2.1.1
Sistema
Um sistema pode ser definido como uma coleção de componentes acoplados para desempenhar certa função (BOTTURA, 1982a). A caracterização de um sistema enfatiza as relações de causa e efeito, ou de entrada e saída existentes no ente analisado. A seguir, definições referentes a sistemas, de uma perspectiva de modelo de regressão, são apresentadas: 2.1.1.1 Sistema estático
Também conhecido como sistema instantâneo ou algébrico, é aquele onde a saída depende apenas do instante presente, ver Fig. 1(a). Por exemplo 𝑦𝑘 = 𝑎0𝑘+ 𝑎1𝑘𝑧𝑘, onde a saída
observada no 𝑘-ésimo instante depende unicamente do sinal causa 𝑧𝑘 medido neste mesmo
instante 𝑘. O sinal causa sobre o sistema da Fig. 1(a), produz um sinal efeito.
2.1.1.2 Sistema dinâmico
É aquele em que alguns dos seus aspectos variam com o tempo, ver Fig. 1(b). Se ele é contínuo ou analógico seu modelo matemático é constituído por equações diferenciais, onde pelo menos uma derivada é em relação à variável independente tempo. Se ele é discreto, seu
Figura 1 – Sistema estático (a) e sistema dinâmico (b).
modelo matemático é descrito por equações a diferenças finitas. No contexto dos modelos de regressão, isto equivale a que a resposta 𝑦𝑘 dependa de pelo menos um regressor com atraso,
por exemplo: 𝑦𝑘 = 𝑎0𝑘+ 𝑎1𝑘𝑧𝑘+ 𝑎2𝑘𝑧𝑘−1.
2.1.1.3 Sistema causal ou não antecipativo
É aquele que não depende dos estados futuros do sistema, ou seja ele não consegue antecipar medidas futuras das causas e efeitos. Todos os modelos de regressão estudados nesta tese são do tipo causal.
2.1.1.4 Sistemas linear e não linear
Sistema linear é aquele ao qual se aplica o princípio de superposição. No caso contrário o sistema é não linear. Este princípio estabelece que a resposta do sistema, ante uma com- posição de entradas, é igual à soma de respostas individuais quando cada entrada é aplicada individualmente ao sistema. Porém, nos modelos de regressão, o modelo linear de um sistema é usualmente definido pela estrutura linear com respeito aos parâmetros. Por exemplo, o modelo 𝑦𝑘 = 𝑎𝑓1(𝑧𝑘−1) + 𝑏𝑓2(𝑧𝑘−1) é considerado linear mesmo que não cumpra o princípio
de superposição, porque 𝑓1 e 𝑓2 podem ser funções não lineares que dependem do regres-
sor 𝑧. Nesta dissertação, similarmente a muitos autores, chamaremos esse tipo de modelos como não lineares, mas lineares nos parâmetros. (BILLINGS, 2013; MOSTELLER; TUKEY, 1977; GREEN; SILVERMAN, 1994). Um modelo autoregressivo, com estrutura não linear é usualmente representado de forma genérica como 𝑦𝑘 = 𝑓 (z𝑘, 𝜃𝑘, 𝜂𝑘), onde z𝑘 é o vetor de
regressores, 𝜃𝑘 é o vetor de parâmetros e 𝜂𝑘 é um ruído Gaussiano com variância conhecida.
2.1.1.5 Sistema variante no tempo
É aquele sistema onde os parâmetros do modelo mudam com o tempo, neste caso podemos representar o parâmetro variante como 𝑎𝑘, se a variação do parâmetro se relaci-
ona com a variação do tempo. Se existir dependência causal entre o parâmetro e o tempo, representaremos isto como 𝑎(𝑘).
2.1.1.6 Caracterização dos Sistemas pelas quantidades de entradas e saídas
O Sistema mais simples é o escalar, com entrada e saída únicas SISO, (do inglês Single
Input - Single Output). Similarmente, os modelos de múltiplas entradas e uma única saída são
chamados de modelos MISO (do inglês Multiple Inputs - Single Output). Finalmente temos os modelos de múltiplas entradas e múltiplas saídas, MIMO.
2.1.1.7 Sistemas estocástico e determinístico
Um sistema é estocástico quando um ou mais dos seus parâmetros é expressado de forma probabilística. Este modelo também é conhecido como modelo probabilístico. O caso contrário é conhecido como modelo determinístico (BOTTURA, 1982a).
2.1.1.8 Sinais de entrada em sistemas
Um sistema pode ser submetido a entradas do tipo determinístico, em que todas as suas realizações, em cada instante, tomam sempre um valor específico ou conhecido, as quais podem ser discretas ou contínuas. No caso contrário temos as entradas aleatórias, as quais só podem ser expressas em termos probabilísticos. Neste caso cada realização do sinal de entrada no sistema é diferente.
2.1.1.9 Coeficiente de autocorrelação com atraso e Ruído branco
Usualmente é impossível obter uma descrição completa de um processo estocástico. Por isto, apresentamos o coeficiente de autocorrelação, que é muito útil para ter uma descrição do processo para a sua modelagem. O coeficiente de autocorrelação indica quanta correlação existe entre dados próximos em uma série 𝑦𝑘 (PINDYCK; RUBINFELD, 1991). O coeficiente
de autocorrelação com atraso 𝑙 é definido assim:
𝜌𝑙 = 𝐸 [(𝑦𝑘− 𝜇𝑦)(𝑦𝑘+𝑙− 𝜇𝑦)] √︁ 𝐸 [(𝑦𝑘− 𝜇𝑦)2] 𝐸 [(𝑦𝑘+𝑙− 𝜇𝑦)2] = Cov(𝑦𝑘, 𝑦𝑘+𝑙) 𝜎𝑦𝑘𝜎𝑦𝑘+𝑙 (2.1)
𝑦𝑘 é um processo estocástico e 𝜇𝑦 é a sua média. Para um processo estacionário, as duas
variâncias do denominador da equação (2.1) são as mesmas. Isto se cumpre para todo valor de 𝑙. Deste modo, podemos reescrever o coeficiente de autocorrelação com atraso 𝑙:
𝜌𝑙 =
𝐸 [(𝑦𝑘− 𝜇𝑦)(𝑦𝑘+𝑙− 𝜇𝑦)]
𝜎2 𝑦
. (2.2)
Seja o seguinte processo estocástico:
𝑦𝑘 = 𝜀𝑘, (2.3)
onde 𝜀𝑘é uma variável aleatória distribuída independentemente com média zero. Da equação
(2.2), podemos notar que o coeficiente de autocorrelação deste processo é dado por: 𝜌0 =
1, 𝜌𝑙 = 0, para 𝑙 > 0. O processo da equação (2.3) é chamado de ruído branco, e o modelo
que melhor o estima é: ^𝑦 = 0.
2.1.1.10 Tipos de modelos regressivos segundo a estrutura
Um modelo regressivo básico é o FIR (do Inglês: Finite Impulse Response):
𝑦𝑘= 𝑛𝑢 ∑︁
𝑖=0
ℎ𝑖𝑢𝑘−𝑖+ 𝑒𝑘,
onde ℎ𝑘 é a resposta ao impulso, 𝑢𝑘 é o sinal de entrada exógena e 𝑒𝑘 é o ruido branco. A
regressão se dá em relação à entrada.
Outro modelo de regressão básico é o auto-regressivo AR, cuja dinâmica depende ape- nas de auto-regressores e de efeitos que são causados por ruído branco. Quando a estrutura considera entradas exógenas o modelo é denotado como ARX (do inglês: Auto-Regressive with
eXogenous inputs). Quando o ruído não é branco: colorido, podemos representá-lo por uma
média móvel MA (do inglês: moving average). Se a estrutura também considera regressores sobre o ruído branco, o modelo é denotado ARMA. No caso em que este tipo de modelo tam- bém considere como regressores as variáveis exógenas, temos o modelo ARMAX. Finalmente, o modelo não linear com entrada exógena e média móvel do ruído branco é denotado como NARMAX (LEONTARITIS; BILLINGS, 1984; HARVEY, 1993; MOSTELLER; TUKEY, 1977; MYERS, 2000).
2.1.2
Série temporal
Uma série temporal é um grupo de observações medidas sequencialmente ao longo do tempo (VERBEEK, 2008). A série temporal é uma realização de um processo estocástico. As medições podem ter sido feitas em intervalos uniformes, por exemplo uma série que mostra a temperatura diária de uma cidade ao longo do ano, ou não. Diferentemente dos sistemas, uma série temporal não enfatiza a relação de causa-efeito ou entre sinais de entrada e de saída. Assim, a principal característica das séries temporais é a de que são apenas sinais. Vale a pena mencionar que o estudo dos sistemas é mais comum na área de controle e automação, porém o estudo de séries temporais é mais amplo e mais antigo, por ser aplicado em variadas
áreas como: processamento de sinais, economia, demografia, ciências sociais, meteorologia, epidemiologia, etc. (LUTKEPOHL, 2013; HARVEY, 1993; AOKI, 1987).
A modelagem da dinâmica de dados de sistemas, e o modelamento dinâmico de séries temporais, com não linearidades que variam rapidamente, constituem os principais objetivos desta tese.
2.1.3
Conceito de estado
O conceito de estado é bastante geral e a sua interpretação apresenta seus próprios paradigmas, dependendo da área onde é utilizada. Nesta tese utilizamos o conceito de estado na perspectiva da área de controle e automação. Assim, definimos o estado como uma variável vetorial de dimensão finita, que descreve o estado de um sistema, como uma coleção mínima de informações necessárias para determinar a evolução futura do sistema dinâmico, dados o estado atual e as entradas a partir daquele instante (AOKI, 1987). Por exemplo, em sistemas, um estado pode ser uma variável associada a um componente que acumula energia. Em séries temporais, devido ao pouco conhecimento da natureza dos fenômenos por elas representados, um estado pode não ter nenhuma interpretação funcional, por exemplo física ou econômica. Vale a pena mencionar que, em séries temporais modeladas com modelos estruturais, os estados têm como interpretação os seus componentes: tendência, sazonalidade, cíclico, etc.
2.1.4
Modelos para relações de causa e efeito em sistemas dinâmicos
As representações de um sistema SISO por função de transferência no tempo contínuo 𝑡:
𝐻(𝑠) = 𝑌 (𝑠) 𝑈 (𝑠) = ℒ {𝑦𝑡} ℒ {𝑢𝑡} (2.4) = Σ 𝑁 𝑖=0𝑏𝑖𝑠−𝑖 Σ𝑀 𝑗=0𝑎𝑗𝑠−𝑗 , 𝑀 ≥ 𝑁 (2.5) e por função de transferência no tempo discreto 𝑘:
𝐻(𝑧) = 𝑌 (𝑧) 𝑈 (𝑧) = 𝒵 {𝑦𝑘} 𝒵 {𝑢𝑘} (2.6) = Σ 𝑁 𝑖=0𝑏𝑖𝑧−𝑖 Σ𝑀 𝑘=𝑗𝑎𝑗𝑧−𝑗 , 𝑀 ≥ 𝑁 (2.7) onde ℒ {.} é a transformada de Laplace, e 𝒵 {.} é a transformada 𝑍, envolvem a entrada ou causa 𝑢 e a saída ou efeito 𝑦, das suas transformadas respectivas, tanto para sistemas como para séries temporais.
As representações de um sistema MIMO em espaço de estado no tempo contínuo: ˙x𝑡= Ax𝑡+ Bu𝑡 (2.8) y𝑡= Cx𝑡+ Du𝑡 (2.9) e em tempo discreto: x𝑘+1 = Ax𝑘+ Bu𝑘 (2.10) y𝑘 = Cx𝑘+ Du𝑘 (2.11)
envolvem o estado x ∈ R𝑛, a causa u, o efeito y e a quádrupla de matrizes compatíveis [A, B, C, D]. Se estas forem variantes com o tempo, no caso discreto teremos:
x𝑘+1 = A𝑘x𝑘+ B𝑘u𝑘 (2.12)
y𝑘 = C𝑘x𝑘+ D𝑘u𝑘. (2.13)