Algoritmo de ´ Arvore de Jun¸c˜ao

Baseado no m´etodo proposto por Lauritzen e Spiegelhalter (1988), Jensen, Lauritzen e Olesen (1990) propuseram um m´etodo geral para propaga¸c˜ao de evidˆencias em RBs chamado de algoritmo de ´Arvore de Jun¸c˜ao. Segundo Jensen e Nielsen (2007), Korb e Nicholson (2004) e Neapolitan (2004), este m´etodo ´e um dos mais eficientes algoritmos para inferˆencia exata. Ele ´e utilizado em diversas aplica¸c˜oes capazes de lidar com RBs, como o Hugin1 _{e o Netica}2_.

Este m´etodo transforma a estrutura da rede, criando uma uma estrutura intermedi´a- ria, na forma de uma ´arvore com caracter´ısticas especiais denominada ´Arvore de Jun¸c˜ao, cujos n´os s˜ao determinados por subconjuntos das vari´aveis da RB original. Nesta ´arvore os c´alculos s˜ao realizados localmente (computa¸c˜ao local), no sentido de que um n´o necessite se comunicar somente com os seus vizinhos (LUNA, 2004).

Este trabalho n˜ao apresenta em detalhes o algoritmo de ´Arvore de Jun¸c˜ao. Ser´a apresentada uma vis˜ao geral do algoritmo e as suas principais caracter´ısticas. Para um estudo mais aprofundado, os trabalhos de Huang e Darwiche (1996) e Ladeira, Vicari e Coelho (1999) podem ser consultados. Uma implementa¸c˜ao deste algoritmo pode ser encontrada na framework UnBBayes3_.

Os principais passos para a cria¸c˜ao de uma ´Arvore de Jun¸c˜ao a partir de uma RB qualquer e para a realiza¸c˜ao de inferˆencia nesta ´arvore s˜ao:

• Moralizar o GAO da RB - no qual s˜ao adicionadas arestas aos pais de cada n´o do grafo que n˜ao possuem liga¸c˜oes. Ap´os isto, remove-se a orienta¸c˜ao dos arcos origi- nais, resultando em um grafo n˜ao direcionado que ´e chamado de grafo moralizado; • Triangula¸c˜ao do grafo moralizado - consiste em introduzir no grafo moralizado ares-

tas entre n´os n˜ao adjacentes em ciclos com mais de trˆes n´os. Estas arestas s˜ao denominadas cordas e o grafo resultante, grafo cordal ou triangular. A Figura 2.9 ilustra a obten¸c˜ao de um grafo triangular;

• Identifica¸c˜ao dos cliques a partir do grafo triangular - um clique em um grafo n˜ao direcionado ´e um subconjunto de v´ertices (subgrafo) desse grafo que ´e completo. O termo completo significa que cada par de n´os distintos do clique esta conectado por

1_{http://www.hugin.com} 2_{http://www.norsys.com}

3_{Ferramenta de c´odigo-aberto para a modelagem e racioc´ınio em redes probabil´ısticas, dispon´ıvel em} http://unbbayes.sourceforge.net .

2.3 Redes Bayesianas 50 A B C D E F G H A B C D E F G H A C D E F G H B

GAO da RB Grafo Moralizado Grafo Triangular

Figura 2.9: Exemplo de transforma¸c˜ao do GAO de uma RB em um grafo triangular, retirado de Huang e Darwiche (1996). As arestas acrescentadas pelos processos de mora- liza¸c˜ao e triangula¸c˜ao est˜ao indicadas em tracejado.

uma aresta. Os cliques selecionados para a cria¸c˜ao da ´Arvore de Jun¸c˜ao devem ser m´aximos. Um clique ´e m´aximo se ele n˜ao ´e subconjunto de outro clique;

• Constru¸c˜ao da ´Arvore de Jun¸c˜ao - nesta etapa, os cliques selecionados s˜ao utilizados como agregados. Eles s˜ao conectados de modo a formar uma ´arvore n˜ao direcionada. Existem diversos algoritmos para a constru¸c˜ao de uma ´Arvore de Jun¸c˜ao, merece destaque especial o algoritmo de ´Arvore de Jun¸c˜ao Forte (JENSEN; JENSEN; DITT- MER, 1994) que, em geral, apresenta melhor desempenho;

• Cria¸c˜ao dos separadores - cada aresta da ´arvore criada tem associada a ela um se- parador, que consiste na intersec¸c˜ao dos n´os adjacentes. Deste modo, um separador cont´em os n´os que s˜ao comuns aos respectivos n´os vizinhos;

• C´alculo das tabelas de potenciais - cada n´o (clique) e separador da ´arvore criada possui uma tabela de potenciais de cren¸cas, que representa uma tabela de probabi- lidades das vari´aveis que ele representa. O tamanho de uma tabela de potenciais ´e definido pelo produto dos estados presentes nas vari´aveis que comp˜oem o respectivo clique ou separador. Inicialmente, estas tabelas s˜ao setadas com valores iguais a um. Logo ap´os, cada vari´avel da RB original ´e associada a um clique que contenha a sua fam´ılia. Ap´os esta associa¸c˜ao, a tabela de potenciais de cada clique ´e multi- plicada por P (X_{|pais(X)), em que X representa o conjunto das vari´aveis que foram} associadas ao clique. Estas probabilidades est˜ao definidas na RB;

• Propaga¸c˜ao de mensagens - o ´ultimo passo apresentado resulta em uma ´arvore in- consistente. Para que a consistˆencia seja alcan¸cada, realiza-se uma s´erie ordenada de manuseios locais, chamados passagens de mensagens, que rearranjam as tabelas

2.3 Redes Bayesianas 51

de potenciais dos cliques e separadores da ´arvore. A passagem de mensagens ocorre apenas entre n´os que s˜ao vizinhos. Para esta passagem ´e selecionado um n´o prin- cipal. Mensagens s˜ao envidadas por outros n´os em sentido a este n´o principal e, posteriormente, em sentido contr´ario a ele. Um n´o s´o pode enviar mensagem a um vizinho apenas ap´os ter recebido mensagens de todos os seus outros vizinhos. Deste modo, ao final da passagem de mensagens, por cada aresta da ´arvore ter˜ao passado duas mensagens, em sentidos diferentes;

• Marginaliza¸c˜ao - ao final do passo anterior obt´em-se uma ´Arvore de Jun¸c˜ao consis- tente, a partir da qual se calcula, atrav´es de marginaliza¸c˜ao (processo apresentado na Se¸c˜ao 2.1.7), P (X) para qualquer vari´avel X de interesse;

• Inser¸c˜ao de evidˆencias - considerando que existam evidˆencias (sejam elas de qualquer tipo) a respeito de determinada vari´avel, para que elas sejam consideradas, deve-se selecionar um clique qualquer da ´Arvore de Jun¸c˜ao que contenha esta vari´avel e multiplicar a sua tabela de potenciais pelas probabilidades obtidas como evidˆencias. Ao final deste passo se obt´em uma ´arvore inconsistente, sendo necess´ario realizar novamente a propaga¸c˜ao de mensagens (conforme j´a apresentado), para uma correta marginaliza¸c˜ao da vari´avel de interesse;

• Normaliza¸c˜ao - esta etapa ´e necess´aria apenas quando houver inser¸c˜ao de evidˆencias na ´Arvore de Jun¸c˜ao. Quando isto ocorre, o processo de marginaliza¸c˜ao de uma va- ri´avel X retorna a probabilidade conjunta P (X,evidˆencia). Entretanto, geralmente se est´a interessado em obter a probabilidade condicional P (X_{|evidˆencia). O processo} de normaliza¸c˜ao obt´em esta probabilidade condicional dividindo P (X,evidˆencia) pela probabilidade da evidˆencia na rede P (evidˆencia).

A Figura 2.10 ilustra uma ´Arvore de Jun¸c˜ao que foi criada a partir do grafo triangular obtido no exemplo da Figura 2.9. Ela tamb´em apresenta a passagem de mensagens entre os cliques. ´E comum chamar o momento em que as mensagens est˜ao sendo enviadas ao n´o principal de “coleta evidˆencia” e o momento em que elas est˜ao sendo envidas em sentido contr´ario a este n´o de “distribui evidˆencia”.

A cria¸c˜ao da ´Arvore de Jun¸c˜ao tem um grande custo, entretanto, esta cria¸c˜ao precisa ser feita somente uma vez, a menos que a estrutura ou os parˆametros da RB sejam modificados. Quando a rede se torna muito grande ou altamente conectada, os cliques podem se tornar muito grandes, o que torna o algoritmo impratic´avel computacionalmente (KORB; NICHOLSON, 2004).

2.4 Teoria da Resposta ao Item 52