Seja o benchmark dado pela equação logística forçada:
𝑥𝑘 = (2 − 2𝑥𝑘−1) 𝑥𝑘−1+ 0, 01 (tanh (𝑢𝑘−1) + 0, 02𝑢𝑘−1) (7.29)
𝑦𝑘 = 𝑥𝑘+ 𝑒𝑘, 𝑒𝑘 ∼ 𝒩 (0, 𝜎2) (7.30)
a variância de 𝑢𝑘 é 𝜎2𝑢 = 8 e a do ruído de saída 𝑒𝑘 é 𝜎2 = 4 × 10−6. Inicialmente trataremos
da identificação do processo ARX-RDP. Comparando a estrutura do sistema (7.29) com a estrutura ARX-RDP, notamos que os parâmetros do modelo ARX-RDP equivalente são:
𝜃1(𝑥𝑘−1) = 2 − 2𝑥𝑘−1 (7.31)
𝜃2(𝑢𝑘−1) =
0, 01 (tanh (𝑢𝑘−1) + 0, 02𝑢𝑘−1)
𝑢𝑘−1
(7.32) Estes dois parâmetros são funções dos regressores causais 𝑥𝑘−1 e 𝑢𝑘−1. Note que o regressor
causal 𝑥𝑘−1não é medido diretamente, mas pode ser aproximado pela equação de saída (7.30).
Para garantir que 𝑥𝑘−1seja bem aproximado por 𝑦𝑘−1, a variância do sinal de ruído 𝑒𝑘deve ser
suficientemente pequena, quando comparada com a variância da saída 𝑦𝑘, i.e. o valor de SNR
0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 -10 -5 0 5 10 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015
Figura 51 – Parâmetros estimados e parametrizados com funções Kernel Gaussianos (linha cinza tracejada), parâmetros estimados e refinados (linha preta continua), e pa- râmetros de referência reais (marcas circulares cinzas).
simulando os dados com 𝑆𝑁 𝑅 = 4, 78%. Assim, consideraremos que a saída do modelo 𝑦𝑘−1
é um regressor causal, ou seja, o primeiro parâmetro do modelo será 𝜃1(𝑦
𝑘−1) = 2 − 2𝑦𝑘−1. Na
Fig. 51 são mostrados os dois parâmetros estimados usando o algoritmo proposto no Capítulo 5.
Após uma inspeção visual dos resultados da Fig. 51, podemos supor que os parâmetros do modelo têm forma:
𝜃1(𝑦𝑘−1) = 𝛼1 + 𝛽1𝑦𝑘−1 (7.33)
𝜃2(𝑢𝑘−1) = 𝛼2tanh (𝑢𝑘−1) + 𝛽2𝑢𝑘−1 (7.34)
Podemos estimar os hiper-parâmetros {𝛼𝑖}2
𝑖=1 e {𝛽 𝑖}2
𝑖=1 mediante a técnica de para-
metrização por funções base, usando como dados de treinamento os resultados da estimação mostrados na Fig. 51. Assim, os hiper-parâmetros estimados são: ^𝛼1 = 1, 993, ^𝛽1 = −1, 992,
^
𝛼2 = 0, 015 e ^𝛽2 = 0, 00019. Por tanto o modelo estimado é:
^
𝑥𝑘 = 𝜃^1(𝑥𝑘−1)𝑥𝑘−1+ ^𝜃2(𝑢𝑘−1)𝑢𝑘−1 (7.35)
^
𝑦𝑘 = 𝑥^𝑘 (7.36)
^ 𝜃1(𝑥𝑘−1) = 𝛼^1− ^𝛽1𝑥𝑘−1 (7.37) ^ 𝜃2(𝑢𝑘−1) = ^ 𝛼2tanh (𝑢𝑘−1) + ^𝛽2𝑢𝑘−1 𝑢𝑘−1 . (7.38)
Os parâmetros estimados ^𝜃1(𝑥𝑘−1) e ^𝜃2(𝑢𝑘−1) definem o modelo do sistema em (7.35)-(7.36).
Este sistema é equivalente à função de transferência 𝐵𝑘(𝑞−1)
𝐴𝑘(𝑞−1) da equação (6.16), ver Fig. 30.
Como ^𝜃1(𝑥
𝑘−1) e ^𝜃2(𝑢𝑘−1) são variantes no tempo, o controle deste sistema é considerado do
tipo adaptativo.
Então, segundo as equações (6.23)-(6.26), o modelo ARX-RDP estimado pode ser represen- tado pela seguinte forma no espaço de estados não mínima:
⎡ ⎣ ^ 𝑥𝑘 ^ 𝑧𝑘 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ ^ 𝜃1(𝑥𝑘−1) 0 −^𝜃1(𝑥𝑘−1) 1 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ 𝑥𝑘−1 𝑧𝑘−1 ⎤ ⎦+ ⎡ ⎣ ^ 𝜃2(𝑢𝑘−1) −^𝜃2(𝑢𝑘−1) ⎤ ⎦𝑢𝑘−1+ ⎡ ⎣ 0 1 ⎤ ⎦𝑟𝑘 (7.39) ^ 𝑦𝑘 = [︁ 1 0]︁ ⎡ ⎣ ^ 𝑥𝑘 ^ 𝑧𝑘 ⎤ ⎦ (7.40)
no ponto de equilíbrio temos 𝑥𝑘 = 𝑢𝑘 = 0, com isto a solução da equação algébrica de Riccati
é: 𝑃 = ⎡ ⎣ 40 0 0 6, 9 ⎤ ⎦, com 𝑄 = ⎡ ⎣ 40 0 0 1 ⎤ ⎦, 𝑅 = 1 × 10−9
e o vetor de ganhos estimados do controlador v𝑘 = [𝑣1𝑘 𝑣𝑘2], é:
^ 𝑣𝑘1 = ⎡ ⎣ 46, 8 ^𝜃1(𝑥 𝑘)^𝜃2(𝑢𝑘) (1 × 10−9) + 46, 8^𝜃2(𝑢 𝑘)2 ⎤ ⎦ (7.41) ^ 𝑣𝑘2 = ⎡ ⎣ −6, 8 ^𝜃2(𝑢 𝑘) (1 × 10−9) + 46, 8^𝜃2(𝑢 𝑘)2 ⎤ ⎦ (7.42)
O controlador adaptativo PIP é obtido substituindo isto na equação (6.27). Na Fig. 52, se mostra o resultado do tracking de um sinal de onda quadrada, bem como o respectivo sinal de controle e a integral do erro em função do tempo. Na Fig. 53 são mostrados os mesmos resultado para uma entrada de referência do tipo senoidal. Nos dois casos obtivemos resultados com bom desempenho.
0 50 100 150 200 250 300 -0.5 0 0.5 0 50 100 150 200 250 300 -2000 0 2000 0 50 100 150 200 250 300 -5 0 5 zk
Figura 52 – Desempenho em malha fechada do sistema de controle adaptativo PIP para um sinal de referência onda quadrada.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0.5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -1000 0 1000
Figura 53 – Desempenho em malha fechada do sistema de controle adaptativo PIP para um sinal de referência senoidal
Conclusão
Duas propostas de estimação de modelos ARX-RDP foram apresentadas nesta tese. A primeira técnica, suavização por partes, divide o problema de modelamento não linear em subproblemas de modelamento de parâmetros suavizados localmente. A suavização proposta mistura a técnica de reordenamento de dados de Peter Young e a técnica de interseção de janelas no domínio do regresor causal, por nós proposta. A principal vantagem prática deste método é o custo computacional, quando comparado com métodos similares da literatura. A segunda proposta é um preditor no domínio do regressor causal, ao invés de no domínio do tempo, como usual. Definimos o termo regressor causal, como uma variável que causa a variação do seu parâmetro associado. Esta simples mudança da perspectiva da análise do preditor, faz que o estimador convencional de mínimos quadrados recursivo estime parâmetros que variam rapidamente. A principal vantagem deste estimador é ser completamente On-Line e simples. Nesta proposta, o parâmetro é modelado como um passeio aleatório, no domínio do seu regressor causal associado. Deste modo, a predição do parâmetro não depende da sua estimação em um instante anterior, como usual, senão da sua estimação em algum instante antigo, onde o seu regressor causal associado é próximo ao seu regressor causal atual. Este instante antigo é chamado de instante afim, ¯𝑘, ao instante presente, 𝑘. Deste modo, a predição
do 𝑖-ésimo parâmetro ^𝜃𝑖𝑘|𝑘−1, no instante atual 𝑘, baseada nas estimações até o instante 𝑘 − 1, é aproximada à sua estimação no instante afim: ^𝜃𝑘|𝑘−1𝑖 = ^𝜃𝑘𝑖¯. Analogamente, a predição da
matriz de covariância do erro ^P𝑖𝑘|𝑘−1, é aproximada por uma matriz diagonal onde o 𝑖-ésimo elemento da diagonal ^𝑃𝑘|𝑘−1𝑖,𝑖 , é aproximado à estimação do 𝑖-ésimo elemento da diagonal da matriz de covariância estimada no instante afim: ^𝑃𝑘|𝑘−1𝑖,𝑖 = ^𝑃𝑘¯𝑖,𝑖.
No caso de parâmetros com dependências múltiplas, o instante afim ¯𝑘 é obtido consi-
derando a norma mínima da diferença entre o vetor dos seus regressores causais associados, no instante 𝑘 e no instante afim ¯𝑘.
No caso de modelos ARX-RDP MIMO, consideramos que cada elemento do vetor de saídas y𝑘, conjuntamente com cada linha das matrizes de parâmetros do modelo, das matrizes de regressores do modelo, e das matrizes de regressores causais, {Θ𝑘, Ψ𝑘, Φ𝑘} res-
pectivamente, estão associados a um modelo ARX-RDP MISO. O desenvolvimento da versão do estimador causal ARX-RDP MIMO foi testado em um sistema hidráulico de 4 tanques, onde estimamos simultaneamente 10 parâmetros do modelo. Estes parâmetros estão associa- dos a 4 sistemas MISO interconectados. Neste exemplo mostramos também o caso de modelos ARX-RDP com parâmetros unitários e as polarizações associadas às suas estimações.
Adicionalmente, o caso de estimação caixa-preta foi tratado mediante um exemplo com dados de séries temporais reais. Neste exemplo, definimos 3 tipos de possíveis estrutu- ras ARX-RDP, das quais foram testadas 14 estruturas candidatas e escolhemos a que gerou menor erro de estimação. Neste exemplo foi sugerido, como trabalho futuro, desenvolver um critério de informação para modelos ARX-RDP que considere a quantidade de parâmetros do modelo, e a quantidade de regressores causais associados a cada parâmetro. Uma conclu- são interessante deste exemplo é que, apesar de ter grupos de amostras faltantes em certos períodos de tempo, além de ter sazonalidade nos dados, o estimador consegue estimar satis- fatoriamente os parâmetros desconhecidos. Isto é porque o preditor proposto está no domínio do regressor causal e não no domínio do tempo, como usual. Adicionalmente, estudamos a analogia entre a estrutura do modelo ARX-RDP, e a estrutura das redes neurais convencio- nais. Como resultado deste estudo, propusemos um modelo de neurônio artificial, que pode substituir à rede neural convencional. Consideramos interessante um estudo aprofundado deste neurônio, como trabalho futuro.
Finalmente, uma aplicação de controle adaptativo PIP de um sistema ARX-RDP foi apresentada. Nesta estimamos e apresentamos uma forma de representação no espaço de es- tado não mínimo NMSS (do inglês non-minimal state space) do modelo ARX-RDP. O controle projetado é do tipo proporcional-integral-aumentado PIP (do inglês: Proportional-Integral-
Plus). O objetivo deste projeto é identificar e estimar o modelo ARX-RDP, posteriormente
obter a forma NMSS deste sistema é obter o controle linear quadrático deste servomeca- nismo. Uma onda quadrada e uma senoidal foram testadas como referência para comprovar o funcionamento do controle projetado. Muitos trabalhos futuros adicionais, usando o método de estimador causal, podem ser desenvolvidos para este tipo de controle adaptativo, e esta é uma sugestão que fazemos, em adição às aplicações em identificação altamente não linear de sistemas ARX-RDP.
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