Hom_B_{(F (Y}₀_{), F (X))} //_Ext1 B(F (Y ), F (X)) //₀

HomA(X, T0) //HomA(X, Y0) //Ext1A(X, Y ) //0,

onde os dois primeiros homomorfismos verticais s˜ao isomorfismos. Pela pas- sagem aos con´ucleos, obtemos que Ext1_B(F (Y ), F (X)) ∼= Ext1_A(X, Y ).

Assim a resposta à questão colocada anteriormente sobre a rela¸cão entre as álgebras EndB(T0) e a álgebra A estandarmente estratificada original é

dada pelo seguinte teorema.

Teorema 3.5.19. Sejam A uma K-álgebra estandarmente estratificada, T o A-módulo (à diereita) inclinante caracter´ıstico associado. Seja T0 o B- módulo (à esquerda) inclinante caracter´ıstico associado à álgebra estandarmente estratificada B = EndA(T ). Então a K-álgebra EndB(T0) é Morita

equivalente a A (isto ´e mod A0 ´e equivalente a mod A).

Demonstra¸c˜ao. Como AA ´e um progerador basta provar que

A0 = EndB(T0) ∼= EndA(A) ∼= A.

Como A ´e estandarmente estratificada, pela Proposi¸c˜ao 3.4.2, Pi ∈ F (4),

para 1 ≤ i ≤ n, e portanto, pelo Lema 3.5.16 (3) o HomA(Pi, T ) = F (Pi) ∈

F (40). De outro lado, pelo Lema 3.5.18, temos que Ext1_B(F (Y ), F (Pi)) ∼=

Ext1_A(Pi, Y ) = 0, para todo Y ∈ F (4), isto ´e, F (Pi) ∈ F (40) ∩ Y(40) =

add T0. Desde que Pi é um A-módulo indecompon´ıvel, o B-módulo F (Pi) é

j. Como, pela Observa¸c˜ao 3.5.4, T0 tem n somandos indecompon´ıveis n˜ao isomorfos, conclu´ımos que ⊕n

i=1F (Pi) ∼= T0. Assim temos que

A ∼= EndA(A) ∼= EndA( n

i=1

Pi) ∼= EndB(F (Pi)) ∼= EndB(T0).

Portanto EndB(T0) ∼= EndA(A) ∼= A, como quer´ıamos.

3.6 Algebras quase-heredit´´

arias

Nesta se¸cão abordaremos duas caracteriza¸cões diferentes das álgebras quase- hereditárias. A primeria corresponde a defini¸cão original de tais álgebras dada por Cline, Parshall e Scott em termos de ideais hereditários e cadeias de hereditariedade. Mostraremos que tal defini¸cão é equivalente a dada na Se¸cão 3.4. A segunda caracteriza¸cão diz que as álgebras quase-hereditárias não são outras que as álgebras estandarmente estratificadas de dimensão glo- bal finita. Cabe resaltar que embora demonstra¸cões destas caracteriza¸cões existam na literatura as aqui apresentadas são originais.

Come¸camos definindo os conceitos de ideal heredit´ario e de cadeia de hereditariedade.

Defini¸cão 3.6.1. Sejam A um anel e J um ideal bilateral e não nulo de A. O ideal J chama-se hereditário se J2 = J , J radAJ = 0, e J considerado como A módulo à direita é projetivo.

Uma cadeia do tipo 0 = J0 ⊆ J1 ⊆ . . . ⊆ Jt−1 ⊆ Jt ⊆ . . . ⊆ Jm = A

de ideais de A tais que para 1 ≤ t ≤ m, Jt/Jt−1 ´e um ideal heredit´ario de

Todas as álgebras semisimples tem uma cadeia de hereditariedade, basta tomar a cadeia de ideais 0 ⊆ A ⊆ A, o quociente A/0 ∼= A é um ideal de hereditariedade de A/0 ∼= A pois AA é projetivo, A2 = A e A(rad A)A = 0,

pois rad A = 0.

Para caracterizar as álgebras quase-hereditárias em termos das cadeias de hereditariedade usaremos o seguinte lema, cuja demonstra¸cão pode ser encontrada em [8].

Lema 3.6.2. Se A é uma álgebra com cadeia de hereditariedade, então os idempotentes primitivos podem ser reordenados de tal forma que

0 ⊂ Ae1A ⊂ A(e1+ e2)A ⊂ . . . ⊂ A(e1 + e2+ . . . + en)A = A

e uma cadeia de hereditariedade para A. Além disso, a ordem definida no lema anterior define uma ordem na qual ela é quase-hereditária.

Proposi¸cão 3.6.3. A álgebra A é quase-hereditária se, e somente se, tem uma cadeia de hereditariedade.

Demonstra¸cão. Suponhamos que A é uma álgebra quase-hereditária na ordem e = (e1, e2, ..., en). Usando a nota¸cão adotada na Se¸cão 3.3, demons-

traremos que a filtra¸c˜ao tra¸co

0 = A(n+1)⊂ A(n) _{⊂ · · · ⊂ A}(2)_{⊂ A}(1) _{= A} _(3.9)

e uma cadeia de hereditariedade para A, onde A(i) _{= τ}

No documento Álgebras estandarmente estratificadas e álgebras quase-hereditárias (páginas 70-101)