Algoritmo de troca

Uma maneira poss´ıvel de construir delineamentos ´otimos ´e atrav´es da busca exaustiva, ou seja, ap´os definido o n´umero de fatores e seus n´ıveis, o n´umero

de observa¸c˜oes, o modelo a ser utilizado e o crit´erio de otimalidade com seus pesos, devemos construir todos os poss´ıveis delineamentos distintos e calcular o valor do crit´erio para cada delineamento. Por´em, a quantidade de delineamentos distintos depende do n´umero de tratamentos e do n´umero de observa¸c˜oes do experimento. Uma situa¸c˜ao hipot´etica em que temos 5 fatores com 3 n´ıveis cada um e um expe- rimento com 24 observa¸c˜oes, geraria (35₎24_{≈ 1, 8 × 10}57 _{delineamentos, incluindo-se} permuta¸c˜oes entre linhas, ou seja, ´e invi´avel construir todos estes delineamentos para verificar qual ´e o melhor (embora delineamentos distintos possam ter propriedades equivalentes). Ent˜ao, ´e preciso fazer uso de m´etodo inteligente e sistem´atico para constru¸c˜ao de delineamentos ´otimos, como o algoritmo de troca, que ´e o m´etodo de busca mais utilizado para construir delineamentos ´otimos exatos.

A ideia original do algoritmo de troca ´e de Fedorov (1972). Este al- goritmo ´e um m´etodo heur´ıstico para buscar delineamentos D-´otimos, ou seja, um procedimento para encontrar uma boa solu¸c˜ao, n˜ao necessariamente a solu¸c˜ao ´otima em rela¸c˜ao ao crit´erio D. Para iniciar a busca, ´e constru´ıdo, aleatoriamente ou n˜ao, um delineamento inicial X n˜ao singular (|X′

X| > 0). A matriz de informa¸c˜ao X′_X e o valor do crit´erio s˜ao calculados a partir do delineamento inicial. Uma das linhas do delineamento ´e trocada por uma linha do conjunto de todos os poss´ıveis pontos candidatos para o delineamento, formando um novo delineamento X1 com as mes- mas dimens˜oes de X. Seja f (xi) o ponto que ´e retirado da matriz de delineamento e f (x) o ponto adicionado. Neste novo delineamento, a matriz de informa¸c˜ao X′

1X1 e o valor do crit´erio s˜ao calculados novamente. Faz-se uma compara¸c˜ao entre os valores do crit´erio de ambos os delineamentos, escolhendo o melhor. Assim, come¸ca uma nova itera¸c˜ao at´e que ∆(xi, x), chamado de fun¸c˜ao de Fedorov, seja menor que ϵ, um n´umero pequeno e positivo. Esta fun¸c˜ao ´e dada por

∆(xi, x) = f′(x)M−1f (x) − f′(xi)M−1f (xi) +(f′(x)M−1f (xi) )2 −(f′ (x)M−1_{f (x)) (f}′ (xi)M−1f (xi)) . (27)

Esse procedimento ´e repetido para um n´umero pr´e-determinado de delineamentos iniciais distintos para que a solu¸c˜ao encontrada tenha maior chance de ser um ´otimo

29 global e n˜ao apenas um ´otimo local.

Muitas vers˜oes modificadas do algoritmo de troca original de Fedorov (1972) foram desenvolvidas e as mais conhecidas est˜ao descritas em Miller & Nguyen (1992). Entre elas est˜ao as vers˜oes do algoritmo de troca de Mitchell (1974), Cook & Nachtsheim (1980) e Atkinson & Donev (1989).

Mitchell (1974) generalizou o algoritmo de troca de Fedorov para per- mitir “excurs˜oes”. Em cada itera¸c˜ao, h pontos podem ser adicionados no delinea- mento com n pontos e h pontos s˜ao removidos dos (n + h) pontos do delineamento. Ele chamou este algoritmo modificado de DETMAX. Quando h = 1, DETMAX se torna o algoritmo de troca original. Quando h ´e grande, o tempo computacional gasto ´e maior.

O algoritmo de Fedorov modificado por Cook & Nachtsheim (1980) foi chamado de MFEA. Ele calcula a mesma quantidade de ∆’s em cada passo, mas troca cada ponto f (xi) no delineamento pelo ponto candidato f (x) que maximiza ∆(xi, x). Este procedimento ´e, geralmente, t˜ao confi´avel quanto o algoritmo de Fedorov original em encontrar o delineamento ´otimo, mas pode ser at´e duas vezes mais r´apido.

No KL-EA (KL-exchange algorithm), proposto por Atkinson & Do- nev (1989), um ponto f (xk), com k ≤ K ≤ n, do delineamento e um ponto f(xl), com l ≤ L ≤ N, dos candidatos s˜ao trocados se ∆(xk, xl) for m´aximo. K corres- ponde a K pontos do delineamento com menor f′

(xk)M−1f (xk), que ´e a variˆancia de predi¸c˜ao do ponto k. L corresponde a L pontos dos N pontos candidatos com maior f′

(xl)M−1f (xl). Dessa forma, ´e escolhido retirar os pontos de maior variˆancia de predi¸c˜ao e inserir os pontos de menor variˆancia de predi¸c˜ao. O processo de troca para quando ∆(xk, xl) ´e menor que um n´umero escolhido pequeno e positivo. Quando K = n e L = N , o KL-EA torna-se o algoritmo de troca original de Fedorov.

Para a busca de delineamentos utilizando os demais crit´erios de otimali- dade, os algoritmos de troca de Cook & Nachtsheim (1989) e de Meyer & Nachtsheim (1995) foram implementados e utilizados para encontrar delineamentos ´otimos neste

trabalho. Estes algoritmos s˜ao vers˜oes modificadas do algoritmo de troca de Fedorov (1972) e s˜ao chamados de algoritmo de troca por ponto (point-exchange) e algoritmo de troca por coordenada (Coordinate-Exchange), respectivamente.

Seguem os passos do algoritmo de troca por ponto implementado. Passo 1: Definir o modelo, o n´umero k de fatores, o n´umero n de observa¸c˜oes do

experimento, os n´ıveis de cada fator, os vetores de pesos W (crit´erio A ponde- rado) e κ (crit´erio composto) e o n´umero v de tentativas do algoritmo.

Passo 2: Criar a matriz de candidatos com todos os pontos xi poss´ıveis. Passo 3: Criar um delineamento inicial (n˜ao singular) aleatoriamente.

Passo 4: Calcular M, |M|, M−1 _{e o valor do crit´erio composto para o delineamento} inicial.

Passo 5: Realizar uma troca por ponto (linha), ou seja, fixa-se uma linha da matriz X e troca-a por um ponto do conjunto candidato.

Passo 6: Atualizar |M| e M−1 pelas Equa¸c˜oes (41), (43) e (44) e calcular o valor do crit´erio para este delineamento.

Passo 7: Se o valor do crit´erio deste novo delineamento for maior do que o valor do crit´erio do delineamento anterior, faz a troca efetivamente, sen˜ao, volta ao delineamento anterior. Retornar ao Passo 5 enquanto as trocas estiverem produzindo melhores valores no crit´erio do delineamento.

Passo 8: O delineamento encontrado ´e armazenado e uma nova busca ´e feita (re- tornar ao Passo 3) para que o valor do crit´erio encontrado n˜ao seja um ´otimo local. O retorno ao Passo 3 ´e feito v vezes.

Para a vers˜ao do algoritmo de troca por coordenada, devemos descon- siderar o Passo 2, pois esta vers˜ao n˜ao necessita da matriz com os pontos candidatos e as trocas realizadas no Passo 5 s˜ao realizadas por coordenadas e n˜ao por pontos.

3

METODOLOGIA

Este trabalho foi iniciado com o estudo dos novos crit´erios de otimali- dade formulados por Gilmour & Trinca (2012) e com a an´alise do algoritmo de troca de Fedorov (1972) e suas vers˜oes modificadas ao longo do tempo para a constru¸c˜ao de delineamentos ´otimos. Posteriormente, duas vers˜oes do algoritmo de troca foram implementadas em linguagem C juntamente com um novo crit´erio para dar robustez a perda de observa¸c˜oes.

3.1

Robustez a perda de observa¸c˜oes

Um problema comum na pesquisa estat´ıstica experimental ´e o impacto nos resultados da an´alise estat´ıstica quando ocorre perda de observa¸c˜oes durante a experimenta¸c˜ao. Se num experimento existir um grupo de observa¸c˜oes mais influen- tes na an´alise que outros e se, por algum motivo alheio, algumas destas observa¸c˜oes forem perdidas, as consequˆencias para a an´alise dos resultados do experimento po- dem ser dr´asticas, chegando at´e `a impossibilidade de ajuste do modelo pr´e-definido devido a n˜ao estimabilidade de alguns parˆametros. Mesmo n˜ao havendo perda de observa¸c˜oes, a presen¸ca de observa¸c˜oes influentes no ajuste do modelo ´e indesejada, j´a que estimativas comandadas por alguns poucos pontos levantam suspeitas sobre o modelo ajustado.

Na literatura n˜ao h´a um crit´erio de otimalidade que dˆe robustez a um experimento em rela¸c˜ao a perda de observa¸c˜oes. A nossa proposta ´e buscar um deli- neamento ´otimo, incluindo no crit´erio de otimalidade uma propriedade para prevenir que o delineamento inclua pontos influentes no ajuste do modelo. Uma medida razo-

avelmente simples de influˆencia ´e dada pelos elementos da diagonal da matriz H, os hii’s (i = 1, . . . , n), conforme a Equa¸c˜ao (12), pois estes elementos medem a influˆencia de cada observa¸c˜ao no ajuste do modelo. De acordo com as propriedades da ma- triz H, o delineamento ideal, segundo este crit´erio, apresentaria todos os elementos iguais a p/n, j´a que s˜ao n elementos na diagonal e a soma deles ´e p. Assim, explo- ramos minimizar∑n

i=1(hii− p/n)2, que significa minimizar a variabilidade dos hii’s, tornando-os pr´oximos de p/n, e assim, minimizando a heterogeneidade da influˆencia de cada observa¸c˜ao do experimento. Este crit´erio ser´a chamado de H-otimalidade em referˆencia `a matriz H.

Combinando as quatro propriedades consideradas por Gilmour & Trinca (2012) e reproduzidas na se¸c˜ao 2.3.2, o crit´erio D pela sua importˆancia e o crit´erio H proposto nesta pesquisa, cada um associado a um peso de prioridade de an´alise dado pelo vetor κ = (κ1, κ2, κ3, κ4, κ5, κ6)′, propomos o novo crit´erio com- posto  X′Q₀X   κ1+κ4 p−1 (n − d)κ3 [F(1−α1;p−1;d) ]κ4 [F(1−α2;1;d) ]κ5 [tr{W(X′_Q 0X)−1}] κ2+κ5[ ∑n i=1(hii− p/n)2+ δ ]κ6₂ , (28) em que Q0 = I−_n111′, de forma que o crit´erio considera o intercepto do modelo como parˆametro de perturba¸c˜ao e sem prioridade de estima¸c˜ao e δ foi fixado em 10−6 _para evitar problemas num´ericos no caso de encontrar o delineamento ideal em rela¸c˜ao ao crit´erio H.