seada em predi¸c˜ao
Conforme comentado anteriormente, na ausˆencia de informa¸c˜oes adicionais sobre a natureza das fontes, os m´etodos de separa¸c˜ao de misturas convolutivas recuperar˜ao as fontes a menos de uma ambig¨uidade quanto `a filtragem. No entanto, no caso particular de fontes com amostras i.i.d., como no caso de comunica¸c˜oes digitais, a indetermina¸c˜ao quanto `a filtragem pode ser solucionada garantindo que os sinais recuperados tamb´em apresentem tal propriedade.
De fato, ao assumir que os sinais s˜ao i.i.d., o problema de separa¸c˜ao de fontes toma a forma de um problema de desconvolu¸c˜ao cega, semelhante ao problema de equaliza¸c˜ao de canais de comunica¸c˜ao. Considere a figura 4.4, onde um sinal i.i.d. n˜ao-gaussiano s(k) ´e transmitido atrav´es de um canal com resposta ao impulso h(k). O sinal recebido x(k) ser´a resultado da convolu¸c˜ao x(k) = h(k) ∗ s(k), e o papel do equalizador ´e recuperar, da melhor maneira poss´ıvel, o sinal transmitido. Assim como em BSS, o
termo cego explicita o fato de que o equalizador deve ser obtido sem conhecimento pr´evio do canal, tampouco de amostras do sinal transmitido.
Canal
h(k) Equalizadorw(k)
s(k) x(k) y(k)
Figura 4.4: Caso particular de mistura convolutiva - Sistema SISO.
As t´ecnicas de equaliza¸c˜ao cega, da mesma forma que os m´etodos de ICA, fazem uso de estat´ısticas de ordem superior para compor crit´erios que levem `a recupera¸c˜ao dos sinais. Um exemplo ´e o conhecido crit´erio do m´odulo constante [56] (CM - Constant Modulus), que prop˜oe que o ajuste do equalizador seja realizado de maneira a minimizar
JCM(y(k)) = E{(|y(k)|2− R2)2} (4.20)
onde a constante R2 depende das estat´ısticas do sinal transmitido. Note a grande
semelhan¸ca entre (4.20) e a fun¸c˜ao custo da t´ecnica de PCA n˜ao-linear (3.36), este sendo apenas um exemplo de estreita liga¸c˜ao entre os m´etodos de BSS e os de equa- liza¸c˜ao cega [13, 14, 60].
Uma outra abordagem desenvolvida no contexto de equaliza¸c˜ao cega, e de particular interesse para nossos prop´ositos, consiste na utiliza¸c˜ao de preditores na tarefa de equaliza¸c˜ao [29, 42, 52]
Em linhas gerais, a tarefa de predi¸c˜ao ´e estimar valores futuros a partir de amostras atuais e passadas de um determinado sinal. A figura 4.5 ilustra esta id´eia, onde o preditor, caracterizado por uma fun¸c˜ao F , utiliza Np valores passados de x para
estimar a amostra atual x(n). O erro de estima¸c˜ao ´e denominado erro de predi¸c˜ao, enquanto que a estrutura mostrada na figura 4.5 ´e conhecida como filtro de erro de predi¸c˜ao.
A aplicabilidade de filtros de erro de predi¸c˜ao ao problema de equaliza¸c˜ao pode ser melhor compreendida ao considerarmos o mapeamento entrada-sa´ıda do canal, dado por: x (k) = L−1 X l=0 h(l)s (k − l) = h(0)s(k) + h(1)s(k − 1) + · · · + h(L − 1)s(k − L + 1) (4.21)
onde h(l) representa a resposta ao impulso do canal e L o seu comprimento. Se utilizarmos um preditor que considere Np amostras passadas para estimar a amostra
Preditor ! " #
Filtro de Erro de Predição
$% ! $& ! $ '()% ! $' ( !
Figura 4.5: Filtro de erro de predi¸c˜ao SISO.
x(k) do sinal recebido, obteremos um mapeamento da seguinte forma: y (k) = F [x (k − 1) , x (k − 2) , . . . , x (k − Np)]
= P [s (k − 1) , s (k − 2) , . . . , s (k − Np− L + 1)]
. (4.22)
Note que a sa´ıda do preditor ser´a fun¸c˜ao do sinal transmitido, exceto pela amos- tra s(k), que, por hip´otese, ´e independente das demais amostras transmitidas. Dessa forma, dado que uma estrutura com certo grau de flexibilidade seja utilizada como pre- ditor, o erro de predi¸c˜ao tender´a a ser proporcional ao sinal s(k), a ´unica informa¸c˜ao `a qual o preditor n˜ao tem acesso [52]. Em outras palavras, caso seja poss´ıvel projetar tal estrutura, o filtro de erro de predi¸c˜ao eliminar´a quaisquer redundˆancias existentes nas amostras do sinal observado, provendo em sua sa´ıda apenas o sinal h(0)s(k). Se considerarmos que tanto o canal como o equalizador possuem estruturas lineares FIR, veremos que ser´a imposs´ıvel obter tal estrutura, uma vez que obter na sa´ıda do equalizador um sinal proporcional a s(k) ´e equivalente a inverter, a menos de um ganho, um filtro FIR com outro de mesma natureza.
Por´em, conforme vimos na se¸c˜ao 4.1.1, esta restri¸c˜ao ´e de certa forma relaxada ao considerarmos estruturas MIMO. Utilizando o teorema 4.1.2, em [58] os autores, considerando apenas o caso em que h´a mais sensores do que fontes, mostram que a seq¨uˆencia observada x(k) ´e equivalente a um processo auto-regressivo, com processo de inova¸c˜ao dado por A(0)s(k). Dessa forma, considerando um filtro de erro de predi¸c˜ao, na forma de W[z] = I + Np X l=1 W (l) z−l, (4.23)
´e poss´ıvel recuperar um sinal que representa uma mistura instantˆanea de s(k). Assim, uma vez obtido o processo de inova¸c˜ao, a separa¸c˜ao efetiva das fontes pode ser efetuada com qualquer algoritmo proposto para o contexto de misturas instantˆaneas, como os apresentados no cap´ıtulo 3. A mesma abordagem ´e seguida em [44, 94], lem- brando que todos consideram a propriedade observada em sistemas que representam cen´arios com mais sensores do que fontes. Al´em disso, assume-se que as condi¸c˜oes enunciadas no teorema 4.1.2 s˜ao respeitadas, o que exclui canais como os apresen- tados no exemplo 4.1.1, para os quais n˜ao ´e poss´ıvel inverter a mistura com uma estrutura MIMO-FIR.
Tendo em vista as limita¸c˜oes impostas pela predi¸c˜ao linear, buscamos uma solu¸c˜ao utilizando filtros de erro de predi¸c˜ao mais flex´ıveis, empregando a mesma id´eia de- lineada para o caso de equaliza¸c˜ao de sistemas SISO. Considerando que as fontes possuem distribui¸c˜oes discretas, e que as amostras transmitidas s˜ao i.i.d., a partir de (4.3), podemos escrever o sinal observado pelo sensor i como
xi(k) = ai(0)s(k) + ai(1)s(k − 1) + · · · + ai(L − 1)s(k − L + 1), (4.24)
onde ai(k) denota a linha i da matriz A(k). Note que o sinal observado possui
a mesma forma de (4.21), e, de maneira an´aloga, ao aplicar um filtro de predi¸c˜ao n˜ao-linear aos sinais xi(k), obtemos, em uma condi¸c˜ao ideal, sinais de erro ei(k) =
ai(0)s(k). Dessa forma, o vetor e(k) = [e1(k), e2(k), · · · , eM(k)]T ser´a dado por
e(k) = ˜x (k) = A(0) · s (k) , (4.25) ou seja, o vetor de observa¸c˜oes ser´a dado por um processo de mistura instantˆanea definido apenas pela matriz A(0). Assim, a partir de e(k) podemos extrair os sinais das fontes utilizando, por exemplo, o algoritmo FastICA, descrito no cap´ıtulo anterior. A figura 4.6 ilustra o m´etodo proposto, considerando um conjunto de N = M fontes.