Algoritmos e jun¸ c˜ ao dos resultados anteriores

Linguagens reconhecidas por

5.4 Algoritmos e jun¸ c˜ ao dos resultados anteriores

Nestas três seçcões, foram apresentados resultados que nos caracterizam as linguagens reconhecidas por autómatos revers´ıveis, ou seja, que pertencem à classe C. Nesta seçcão serão apresentados alguns algoritmos para verificar se uma determinada linguagem pertence a C, bem como um resultado que junta todas as caracteriza¸cões dadas nas seçcões anteriores num único resultado. Terminamos com um resultado que nos relaciona C com a MO-variedade ECom⁻.

Para serem dados os detalhes dos algoritmos, é necessário fixar nota¸cões. Dado um autómato determinista A = (Q, A, ·, {i}, F ) e um inteiro positivo k, denotamos por Ak = (Q^k, A, ·, {(i, . . . , i)}, F^k) o produto directo de k cópias de A, onde a açcão de A em Q^k é dada por (q₁, . . . , q_k) · a = (q₁· a, . . . , q_k· a) e (q₁, . . . , q_k) ∈ F^k se e só se q_i ∈ F , para 1 6 i 6 k. Denotamos por Gk(A) o fecho transitivo do grafo definido por A^k. A figura abaixo ilustra a constru¸cão. 1 2 a, b a b 1,1 2,2 1,2 2,1 a, b a ^b b a ^b a b 1,1 2,2 1,2 2,2

Figura 5.5: Um aut´omato A, o aut´omato A² e o respectivo grafo G₂(A)

Dado um autómato determinista A = (Q, A, ·, {i}, F ), o conjunto de todos os caminhos em A define um grafo legendado infinito G(A), onde Q é o conjunto dos vértices e os triplos da forma (q, w, q · w), com w ∈ A⁺ são as arestas. Um subgrafo legendado de G(A) é chamado uma configura¸cão presente em A.

Temos então os seguintes resultados, que nos dão algoritmos para verificar quando é que uma determinada linguagem satisfaz cada uma das condi¸cões do Teorema 5.10.

Teorema 5.18. Seja A o autómato minimal de uma linguagem L. Os idempotentes de M (L) comutam (ou seja, L satisfaz a condi¸cão (1) do Teorema 5.10) se e só se não existe nenhuma configura¸cão em A da forma

CAPÍTULO 5. LINGUAGENS RECONHECIDAS POR AUT ÓMATOS REVERSÍVEIS q₄ q₃ q₀ q₁ q₂ u u v v u u v v

Figura 5.6: Configura¸c˜ao imposs´ıvel em A(= A(L)) para os idempotentes de L comutarem

com q2 6= q₄.

Demonstra¸cão. Sejam M = M (L) e η : A^∗ → M o morfismo natural. Suponhamos primeiro que os idempotentes de M comutam. Se A contém a configura¸cão acima indicada, temos que, para qualquer n > 0, q₀· unvn= q₂ e q₀· vnun= q₄. Em particular, dado que M é um monóide finito, ´

e poss´ıvel escolher n tal que uⁿη e vⁿη s˜ao idempotentes. Dado que os idempotentes comutam em M , conclu´ımos que q₂= q₄.

Reciprocamente, suponhamos que A não contém a configura¸cão da figura, e sejam e, f idempotentes de M . Sejam u, v ∈ A^∗ tais que uη = e e vη = f . Afirmamos então que, para qualquer estado q0∈ Q, q_o· uv = q₀· vu. De facto, tomemos q₁ = q0· u, q₂ = q1· v, q₃= q0· v e q₄ = q₃· u. Então, dado que uη e vη são idempotentes, temos que q₁· u = q₀· u2 = q₀· u = q₁ e, do mesmo modo, conclu´ımos que q2 · v = q₂, q3· v = q₃ e q4 · u = q₄. Assim, temos uma configura¸cão proibida, a não ser que q₂ = q₄, e nesse caso temos que q₀· uv = q₀· vu.

Com este resultado, obtemos o seguinte corol´ario.

Corol´ario 5.19. Existe um algoritmo em tempo polinomial para testar se os idempotentes de M (L(A)) comutam, para qualquer aut´omato A.

Demonstra¸cão. Vendo a configura¸cão imposs´ıvel apresentada no teorema anterior, basta compu-tar G₄(A) e verificar se contém arestas da forma ((q₀, q₁, q₃, q₄), (q₁, q₁, q₄, q₄)) e ((q₀, q₁, q₂, q₃), (q3, q2, q2, q3)), com q26= q₄.

Teorema 5.20. Seja A = (Q, A, E, {i}, F ) o autómato minimal de uma linguagem L. Então, L satisfaz a condi¸cão (2) do Teorema 5.10 se e só se não existe nenhuma configura¸cão em A da forma

q₂ ^y p ^u q q₁

Figura 5.7: Configura¸c˜ao imposs´ıvel em A(= A(L)) para L satisfazer a condi¸c˜ao (2) do Teorema 5.10

com q₁ ∈ F e q₂∈ F ./

Demonstra¸cão. Para esta demonstra¸cão, vamos usar a condi¸cão (2) da Proposi¸cão 5.6, que pela Proposi¸cão 5.7, é equivalente à condi¸cão (2) do Teorema 5.10.

Suponhamos que L satisfaz a condi¸cão. Consideremos uma configura¸cão em A da forma acima. Como A é minimal, existe um caminho entre o estado inicial e qualquer estado de A.

CAPÍTULO 5. LINGUAGENS RECONHECIDAS POR AUT ÓMATOS REVERSÍVEIS

Em particular, existe uma palavra x ∈ A^∗ tal que i · x = p. Temos ent˜ao que, para qualquer n > 0, i · xuny = p · uny = q · y = q₁ ∈ F . Portanto, xy ∈ L, ou seja, i · xy = p · y = q₂ ∈ F .

Reciprocamente, suponhamos que A não tem nenhuma configura¸cão como a da figura. Suponhamos ainda que, para alguns x, y, u ∈ A^∗, xu⁺y ⊆ L. Seja n um inteiro tal que uⁿη é um idempotente. Escolhemos v = uⁿ, p = i · x, q = p · v e q₁ = q · y. Então, q · v = p · v² = p · v = q. Para além disso, q1 = i · xvy, dado que xvy ∈ L. Então, p · y ∈ F , caso contrário, A continha uma configura¸cão proibida.

Temos ent˜ao o seguinte corol´ario.

Corolário 5.21. Existe um algoritmo em tempo polinomial para verificar se a linguagem re-conhecida por um autómato minimal A com n estados é fechada para a topologia profinita de grupo.

Demonstra¸cão. Dado que, como foi visto na Seçcão 5.3, uma linguagem é fechada para a topolo-gia profinita de grupo se e só se satisfizer a condi¸cão (2) da Proposi¸cão 5.6 (ou, equivalentemente, a condi¸cão (2) do Teorema 5.10), temos que é suficiente computar o grafo G₂(A) e verificar se contém arestas da forma ((p, q), (q₂, q₁)) e ((p, q), (q, q)), com q₁ ∈ F e q₂∈ F ./

Assim, usando estes dois corol´arios, ´e poss´ıvel enunciar o resultado seguinte.

Corolário 5.22. Existe um algoritmo em tempo polinomial para testar se a linguagem reco-nhecida por um autómato minimal com n estados é reconhecida por um autómato revers´ıvel.

Podemos agora juntar os resultados finais das Sec¸c˜oes 5.1, 5.2 e 5.3, para obter o seguinte teorema.

Teorema 5.23. Sejam L uma linguagem racional sobre um alfabeto A, M = M (L) o seu monóide sintáctico e P = Lη a sua imagem pelo morfismo sintáctico. As condi¸cões seguintes são equivalentes.

(1) L ´e reconhecida por um aut´omato revers´ıvel;

(2) L = K ∩ A^∗, onde K é um subconjunto do grupo livre F G(A) e que consiste de uniões finitárias de classes laterais esquerdas de subgrupos finitamente gerados de F G(A);

(3) Os idempotentes de M comutam e, para quaisquer x, u, y ∈ A^∗, xu⁺y ∈ L implica que xy ∈ L;

(4) Os idempotentes de M comutam e, para quaisquer s, e, t ∈ M tais que e ´e um idempotente, set ∈ P implica que st ∈ P ;

(5) M ∈ ECom⁻;

(6) L pertence à álgebra de Boole positiva gerada pelas linguagens da forma K e A^∗aK, onde a ∈ A^∗ e K é uma linguagem de grupo;

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No documento UNIVERSIDADE DE LISBOA FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA (páginas 67-71)