Álgebras estandarmente estratificadas e álgebras quase-hereditárias

Texto

(1)´ Algebras estandarmente estratificadas e ´ algebras quase-heredit´ arias Paula Andrea Cadavid Salazar. ˜ APRESENTADA DISSERTAC ¸ AO AO ´ INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATÍSTICA DA ˜ PAULO UNIVERSIDADE DE SAO PARA ˜ OBTENC ¸ AO DO TÍTULO DE ˆ MESTRE EM CIENCIAS. ´ Area de Concentra¸caõ: Matem´ atica Orientador: Prof. Dr. Eduardo do Nascimento Marcos. Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CNPq. São Paulo, outubro de 2007.

(2) ´ Algebras estandarmente estratificadas e ´ algebras quase-heredit´ arias. Este exemplar corresponde a` disserta¸caõ defendida por Paula Andrea Cadavid Salazar e aprovada pela comissão julgadora.. São Paulo, 15 de fevereiro de 2008.. Banca examinadora: Prof. Dr. Eduardo do Nascimento Marcos (IME-USP) Prof. Dr. Maria Izabel Ramalho Martins (IME-USP) Prof. Dr. Marcelo Lanzilotta Mernies (Univ. de la Rep., Uruguay).

(3) A Luisa Fernanda.

(4) Agradecimentos. Ao IME por ter-me concedido o´timas condi¸co˜es de trabalho, em especial ao professor Eduardo do Nascimento Marcos pela sua orienta¸cão e à professora Mar´ıa Izabel Ramalho Martins pela sua valiosa ajuda.. A todos os amigos do IME, especialmente a Natalia, Mary Luz e ao Pablo, por estar sempre nos momentos dif´ıcies.. Ao CNPq, pelo apoio financeiro.. i.

(5) Resumo. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra básica conexa de dimensão finita sobre K e e = (e1 , e2 , . . . , en ) um conjunto completo de idempotentes ortogonais, primitivos e ordenados de A. O conjunto dos módulos estandares é o conjunto 4 = {41 , . . . , 4n }, onde 4i é o quociente maximal do A-módulo projetivo Pi com fatores de composi¸cão simples Sj , com j ≤ i, F(4) é a subcategoria plena de mod A dos módulos têm uma 4-filtra¸caõ. Se AA ∈ F(4) diz-se que A é uma a´lgebra estandarmente estratificada. Se, além disso, para cada elemento em 4 vale que EndA (4i ) ∼ =K diz-se que A é uma álgebra a´lgebra quase-hereditária. Nesta diserta¸cão estudamos as propriedades de F(4), especialmente quando A é estandarmente estratificada, e algumas condi¸co˜es necessárias e suficientes para que A seja quase-hereditária.. ´ Palavras-chave: Algebras estandarmente estratificadas, a´lgebras quasehereditárias, módulos estandares.. ii.

(6) Abstract. Let K be an algebraically closed field, A a basic, connected, finite dimensional K-algebra and e = (e1 , e2 , . . . , en ) a complete set of ordered primitive orthogonal idempotents of A. The set of standard modules is the set 4 = {41 , . . . , 4n }, where 4i is the maximal factor submodule of Pi whose composition factors are isomorphic to Sj , for j ≤ i. We denote by F(4) the full subcategory of mod A containing the modules which are filtered by modules in 4. If AA ∈ F(4) we say that A is standardly stratified. Moreover, if EndA (4i ) ∼ = K for each element in 4 we say that A is quasi hereditary. In this work we study the properties of the category F(4), especially when A is stardardly stratified, and some necessary and sufficient conditions to A be quasi hereditary.. Keywords: standardly stratified algebras, quasi-hereditary algebras, standard modules.. iii.

(7) Sum´ ario 1 Um pouco de Teoria de Representa¸co ˜es. 1. 1.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Carcases e a´lgebras de caminho . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Representa¸cões e módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.4. Seq¨ uências de Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 2 Seq¨ uˆ encias de Auslander-Reiten relativas. 14. ´ 3 Algebras estandarmente estratificadas e ´ algebras quase heredit´ arias. 29. 3.1. Sobre o grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 3.2. Módulos estandares e coestandares . . . . . . . . . . . . . . . 33. 3.3. As categorias F(4) e F(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 3.4. ´ Algebras estandarmente estratificadas . . . . . . . . . . . . . . 47. 3.5. ´ Algebras estandarmente estratificadas e módulos inclinantes . 60. 3.6. ´ Algebras quase-hereditárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 87. iv.

(8) Introdu¸ c˜ ao. As a´lgebras quase-hereditárias foram introduzidas por E. Cline, B. Parshall e L. Scott, em [9] e [10], no contexto da teoria algébrica de grupos e na representa¸cão das a´lgebras de Lie complexas semisimples de dimensão finita, mais precisamente no estudo da categoria dos pesos máximos. V. Dlab e C. M. Ringel fizeram um extenso estudo desta classe de a´lgebras e de suas categorias de módulos. Um dos principais resultados obtidos é a existencia do módulo caracter´ıstico que foi dado por Ringel em [24]. Tal módulo, que é tanto inclinante como coinclinante, estabelece uma conexão com a teoria de inclina¸caõ que tem sido muito desenvolvida nos ultimos anos. Mais tarde, E. Cline, B. Parshall e L. Scott introduziram em [11] um conceito mais geral: as a´lgebras estandarmente estratificadas. As a´lgebras quase-hereditárias não são nada mais do que as a´lgebras estandarmente estratificadas de dimensão global finita. Elas aparecem, por exemplo, no estudo da categoria O de Berstein, Gelfand e Gelfand associada com a decomposi¸cão triangular de uma álgebra de Lie complexa, semisimples de dimensão finita. Varias geraliza¸cões tem sido feitas, uma delas apareceu em [16], onde K. Erdman e C. Sáenz definem os sistemas estratificantes. Posteriormente E. Marcos, O. Mendoza e C. Sáenz em [22], usam tais sistemas para geralizar ´ os resultados obtidos por I. Agoston, D. Happel, E. Lukás e L. Unger em [1] acerca da dimensão finit´ıstica de uma a´lgebra estandarmente estratificada. Os conceitos centrais nesta teoria são os conjuntos 4 e 5 dos módulos v.

(9) Introdu¸caõ. estandares e coestandares, respectivamente. Nosso principal objetivo nesta disserta¸caõ é estudar algumas propriedades das categorias F(4) e F(5), dos módulos filtrados por 4 e 5, respectivamente, fazendo ênfase no caso em que a álgebra é estandarmente estratificada. Para tal esta disserta¸cão esta organizada como segue: O Cap´ıtulo 1 destina-se a revisão de conceitos, defini¸cões, teoremas e nota¸co˜es que serão usadas ao longo deste texto, seu principal objetivo é tentar tornar a disserta¸cão autocontida. No Cap´ıtulo 2, baseados no trabalho de Ringel em [24], demonstramos que a categoria F(θ), onde θ = {θ(1), θ(2), . . . , θ(n)} é um conjunto de módulos tal que Ext1A (θ(i), θ(j)) = 0, para i ≤ j, admite seq¨ uências de AuslarderReiten relativas. No Cap´ıtulo 3, na primeira se¸caõ definimos o grupo de Grothendieck e enunciamos algumas propriedades a usar durante o restante do cap´ıtulo. Na segunda se¸caõ demonstramos as propriedades básicas dos módulos estandares. Na se¸caõ 3.3 apresentamos propriedades homológicas das categorias F(4) e F(5), em particular que são funtorialmente finitas e que admitem seq¨ uências de Auslanden-Relativas. Tais resultados foram extra´ıdos de [13],[15], [26] e [24]. Na se¸caõ 3.4 introduzimos os conceitos de a´lgebra estandarmente estratificada e a´lgebra quase-hereditária, demonstramos que quando a álgebra é estandarmente estratificada os módulos em F(4) têm dimensão projetiva finita e que as a´lgebras quase-hereditárias tem dimensão global finita. Os resultados desta se¸cão estão contidos em [15]. Na se¸cão 3.5 demonstramos que se A é uma a´lgebra estandarmente estratificada existe um A-módulo inclinante generalizado T associado a A, tal que F(4) ∩ Y(4) = vi.

(10) Introdu¸caõ. add T e que o anel de endomorfismos B = EndA (TA ) é de novo uma K-álgebra estandarmente estratificada. Mais ainda, que EndB (T 0 ) é Morita equivalente a A, onde T 0 é o B-módulo inclinante generalizado associado a B. Os resultados apresentados nesta se¸caõ estão contidos no trabalho de C. Xi, em [26]. Finalmente, na Se¸caõ 3.6 abordaremos duas caracteriza¸co˜es diferentes das álgebras quase-hereditárias.. vii.

(11) Cap´ıtulo 1 Um pouco de Teoria de Representa¸ co ˜es Este cap´ıtulo traz uma série de conceitos, defini¸co˜es, teoremas e nota¸co˜es que utilizaremos livremente em todo o restante deste texto. Grande parte dos tópicos aqui apresentados são bastante familiares, mas ainda assim serão revisados para fixar nota¸cões e tornar a terminologia do trabalho mais uniforme. Por outro lado vale alertar que não temos nenhuma pretensão de fornecer um tratamento completo dos assuntos aqui abordados. Detalhes de tais conceitos podem ser encontrados em vários livros, mas todos os aqui mencionados podem ser achados em [4].. 1.1. Preliminares. Faremos aqui um percurso muito breve sobre algumas no¸co˜es de álgebras associativas de dimensão finita que utilizaremos ao longo desta disserta¸caõ.. 1.

(12) Preliminares. Para consultar detalhes citamos o Cap´ıtulo I e o Apêndice A de [4].. Se A é uma K-álgebra de dimensão finita, então o módulo AA admite uma decomposi¸cão da forma A = P1 ⊕ P2 ⊕ . . . ⊕ Pn , onde cada Pi = ei A é um A-módulo projetivo indecompon´ıvel e e1 , e2 , . . . , en são idempotentes primitivos, dois a dois ortogonais, e tais que 1 = e1 + e2 + . . . + en . O conjunto {e1 , e2 , . . . , en } é chamado de um conjunto completo de idempotentes primitivos ortogonais. Dizemos que A é uma ´ algebra b´ asica se ei A ej A, quando i 6= j, para todo i, j = 1, . . . , n. De outro lado dizemos que A é conexa (ou indecompon´ıvel) se não pode ser decomposta como soma direta de duas a´lgebras, ou equivalentemente, se 0 e 1 são seus u ńicos idempotentes centrais.. Denotamos por M od A a categoria cujos objetos são os A-módulos à direita e cujos morfismos são os homomorfismos de A-módulos e por mod A a subcategoria plena de M od A cujos objetos são os A-módulos finitamente gerados. Dado um A-módulo M , o A-módulo M/rad M é denotado por top M . Se M é um A-módulo, então existem seq¨ uências exatas do tipo h. h. h. m 1 0 · · · −→Pm −→ Pm−1 −→ · · · −→P1 −→ P0 −→ M −→0,. onde os Pj são A-módulos projetivos. Uma tal seq¨ uência é chamada uma resolu¸c˜ ao projetiva de M . Se M admite uma resolu¸caõ projetiva da forma h. h. h. m 1 0 0 −→ Pm −→ Pm−1 −→ · · · −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0,. 2.

(13) Carcases e a´lgebras de caminho. com Pm 6= 0, dizemos que o comprimento de tal resolu¸cão é m. Se toda resolu¸cão projetiva de M é infinita dizemos que M tem dimensão projetiva infinita , caso contrário a dimensão projetiva de M , denotada por pd M , é o menor natural ` tal que existe uma resolu¸caõ projetiva de M de comprimento `. A dimens˜ ao global ` a direita da K-álgebra A, que é denotada por gldim A, é definida por gldimA = sup{pd M : M é um A − módulo a` direita}. Para o caso em que A é uma K-álgebra de dimensão finita, é conhecido que que sua dimensão global é para calcular sua dimensão global é gldim A = sup{pd S : S é um A − módulo simples a` direita}.. 1.2. Carcases e ´ algebras de caminho. Seja A uma a´lgebra de dimensão finita e básica sobre um corpo algebricamente fechado. Nesta se¸cão daremos uma caracteriza¸caõ de A em termos de estruturas chamadas carcases. Para isto, come¸caremos definindo carcases, veremos como se podem construir a´lgebras a partir deles e para finalizar enunciaremos o Teorema de Gabriel, que proporciona a caracteriza¸cão mencionada acima. A prova de tal teorema pode ser vista no Cap´ıtulo II de [4].. Um carcás é uma quádrupla Q = (Q0 , Q1 , c, f ) de dois conjuntos Q0 (cujos elementos chamamos v´ ertices) e Q1 (cujos elementos chamamos flechas) , e duas fun¸cões c : Q1 → Q0 e f : Q1 → Q0 . 3.

(14) Carcases e a´lgebras de caminho. Dada uma flecha α ∈ Q1 , se c(α) = a e f (α) = b dizemos que o come¸co de α é a e que o final de α é b. Denotamos esta situa¸caõ por α : a → b. O carcás Q = (Q0 , Q1 , c, f ) pode ser denotado por Q = (Q0 , Q1 ) ou simplesmente por Q. Dizemos que Q = (Q0 , Q1 ) é finito se os conjuntos Q0 e Q1 são finitos. Todos os carcases que consideraremos aqui serão finitos, exceto o carcás de Auslander-Reiten que definiremos na se¸caõ 1.4. ¯ do carcás Q é um grafo obtido de Q sem consiO grafo subjacente Q ¯ é um grafo com os mesmos vértices derar a orienta¸cão das flechas, isto é, Q ¯ se existe uma de Q e tal que existe uma aresta entre os vértices a e b em Q flecha α : a → b ou uma flecha β : b → a. Dizemos que o carcás Q é conexo ¯ é conexo. se o grafo subjacente Q Sejam Q = (Q0 , Q1 , c, f ) e a, b ∈ Q0 . Um caminho de comprimento ` ≥ 1 com come¸co em a e final em b (ou simplesmente de a para b) é uma seq¨ uência (a|α1 , α2 , . . . , α` |b) onde αk ∈ Q1 , para 1 ≤ k ≤ `, c(α1 ) = a, f (αk ) = c(αk+1 ), para cada 1 ≤ k ≤ ` − 1, e f (α` ) = b. Denotamos tal caminho por α1 α2 . . . α` . Além disso, a cada vértice a ∈ Q0 associamos um caminho de comprimento ` = 0 que chamamos caminho trivial e que denotamos por a ou por (a||a). Dados um carcás Q e um corpo K a ´ algebra de caminhos KQ é uma K-álgebra cujo K-espa¸co vetorial subjacente tem como base o conjunto de todos os caminhos de comprimento ` ≥ 0 em Q. A seguir definimos o produto em KQ nos elementos de sua base. Se γ1 = (a|α1 , α2 , . . . , α` |b) e γ2 = (c|β1 , β2 , . . . , βk |d), então 4.

(15) Carcases e a´lgebras de caminho. γ1 γ2 =. (a|α1 , α2 , . . . , α` , β1 , β2 , . . . , βk |d), se b = c 0, caso contrário.. Tal produto é estendido a qualquer elemento de KQ por linearidade. Uma rela¸c˜ ao em Q é uma combina¸caõ K-linear de caminhos de comprimento maior do que um que tem o mesmo in´ıcio e o mesmo final. Isto é, uma rela¸caõ ρ é um elemento de KQ da forma ρ=. m X. λi ωi ,. i=1. onde λi ∈ K (não todos nulos), `(ωi ) > 1, c(ωi ) = c(ωj ) e f (ωi ) = f (ωj ). Sejam Q um carcás finito e R o ideal de KQ gerado pelas flechas de Q. Dizemos que um ideal bilateral I de KQ é admiss´ıvel se existe um inteiro m ≥ 2, tal que Rm ⊆ I ⊆ R2 . Notemos que, se Q é finito e I é um ideal admiss´ıvel de KQ, então existe um conjunto finito de rela¸co˜es {ρ1 , ρ2 , . . . , ρs } tais que I = hρ1 , ρ2 , . . . , ρs i. O par (Q, I) é chamado carc´ as com rela¸co ˜es e a a´lgebra quociente KQ/I associada ao par (Q, I) é chamada de a´lgebra de caminhos com rela¸co˜es (Q, I). Até aqui dado um carcás Q definimos a a´lgebra KQ a partir de Q. Agora, assumindo que A é uma K-álgebra de dimensão finita, básica e K um corpo algebricamente fechado vamos construir o carcás QA a partir de A e veremos de que forma A e KQA estão relacionadas. Seja A uma a´lgebra básica com dimK A < ∞, K algebricamente fechado e {e1 , e2 , . . . , en } um conjunto completo de idempotentes ortogonais primitivos.. 5.

(16) Representa¸cões e módulos. O carc´ as ordin´ ario de A, que denotamos por QA , é definido da seguinte forma: 1. Os vértices de QA são v1 , v2 , . . . , vn que estão em correspondência bijetora com os idempotentes e1 , e2 , . . . , en . 2. Dados dois vértices vi e vj em (QA )0 , fixamos uma base para o Kespa¸co vetorial ei (rad A/rad2 A)ej . As flechas α : vi → vj estão em correspondência bijetora com os vetores de tal base. A seguir enunciamos o Teorema de Gabriel que estabelece uma rela¸caõ entre a´lgebras e seus carcases. Teorema 1.2.1. (Gabriel) Seja A uma K-álgebra básica e conexa de dimensão finita, onde K é um corpo algebricamente fechado. Então existe um ideal admiss´ıvel I de KQA tal que A ∼ = KQA /I. Além disso, se ψ : KQ → A é um epimorfismo com ker ψ admiss´ıvel, então Q = QA . Um epimorfismo como no teorema acima se chama uma apresenta¸c˜ ao de A.. 1.3. Representa¸co ˜es e m´ odulos. Na se¸cão anterior, vimos como algumas a´lgebras podem ser descritas em termos de carcases com rela¸co˜es. Agora vamos visualizar as representa¸co˜es de uma a´lgebra, isto é, os seus módulos, através do correspondente carcás com rela¸co˜es. Todos os conceitos aqui apresentados podem ser encontrados no Cap´ıtulo III de [4].. 6.

(17) Representa¸cões e módulos. Ao longo desta se¸caõ assumimos que A é uma K-álgebra de dimensão finita, básica e K um corpo algebricamente fechado e consideraremos em todos os casos carcases finitos.. Definimos uma representa¸c˜ ao K-linear ou, simplesmente, uma representa¸c˜ ao M do carcás Q da seguinte forma: 1. Para cada ponto a ∈ Q0 associamos um K-espa¸co vetorial Ma . 2. Para cada flecha α : a → b em Q1 associamos uma aplica¸caõ K-linear ϕα : Ma → Mb . Denotamos tal representa¸caõ como M = (Ma , ϕα )a∈Q0 ,α∈Q1 , ou simplesmente como M = (Ma , ϕα ); e diremos que é de dimensão finita se cada espa¸co vetorial Ma é de dimensão finita. Sejam M = (Ma , ϕα ) e M 0 = (Ma0 , ϕ0α ) duas representa¸co˜es de Q. Um morfismo (de representa¸co˜es) f : M → M 0 é uma fam´ılia f = (fa )a∈Q0 de Kaplica¸co˜es lineares fa : Ma → Ma0 , as quais são compat´ıveis com as aplica¸cões ϕα . Isto é, para cada flecha α : a → b, vale que ϕ0α fa = fb ϕα ou, equivalentemente, cada um dos seguintes quadrados comutam:. Ma fa. . Ma0. ϕα. ϕ0α. 7. /. /. Mb . fb. Mb0 ..

(18) Representa¸cões e módulos. Sejam f : M → M 0 e g : M 0 → M 00 dois morfismos de representa¸co˜es de Q, onde f = (fa )a∈Q0 e g = (ga )a∈Q0 . Definimos a composi¸caõ gf : M −→ M 00 como sendo a fam´ılia gf = (ga fa )a∈Q0 . Desse modo, temos definido a categoria Rep(Q) de representa¸co˜es Klineares de Q. Denotamos por rep(Q) a subcategoria plena de Rep(Q) que consiste das representa¸co˜es de dimensão finita. Seja M = (Ma , ϕα ) uma representa¸cão de Q. Para um caminho não trivial ω = (a|α1 , α2 , . . . , α` |b) em Q, a avalia¸c˜ ao de M em ω é a fun¸cão K-linear ϕω : Ma → Mb definida por ϕω = ϕα1 ϕα2 . . . ϕα` . Estendemos esta P e defini¸caõ para combina¸cões lineares de caminhos. Isto é, se ρ = m i=1 λi ωi ´ Pm uma rela¸caõ, então a avalia¸caõ de M em ρ é ϕρ = i=1 λi ϕωi . Seja I um ideal admiss´ıvel de KQ. Dizemos que a representa¸caõ M = (Ma , ϕα ) de Q satisfaz as rela¸c˜ oes em I quando ϕρ = 0, para todo elemento ρ ∈ I. Notemos que se I é gerado pelo conjunto de rela¸cões {ρ1 , ρ2 , . . . , ρs }, a representa¸caõ M satisfaz as rela¸co˜es de I se, e somente se, ϕρi = 0, para todo 1 ≤ i ≤ s. Uma representa¸cão de (Q, I) é uma representa¸caõ de Q que satisfaz as rela¸co˜es de I. Denotamos por RepK (Q, I) a subcategoria de RepK (Q) cujos objetos são as representa¸co˜es de (Q, I) e por repK (Q, I) a subcategoria de repK (Q) cujos objetos são as representa¸co˜es de dimensão finita de (Q, I). Com as hipóteses sobre A sabemos, pelo Teorema de Gabriel, que A é isomorfa a uma álgebra de caminhos dada por um carcás com rela¸cões (Q, I), isto é, A ∼ = KQ/I. A seguinte proposi¸cão diz que o estudo da categoria M od A é equivalente ao da categoria Rep(Q, I). Teorema 1.3.1. Seja A = KQ/I, onde Q é um carcás finito e conexo e I é 8.

(19) Seq¨ uências de Auslander-Reiten. um ideal admiss´ıvel de KQ. Então existe uma equivalência F de categorias '. F : M od A → RepK (Q, I) cuja restri¸cão é uma equivalência entre as categorias '. F : modA → repK (Q, I). Demonstra¸c˜ ao.. Descreveremos o funtor F : M od A → RepK (Q, I). Para. isto diremos como age nos objetos e nos morfismos de M od A. Sejam a ∈ Q0 e α ∈ Q1 . Denotaremos por ea e por α as classes de a e de α em KQ/I, respectivamente. Se M é um A-módulo, definimos F (M ) = (Ma , ϕα ), onde Ma = M ea e para α : a → b, seja ϕα : Ma −→ Mb dada por ϕα (x) = xα, para todo x ∈ Ma . Se f : M → M 0 é um homomorfismo de A-módulos, então definimos ´ fácil verifiF (f ) = (fa )a∈Q0 , onde fa é a restri¸cão de f a Ma = M ea . E car que F é uma equivalência de categorias. A equivalência do teorema anterior permite a identifica¸cão dos A-módulos com as representa¸co˜es K-lineares de (Q, I) e vice versa. Em vista deste fato abusaremos da linguagem não distinguindo, muitas vezes, os KQ/I- módulos das representa¸co˜es de (Q, I). O u ´ltimo teorema tem muitas conseq¨ uências interessantes, em particular permite conhecer de forma expl´ıcita os módulos simples, os projetivos indecompon´ıveis e os injetivos indecompon´ıveis.. 9.

(20) Seq¨ uências de Auslander-Reiten. 1.4. Seq¨ uˆ encias de Auslander-Reiten. Neste se¸caõ vamos enunciar um resultado que surgiu na década dos 70 e que influenciou definitivamente o desenvolvimento da Teoria de Representa¸cões de álgebras. Trabalhando basicamente com a´lgebras de Artin (uma generaliza¸caõ das a´lgebras de dimensão finita) M. Auslander e I. Reiten introduziram a no¸cão de seq¨ uências quase-cindidas (também chamadas seq¨ uências de Auslander-Reiten). A importância destas seq¨ uências reside nos morfismos que as compõem. Posteriormente os morfismos que aparecem nas mencionadas seq¨ uências foram usados por C. M. Ringel para definir um carcás, conhecido como o carcás de Auslander-Reiten, que proporciona muita informa¸cão sobre a categoria mod A. Detalhes dos conceitos aqui mencionados podem ser achados no Cap´ıtulo IV de [4].. Come¸caremos definindo os conceitos relacionados. Sejam M, N, L A-módulos em mod A. Então: 1. Seja h : M → N um homomorfismo de A-módulos. Dizemos que h é uma se¸c˜ ao (ou um monomorfismo que cinde) se existe um homomorfismo de A-módulos s : N −→ M tal que sh = 1M . De outro lado, dizemos que h é uma retra¸c˜ ao (ou um epimorfismo que cinde) se existe um homomorfismo de A-módulos r : N −→ M tal que hr = 1N . 2. Um homomorfismo de A-módulos f : L → M é chamado minimal ` a esquerda se cada h ∈ EndA (M ) tal que hf = f é um automorfismo. 10.

(21) Seq¨ uências de Auslander-Reiten. 3. Um homomorfismo de A-módulos g : M → N é chamado minimal ` a direita se cada k ∈ EndA (M ) tal que gk = g é um automorfismo. 4. Um homomorfismo de A-módulos f : L → M é dito quase-cindido ` a esquerda se: (a) f não é se¸cão. (b) Para cada A-homomorfismo u : L → U , que não é se¸caõ, existe u0 : M → U tal que u0 f = u. 5. Um homomorfismo de A-módulos g : M → N é dito quase-cindido ` a direita se: (a) g não é retra¸cão. (b) Para cada A-homomorfismo v : V → N , que não é retra¸cão, existe v 0 : V → M tal que gv 0 = v. 6. Um homomorfismo de A-módulos f : L → M é denominado minimal quase-cindido ` a esquerda se é minimal a` esquerda e quase-cindido a` esquerda. 7. Um homomorfismo de A-módulos g : M → N é denominado minimal quase-cindido ` a direita se é minimal à direita e quase-cindido à direita. 8. Um homomorfismo h : M −→N de A-módulos é irredut´ıvel se h não é se¸caõ, nem retra¸caõ e se h = h1 h2 implica que h1 é retra¸caõ ou que h2 é se¸caõ.. 11.

(22) Seq¨ uências de Auslander-Reiten. Dizemos que uma seq¨ uência exata curta f. g. 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0, em mod A é uma seq¨ uˆ encia quase-cindida ou uma seq¨ uˆ encia de Auslander-Reiten se L e N são A-módulos indecompon´ıveis e f e g são morfismos irredut´ıveis (ou equivalentemente, se f é minimal quase cindido à esquerda e g é minimal quase cindido a` direita). Teorema 1.4.1. (Auslander-Reiten) 1. Seja M um A-módulo indecompon´ıvel não projetivo. Então existe uma seq¨ uência quase-cindida, u ńica a menos de equivalências de seq¨ uências exatas, da forma 0 −→ M 0 −→ E −→ M −→ 0,. em mod A.. 2. Seja L um A-módulo indecompon´ıvel não injetivo. Então existe uma seq¨ uência quase-cindida, u ńica a menos de equivalências de seq¨ uências exatas, da forma 0 −→ L −→ F −→ L0 −→ 0,. em mod A.. Sejam X e Y A-módulos indecompon´ıveis. O K-espa¸co vetorial Irr(X, Y ) = radA (X, Y )/rad2A (X, Y ) onde radA (X, Y ) é o K-espa¸co vetorial dos homomorfismos não invert´ıveis de X em Y e rad2A (X, Y ) é o K-espa¸co vetorial dos homomorfismos da forma. 12.

(23) Seq¨ uências de Auslander-Reiten. gf com f ∈ radA (X, Z) e g ∈ radA (Z, Y ), para algum A-módulo Z, é denominado espa¸co dos morfismos irredut´ıveis de X em Y . Como X e Y são A-módulos indecompon´ıveis, então é poss´ıvel provar que a dimensão de Irr(X, Y ) é igual ao n´ umero máximo de homomorfismos irredut´ıveis de X em Y , que são linearmente independentes. O carc´ as de Auslander-Reiten da categoria mod A, denotado por Γ(mod A), é definido da seguinte forma: 1. Os vértices de Γ(mod A) são as classes de isomorfismos [M ] de Amódulos indecompon´ıveis M . 2. Se [M ] e [N ] são dois vértices de Γ(mod A), correspondentes aos Amódulos indecompon´ıveis M e N , o n´ umero de flechas de [M ] para [N ] é igual à dimensão do espa¸co vetorial Irr(M, N ).. 13.

(24) Cap´ıtulo 2 Seq¨ uˆ encias de Auslander-Reiten relativas M. Auslander e S. Smalø demonstraram em [7] que uma categoria funtorialmente finita, fechada por somandos diretos e por extensões tem seq¨ uências quase-cindidas relativas. Neste cap´ıtulo definiremos as categorias F(θ), X (θ), Y(θ) e W(θ), onde θ = {θ(1), . . . , θ(n)} é um conjunto fixado de A-módulos tais que Ext1A (θ(j), θ(i)) = 0, para todo j ≥ i. Demonstraremos que F(θ) é uma subcategoria funtorialmente finita de mod A e, como conseq¨ uência, que X (θ) admite seq¨ uências quase-cindidas relativas. Todos os resultados aqui contidos foram apresentados por Ringel em [25].. Seja A uma K-álgebra de dimensão finita. Fixamos o conjunto de Amódulos θ = {θ(1), . . . , θ(n)} com a propriedade de que Ext1A (θ(j), θ(i)) = 0, para todo j ≥ i. Denotamos por F(θ) a subcategoria plena de mod A cujos objetos são os A-módulos a` direita M que admitem uma θ-filtra¸c˜ ao , isto é, os A-módulos M tais que existe uma cadeia de submódulos 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ . . . ⊆ Mt = M 14.

(25) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. tais que Mi /Mi−1 ∼ = θ(k), para algum k ∈ {1, 2, . . . , n}, para todo i = 1, 2, . . . , t. Denotamos por X (θ) a subcategoria plena de mod A cujos objetos são os A-módulos que são somandos diretos de módulos em F(θ). Defini¸c˜ ao 2.1.1. Seja X uma subcategoria plena de mod A. Dizemos que X é fechada por somandos diretos se para cada módulo X ∈ X todos os somandos diretos de X estão em X . De outro lado, dizemos que X é fechada por extens˜ oes se para qualquer seq¨ uência exata 0 −→ X1 −→ M −→ X2 −→ 0, com X1 ∈ X e X2 ∈ X , vale que M ∈ X . Observa¸c˜ ao 2.1.2. Fixado o conjunto θ nas condi¸cões acima, temos que a categoria F(θ) é fechada por extensões e que a categoria X (θ) é fechada por somandos diretos e por extensões. µ. ρ. De fato, seja 0 −→ M −→ N −→ L −→ 0 uma seq¨ uência exata em mod A tal que M, L ∈ F(4). Se 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆ Mt = M e 0 = L0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ · · · ⊆ Lk = L são θ-filtra¸co˜es de M e L, respectivamente, então 0 ⊆ µ(M1 ) ⊆ · · · ⊆ µ(Mt ) ⊆ ρ−1 (L1 ) ⊆ · · · ⊆ ρ−1 (Lk−1 ) ⊆ ρ−1 (Lk ) = N é uma θ-filtra¸caõ para N . A categoria X (θ) é fechada por somandos diretos e por extensões diretamente da sua defini¸cão. Por outro lado F(θ) ⊆ X (θ), mas em geral não coincidem como mostramos no seguinte exemplo.. 15.

(26) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. Exemplo 2.1.3. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A = KQ, onde Q é o carcás ·3. 1· sk. ·2 Os A-módulos projetivos indecompon´ıveis são os módulos associados às representa¸cões: P1 :. P2 : 0. K sk. 0. K sk. 0. P3 :. IdK. K sk. IdK. K. K 0. e os A-módulos injetivos indecompon´ıveis são os módulos associados a`s representa¸cões: I1 : K sk. I2 :. IdK. K. IdK. K. I3 : 0. 0 sk. K. 0 sk. K. 0. Mais ainda, rad P2 = rad P3 = P1 = S1 . Seja θ = {θ1 , θ2 }, onde θ1 = I1 e θ2 = P1 . Como θ2 é projetivo, então Ext1A (θ2 , θ1 ) = 0. As cadeias 0 ⊂ S1 ⊂ P2 e 0 ⊂ S1 ⊂ P3 são séries de composi¸caõ para P2 e P3 , respectivamente. Portanto P2 ∈ / F(θ) e P3 ∈ / F(θ). Mas 0 ⊂ S1 ⊂ P2 ⊕ P3 é uma θ-filtra¸caõ de P2 ⊕ P3 , pois (P2 ⊕ P3 )/S1 ∼ = I1 . Logo P2 ⊕ P3 ∈ F(θ) e, em conseq¨ uência, P2 ∈ X (θ) e P3 ∈ X (θ). Defini¸c˜ ao 2.1.4. Sejam X uma subcategoria plena de mod A e M ∈ mod A. 1. Uma X -aproxima¸c˜ ao ` a direita de M é um homomorfismo γ : X → M , com X ∈ X , tal que para todo homomorfismo γ 0 : X 0 → M , com X 0 ∈ X , existe um homomorfismo ε : X 0 → X que torna comutativo 16.

(27) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. o seguinte diagrama γ. X`. /. MO γ0. ε. X 0, isto é, existe um ε tal que γ 0 = γε. Dualmente, definimos uma X aproxima¸c˜ ao ` a esquerda de M como um homomorfismo γ : M → X, com X ∈ X , tal que para todo homomorfismo γ 0 : M → X 0 , com X 0 ∈ X , existe um homomorfismo ε : X → X 0 que torna comutativo o seguinte diagrama γ. M γ0. /. X. ε. ~ 0. X,. isto é, existe um ε tal que γ 0 = εγ. 2. Dizemos que a categoria X é contravariantemente finita em mod A se todo M em mod A admite uma X -aproxima¸cão à direita. Dualmente, dizemos que X é covariantemente finita em mod A se todo M em mod A admite uma X -aproxima¸cão à esquerda. Finalmente, dizemos que X é uma categoria funtorialmente finita em mod A quando é covariantemente finita e contravariantemente finita em mod A. Defini¸c˜ ao 2.1.5. Seja X uma subcategoria plena de mod A. Denotamos por YX a subcategoria dos módulos Y ∈ mod A tais que Ext1A (X, Y ) = 0, para todo X ∈ X . Lema 2.1.6. Seja M ∈ mod A e suponhamos que existe uma seq¨ uência exata γ. 0 −→ Y −→ X −→ M −→ 0, 17.

(28) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. com X ∈ X e Y ∈ YX . Então γ é uma X -aproxima¸cão à direita de M . Demonstra¸c˜ ao.. Seja γ 0 : X 0 −→ M um homomorfismo com X 0 ∈ X .. Constru´ımos o diagrama de pull-back r. 0 −−−→ Y −−−→ E −−−→. .  0 ry. X 0 −−−→ 0  γ 0 y. γ. 0 −−−→ Y −−−→ X −−−→ M −−−→ 0. Como Ext1A (X 0 , Y ) = 0, pois X 0 ∈ X e Y ∈ YX , então r é um epimorfismo que cinde e, portanto, existe t : X 0 → E tal que o seguinte diagrama comuta X0 t. E. ~. r. . idX 0. / X0. /. 0.. Seja = r0 t : X 0 −→ X. Pela comutatividade do diagrama acima, temos que, γ = γ 0 . Logo γ é uma X -aproxima¸cão a` direita de M . Lema 2.1.7. Seja X uma subcategoria de mod A fechada por extensões e tal que para todo N ∈ mod A existe uma seq¨ uência exata 0 −→ N −→ Y (N ) −→ X (N ) −→ 0, com X (N ) ∈ X e Y (N ) ∈ YX . Então todo módulo M em mod A admite uma X -aproxima¸cão à direita. Demonstra¸c˜ ao.. Seja M ∈ mod A. Consideramos primeiramente o caso. em existe um epimorfismo π : X −→ M com X ∈ X . Seja P = Ker π. Por. 18.

(29) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. hipótese, existe uma seq¨ uência exata 0 −→ P −→ Y (P ) −→ X (P ) −→ 0, com Y (P ) ∈ YX e X (P ) ∈ X . Se P −−−→ Y (P )     y y X −−−→. Z. é o push-out de X ←− P −→ Y (P ) , então temos o diagrama comutativo 0   y. 0   y. 0 −−−→ P −−−→ Y (P ) −−−→ X (P ) −−−→ 0  .  . y y. 0 −−−→ X −−−→  π y M   y Como X e X. (P ). Z −−−→ X (P ) −−−→ 0  γ y M   y. 0 0. estão em X e X é fechada por extensões, então Z ∈ X .. De outro lado, aplicando o lema anterior a` seq¨ uência da segunda coluna do diagrama, temos que γ : Z −→ M é uma X -aproxima¸cão à direita de M . Para o caso geral consideramos o A-módulo M 0 gerado pelas imagens Im φ, onde φ : W −→ M , para todo W ∈ X . O módulo M 0 é conhecido como o tra¸co de X em M . Sob as nossas hipóteses, existe um n´ umero finito m de morfismos πi : Wi → M , com Wi ∈ X , tais que as imagens de πi geram M 0 . Como X é uma categoria fechada por somas diretas (pois é fechada por extensões), então temos que X = ⊕m i=1 Wi ∈ X e o homomorfismo ψ : X −→ M 0 definido por ψ(x1 + . . . + xn ) = π1 (x1 ) + . . . + πm (xm ) é um 19.

(30) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. epimorfismo. Portanto, pela primeira parte, existe uma X -aproxima¸cão a` direita de M 0 , γ 0 : Z −→ M 0 . Se i : M 0 −→ M é a inclusão, então iγ 0 : Z −→ M é uma X -aproxima¸cão à direita de M . Seja A uma K-álgebra de dimensão finita e fixemos agora um conjunto θ = {θ(1), . . . , θ(n)} de A-módulos à direita, com a propriedade de que Ext1A (θ(j), θ(i)) = 0, para todo j ≥ i. Observemos que se X = F(θ), então podemos caracterizar YX da Defini¸caõ 2.1.5, que denotamos por Y(θ), como a subcategoria plena de mod A formada pelos módulos Y tais que Ext1A (θ(j), Y ) = 0, para todo 1 ≤ j ≤ n. Para o conjunto θ fixado temos o seguintes lemas u ´teis para o objetivo do cap´ıtulo. Lema 2.1.8. Dado um t ∈ {1, 2, . . . , n}, seja N um A-módulo tal que, para todo j > t, Ext1A (θ(j), N ) = 0. Então existe uma seq¨ uência exata 0 −→ N −→ Nt −→ Qt −→ 0, onde Qt é uma soma de cópias de θ(t) e Ext1A (θ(j), Nt ) = 0, para todo j ≥ t. Demonstra¸c˜ ao. Para cada t sejam fs. gs. s = (0 −−−→ N −−−→ Ts −−−→ θ(t) −−−→ 0), para 1 ≤ s ≤ m, as seq¨ uências exatas tais que as correspondentes classes de equivalências [1 ], . . . , [m ] geram o espa¸co Ext1A (θ(t), N ). Consideremos o. 20.

(31) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. seguinte diagrama comutativo: g. f. m −−−→ 0 0 −−−→ N m −−−→ ⊕m s=1 Ts −−−→ θ(t)  .  . uy ky. v. (∗) 0 −−−→ N −−−→. Nt. w. −−−→ θ(t)m −−−→ 0,. onde     f1 0 g1 0     ... ... f = , g =   , k = [1, 1, . . . , 1], 0 fm 0 gm e o quadrado f. N m −−−→ ⊕m s=1 Ts     uy ky v. N −−−→ k. Nt. f. é o push-out de N ← N m → ⊕m s=1 Ts . Vamos mostrar que a seq¨ uência (∗) é a seq¨ uência desejada. Primeiramente, mostraremos que para cada s, 1 ≤ s ≤ m, vale que s = Ext1A (us , A), onde us : θ(t) → θ(t)m é a inclusão natural na s-ésima coordenada e é o elemento de Ext1A (θ(t)m , N ) representado pela seq¨ uência (∗). Para isto, consideramos o diagrama abaixo, que é comutativo fs. 0 −−−→ N −−−→   u00 sy. Ts   u0s y. f. gs. −−−→ θ(t) −−−→ 0   us y g. m 0 −−−→ N m −−−→ ⊕m −−−→ 0 s=1 Ts −−−→ θ(t)  .  . uy ky. v. (∗) 0 −−−→ N −−−→. Nt. w. −−−→ θ(t)m −−−→ 0,. onde u0s e u00s indicam as respectivas inclusões na s-ésima coordenada. Desde 21.

(32) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. que ku00s = 1N , resulta que é comutativo o seguinte diagrama: fs. gs. v. w. 0 −−−→ N −−−→ Ts −−−→ θ(t) −−−→ 0.  .   0 u uus y sy. (∗) 0 −−−→ N −−−→ Nt −−−→ θ(t)m −−−→ 0. E a afirma¸cão sobre cada s está verificada. Vamos mostrar agora que Ext1A (θ(j), Nt ) = 0, para cada j ≥ t. Para tanto, apliquemos o funtor HomA (θ(j),. ) para j ≥ t a` seq¨ uência (∗).. Como Ext1A (θ(j), θ(t)m ) = 0, para cada j ≥ t, obtemos a seq¨ uência exata: (∗∗). δ. t HomA (θ(t), θ(t)m ) −→ Ext1A (θ(t), N ) −→ Ext1A (θ(t), Nt ) −→ 0,. para j ≥ t. Desde que, por hipótese, Ext1A (θ(t), N ) = 0, para cada j > t, segue imediatamente da seq¨ uência (∗∗) que Ext1A (θ(t), Nt ) = 0, para cada j > t. Vejamos então para j = t. Como visto acima s = Ext1A (us , A) = δt (us ), ou seja que os elementos geradores do espa¸co Ext1A (θ(t), N ) estão na imagem do homomorfismo de conexão δt , o que implica que δt é sobrejetor. Logo, pela seq¨ uência (∗∗), temos que Ext1A (θ(t), Nt ) = 0. Portanto, Ext1A (θ(j), Nt ) = 0, para cada j ≥ t. Lema 2.1.9. Dado um t ∈ {1, 2, . . . , n}, seja N um A-módulo tal que, para todo j > t, Ext1A (θ(j), N ) = 0. Então existe uma seq¨ uência 0 −→ N −→ Y −→ X −→ 0, com X ∈ F(θ(1), . . . , θ(t)) e Y ∈ Y(θ). 22.

(33) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. Demonstra¸c˜ ao. Seja N um A-módulo tal que Ext1A (θ(j), N ) = 0, para todo j > t. Então, pelo lema anterior, existem um A-módulo Qt ∼ = θ(t)αt , para algum inteiro αt ≥ 0, e uma seq¨ uência exata µt. 0 −−−→ N = Nt+1 −−−→ Nt −−−→ Qt −−−→ 0, onde Nt é tal que Ext1A (θ(j), Nt ) = 0, para j ≥ t. Da mesma forma existe uma seq¨ uência exata µt−1. 0 −−−→ Nt −−−→ Nt−1 −−−→ Qt−1 −−−→ 0, onde Qt−1 ∼ = θ(t−1)αt−1 e Nt−1 é tal que Ext1A (θ(j), Nt−1 ) = 0, para j ≥ t+1. Dessa forma constru´ımos indutivamente uma fam´ılia de seq¨ uências: µi−1. 0 −−−→ Ni −−−→ Ni−1 −−−→ Qi−1 −−−→ 0, com Ext1A (θ(j), Ni ) = 0, para todo j ≥ i, e Qi−1 ∼ = θ(i − 1)αi−1 . Assim obtemos a cadeia de monomorfismos µt−1. µt. µ1. Nt+1 −−−→ Nt −−−→ · · · −−−→ N1 . Sejam µ = µ1 . . . µt : N → N1 , Y = N1 e X = coker(µ). Então obtemos seq¨ uência exata µ. 0 −−−→ N −−−→ Y −−−→ X −−−→ 0 que satisfaz as propriedades requeridas. De fato, pois Y = N1 ∈ Y(θ) e como na cadeia de inclusões Nt+1 /N ⊆ Nt /N ⊆ . . . N2 /N ⊆ N1 /N = X vale que (Ni /N )/(Ni+1 /N ) ∼ = Ni /Ni+1 ∼ = Qi , para todo 1 ≤ i ≤ t, então X ∈ F(θ(1), . . . , θ(t)).. 23.

(34) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. No lema anterior, o caso t = n é de particular interesse e o formulamos a seguir. Lema 2.1.10. Seja N ∈ mod A. Então existe uma seq¨ uência exata 0 −→ N −→ Y −→ X −→ 0, com X ∈ F(θ) e Y ∈ Y(θ). Com a posse das defini¸co˜es e resultados anteriores, estamos em condi¸co˜es de apresentar o resultado principal deste cap´ıtulo. Teorema 2.1.11. A subcategoria F(θ) é funtorialmente finita em mod A. Demonstra¸c˜ ao. O Lema 2.1.10 garante a existência de seq¨ uências do tipo 0 −→ N −→ Y −→ X −→ 0, com X ∈ F(θ) e Y ∈ Y(θ), para cada A-módulo N em mod A. Por outro lado, podemos concluir pelo Lema 2.1.7 que todo A-módulo em mod A admite uma F(θ)-aproxima¸cão a` direita, isto é, que F(θ) é contravariantemente finita em mod A. De outro lado, como as versões duais dos lemas anteriores são válidas, conclu´ımos que F(θ) é também uma categoria covariantemente finita em mod A. Se X é uma categoria plena de mod A arbitrária denotamos por WX a subcategoria plena de mod A formada pelos módulos W tais que Ext1A (W, X) = 0, para todo X ∈ X . Em particular, se X = F(θ) podemos caracterizar WX ,. 24.

(35) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. que neste caso denotamos por W(θ), como a subcategoria plena de mod A dos módulos W tais que Ext1A (W, θ(j)) = 0, para todo 1 ≤ j ≤ n. Proposi¸c˜ ao 2.1.12. As categorias Y(θ) e W(θ) são contravariantemente finita e covariantemente finita em mod A, respectivamente. Demonstra¸c˜ ao.. Só mostraremos a primeira afirma¸caõ, pois a segunda. tem demonstra¸cão dual. Em virtude do Lema 2.1.10, temos que para cada β. A-módulo N existe uma seq¨ uência exata 0 −→ N −→ Y −→ X −→ 0, com X ∈ F(θ) e Y ∈ Y(θ). De forma dual a como foi feito na demonstra¸cão do Lema 2.1.6 é poss´ıvel mostrar que β é uma Y(θ)-aproxima¸cão de N .. . Como foi comentado antes, uma conseq¨ uência importante deste teorema é que X (θ) tem seq¨ uências quase-cindidas relativas. Descrevemos o que isto significa de forma precisa nas defini¸co˜es que seguem, e que podem ser encontradas em [7]. Defini¸c˜ ao 2.1.13. Sejam C uma subcategoria de mod A e X um A-módulo em C. Dizemos que X é Ext-projetivo ou relativamente projetivo em C se Ext1A (X, Y ) = 0, para todo Y em C. De forma dual, dizemos que X é Ext-injetivo ou relativamente injetivo em C se Ext1A (Y, X) = 0, para todo Y em C. Defini¸c˜ ao 2.1.14. Seja C uma subcategoria de mod A. Dizemos que: 1. Um homomorfismo de A-módulos f : L → M em C é quase-cindido ` a esquerda em C se: (a) f não é um monomorfismo que cinde. 25.

(36) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. (b) Para cada A-homomorfismo u : L → U em C, que não é um monomorfismo que cinde, existe u0 : M → U em C tal que u0 f = u; isto é, existe um u0 que torna comutativo o seguinte diagrama:. f. L u. ~. /M u0. U.. 2. Um homomorfismo de A-módulos g : M → N em C é quase-cindido ` a direita em C se: (a) f não é um epimorfismo que cinde. (b) Para cada A-homomorfismo v : V → N em C, que não é um epimorfismo que cinde, existe v 0 : V → M em C tal que gv 0 = v; isto é, existe um v 0 que torna comutativo o seguinte diagrama:. V v0. M. }. g. . v. / N.. 3. C admite homomorfismos quase-cindidos ` a direita se para cada módulo indecompon´ıveil C em C existe um módulo B em C e um homomorfismo f : B → C que é quase-cindido à direita em C. De forma dual, dizemos que C admite homomorfismos quase-cindidos ` a esquerda quando para todo módulo indecompon´ıvel C em C existe um módulo D em C e um homomorfismo g : C → D que é quasecindido à esquerda. Finalmente dizemos que C admite homomorfismos quase-cindidos se admite tanto homomorfismos quase-cindidos 26.

(37) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. à esquerda quanto homomorfismos quase-cindidos à direita. 4. C admite seq¨ uˆ encias quase-cindidas ou que admite seq¨ uˆ encias de Auslander-Reiten relativas se: (a) C admite homomorfismos quase-cindidos. (b) Para todo módulo indecompon´ıvel C em C, que não é Ext-projetivo, existe uma seq¨ uência exata f. g. 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0, com f quase-cindida à esquerda em C e g quase-cindida à direita em C. (c) Para todo módulo indecompon´ıvel A em C, que não é Ext-injetivo, existe uma seq¨ uência exata f. g. 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0, com f quase-cindida à esquerda em C e g quase-cindida à direita em C. Como conseq¨ uência dos resultados anteriores temos a seguinte proposi¸caõ. Proposi¸c˜ ao 2.1.15. A categoria X (θ) admite seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. Demonstra¸c˜ ao.. Seja M ∈ mod A. Como F(θ) é funtorialmente finita,. pelo Teorema 2.1.11, consideremos γ : X −→ M uma F(θ)-aproxima¸cão a` direita de M . Vamos mostrar que γ é na verdade uma X (θ)-aproxima¸cão à direita de M . Claramente X ∈ X (θ). Seja δ : Y −→ M um homomorfismo 27.

(38) Seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. qualquer em mod A, com Y ∈ X (θ). Da defini¸cão de X (θ), temos que existe um módulo Y 0 tal que Y ⊕ Y 0 ∈ F(θ). Seja o homomorfismo δπ : Y ⊕ Y 0 −→ M , onde π denota a proje¸cão canônica de Y ⊕ Y 0 sobre Y . Como γ é uma F(θ)-aproxima¸cão a` direita de M , existe 1 : Y ⊕ Y 0 −→ X tal que γ1 = δπ. Seja = 1 i, onde i é a inclusão natural de Y em Y ⊕ Y 0 . Temos pois que γ = δ. Logo γ é uma X (θ)-aproxima¸cão a` direita de M . Além disso, como X (θ) é fechada por extensões e por somandos diretos, por [7] (Teorema 2.4), resulta que X (θ) admite seq¨ uências quase-cindidas relativas. . 28.

(39) Cap´ıtulo 3 ´ Algebras estandarmente estratificadas e ´ algebras quase heredit´ arias As a´lgebras quase-hereditárias foram introduzidas por E. Cline, B. Parshall e L. Scott, em [9] e [10], no contexto da teoria algébrica de grupos e da representa¸cão das a´lgebras de Lie complexas, semisimples de dimensão finita, mais precisamente no estudo da categoria dos pesos máximos. Mais tarde em [11] os mesmos autores introduziram um conceito mais geral: as álgebras estandarmente estratificadas. As a´lgebras quase-hereditárias não são nada mais do que as a´lgebras estandarmente estratificadas de dimensão global finita. O principal exemplo, onde elas aparecem, é a categoria O de Berstein, Gelfand e Gelfand associada com a decomposi¸cão triangular de uma a´lgebra de Lie complexa, semisimples de dimensão finita. Um outro exemplo são as chamadas álgebras de Auslander. O conceito central nesta teoria são os módulos estandares e coestandares.. 29.

(40) Sobre o grupo de Grothendieck. Tais módulos dependem de forma essencial da ordem fixada para o conjunto de módulos simples. Os resultados aqui apresentados estão contidos em [13], [15], [26] e [24]. Ao longo deste cap´ıtulo K denotará um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra básica, conexa e com dimensão finita sobre K. Além disso, mod A denotará a categoria dos A-módulos a` direita finitamente gerados.. 3.1. Sobre o grupo de Grothendieck. ´ de nosso interesse o estudo dos fatores de composi¸caõ de módulos de comE primento finito. Para isto estudaremos o grupo de Grothendieck, que é um grupo bastante especial sob este ponto de vista, pois ele contém toda informa¸caõ a respeito dos fatores de composi¸cão da categoria de módulos finitamente gerados. Os resultados apresentados nesta se¸caõ poderam ser encontrados em [4].. Seja A uma K-álgebra e {e1 , e2 , ..., en } um conjunto completo de idempotentes primitivos ortogonais de A. Se A = ⊕ni=1 ei A, então os A-módulos Pi = ei A e Ii = D(Aei ), i = 1, . . . , n, denotam, respectivamente, a cobertura projetiva e a envolvente injetiva do simples Si ∼ = top Pi ∼ = Soc Ii . Lembramos que, dado M ∈ mod A e um elemento idempotente e ∈ A, vale que HomA (eA, M ) ∼ = M e. Em particular EndA (Si ) ∼ = ei (top A)ei . Seja e = (e1 , e2 , ..., en ) um conjunto completo e ordenado de idempotentes primitivos ortogonais de A. A ordem fixada e determina uma ordena¸cão no conjunto dos A-módulos simples Si , bem como no de suas coberturas projetivas e envolventes injetivas. 30.

(41) Sobre o grupo de Grothendieck. Defini¸c˜ ao 3.1.1. Seja M ∈ mod A. Definimos o vetor dimens˜ ao de M como vetor de Zn , denotado por dim M , dado por   dimK M e1   .. dim M =  , . dimK M en onde {e1 , . . . , en } é um conjunto completo de idempotentes primitivos ortogonais de A. Assim o vetor dim Si , de cada simples Si , é o i-ésimo vetor da base canônica de Zn . De outro lado, como temos que HomA (Pi , M ) ∼ = M ei e que D HomA (M, Ii ) ∼ = D HomAop (Aei , M ) ∼ = D(ei DM ) ∼ = D(DM )ei ∼ = M ei , podemos reescrever o vetor dim M das  dimK HomA (P1 , M )  .. dim M =  . dimK. seguintes formas:    dimK HomA (M, I1 )    .. = . . HomA (Pn , M ) dimK HomA (M, In ). Observa¸c˜ ao 3.1.2. Se 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 é uma seq¨ uência exata em modA, então dim M = dim L + dim N . Defini¸c˜ ao 3.1.3. Seja A uma K-álgebra, básica e de dimensão finita sobre K. Chama-se grupo de Grothendieck de mod A o grupo abeliano K0 (A) = F/F 0 , onde F é o grupo abeliano livre cuja base é o conjunto de ˜ dos módulos M em modA e F 0 é o subgrupo de classes de isomorfismos M ˜ −L ˜−N ˜ correspondentes às seq¨ F gerado pelos elementos M uências exatas 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 em modA. ˜ do módulo Denotaremos por [M ] a imagem da classe de isomorfismo M M pelo epimorfismo canônico de grupos F −→ F/F 0 e por [M : Si ] ao n´ umero de fatores de composi¸cão de M isomorfos a Si . 31.

(42) Sobre o grupo de Grothendieck. A proposi¸caõ abaixo fornece uma caracteriza¸caõ do grupo K0 (A), cuja demonstra¸caõ pode ser encontrada em [4]. Proposi¸c˜ ao 3.1.4. Sejam A uma K-álgebra, básica, de dimensão finita sobre K e {S1 , . . . , Sn } um conjunto completo de classes de isomorfismo de Amódulos simples à direita. Então, o grupo de Grothendieck K0 (A) de modA é um grupo abeliano livre com uma base dada por {[S1 ], . . . , [Sn ]} e existe um u ńico isomorfismo de grupos dado por dim : K0 (A) −→ Zn tal que, dim([M ]) = dim M para todo A-módulo M . Corol´ ario 3.1.5. Seja M um A-módulo. Então, para cada j = 1, . . . , n, vale que [M : Sj ] = dimK HomA (Pj , M ) = dimK HomA (M, Ij ). Em particular, usando os vetores dimensão dos A-módulos projetivos (ou injetivos) indecompon´ıveis obtemos uma matriz de coeficientes inteiros, que é conhecida como matriz de Cartan de A. Defini¸c˜ ao 3.1.6. Sejam A uma K-álgebra, básica de dimensão finita sobre K e {e1 , . . . , en } um conjunto completo de idempotentes primitivos e ortogonais de A. A matriz de Cartan de A é a matriz n × n .  c11 · · · c1n   CA =  ... . . . ...  , c1n · · · cnn 32.

(43) Módulos estandares e coestandares. onde cji = dimK ej Aei para i, j = 1, . . . , n. Observemos que, como ej Aei ∼ = HomA (Pi , Pj ) ∼ = HomA (Ii , Ij ), cada entrada cji de CA corresponde ao n´ umero de homomorfismos linearmente independentes de Pi a Pj e ao n´ umero de homomorfismos linearmente independentes de Ii a Ij .. 3.2. M´ odulos estandares e coestandares. Introduziremos aqui os conceitos fundamentais de módulos estandares e módulos coestandares. Caracterizaremos estes módulos através dos seus fatores de composi¸caõ e apresentaremos algumas de suas propriedades básicas, que podem ser consultadas em [15].. Sejam A uma K-álgebra e e = (e1 , e2 , ..., en ) um conjunto ordenado e completo de idempotentes ortogonais e primitivos de A. Para cada i, 1 ≤ i ≤ n, denotamos por εi o idempotente εi = ei + ei+1 + . . . + en e definimos εn+1 = 0. Das observa¸cões da se¸caõ anterior, temos que são válidos os isomorfismos ⊕nj=i Pj ∼ = εi A e EndA (εi A) ∼ = εi Aεi ∼ = EndA (Aεi ). Defini¸c˜ ao 3.2.1. Dados os A-módulos X e Y , definimos o tra¸co de Y em X , que denotamos por τY (X), como o submódulo de X gerado pelas imagens dos homomorfismos de Y em X, isto é, τY (X) = hImϕ : ϕ ∈ HomA (Y, X)i. Observa¸c˜ ao 3.2.2. Sejam f ∈ A um idempotente e X ∈ mod A. Então τf A (X) = Xf A. 33.

(44) Módulos estandares e coestandares. De fato, sejam f ∈ A um idempotente e ϕ ∈ HomA (f A, X). Então ϕ(f a) = ϕ(f 2 a) = ϕ(f )f a ∈ Xf A, para todo a ∈ A. Além disso, se x ∈ X e ϕx ∈ HomA (f A, X) é tal que ϕx (f a) = xf a, então Im ϕx = xf A e portanto < Imϕx : x ∈ X >= Xf A. Em particular τPi (X) = Xei A e τεi A (X), = Xεi A, para cada i = 1, 2, . . . , n. Daqui em diante, para facilitar a escrita, denotaremos por Ui o módulo τεi+1 A (Pi ) e para um módulo X ∈ mod A qualquer denotamos por X (i) o módulo τεi A (X). Enunciaremos o seguinte Lema que é bem u ´til. Lema 3.2.3. Sejam Y, Z em mod A. Então 1. τY (Z) é o submódulo maximal de Z tal que existe um epimorfismo ξ : Y m −→ τY (Z), com m ≥ 1. 2. Se HomA (Pj , Z/Z (k) ) 6= 0, então j < k. Demonstra¸c˜ ao. 1. Seja {f1 , f2 , . . . , fm } uma base de HomA (Y, Z) = HomA (Y, τY (Z)) como K-espa¸co vetorial. Afirmamos que o homomorfismo ξ : Y m −→ τY (Z) definido por ξ(y1 , · · · , ym ) = f1 (y1 ) + . . . + fm (ym ) é um epimorfismo. De fato, se x ∈ τY (Z), então existem f ∈ HomA (Y, Z) e y ∈ Y tais P Pm que f (y) = x. Mas f = m i=1 λi fi , logo x = f (y) = i=1 λi fi (y) = Pm e maximal com i=1 fi (λi y) = ξ(λ1 y1 , . . . , λm ym ). Claramente τY (Z) ´ rela¸caõ à mencionada propriedade.. 34.

(45) Módulos estandares e coestandares. 2. Seja j ≥ k. Consideremos a seq¨ uência exata i. π. 0 −→ Z (k) −→ Z −→ Z/Z (k) −→ 0, onde i e π são a inclusão e a proje¸cão canônica, respectivamente, e ). Como Ext1A (Pj , M ) = 0, obtemos. apliquemos o funtor HomA (Pj , a seguinte seq¨ uência exata. 0 −→ HomA (Pj , Z (k) ) −→ HomA (Pj , Z) −→ HomA (Pj , Z/Z (k) ) −→ 0. Portanto, se f ∈ HomA (Pj , Z/Z (k) ), então existe g ∈ HomA (Pj , Z) tal que πg = f . Mas Im g ⊆ ker π = Z (k) , logo πg = f = 0. Defini¸c˜ ao 3.2.4. Seja e = (e1 , e2 , ..., en ) uma ordem fixada de um conjunto ordenado e completo de idempotentes ortogonais e primitivos {e1 , e2 , ..., en } de A. A seq¨ uência 4 = (41 , 42 , . . . , 4n ) de m´ odulos estandares ` a direita , com respeito à ordem e, é dada por 4i = Pi /τεi+1 A (Pi ) = Pi /ei Aεi+1 A ∼ = ei A/ei Aεi+1 A, (Observa¸cão 3.2.2) . A seq¨ uência 4o = (4o1 , 4o2 , . . . , 4on ) de A-módulos estandares à esquerda está dada por 4oi ∼ uência 5 = (51 , 52 , . . . , 5n ) dos = Aei /Aεi+1 Aei e a seq¨ A-m´ odulos coestandares ` a direita por 5i = HomK (4oi , K) = D(4oi ). Da defini¸caõ acima conclu´ımos que, independentemente da ordem fixada, 4n é um A-módulo projetivo e 5n é um A-módulo injetivo. O seguinte lema caracteriza os módulos estandares e coestandares em termos de seus fatores de composi¸caõ. 35.

(46) Módulos estandares e coestandares. Lema 3.2.5. Para cada i = 1, 2, . . . , n, 4i é o módulo quociente maximal de Pi tal que se [4i : Sj ] 6= 0 então j ≤ i. Dualmente, 5i é o submódulo maximal de Ii tal que se [5i : Sj ] 6= 0 então j ≤ i. Demonstra¸c˜ ao. Provaremos a primeira afirma¸caõ, pois a segunda é a sua dual. O fato de que os fatores de composi¸caõ de 4i são Sj com j ≤ i decorre do Corolário 3.1.5 e do Lema 3.2.3. Suponhamos que N ⊆ Pi é um A-módulo tal que [Pi /N : Sk ] 6= 0 implica que k ≤ i e que j > i. Desde que a sequência 0 −→ HomA (Pj , N ) −→ HomA (Pj , Pi ) −→ HomA (Pj , P i/N ) −→ 0 é exata e, pelo Corolário 3.1.5, temos que HomA (Pj , Pi /N ) = 0, então HomA (Pj , N ) ∼ = HomA (Pj , Pi ). Isto ultimo significa que se φ ∈ HomA (Pj , Pi ), então existe h ∈ HomA (Pj , N ) tal que φ = ih. Portanto Imφ = Im ih ⊆ N , o que nos permite concluir que Ui ⊆ N . Observa¸c˜ ao 3.2.6. O Corolário 3.1.5 e o Lema 3.2.5 garantem que, para i = 1, 2, . . . , n, HomA (Pi , 5j ) = 0 se j < i e que HomA (4j , Ii ) = 0 se j < i. Vejamos o lema abaixo que será u ´til para estabelecer algumas rela¸cões entre a seq¨ uência dos módulos estandares e a seq¨ uência dos módulos coestandares. Lema 3.2.7. Seja X em mod A. Então: 1. Se HomA (4i , X) 6= 0, então [X : Si ] 6= 0. 2. Se Ext1A (4i , X) 6= 0, então [X : Sk ] 6= 0 para algum k > i. 36.

(47) Módulos estandares e coestandares. Demonstra¸c˜ ao. 1. Seja ψ ∈ HomA (4i , X), ψ 6= 0. Se π : Pi → 4i é a proje¸caõ canônica, então ψπ ∈ HomA (Pi , X) e ψπ 6= 0, pois π é um epimorfismo. Então, de acordo com o Corolário 3.1.5, Si é um fator de composi¸caõ de X. 2. Se aplicamos o funtor HomA (. , X) à seq¨ uência exata. 0 −→ Ui −→ Pi −→ 4i −→ 0,. (3.1). obtemos a seq¨ uência exata longa · · · −→ HomA (Ui , X) −→ Ext1A (4i , X) −→ Ext1A (Pi , X) −→ · · · . Como Ext1A (Pi , X) = 0 e Ext1A (4i , X) 6= 0, então HomA (Ui , X) 6= 0. Seja φ ∈ HomA (Ui , X), com φ 6= 0. Pelo Lema 3.2.3 existe um L epimorfismo ξ : ( nl=i+1 Pl )m → Ui e portanto φξ 6= 0. Logo existe um homomorfismo ξk : Pk → X, com ξk 6= 0, para algum i + 1 ≤ k ≤ n. Portanto Sk é fator de composi¸cão de X para algum k > i. Como conseq¨ uência obtemos as seguintes propriedades. Proposi¸c˜ ao 3.2.8. (Propriedades dos m´ odulos estandares e coestandares) 1. HomA (4i , 4j ) = 0 se j < i . 2. Ext1A (4i , 4j ) = 0 se j ≤ i. 3. HomA (4i , 5j ) 6= 0 se, e somente se, j = i . 37.

(48) Módulos estandares e coestandares. 4. Ext1A (4i , 5j ) = 0, para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Demonstra¸c˜ ao. 1. Decorre do Lema 3.2.7 (1) com X = 4j . 2. Suponhamos que Ext1A (4i , 4j ) 6= 0. Pelo Lema 3.2.7 (2) o módulo Sk é fator de composi¸cão de 4j , para algum k > i. Logo, pelo Lema 3.2.5, resulta que k ≤ j e portanto i < j. 3. Suponhamos que HomA (4i , 5j ) 6= 0. Seja ∈ HomA (4i , 5j ), com 6= 0. Como Soc Im() ⊆ Soc 5j = Sj , segue que Soc Im() = Sj . Assim Sj é fator de composi¸caõ de 4i , e portanto, pelo Lema 3.2.5, j ≤ i. De outro lado Si = top 4i é um fator de composi¸cão de 5j e portanto i ≤ j, pelo Lema 3.2.5. Para a rec´ıproca, notese que 4i /rad 4i ∼ = Si e que a composta de π : 4i −→ 4i /rad 4i e i : Si −→ 5, onde π e i são a proje¸cão e a inclusão canônica, respectivamente, é não nula. 4. Para j ≤ i, aplicamos HomA (. , 5j ) à (3.1) e obtemos. · · · −→ HomA (Ui , 5j ) −→ Ext1A (4i , 5j ) −→ Ext1A (Pi , 5j ) −→ · · · . Como Ext1A (Pi , 5j ) = 0, basta provar que HomA (Ui , 5j ) = 0, e para isto se procede da mesma forma que no Lema 3.2.7(2). , K) à seq¨ uência de A-módulos à di-. Para j > i, aplicando HomA (. reita 0 −→ Aεj+1 Aej −→ Aej −→ 4oj −→ 0, obtemos a seq¨ uência de Amódulos a` esquerda 0 −→ D(4oj ) −→ D(Aej ) −→ D(Aεj+1 Aej ) −→ 0 38.

(49) As categorias F(4) e F(5). que pode ser reescrita na forma 0 −→ 5j −→ Ij −→ Vj −→ 0,. (3.2). pois D(4oj ) = 5j e Ij ∼ = D(Aej ). Para concluir, se procede de forma análoga ao caso anterior aplicando HomA (4i ,. ) em (3.2). . Observa¸c˜ ao 3.2.9. Os módulos 4i , para 1 ≤ i ≤ n, são indecompon´ıveis. De fato, desde que cada A-módulo projetivo indecompon´ıvel Pi = ei A tem topo Si , que é um A-módulo simples, segue que top 4i = top(Pi /Ui ) = Si é simples e, por isso, cada 4i é indecompon´ıvel.. 3.3. As categorias F(4) e F(5). Sejam 4 e 5 as sequências de módulos estandares e coestandares, respectivamente, para uma ordem fixada e = (e1 , e2 , ..., en ) de um conjunto completo de idempotentes primitivos e ortogonais da K-álgebra A. Apresentaremos nesta se¸caõ algumas propriedades básicas das categorias F(4) e F(5). Em particular, que elas são funtorialmente finitas, que admitem seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas, que F(4) é uma categoria resolvente e que F(5) é uma categoria corresolvente. Observamos que os resultados aqui contidos se encontram em [24], [12] e [26].. Com as nota¸co˜es introduzidas no Cap´ıtulo 2, recordemos que F(4) denota a subcategoria plena de mod A cujos objetos são os módulos que têm 39.

(50) As categorias F(4) e F(5). uma 4-filtra¸caõ e que F(5) denota subcategoria plena de mod A cujos objetos são os módulos que têm uma 5-filtra¸caõ. Os módulos em F(4) são chamamos de 4-bons m´ odulos e os módulos em F(5) de 5-bons m´ odulos. Defini¸c˜ ao 3.3.1. Seja M ∈ mod A. A cadeia de submódulos de M 0 = τεn+1 A (M ) ⊆ τεn A (M ) ⊆ . . . ⊆ τε2 A (M ) ⊆ τε1 A (M ) = M é denominada filtra¸c˜ ao tra¸co de M com respeito a ordem e. A filtra¸cão da defini¸caõ anterior, com a conven¸cão adotada na Se¸cão 3.2 em que M (i) = τεi A (M ), pode ser reescrita na forma: 0 = M (n+1) ⊆ M (n) ⊆ . . . ⊆ M (2) ⊆ M (1) = M. A proposi¸cão que segue dá uma caracteriza¸caõ dos módulos em F(4), e sua demonstra¸caõ pode ser encontrada em [12]. Proposi¸c˜ ao 3.3.2. Um A-módulo M ∈ F(4) se, e somente se, para todo i = 1, 2, . . . , n, M (i) /M (i+1) ∼ = 4tii , para algum ti ≥ 0, onde 40i = 0. Observa¸c˜ ao 3.3.3. Se M ∈ F(4), então os módulos M (t) e M/M (t) , para 1 ≤ t ≤ n, estão em F(4). Mais ainda, M (t) está filtrado por 4j , com j ≥ t, e M/M (t) está filtrado por 4j , com j < t. Isto é M (t) ∈ F({4t , . . . , 4n }) e M/M (t) ∈ F({41 , . . . , 4t−1 }). Antes de enunciar o seguinte corolário lembremos que um módulo nulo sobre qualquer anel A, é sempre um módulo projetivo. 40.

(51) As categorias F(4) e F(5). Corol´ ario 3.3.4. Seja a K-álgebra Bi = A/Aεi+1 A. Então 1. M ∈ F(4) se, e somente se, M (i) /M (i+1) é Bi -módulo projetivo, para todo i = 1, 2, . . . , n. 2. M ∈ F(5) se, e somente se, M (i) /M (i+1) é Bi -módulo injetivo, para todo i = 1, 2, . . . , n. Demonstra¸c˜ ao. Provaremos a primeira afirma¸caõ, pois a prova da segunda é dual. Observemos que Bi se pode escrever da forma Bi ∼ =. i M. ej A/ej Aεi+1 A,. j=1. onde o u ´ltimo somando é 4i . Assim 4i é um Bi -módulo projetivo. Se M ∈ F(4), então pela proposi¸caõ anterior o quociente M (i) /M (i+1) ∼ = 4tii , para algum ti ≥ 0, e portanto é um Bi -módulo projetivo. Reciprocamente suponhamos, para um i fixo, que o quociente M (i) /M (i+1) é Bi -módulo projetivo. Pelo Lema 3.2.3 existe um epimorfismo de A-módulos L t ψ = (ψ1 , . . . , ψn ) : ( nj=i Pj j ) → M (i) . Compondo ψ com a proje¸caõ canônica π : M (i) −→ M (i) /M (i+1) obtemos o epimorfismo πψ = (πψ1 , . . . , πψn ) : L t ( nj=i Pj j ) −→ M (i) /M (i+1) . Em virtude do Lema 3.2.3 (2) resulta que os t. morfismos πψj : Pj j −→ M (i) /M (i+1) , para j > i, são nulos e, portanto, que πψi é um epimorfismo. Usando de novo o Lema 3.2.3 (2), obtemos que τεi+1 A (Pi ) = ei Aεi+1 A ⊂ ker πψi . A anterior inclusão induz um epimorfismo de A-módulos ψ : (Pi /ei Aεi+1 A)ti −→ M (i) /M (i+1) . Desde que ei Aεi+1 A ⊂ Aεi+1 A ⊂ AnnA (M (i) /M (i+1) ), então o homomorfismo ψ é também um epimorfismo de Bi -módulos. Como M (i) /M (i+1) é 41.

(52) As categorias F(4) e F(5). Bi -projetivo, temos que M (i) /M (i+1) ∼ = (Pi /ei Aεi+1 A)t0 = 4ti0 , para algum 0 < t0 ≤ ti . Corol´ ario 3.3.5. As subcategorias F(4) e F(5) são fechadas por somandos diretos. Demonstra¸c˜ ao. Seja Bi = A/Aεi+1 A. Se M1 ⊕ M2 ∈ F(4), então, pelo corolário anterior, temos que (M1 ⊕ M2 )(i) /(M1 ⊕ M2 )(i+1) é um Bi -módulo (i). (i). projetivo, para cada i = 1, 2, . . . , n. Mas desde que (M1 ⊕M2 )(i) = M1 ⊕M2 (i). (i+1). ([19], Cap. 2, Proposi¸caõ 8.22 ) e Mj ⊂ Mj. , para j = 1, 2, temos que. (i) (i+1) (i) (i+1) (M1 ⊕ M2 )(i) /(M1 ⊕ M2 )(i+1) ∼ ⊕ M2 /M2 . = M1 /M1 (i). (i+1). Assim M1 /M1. (i). (i+1). e M2 /M2. são Bi -módulos projetivos, pois são so-. mando diretos de um projetivo, e portanto, pelo Corolário 3.3.4, M1 , M2 estão em F(4). A proposi¸caõ abaixo, apresentada por Ringel em [24], é uma conseq¨ uência importante de alguns resultados do Cap´ıtulo 2 e da Se¸caõ 3.2. Proposi¸c˜ ao 3.3.6. As categorias F(4) e F(5) são funtorialmente finitas e, portanto, admitem seq¨ uências de Auslander-Reiten relativas. Demonstra¸c˜ ao.. Como Ext1A (4i , 4j ) = 0, para j ≤ i, pela Proposi¸cão. 3.2.8, então Ext1A (5i , 5j ) = Ext1A (D(4oi ), D(4oj )) ∼ = D Ext1Aop (4oj , 4oi ) = 0, para i ≤ j. Assim, pelo Teorema 2.1.11, tanto F(4) quanto F(5) são. 42.