37.3 Distribui¸ c˜ oes e Distribui¸ c˜ oes Temperadas
37.3.3 Algumas Rela¸c˜ oes ´ Uteis Envolvendo Distribui¸c˜ oes
Mais propriedades de distribui¸c˜oes tipo parte finita ser˜ao estudadas adiante quanto tratarmos de derivadas de distri-bui¸c˜oes.
37.3.3 Algumas Rela¸c˜ oes ´ Uteis Envolvendo Distribui¸c˜ oes
No que segue, apresentaremos duas rela¸c˜oes envolvendo distribui¸c˜oes as quais s˜ao ´uteis, particularmente na F´ısica Quˆantica.
• A f´ormula de Breit-Wigner
Seja, para ǫ >0 ex0∈R, a fun¸c˜ao definida por de probabilidades, conhecida como distribui¸c˜ao de Cauchy32 (ou como distribui¸c˜ao de Lorentz33, como distribui¸c˜ao de Cauchy-Lorentz ou ainda comodistribui¸c˜ao de Breit34-Wigner35) centrada em x0. Ela ´e empregada, por exemplo, na teoria do espalhamento (ressonˆancias) na Mecˆanica Quˆantica e na F´ısica das Part´ıculas.
Como ℓx0, ǫ ´e cont´ınua e limitada, ela tamb´em define uma distribui¸c˜ao regular: Tℓx0, ǫ. Desejamos provar que em S′(R) vale
ǫlim→0Tℓx0, ǫ = δx0 , (37.204)
ou, em termos da nota¸c˜ao com fun¸c˜oes generalizadas,
ǫlim→0
1 π
ǫ
(x−x0)2+ǫ2 = δ(x−x0). (37.205)
A identidade (37.204), especialmente na forma (37.205), ´e conhecida comof´ormula de Breit-Wigner.
A demonstra¸c˜ao ´e muito simples. Observemos queℓx0, ǫ(x)>0 para todox, queR∞ implicando que para todoδ >0 vale
ǫlim→0
32Augustin Louis Cauchy (1789–1857).
33Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928).
34Gregory Breit (1899–1981).
35Eugene Paul Wigner (1902–1995).
Pela Defini¸c˜ao 36.1, p´agina 1800, conclu´ımos que ℓx0, ǫ (para ǫ → 0) ´e uma sequˆencia delta de Dirac centrada em x0
e, pelo Teorema 36.1, p´agina 1803, conclu´ımos pela validade de (37.204) e (37.205) em fun¸c˜oes do espa¸co de Schwartz S(R).
• A f´ormula de Plemelj-Sokhotsky-Weierstrass Paraǫ∈R,ǫ >0, temos
definido em (37.203) e, assim,
Tjx0, ǫ = Tκx0, ǫ∓iTℓx0, ǫ.
´e majorado pela fun¸c˜ao integr´avel
ϕ(y+x0)−ϕ(−y+x0) y
. Aplica-se, portanto, o Teorema da Convergˆencia Dominada, Teorema 31.6, p´agina 1484, que nos permite escrever que
ǫlim→0Tκx0, ǫ(ϕ) = lim
Na nota¸c˜ao de fun¸c˜oes generalizadas isso fica
ǫlim→0
As rela¸c˜oes (37.207) e (37.208) s˜ao denominadasf´ormula de Plemelj36-Sokhotsky37-Weierstrass38 (ou outros arranjos de um, dois ou trˆes desses nomes).
36Josip Plemelj (ou Plemelji) (1873–1967).
37Yulian-Karl Vasilievich Sokhotsky (tamb´em grafado como Sochocki ou Sokhatsk) (1842–1927).
38Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897).
As distribui¸c˜oes definidas pelo limite do lado esquerdo de (37.208) s˜ao frequentemente denotadas como π1(x−x10)±i0:
a igualdade sendo entendida no sentido de distribui¸c˜oes. Assim, 1
A distribui¸c˜ao π1x±1i0 pode tamb´em ser descrita de outra forma. Paraǫ >0 podemos escrever Z ∞
A f´ormula de Plemelj-Sokhotsky-Weierstrass (37.210) pode ser escrita, portanto, na forma da identidade distribucional Z ∞
Essa express˜ao ser´a reencontrada na forma das express˜oes (37.234) e (37.235) quando lidarmos com transformadas de Fourier de distribui¸c˜oes.
• A distribui¸c˜ao δ f(x) A express˜ao δ f(x)
, que representa a composi¸c˜ao da distribui¸c˜ao delta de Dirac com uma fun¸c˜ao (adequada) f, ocorre ami´ude no trato com distribui¸c˜oes. No que segue, vamos encontrar uma identidade ´util para a mesma, a saber, mostraremos que se f for diferenci´avel e anular-se em um ´unico pontox0 do seu dom´ınio e valerf′(x0)6= 0, tem-se, em termos de fun¸c˜oes generalizadas,
δ f(x)
Na demonstra¸c˜ao dessa igualdade algumas hip´oteses adicionais (invertibilidade, diferenciabilidade) ser˜ao supostas sobref. Mencionamos que essas hip´oteses adicionais e a hip´otese de quef tenha um ´unico zero podem ser enfraquecidas.
Para isso, vide a identidade (37.216) e os coment´arios ao final.
Seja f uma fun¸c˜ao definida emRsatisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:
1. f ´e uma fun¸c˜ao bijetora e, portanto, ´e invers´ıvel em toda parte, sendof−1 sua fun¸c˜ao inversa;
2. f ef−1 s˜ao cont´ınuas e infinitamente diferenci´aveis em seus dom´ınios de defini¸c˜ao;
3. f anula-se em um (´unico!) pontox0 em seu dom´ınio de defini¸c˜ao. Assim, x0=f−1(0);
4. f′ n˜ao se anula em parte alguma, em particular,f′(x0)6= 0.
Devido `a ´ultima hip´otese, tem-se f′ >0 ouf′ <0, ou seja, ouf ´e uma fun¸c˜ao crescente ou decrescente. Com isso, podemos estabelecer uma conven¸c˜ao. Casof seja crescente, denotamosA ≡ lim
x→−∞f(x) eB ≡ lim
x→+∞f(x) e, caso seja f decrescente, denotamos A ≡ lim
x→∞f(x) eB ≡ lim
x→−∞f(x). Note-se que A pode ser∓∞ e B pode ser ±∞, caso os
limites acima n˜ao existam. Em todo caso, comof anula-se em um ´unico ponto x0, teremos pela conven¸c˜ao acima que A <0< B, sejaf crescente ou decrescente.
Essa conven¸c˜ao para a defini¸c˜ao deAe deB ´e ´util pela seguinte raz˜ao. SejaH uma fun¸c˜ao cont´ınua e que decaia a zero suficientemente r´apido em±∞. Temos, pela mudan¸ca de vari´aveisy=f(x),
Z ∞
Lembrando que sempre vale queA < B, quef′ >0 quandof ´e crescente e que f′<0 quandof ´e decrescente, podemos sempre escrever que
Observe-se o m´odulo no denominador
f′ f−1(y)
. Sua presen¸ca decorre de termosA < B e de a integra¸c˜ao ser feita deAa B, independente de a fun¸c˜aof ser crescente ou decrescente.
Seja agora gn, n∈N, uma sequˆencia delta de Dirac centrada em 0 de fun¸c˜oes localmente integr´aveis, por exemplo, a sequˆenciagn(x) = √nπe−n2x2. Afirmamos que as fun¸c˜oes compostasgn◦f s˜ao localmente integr´aveis. De fato, para qualquer intervalo finito (a, b), com a < b, teremos
Z b
onde fizemos a mudan¸ca de vari´aveisy=f(x). Pelas hip´oteses, ´e evidente que o lado direito ´e finito para todo intervalo finito (a, b), provando quegn◦f s˜ao localmente integr´aveis ´e localmente integr´avel.
Podemos, portanto, considerar a sequˆencia de distribui¸c˜oes regularesTgn◦f ∈D′(R). Valer´a, paraϕ∈D(R),
novamente pela mudan¸ca de vari´avely=f(x).
Como gn´e uma sequˆencia delta de Dirac centrada em 0, obtemos da ´ultima express˜ao, tomando-sen→ ∞,
nlim→∞
Lembrando que as fun¸c˜oes gn(x) convergem formalmente `a fun¸c˜ao generalizadaδ(x) (que representa a distribui¸c˜ao delta de Dirac centrada em 0), podemos expressar (37.213) em termos de fun¸c˜oes generalizadas, obtendo
δ f(x)
ondex0´e o ponto ondef se anula, ´e muito frequentemente encontrada em textos de F´ısica e Engenharia. Ela representa a afirma¸c˜ao que
Z ∞
−∞
ϕ(x)δ f(x)
dx = 1
f′(x0)
ϕ(x0).
E importante frisar que no denominador do lado direito ocorre o m´odulo de´ f′(x0), n˜ao apenas f′(x0).
Assim, tem-se, por exemplo, para a∈R,a6= 0, constante, a identidade ´util δ(ax) = 1
|a|δ(x), (37.215)
que segue do caso em quef(x) =ax.
As identidades (37.213) e (37.214) podem tamb´em ser expressas da seguinte forma:
δ0◦f := 1
f′ f−1(0)
δf−1(0) = 1 f′(x0)
δx0 .
O leitor pode facilmente constatar que a hip´otese que f seja definida em todoRpode ser enfraquecida. As rela¸c˜oes acima permanecem v´alidas se f for definida em um intervalo aberto ou semiaberto de R, desde que continue sendo invers´ıvel e que se mantenham as condi¸c˜oes de diferenciabilidade sobre f e sua inversa. Com isso em m˜aos, ´e tamb´em poss´ıvel considerar o caso em quef possua um conjunto finito de zeros: {x1, . . . , xn}. Nesse caso, tem-se
δ f(x)
= Xn
k=1
1 f′(xk)
δ(x−xk). (37.216)
Naturalmente, deve ser mantida a hip´otese quef′(xk)6= 0 para cadak.
E. 37.47 Exerc´ıcio. Estabele¸ca condi¸c˜oes precisas sobre f que garantam a validade de (37.216), dando sentido `a distribui¸c˜ao δ f(x)
quandofpossuanzeros emR, a saber, os pontosx1, . . . , xn. 6
Comentamos ainda que as diversas identidades obtidas acima s˜ao a base para a defini¸c˜ao da no¸c˜ao de distribui¸c˜ao delta de Dirac em variedades.