O produto semi-directo, o produto em coroa e o produto de MalcevMalcev

Σ = {x 6 y : y 6 x ∈ Σ} ∪ {x = y : x = y ∈ Σ} ´e o dual de Σ.

Temos ent˜ao o resultado seguinte.

Proposi¸c˜ao 4.7. Seja V = _{JΣK uma MO-variedade.} Ent˜ao, V⁰ = _JΣ^˘_{K ´}e igual a ˘V, a MO-variedade dual de V.

Sendo assim, ´e f´acil ver que a MO-variedade dual de ECom⁺ ´e ECom⁻, ou que a MO-variedade dual de J⁺₁ ´e J⁻₁, por exemplo.

4.2 O produto semi-directo, o produto em coroa e o produto de

Malcev

Para conseguirmos os pr´oximos resultados, ser˜ao necess´arias algumas defini¸c˜oes, nomea-damente a do produto semi-directo, a do produto em coroa e a do produto de Malcev.

Sejam M e N mon´oides ordenados. O produto em M ser´a escrito de forma aditiva, mas tal n˜ao quer dizer que este ´e comutativo, apenas serve para clarificar a nota¸c˜ao, e como tal denotamos a sua identidade por 0. Uma ac¸c˜ao esquerda de N em M ´e uma aplica¸c˜ao (n, m) 7→ n · m de N × M para M tal que, para quaisquer m, m₁, m₂∈ M e n, n₁, n₂ ∈ N , temos as seguintes propriedades: (1) (n₁n₂) · m = n₁(n₂· m); (2) n · (m1+ m2) = n · m1+ n · m2; (3) 1 · m = m; (4) Se m 6 m⁰, ent˜ao n · m 6 n · m⁰; (5) se n 6 n⁰, ent˜ao n · m 6 n⁰· m.

Dizemos que a ac¸c˜ao ´e unit´aria se satisfizer a condi¸c˜ao seguinte, para qualquer n ∈ N :

(6) n · 0 = 0

Consideremos uma ac¸c˜ao esquerda unit´aria de N em M . Definimos o produto semi-directo (com respeito a esta ac¸c˜ao) de M e N , representado por M ∗ N , como sendo o mon´oide ordenado definido em M × N pela multiplica¸c˜ao

(m, n)(m⁰, n⁰) = (m + n · m⁰, nn⁰) e pela ordem de produto, dada por

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

Dadas duas MO-variedades V e W, definimos o produto semi-directo V ∗ W como sendo a MO-variedade gerada por todos os produtos semi-directos da forma M ∗ N , onde M ∈ V e N ∈ W.

Sejam agora P um conjunto parcialmente ordenado e (M, 6) um mon´oide ordenado. Uma ac¸c˜ao direita de M em P ´e uma aplica¸c˜ao P × M → P , denotada (p, m) 7→ p · m, que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes, para quaisquer m, n ∈ M e p, q ∈ P :

(1) Se p 6 q, ent˜ao p · m 6 q · m; (2) Se m 6 n, ent˜ao p · m 6 p · n; (3) p · (mn) = (p · m) · n;

(4) p · 1 = p.

A condi¸c˜ao (3) mostra-nos que podemos escrever p · mn, em vez de escrevermos (p · m) · n ou p · (mn), sem ambiguidade. Ser´a esta a nota¸c˜ao utilizada.

Note-se que esta defini¸c˜ao ´e semelhante `a defini¸c˜ao de ac¸c˜ao esquerda. No entanto, nesta defini¸c˜ao n˜ao estamos a trabalhar com dois mon´oides ordenados e sim com um mon´oide ordenado e um conjunto parcialmente ordenado, o que simplifica um pouco.

Dizemos que uma ac¸c˜ao direita de M em P ´e fiel se, dados m, n ∈ M , temos a implica¸c˜ao (∀p ∈ P, p · m 6 p · n) ⇒ m 6 n

Um mon´oide ordenado de transforma¸c˜oes (P, M ) ´e um mon´oide M equipado com uma ac¸c˜ao fiel de M num conjunto parcialmente ordenado P . Em particular, cada mon´oide ordenado M define um mon´oide ordenado de transforma¸c˜oes (M, M ), dado pela ac¸c˜ao fiel q · m = qm.

Sejam (P, M ) um mon´oide ordenado de transforma¸c˜oes e M⁰ um mon´oide ordenado. Dizemos que um subconjunto L de M⁰ ´e reconhecido por (P, M ) se existirem um morfismo de mon´oides ordenados ϕ : M⁰ → M , um elemento p₀ ∈ P e um ideal de ordem F de P tais que L = {m ∈ M⁰ : p₀· (mϕ) ∈ F }.

Seja agora (Q, N ) outro mon´oide ordenado de transforma¸c˜oes. Dizemos que (P, M ) divide (Q, N ) se existir uma fun¸c˜ao parcial sobrejectiva π : Q → P que preserva a ordem e, para qualquer m ∈ M , existir um elemento n ∈ N tal que, para cada q ∈ Dom(π), temos que (q · n) ∈ Dom(π) e (qπ) · m = (q · n)π.

Temos assim o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 4.8. Seja A um alfabeto e sejam (P, M ), (Q, N ) mon´oides ordenados de trans-forma¸c˜oes. Se uma linguagem L ⊆ A^∗ ´e reconhecida por (P, M ) e (P, M ) divide (Q, N ), ent˜ao (Q, N ) tamb´em reconhece L.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que L ⊆ A^∗ ´e reconhecida por (P, M ) e que (P, M ) divide (Q, N ). Ent˜ao, existem um morfismo de mon´oides ordenados ϕ : A^∗ → M , um elemento p₀ ∈ P e um ideal de ordem F de P tais que L = {u ∈ A^∗: p0· (uϕ) ∈ F }. Para al´em disso, temos ainda que existe uma fun¸c˜ao parcial sobrejectiva π : Q → P que preserva a ordem e, para qualquer m ∈ M , existe um elemento n ∈ N tal que, para cada q ∈ Dom(π), (q · n) ∈ Dom(π) e (qπ) · m = (q · n)π. Queremos agora provar que L ´e reconhecida por (Q, N ), isto ´e, que existem um morfismo de mon´oides ordenados ψ : A^∗ → N , um elemento q₀ ∈ Q e um ideal de ordem F⁰ de Q tais

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

que L = {u ∈ A^∗ : q₀· (uψ) ∈ F⁰}. Dado que π : Q → P ´e sobrejectiva, temos que existe pelo menos um elemento q ∈ Dom(π) tal que qπ = p₀. Escolhamos ent˜ao um desses elementos, e chamemos-lhe q0. Por defini¸c˜ao, temos que para cada m ∈ M existe pelo menos um n ∈ N tal que, para qualquer q ∈ Dom(π), (q · n) ∈ Dom(π) e (qπ) · m = (q · n)π. Tomemos ent˜ao u ∈ A^∗, e escolhemos uψ como sendo um elemento n ∈ N tal que, para qualquer q ∈ Dom(π), (q · n) ∈ Dom(π) e (qπ) · (uϕ) = (q · n)π. Definimos agora F⁰ como sendo o menor ideal de ordem de Q que cont´em F π⁻¹.

Resta agora provar que ψ ´e um morfismo de mon´oides ordenados e que L = {u ∈ A^∗ : q0· (uψ) ∈ F⁰}. Sejam ent˜ao u, v ∈ A^∗. Temos que provar que, para qualquer q ∈ Dom(π), (qπ) · (uv)ϕ = (q · (uψ)(vψ))π. Como ϕ ´e um morfismo de mon´oides ordenados, temos que (qπ) · (uv)ϕ = (qπ) · (uϕ)(vϕ) = ((qπ) · (uϕ)) · (vϕ) = ((q · (uψ))π) · (vϕ) = ((q · (uψ)) · (vψ))π = (q ·(uψ)(vψ))π. Logo, (uv)ψ = (uψ)(vψ). Como a ordem em A^∗´e a igualdade, vemos claramente que preserva a ordem. Para al´em disso, vemos ainda que 1ψ = 1_N, pois para todo q ∈ Dom(π) temos (qπ) · (1ϕ) = (qπ) · 1M = qπ = (q · 1N)π.

Provemos agora que L = {u ∈ A^∗ : q₀ · (uψ) ∈ F⁰}. Seja u ∈ L. Ent˜ao, temos que p0· (uϕ) ∈ F . Mas p₀ = q0π, logo, (q0π) · (uϕ) ∈ F . Pela forma como ψ foi definido, temos ent˜ao que (q₀· (uψ))π ∈ F π−1 ⊆ F0. Portanto, temos que L ⊆ {u ∈ A^∗ : q₀· (uψ) ∈ F0}. Provemos agora a outra inclus˜ao. Seja u ∈ A^∗ tal que q0· (uψ) ∈ F⁰. Temos ent˜ao que (q0· (uψ))π ∈ F⁰π, ou seja, que (q0π) · (uϕ) ∈ F⁰π, e portanto p0· (uϕ) ∈ F⁰π. Pela forma como F⁰ foi definido, e como π preserva a ordem, temos que F⁰π ´e um ideal de ordem de P , e como tal tem que ser exactamente F , donde temos que L ⊇ {u ∈ A^∗ : q0· (uψ) ∈ F⁰}, o que nos prova a igualdade e conclui a nossa demonstra¸c˜ao.

Podemos ent˜ao definir o produto em coroa. Sejam X = (P, M ) e Y = (Q, N ) dois mon´oides ordenados de transforma¸c˜oes. Para facilitar a nota¸c˜ao, e tal como j´a foi feito na defini¸c˜ao do produto semi-directo, vamos representar o mon´oide M e a sua ac¸c˜ao em P aditiva-mente, e o mon´oide N e a sua ac¸c˜ao em Q multiplicativamente.

Definimos W como o conjunto de todos os pares (f, n), onde f : Q → M ´e uma fun¸c˜ao que preserva a ordem e n ∈ N . Definimos em W uma ordem por (f, n) 6 (f⁰, n⁰) se e s´o se n 6 n⁰ e, para qualquer q ∈ Q, qf 6 qf⁰, e um produto por

(f, n)(f⁰, n⁰) = (g, nn⁰) onde g ´e definido por, para cada q ∈ Q,

qg = qf + (q · n)f⁰.

Notamos que W ´e de facto um mon´oide ordenado. Sejam (f₁, n₁), (f₂, n₂), (f₃, n₃) ∈ W e suponhamos que (f1, n1) 6 (f2, n2), isto ´e, que n1 6 n2 e que, para qualquer q ∈ Q, qf1 6 qf2. Ent˜ao, (f₁, n₁)(f₃, n₃) = (g, n₁n₃), e (f₂, n₂)(f₃, n₃) = (g⁰, n₂n₃), onde g e g⁰ s˜ao definidos como acima. Como (f1, n1) 6 (f2, n2) e N ´e um mon´oide ordenado, temos que n1n3 6 n2n3. Basta ent˜ao provar que, para qualquer q ∈ Q, qg 6 qg⁰. Seja ent˜ao q ∈ Q. Temos que qg = qf₁+ (q · n₁)f₃, e que qg⁰ = qf₂+ (q · n₂)f₃. Como (f₁, n₁) 6 (f2, n₂), temos que qf₁ 6 qf2. Para al´em disso, como n1 6 n2, temos que q · n16 q · n2, e como f3 preserva a ordem, temos que (q · n₁)f₃6 (q · n2)f₃. Logo, qg = qf₁+ (q · n₁)f₃ 6 qf2+ (q · n₁)f₃ 6 qf2+ (q · n₂)f₃ = qg⁰, donde se conclui que (f₁, n₁)(f₃, n₃) 6 (f2, n₂)(f₃, n₃). A prova da outra desigualdade ´e an´aloga, e podemos concluir que W ´e um mon´oide ordenado.

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

Definimos uma ordem parcial em P × Q, definida por (p, q) 6 (p⁰, q⁰) se e s´o se p 6 p⁰ e q 6 q⁰, e uma ac¸c˜ao direita de W em P × Q, dada por

(p, q) · (f, n) = (p + qf, q · n)

Vamos verificar que deste modo temos, de facto, uma ac¸c˜ao fiel. Suponhamos que (p, q) 6 (p⁰, q⁰) ∈ P × Q. Seja (f, n) ∈ W . Ent˜ao, temos que qf 6 q⁰f , dado que f preserva a ordem. Assim,

(p, q) · (f, n) = (p + qf, q · n) 6 (p⁰+ qf, q⁰· n) 6 (p⁰+ q⁰f, q⁰· n) = (p⁰, q⁰) · (f, n) Agora, suponhamos que (f, n) 6 (f⁰, n⁰) ∈ W . Ent˜ao,

(p, q) · (f, n) = (p + qf, q · n) 6 (p + qf⁰, q · n⁰) = (p, q) · (f⁰, n⁰)

Se (f, n), (f⁰, n⁰) ∈ W , temos que ((p, q) · (f, n)) · (f⁰, n⁰) = (p + qf, q · n) · (f⁰, n⁰) = (p + qf + (q · n)f⁰, (q · n) · n⁰) = (p + qf + (q · n)f⁰, q · (nn⁰)) = (p, q) · ((f, n)(f⁰, n⁰)).

Finalmente, ´e poss´ıvel ver que a identidade de W ´e exactamente (1_Q→M, 1_N), onde defini-mos a fun¸c˜ao 1Q→M como sendo a fun¸c˜ao definida por q1Q→M = 0M, para qualquer q ∈ Q. Po-demos verificar que, para qualquer (f, n) ∈ W , (f, n)(1_Q→M, 1_N) = (1_Q→M, 1_N)(f, n) = (f, n), pois (f, n)(1Q→M, 1N) = (g, 1Nn) = (g, n). Pela defini¸c˜ao de g, temos que, para qualquer q ∈ Q, qg = qf + (q · n)(1_Q→M, 1_N) = qf + 0_M = qf , donde temos que g = f . A de-monstra¸c˜ao da outra igualdade ´e an´aloga. Seja ent˜ao (p, q) ∈ P × Q. Temos agora que (p, q) · (1Q→M, 1N) = (p + q1Q→M, q · 1N) = (p + 0M, q) = (p, q), donde temos que esta aplica¸c˜ao ´

e uma ac¸c˜ao.

Vejamos agora que esta ac¸c˜ao ´e fiel. Suponhamos que (p, q) · (f, n) 6 (p, q) · (f⁰, n⁰), para quaisquer (p, q) ∈ P × Q. Ent˜ao, q · n 6 q · n⁰, para qualquer q ∈ Q, e portanto n 6 n⁰, dado que a ac¸c˜ao de N em Q ´e fiel. Vemos tamb´em que p + qf 6 p + qf⁰ para quaisquer p ∈ P, q ∈ Q, donde conclu´ımos que qf 6 qf⁰, para qualquer q ∈ Q, dado que a ac¸c˜ao de M em P ´e fiel. Assim, vemos que f 6 f⁰, o que nos prova que a ac¸c˜ao ´e fiel.

O produto em coroa de X e Y , denotado X ◦ Y , ´e o mon´oide ordenado de transforma¸c˜oes (P × Q, W ).

Dados dois mon´oides ordenados M e N , consideremos o produto em coroa (M, M ) ◦ (N, N ) = (M × N, W ). O mon´oide ordenado W ´e chamado o produto em coroa de M e N , e ´e denotado por M ◦ N . Podemos reparar que o produto em coroa destes dois mon´oides ordenados pode ser escrito como o produto semi-directo OP (N, M ) ∗ N , onde OP (N, M ) ´e o mon´oide das transforma¸c˜oes N → M que preservam a ordem. Definindo a ac¸c˜ao esquerda (n, f ) 7→ n · f de N em OP (N, M ), com a propriedade n⁰· (n · f ) = (n⁰n) · f , para quaisquer n, n⁰ ∈ N , temos que o produto semidirecto dado por esta ac¸c˜ao ´e isomorfo a M ◦ N .

Para dois mon´oides ordenados (M, 6) e (N, 6), um morfismo relacional de M em N ´e uma rela¸c˜ao τ : (M, 6) → (N, 6) tal que

(1) (mτ )(m⁰τ ) ⊆ (mm⁰)τ , para quaisquer m, m⁰ ∈ M ; (2) mτ ´e n˜ao-vazio, para qualquer m ∈ M ;

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

Observamos que o morfismo relacional τ : M → N ´e um subconjunto de M × N e que

(x, y) ∈ τ ⇔ y ∈ xτ

Sejam α : τ → M e β : τ → N as projec¸c˜oes na primeira e segunda coordenadas, respectiva-mente.

Vemos ent˜ao que τ ´e um morfismo relacional se e s´o se τ for um submon´oide de M × N e α for sobrejectiva. Podemos ent˜ao ver que τ = α⁻¹β. Ent˜ao, qualquer morfismo relacional pode ser escrito como a composi¸c˜ao do inverso de um morfismo sobrejectivo com um morfismo. A factoriza¸c˜ao τ = α⁻¹β ´e chamada a factoriza¸c˜ao can´onica de τ .

Verificamos que, se ϕ : M → N for um morfismo sobrejectivo, ent˜ao ϕ⁻¹ ´e um morfismo relacional. Sejam n, n⁰ ∈ N . Ent˜ao, temos que existem m ∈ nϕ⁻¹ e m⁰ ∈ n⁰ϕ⁻¹. Provando que mm⁰ ∈ (nn⁰)ϕ⁻¹, provamos a propriedade (1). Mas, como ϕ ´e um morfismo, temos que (mm⁰)ϕ = (mϕ)(m⁰ϕ) = nn⁰, e portanto mm⁰ ∈ (nn0)ϕ⁻¹. Como ϕ ´e sobrejectivo, temos que nϕ⁻¹ ´e n˜ao-vazio, para qualquer n ∈ N , o que nos prova a propriedade (2), e como ´e um morfismo de mon´oides ordenados, temos que 1_Mϕ = 1_N, donde conclu´ımos que 1_M ∈ 1_Nϕ⁻¹, o que nos prova a propriedade (3).

Verificamos tamb´em que a composi¸c˜ao de dois morfismos relacionais tamb´em ´e um mor-fismo relacional. Sejam τ1 : M → M⁰ e τ2 : M⁰ → N dois morfismos relacionais, e sejam m, m⁰ ∈ M . Ent˜ao, temos que (mτ₁τ₂)(m⁰τ₁τ₂) ⊆ ((mτ₁)(m⁰τ₁))τ₂ ⊆ (mm⁰)τ₁τ₂, o que nos prova a propriedade (1). Temos tamb´em que m(τ₁τ₂) = (mτ₁)τ₂, e como τ₁ ´e um morfismo relacional, mτ1 ´e n˜ao-vazio. Como τ2 ´e um morfismo relacional, temos que (mτ1)τ2´e n˜ao-vazio, o que nos prova a propriedade (2). Finalmente, temos que 1_M(τ₁τ₂) = (1_Mτ₁)τ₂. Como τ₁ ´e um morfismo relacional, temos que 1⁰_M ∈ 1_Mτ1, e portanto que 1N ∈ (1_Mτ1)τ2, pois τ2 ´e um morfismo relacional.

Dizemos que um morfismo relacional τ : (M, 6) → (N, 6) ´e uma divis˜ao se, para quais-quer m₁, m₂ ∈ M , n₁ ∈ m₁τ e n₂ ∈ m₂τ , n₁ 6 n2⇒ m₁6 m2. Isto implica que τ ´e uma rela¸c˜ao injectiva, isto ´e, se m1τ ∩ m2τ 6= ∅, ent˜ao m1 = m2. A denomina¸c˜ao “divis˜ao” ´e explicada pelo resultado seguinte.

Proposi¸c˜ao 4.9. Sejam M e N dois mon´oides ordenados. Ent˜ao, M divide N se e s´o se existir uma divis˜ao de M em N .

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que M ´e um quociente ordenado de um submon´oide ordenado N⁰ de N . Seja α : N⁰ → M um morfismo sobrejectivo de mon´oides ordenados. Ent˜ao, a rela¸c˜ao α⁻¹ ´e um morfismo relacional de M em N . Sejam m1, m2 ∈ M , n₁ ∈ m₁α⁻¹ e n2∈ m₂α⁻¹ tais que n16 n2. Ent˜ao, m1 = n1α 6 n2α = m2, pois α preserva a ordem. Logo, α⁻¹´e uma divis˜ao. Reciprocamente, seja τ : M → N uma divis˜ao, e consideremos a rela¸c˜ao τ como um subconjunto de M × N . Sejam α : τ → M e β : τ → N as projec¸c˜oes na primeira e segunda coordenada, respectivamente. Ent˜ao, temos que α ´e sobrejectiva, e como tal M ´e um quociente de τ . Vejamos que τ ´e isomorfo a um submon´oide ordenado de N . Sejam (m₁, n₁), (m₂, n₂) ∈ τ e suponhamos que (m₁, n₁)β 6 (m2, n₂)β, isto ´e, que n₁ 6 n2. Ent˜ao, temos que n₁ ∈ m₁τ e n2 ∈ m₂τ , pela defini¸c˜ao de τ , e como τ ´e uma divis˜ao, temos que m1 6 m2. Portanto, (m₁, n₁) 6 (m2, n₂), o que prova a nossa afirma¸c˜ao. Temos ent˜ao que M divide N .

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

Proposi¸c˜ao 4.10. Sejam M₁, N₁, M₂ e N₂ mon´oides. Temos que, se M₁ e N₁ dividirem M₂ e N₂, respectivamente, ent˜ao M₁◦ N₁ divide M₂◦ N₂.

Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 4.9, temos que existem divis˜oes ϕ₁: M₁ → M₂ e ϕ₂ : N₁ → N₂. Definimos ent˜ao a rela¸c˜ao ϕ : M1◦ N₁→ M₂◦ N₂, dada por

(f, n)ϕ = {(g, k) : k ∈ nϕ₂ e ∀x ∈ N₁, y ∈ xϕ₂, (yg ∈ (xf )ϕ₁)}. Provando que ϕ ´e uma divis˜ao, obtemos o resultado.

Provemos primeiro que ϕ ´e um morfismo relacional. Sejam ent˜ao (f, n), (f⁰, n⁰) ∈ M1◦N₁, (g, k) ∈ (f, n)ϕ e (g⁰, k⁰) ∈ (f⁰, n⁰)ϕ. Temos que

(1) k ∈ nϕ e ∀x ∈ N₁, y ∈ xϕ₂, (yg ∈ (xf )ϕ₁); (2) k⁰ ∈ n⁰ϕ2 e ∀x ∈ N1, y ∈ xϕ2, (yg⁰ ∈ (xf⁰)ϕ1).

Para isso, temos que mostrar que (g, k)(g⁰, k⁰) ∈ ((f, n)(f⁰, n⁰))ϕ. Por defini¸c˜ao, temos que (g, k)(g⁰, k⁰) = (h⁰, kk⁰), onde h⁰ ´e definida por bh⁰= bg + (b · k)g⁰, para cada b ∈ N₂. Temos ainda que (f, n)(f⁰, n⁰) = (h, nn⁰), onde h ´e definida por ah = af + (a · n)f⁰, para cada a ∈ N1. Logo,

((f, n), (f⁰, n⁰))ϕ = (h, nn⁰)ϕ = {(g, k) : k ∈ (nn⁰)ϕ₂ e ∀x ∈ N₁, y ∈ xϕ₂, (yg ∈ (xh)ϕ₁)}. Temos que k ∈ nϕ2 e que k⁰ ∈ n⁰ϕ2, logo kk⁰∈ (nϕ₂)(n⁰ϕ2) ⊆ (nn⁰)ϕ2. Sejam x ∈ N1e y ∈ xϕ2. Temos ent˜ao que yh⁰ = yg + (y · k)g⁰. Por (1), temos que yg ∈ (xf )ϕ₁. Temos ainda que y · k ∈ (xϕ2)(nϕ2) ⊆ (x · n)ϕ2. Logo, por (2), temos que (y · k)g⁰∈ ((x · n)f )ϕ₁. Logo, temos que yh⁰ ∈ (xf )ϕ₁+ ((x · n)f )ϕ1 ⊆ (xf + (x · n)f )ϕ₁ = (xh)ϕ1. Logo, (g, k)(g⁰, k⁰) ∈ ((f, n)(f⁰, n⁰))ϕ. Mostremos agora que (f, n)ϕ ´e n˜ao-vazio. Dado que ϕ2 ´e um morfismo relacional, temos que existe k ∈ nϕ₂. Dado x ∈ N₁, temos que (xf )ϕ₁ ´e n˜ao-vazio, e escolhamos um elemento de (xf )ϕ1, que denominamos por xα. Fixemos um elemento z ∈ M2 Defina-se ent˜ao uma fun¸c˜ao g : N₂ → M₂ do seguinte modo. Para y ∈ N₂, existe no m´aximo um x ∈ N₁ tal que y ∈ xϕ₂, pois ϕ₂ ´e uma divis˜ao. Se existir x, definimos ent˜ao yg = xα. Caso contr´ario, definimos yg = z. Basta ent˜ao ver que g est´a bem definida. Suponhamos que yg = x1α e que yg = x2α. Ent˜ao, temos que y ∈ x₁ϕ₂ e que y ∈ x₂ϕ₂. Mas como ϕ₂´e uma divis˜ao, temos que x₁ = x₂, e portanto x1α = x2α. Logo, g est´a bem definida, donde temos que (g, k) ∈ (f, n)ϕ, o que nos prova que este conjunto ´e n˜ao-vazio.

Para terminar a prova que ϕ ´e um morfismo relacional, basta mostrar que 1M2◦N2 ∈ (1_M1◦M₂)ϕ. Tal como foi visto anteriormente, temos que 1_M1◦N₁ = (1_N1→M₁, 1_N1), onde 1_N1→M₁

´

e definida por a1N1→M1 = 0M1. Analogamente, 1M2◦N2 = (1N2→M2, 1N2). Como ϕ2 ´e um morfismo relacional, temos que 1_N2 ∈ 1_N1ϕ₂. Basta ent˜ao mostrar que, para quaisquer x ∈ N₁, y ∈ xϕ₂, temos que y1_N2→M₂ ∈ (x1_N1→M1)ϕ₁. Temos ent˜ao que y1_N2→M₂ = 0_M2 e x1_N1→M₁ = 0M1, e como ϕ1´e um morfismo relacional, temos que 0M2 ∈ (0_M1)ϕ1, e portanto, para quaisquer x ∈ N₁, y ∈ xϕ₂, temos que y1_N2→M2 ∈ (x1_N1→M1)ϕ₁.

Provemos agora que ϕ ´e injectiva. Suponhamos que (f, n), (f⁰, n⁰) ∈ M₁ ◦ N₁, e que (g, k) ∈ (f, n)ϕ ∩ (f⁰, n⁰)ϕ. Ent˜ao, k ∈ nϕ₂ ∩ n⁰ϕ₂. Mas ϕ₂ ´e uma divis˜ao, donde temos que n = n⁰, e portanto ϕ ´e uma divis˜ao. Ent˜ao, temos que M1◦ N₁ divide M2◦ N₂.

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

O resultado anterior tamb´em pode ser demonstrado para mon´oides ordenados, de uma forma diferente, como visto em [15].

Podemos ainda ver que este resultado n˜ao ´e incompat´ıvel com a defini¸c˜ao de divis˜ao de mon´oides ordenados de transforma¸c˜oes, isto ´e, um mon´oide ordenado de transforma¸c˜oes (M, M ) divide um mon´oide ordenado de transforma¸c˜oes (N, N ) se e s´o se existir uma divis˜ao de M em N .

Seja V uma MO-variedade, e sejam M um mon´oide ordenado e G um grupo ordenado. Um morfismo relacional τ : M → G ´e chamado um V-morfismo relacional se 1τ⁻¹= {m ∈ M : 1 ∈ mτ } pertencer a V.

Proposi¸c˜ao 4.11. Sejam V uma MO-variedade e W uma MO-variedade constitu´ıda por grupos. Ent˜ao, a classe VMW, definida como a classe de todos os mon´oides ordenados M tais que existe um V-morfismo relacional de M num mon´oide de W, ´e uma MO-variedade.

Demonstra¸c˜ao. Sejam M1, M2∈ VMW. Ent˜ao, existem V-morfismos relacionais τ1 : M1 → G₁ e τ2 : M2 → G₂, onde G1, G2 ∈ W. Temos tamb´em que G1× G₂ ∈ W. Provemos ent˜ao que τ : M₁× M₂ → G₁× G₂, dado por (m₁, m₂)τ = m₁τ₁ × m₂τ₂ ´e um V-morfismo relacional de M1× M₂ em G1× G₂.

Sejam (m1, m2), (m⁰₁, m⁰₂) ∈ M1× M₂. Ent˜ao, ((m1, m2)τ )((m⁰₁, m⁰₂)τ ) = (m1τ1× m₂τ2) (m⁰₁τ₁ × m0

2τ₂) = ((m₁τ₁)(m⁰₁τ₁)) × ((m₂τ₂)(m⁰₂τ₂)) ⊆ (m₁m⁰₁)τ₁ × (m₂m⁰₂)τ₂ = ((m₁, m₂) (m⁰₁, m⁰₂))τ . Para al´em disso, temos que (m₁, m₂)τ ´e claramente n˜ao-vazio, pois ´e igual a m1τ1 × m₂τ2, que ´e n˜ao-vazio, por defini¸c˜ao, e que 1G1×G2 = (1G1, 1G2) ∈ 1M1τ1 × 1_M2τ2 = 1_M1×M2τ . Portanto, τ ´e um morfismo relacional.

Basta agora provar que 1_G1×G2τ⁻¹ pertence a V. Ent˜ao, temos que 1_G1×G2τ⁻¹ = (1G1, 1G2)τ⁻¹ = 1G1τ₁⁻¹× 1_G2τ₂⁻¹. Como τ1 e τ2 s˜ao V-morfismos relacionais, temos que 1G1τ₁⁻¹ e 1G2τ₂⁻¹ pertencem a V. Logo, 1G1×G2τ⁻¹ tamb´em pertence a V, o que prova que τ ´e um V-morfismo relacional. Assim, M₁× M₂∈ VMW.

Para qualquer submon´oide ordenado M₁⁰ de M₁, provemos que a restri¸c˜ao τ₁⁰ de τ₁ a M₁⁰ ´e um V-morfismo relacional de M₁⁰ em G1. Claramente, τ₁⁰ ´e um morfismo relacional, pois τ1 ´e um morfismo relacional. Basta ent˜ao ver que 1_G1τ₁⁰⁻¹pertence a V. Temos 1_G1τ₁⁰⁻¹= 1_G1τ₁⁻¹∩ M₁⁰, pelo que 1_G1τ₁⁰⁻¹´e um submon´oide de 1_G1τ₁⁻¹. Como 1_G1τ₁⁻¹∈ V, temos tamb´em que 1_G1τ₁⁰⁻¹∈ V, o que prova que τ₁⁰ ´e um V-morfismo relacional, e, consequentemente, que M₁⁰ ∈ VMW.

Seja agora M um quociente ordenado de M1. Ent˜ao, existe um morfismo sobrejectivo de mon´oides ordenados ϕ : M₁ → M . Seja ainda τ₁ = α⁻¹β a factoriza¸c˜ao can´onica de τ₁. Dado que α e ϕ s˜ao sobrejectivas, temos que a composi¸c˜ao αϕ : τ₁ → M ´e sobrejectiva, e portanto podemos tomar a rela¸c˜ao τ = (αϕ)⁻¹β : M → G1, que ´e um morfismo relacional. Ent˜ao, 1_G1τ⁻¹ = 1_G1((αϕ)⁻¹β)⁻¹ = 1_G1(ϕ⁻¹α⁻¹β)⁻¹ = 1_G1(ϕ⁻¹τ₁)⁻¹ = (1_G1τ₁⁻¹)ϕ. Como τ₁ ´e um V-morfismo relacional, temos que 1G1τ₁⁻¹ ∈ V, e como V ´e fechado para quocientes, temos que (1_G1τ₁⁻¹)ϕ ∈ V. Logo, τ ´e um V-morfismo relacional, e por isso M ∈ VMW.

Portanto, VMW ´e fechada para produtos directos finit´arios, submon´oides ordenados e quocientes ordenados, o que nos prova que esta classe ´e de facto uma MO-variedade.

Chamamos `a MO-variedade VMW o produto de Malcev de V e W.

As defini¸c˜oes de produto semi-directo, produto em coroa e produto de Malcev foram dadas para mon´oides ordenados, mas tamb´em podem ser dadas para mon´oides, retirando das

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

defini¸c˜oes as partes referentes a ordens parciais. Como tal, os resultados seguintes que envolvem estes trˆes produtos podem ser enunciados para mon´oides. Estas defini¸c˜oes e os consequentes resultados s˜ao ´uteis para provar o Teorema 4.29.

Definimos agora os mon´oides ordenados U₁⁺, U₁⁻ e U1 como sendo o mon´oide ordenado {0, 1}, com o produto habitual nos inteiros e com a ordem 0 6 1, no caso de U₁⁺, 1 6 0, no caso de U₁⁻, e com a igualdade, no caso de U1.

Proposi¸c˜ao 4.12. Sejam V e W MO-variedades. O produto semi-directo V ∗ W ´e a classe de todos os divisores de

(1) Mon´oides da forma M ∗ N , com M ∈ V e N ∈ W;

(2) Mon´oides de produtos em coroa da forma (P, M ) ◦ (Q, N ), com M ∈ V e N ∈ W; (3) Produtos em coroa da forma M ◦ N , com M ∈ V e N ∈ W.

Demonstra¸c˜ao. Para facilitar esta demonstra¸c˜ao, vamos tomar trˆes classes de mon´oides finitos ordenados a que iremos chamar U1, U2 e U3, que ser˜ao as classes dos divisores de (1), (2) e (3), respectivamente. Provando que U₃ ⊆ U₂ ⊆ U₁ ⊆ U₃, e que U₁ = V ∗ W, obtemos o resultado.

U₃ ⊆ U₂: Dado que qualquer mon´oide da forma (3) pode ser escrito como um mon´oide da forma (2), temos que qualquer mon´oide que divide um mon´oide da forma (3) divide um mon´oide da forma (2), o que nos prova a inclus˜ao.

U₂ ⊆ U₁: Sejam ent˜ao (P, M ) e (Q, N ) mon´oides ordenados de transforma¸c˜oes, com M ∈ V e N ∈ W. Como j´a foi visto anteriormente, temos que o mon´oide ordenado associado ao produto em coroa ´e OP (Q, M ) ∗ N , com a ac¸c˜ao esquerda (q, f ) 7→ q · f e com a propriedade q⁰· (q · f ) = (q0q) · f , para quaisquer q, q⁰ ∈ Q. Verificando que OP (Q, M ) ∈ V, podemos obter o resultado. Seja ent˜ao M^Q o mon´oide ordenado das aplica¸c˜oes parciais de Q em M , com a ordem habitual definida por

f 6 g se Dom(f ) ⊆ Dom(g) e, para qualquer q ∈ Q, qf 6 qg, e o produto definido por

q(f g) = (qf )(qg), para qualquer q ∈ Q.

Podemos ver que ´e poss´ıvel definir um morfismo sobrejectivo de mon´oides ordenados entre M × · · · × M (|Q| vezes) e M^Q, o que nos prova que M^Q ∈ V. ´E tamb´em poss´ıvel ver que OP (Q, M ) ´e um submon´oide ordenado de M^Qcom a mesma ordem e o mesmo produto definido em M^Q, o que nos prova que OP (Q, M ) ∈ V. Como tal, temos que OP (Q, M ) ∗ N ∈ V ∗ W, o que nos prova a segunda inclus˜ao.

U₁ ⊆ U₃: Tomemos ent˜ao mon´oides ordenados M ∈ V e N ∈ W. Dado um produto semi-directo M ∗ N , podemos definir, para cada m ∈ M , a aplica¸c˜ao fm : N → M , dada por n 7→ nm. Ent˜ao, temos que a aplica¸c˜ao de M ∗ N em OP (N, M ) ∗ N , que a cada par (m, n) nos associa o par (f_m, n), ´e um morfismo injectivo de mon´oides ordenados de M ∗ N no mon´oide ordenado associado ao produto em coroa (M, M ) ◦ (N, N ). Podemos ver que 1fm = 1m = m e que, para quaisquer m₁, m₂ ∈ M , n₁, n₂ ∈ N , temos que

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o que nos prova que esta aplica¸c˜ao ´e um morfismo de mon´oides. Vemos tamb´em que, se (m₁, n₁) 6 (m2, n₂), ent˜ao m₁ 6 m2 e n₁ 6 n2, e como tal nf_m1 = nm₁ 6 nm2 = nf_m2, para qualquer n ∈ N , o que nos prova que ´e um morfismo de mon´oides ordenados. Pela forma como f_m foi definida, temos claramente que este morfismo ´e injectivo, o que nos prova a ´ultima inclus˜ao.

Finalmente, provemos a igualdade U1 = V ∗ W. Dado que V ∗ W ´e gerada pelos mon´oides da forma M ∗ N , com M ∈ V e N ∈ W, temos que ´e fechada para divisores, o que nos prova uma das inclus˜oes. Para provar a outra inclus˜ao, basta provar que o pro-duto semi-directo ´e fechado para o produto directo. Sejam ent˜ao M1, M2 ∈ V e N₁, N2 ∈ W. Provando que (M₁ ∗ N₁) × (M₂ ∗ N₂) ∈ V ∗ W, obtemos o resultado. Podemos ent˜ao definir uma aplica¸c˜ao ϕ de (M₁ × M₂) ∗ (N₁ × N₂) em (M₁ ∗ N₁) × (M₂ ∗ N₂), dada por ((m, m⁰), (n, n⁰))ϕ = ((m, n), (m⁰, n⁰)). Notamos que (M1×M₂)∗(N1×N₂) ∈ V∗W, pois V e W s˜ao MO-variedades, e por isso fechadas para o produto directo. Provando que ´e um morfismo sobrejectivo de mon´oides ordenados, obtemos o resultado. Sejam ent˜ao (m1, m⁰₁), (m2, m⁰₂) ∈ M1 × M₂ e (n1, n⁰₁), (n2, n⁰₂) ∈ N1 × N₂. Ent˜ao, ((m1, m⁰₁), (n1, n⁰₁))ϕ((m2, m⁰₂), (n2, n⁰₂))ϕ = ((m₁, n₁), (m⁰₁, n⁰₁))((m₂, n₂), (m⁰₂, n⁰₂)) = ((m₁, n₁)(m₂, n₂), (m⁰₁, n⁰₁)(m⁰₂, n⁰₂)) = ((m₁+ n₁· m₂, n1n2), (m⁰₁ + n⁰₁ · m⁰₂, n⁰₁n⁰₂)). Temos ainda que (((m1, m⁰₁), (n1, n⁰₁))((m2, m⁰₂), (n2, n⁰₂)))ϕ = (((m₁, m⁰₁)+(n₁, n₂)·(m₂, m⁰₂)), (n₁, n⁰₁)(n₂, n⁰₂))ϕ = ((m₁+n₁·m₂, m⁰₁+n₂·m₂⁰), (n₁n₂, n⁰₁n⁰₂))ϕ = ((m₁ + n₁ · m₂, n₁n₂), (m⁰₁ + n⁰₁ · m0

2, n⁰₁n⁰₂)). Dado que a ordem no produto semi-directo e no produto directo ´e exactamente a mesma, vemos facilmente que ϕ preserva a ordem. Para al´em disso, ϕ ´e claramente sobrejectivo. Portanto, temos que ϕ ´e um morfismo sobrejectivo de mon´oides ordenados, o que nos prova que (M₁∗ N₁) × (M₂ ∗ N₂) ∈ V ∗ W, e assim conclui a demonstra¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 4.13. Seja V uma MO-variedade e G a MO-variedade dos grupos. Ent˜ao, V ∗ G ⊆ VMG.

Demonstra¸c˜ao. Seja N um produto semi-directo M ∗ G de algum mon´oide ordenado M ∈ V por algum grupo G. Seja π : N → G o morfismo de mon´oides ordenados dado por (m, g)π = g. Ent˜ao, 1π⁻¹' M ∈ V, donde conclu´ımos que N ∈ VMG. Logo, V ∗ G ⊆ VMG.

Em I_X, podemos definir uma ordem, dada por f 6 g se e s´o se Dom(f ) ⊆ Dom(g) e a restri¸c˜ao de g a Dom(f ) for exactamente f .

Dado que qualquer morfismo de mon´oides inversos preserva a ordem, o Teorema 1.7 mostra-nos que qualquer mon´oide ordenado M ´e isomorfo a um submon´oide ordenado de (I_M, 6).

Seja Q um conjunto finito. Podemos ent˜ao definir (2^Q, 6) como sendo o mon´oide ordenado cujos elementos s˜ao os subconjuntos de Q, o produto ´e a intersec¸c˜ao e a ordem ´e a inclus˜ao. Note-se que (2^Q, 6) ´e um mon´oide idempotente e comutativo, e que (2^Q, 6) ∈ J⁺₁. Vemos ainda que (2^Q, >) ∈ J⁻₁ e que 2^Q∈ J₁.

Definimos agora uma ac¸c˜ao esquerda unit´aria de G_Q, o grupo sim´etrico de Q, em (2^Q, 6), tomando, para quaisquer σ ∈ GQ e P ⊆ Q, σ · P = P σ⁻¹. Esta ac¸c˜ao define um produto semi-directo, e obtemos o resultado seguinte.

Proposi¸c˜ao 4.14. O mon´oide ordenado (I_Q, 6) ´e um quociente ordenado do mon´oide ordenado (2^Q, 6) ∗ (GQ, =).

CAP´ITULO 4. LINGUAGENS ASSOCIADAS A MON ´OIDES INVERSOS

Demonstra¸c˜ao. Sejam P ⊆ Q e σ ∈ G_Q. Definimos σ_P como sendo a restri¸c˜ao de σ a P .

Ent˜ao, definimos uma fun¸c˜ao sobrejectiva Θ : (2^Q, 6) ∗ (GQ, =) → (I_Q, 6), dada por (P, σ)Θ = σ_P. Sejam (P, σ) e (P⁰, σ⁰) elementos de 2Q× G_Q. Ent˜ao, o dom´ınio de σ_Pσ⁰_P0 ´e P ∩ P⁰σ⁻¹, e portanto ((P, σ)(P⁰, σ⁰))Θ = (P, σ)Θ(P⁰, σ⁰)Θ. Temos ent˜ao que Θ ´e um morfismo de mon´oides.

Para provar que (I_Q, 6) ´e um quociente ordenado de (2^Q, 6) ∗ (GQ, =), ´e necess´ario verificar que este morfismo preserva a ordem, isto ´e, se (P, σ) 6 (P⁰, σ⁰) em (2^Q, 6) ∗ (GQ, =), temos que σP 6 σ_P⁰ 0 em (IQ, 6). Suponhamos que (P, σ) 6 (P⁰, σ⁰). Ent˜ao, pela ordem definida em 2^Q e em G_Q, temos que P ⊆ P⁰ e que σ = σ⁰. Temos ent˜ao que σ_P 6 σP0 = σ⁰_P0 em I_Q, dado que dom(σP) = P ⊆ P⁰ =dom(σP0) e temos que a restri¸c˜ao de σP0 a P ´e exactamente σP.

Portanto, conclu´ımos que (IQ, 6) ´e um quociente ordenado de (2^Q, 6) ∗ (GQ, =).