Algoritmo de otimiza¸c˜ao

Tendo definido o crit´erio a ser utilizado e a forma como a fun¸c˜ao custo ser´a estimada, deve-se definir a ferramenta de otimiza¸c˜ao a ser empregada. A escolha do m´etodo de otimiza¸c˜ao ´e de extrema importˆancia quando lidamos com o problema de misturas n˜ao-lineares. Os m´etodos tradicionais empregados no contexto de separa¸c˜ao s˜ao ba- seados no gradiente da fun¸c˜ao custo e apresentam bons resultados. Por´em, no caso de misturas n˜ao-lineares, a fun¸c˜ao custo a ser minimizada pode apresentar m´ınimos locais, e assim levar os algoritmos tradicionais a resultados n˜ao satisfat´orios. Os al- goritmos evolutivos, por outro lado, s˜ao particularmente apropriados para lidar com este tipo de problema.

Em oposi¸c˜ao aos algoritmos derivados do gradiente, um algoritmo evolutivo ´e um algoritmo populacional, de forma que cada indiv´ıduo da popula¸c˜ao representa uma poss´ıvel solu¸c˜ao para o problema de otimiza¸c˜ao. A id´eia, portanto, ´e evoluir esta

500 1000 1500 2000 2500 3000 1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3 N´umero de amostras H (x ) kernel σ = 0, 01 kernel σ = 0, 05 kernel σ = 0, 1 Estat´ısticas de Ordem Gram-Charlier Valor Te´orico

Figura 5.2: Estima¸c˜ao da entropia de uma vari´avel aleat´oria uniforme.

popula¸c˜ao de indiv´ıduos de maneira que as solu¸c˜oes sejam gradativamente melhoradas e, ao final do processo, tenhamos a solu¸c˜ao global para o problema.

Em [11], um amplo estudo sobre a aplicabilidade destas ferramentas a problemas t´ıpicos de processamento de sinal foi conduzido. Os resultados apresentados indi- cam que o emprego de algoritmos evolutivos em cen´arios nos quais o problema ´e inerentemente multimodal pode resultar em ganhos significativos. Motivados por tais observa¸c˜oes, adotamos em nossa proposta o algoritmo opt-aiNet [40, 11], que pode ser definido como uma ferramenta de busca que agrega id´eias relacionadas ao funcionamento de nosso sistema imunol´ogico.

Nosso sistema imunol´ogico apresenta uma capacidade inata de responder a um grande n´umero de microorganismos, e tamb´em a capacidade de se adaptar para lidar com no- vos ant´ıgenos. A capacidade de adapta¸c˜ao a novos tipos de ant´ıgenos est´a relacionada `as no¸c˜oes de sele¸c˜ao clonal e matura¸c˜ao de afinidade.

A essˆencia da sele¸c˜ao clonal ´e a seguinte: quando h´a o reconhecimento positivo de um ant´ıgeno, a c´elula bem sucedida passa por um processo de clonagem, gerando

um conjunto de c´opias capazes de gerar anticorpos apropriados para o ant´ıgeno. O reconhecimento positivo est´a ligado a uma certa afinidade entre os receptores presentes na c´elula e as caracter´ısticas do ant´ıgeno.

A caracter´ıstica de adapta¸c˜ao do sistema se revela durante o processo de clonagem, onde s˜ao observadas muta¸c˜oes nos receptores das c´elulas geradas inversamente pro- porcionais `a afinidade entre a c´elula e o ant´ıgeno. Portanto, podemos entender este mecanismo como um processo de matura¸c˜ao de afinidade entre os receptores e o ant´ıgeno. Em conjunto com esse mecanismo principal, atuam ainda mecanismos capazes de selecionar apenas os melhores produtos dessas muta¸c˜oes e um engenhoso esquema capaz de introduzir material significativamente novo na popula¸c˜ao de c´elulas de defesa.

Dessa forma, podemos ver que a adapta¸c˜ao ocorrida no sistema imunol´ogico ´e es- sencialmente um processo de otimiza¸c˜ao das c´elulas, com o objetivo de melhorar a afinidade entre os seus receptores e as caracter´ısticas do ant´ıgeno. Traduzindo estas id´eias para o contexto de otimiza¸c˜ao de uma fun¸c˜ao custo qualquer, podemos realizar os seguintes paralelos:

• cada poss´ıvel solu¸c˜ao do problema corresponde a um indiv´ıduo da popula¸c˜ao de c´elulas. No caso de separa¸c˜ao de misturas PNL, cada solu¸c˜ao ´e composta de um conjunto de parˆametros que definem as n˜ao-linearidades e a matriz de separa¸c˜ao;

• a fun¸c˜ao custo a ser otimizada representa a medida de afinidade (ou fitness) entre as c´elulas e os ant´ıgenos.

Assim, organizando as id´eias relacionadas aos mecanismos de adapta¸c˜ao de nosso sistema imunol´ogico, propˆos-se o algoritmo opt-aiNet, descrito resumidamente no quadro 7.

A etapa de controle de diversidade ´e de extrema importˆancia para o bom desempenho do algoritmo. Atrav´es deste mecanismo, eliminam-se poss´ıveis elementos semelhantes entre si, o que poderia resultar em convergˆencia sub-´otima, e s˜ao introduzidos novos elementos na popula¸c˜ao. Note que este mecanismo tamb´em atua como um controle do tamanho da popula¸c˜ao, ajustando-a de acordo com a dificuldade do problema. De maneira mais ampla podemos enxergar o algoritmo opt-aiNet atuando em dois n´ıveis diferentes. Em um primeiro n´ıvel, definido pelo passo 2, ocorre uma busca local atrav´es dos ajustes baseados no valor do fitness de cada indiv´ıduo. Em um segundo n´ıvel, h´a o processo de busca global, que decorre dos mecanismos de elimina¸c˜ao de indiv´ıduos pr´oximos entre si e inser¸c˜ao de novas c´elulas na popula¸c˜ao.

1. Inicializa¸c˜ao: Criar aleatoriamente os indiv´ıduos da popula¸c˜ao; 2. Busca local: Enquanto n˜ao se atingir o crit´erio de parada:

(a) Expans˜ao clonal: Determine o fitness de cada um dos in- div´ıduos. Gere um conjunto de Nc clones (c´opias exatas) de cada

um dos indiv´ıduos.

(b) Matura¸c˜ao de afinidade: Aplique a muta¸c˜ao a cada clone com uma taxa inversamente proporcional ao fitness do indiv´ıduo que o originou, de acordo com

c′ = c + αN(0, 1), com α = β−1_{exp (−f}∗) (5.22) onde c′ _{e c representam os indiv´ıduos ap´os a muta¸c˜ao e o origi-}

nal, respectivamente. β ´e um parˆametro que controla a muta¸c˜ao, N(0, 1) uma vari´avel aleat´oria gaussiana padronizada de mesma dimens˜ao do vetor de parˆametros, e f∗ _{´e o fitness do indiv´ıduo.}

Para cada conjunto de clones, selecione aquele com maior fitness e calcule o fitness m´edio da popula¸c˜ao restante.

(c) Convergˆencia local: se a m´edia do fitness da popula¸c˜ao n˜ao va- riar significativamente entre as itera¸c˜oes, prossiga; caso contr´ario retorne ao passo 2;

3. Controle de diversidade: determine a afinidade (proximidade, me- dida atrav´es da distˆancia euclidiana) entre os indiv´ıduos da popula¸c˜ao; Elimine todos indiv´ıduos, exceto um deles, cujas afinidades estejam abaixo de um valor σs pr´e-definido.

4. Introduza um certo n´umero de novos indiv´ıduos e retorne ao passo 2. Quadro 7: Resumo do algoritmo opt-aiNet.

´

E necess´ario, no entanto, ressaltar um pequeno detalhe na implementa¸c˜ao do al- goritmo de otimiza¸c˜ao. Em sua forma original, o algoritmo opt-aiNet assume que a fun¸c˜ao de fitness, ou a fun¸c˜ao custo do problema, define sempre um problema de maxi- miza¸c˜ao. Como para nossos prop´ositos consideramos a minimiza¸c˜ao da informa¸c˜ao m´utua (ou uma quantidade diretamente relacionada `a informa¸c˜ao m´utua), a fun¸c˜ao de fitness em nosso problema assume a forma:

Jf itness =

1 P

i

H(yi) − log |det W| − E

 logQ i |g ′ i(xi)|  . (5.23)