3.3 Morfologia Matemática L-fuzzy
3.3.1 Alguns Conceitos Relevantes da Morfologia Matemática Fuzzy
A morfologia matemática, ferramenta poderosa de análise e processamento de ima-
gens, foi proposta inicialmente durante a década de 60 por Matheron e Serra [101, 102]. Esta proposta utiliza noções de inclusão e intersecção de conjuntos para compor seus operadores
fundamentais, que são a erosão e a dilatação morfológicas [126]. Esta abordagem de conjun- tos a morfologia matemática, chamada de morfologia matemática binária, é particularmente
eficientes para imagens binárias, mas não funciona para imagens multiespectrais nem em tons de cinza, cujos pixels podem assumir mais de dois valores. Para suprir esta deficiência, diver-
sas extensões foram propostas, sendo a mais importante para esta dissertação a morfologia matemática fuzzy(FMM) [16, 130], que além de estender a morfologia à imagens em tons de
cinza generaliza seus operadores básicos com a noção de intersecção e inclusão fuzzy. A FMM é determinada pela construção de erosões e dilatações fuzzy. Estes operadores
são definidos da seguinte maneira: uma funçãoδF : F (U ) → F (V ), na qual F (X) denota a
classe de todos os conjuntos fuzzy sobre um universoX , é uma dilatação fuzzy se, e somente
se, satisfizer a Equação 2.8, isto é,δF é uma dilatação fuzzy se, e somente se, ela for uma
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Figura 3.3: A Imagem 3.3a é uma imagem em preto e branco resultante da aplicação de uma
função limiar nos pixels da Imagem 3.3b, que é um exemplo clássico de imagem em tons de cinza [110].
se, e somente se, ela for uma erosão algébrica no sentido da Equação 2.7.
De maneira intuitiva, os operadores da MM são construídos para extrair informações
relevantes de uma imagem digital, a qual pode ser vista como uma funçãof : DI ⊂ Ln→I ⊂ Mm, com L e M reticulados. De acordo com esta definição, podemos tomarf : DI ⊂ Zn→
I ⊂ {0, 1} para obter uma imagem binária e f : DI ⊂ Zn→I ⊂ [0, 1] para obter uma imagem em tons de cinza [136], como as das Figuras 3.3a e 3.3b. Pode-se além disso definir imagens
com valores intervalares, definindof : DI⊂ Zn→I ⊂ I. Um exemplo de imagem intervalar é dado na Figura 3.4, na qual ela é representada pelos extremos deI ⊂ I.
De uma imagem digital a MM extrai informações com o auxílio de uma imagem de
prova, chamada de elemento estruturante (SE) [126], que é uma imagem construída especi- ficamente para extrair a informação desejada de uma imagem em operação com algum dos
operadores morfológicos.
Os operadores morfológicos, fundamentalmente a erosão, dilatação e suas composi- ções, varrem cada ponto do domínio da imagem a ser testada e fazem alguma operação en-
volvendo o elemento estruturante transladado e a própria imagem, gerando assim uma nova imagem. No caso da erosão binária, o SE é transladado para cada ponto do domínio da ima-
gem e verifica-se se ele é subconjunto ou não da imagem. Já na dilatação é feita uma união da imagem e do elemento estruturante dilatado. Exemplos de operações podem ser vistos nas
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Figura 3.4: Exemplo de figura intervalar construída com diferentes iluminações e rotações da
mesma figura em tons de cinza [110]. Em 3.4a vemos o limite inferior dessa imagem e em 3.4b o superior.
Figura 3.5: Na Figura 3.5a vemos um exemplo de elemento estruturante com o centro mar-
cado em cinza na figura. Em 3.5b a imagem que será erodida e dilatada com o elemento estruturante dado em 3.5a.
Figuras 3.5, 3.6, 3.7 e 3.8.
Ambos operadores dependem de medidas de inclusão e intersecção, que são na MM
binária os operadores usuais de união e intersecção de conjuntos, e o relaxamento desses conceitos clássicos dá origem a uma abordagem particular de morfologia matemática fuzzy
[7, 77, 131, 133]. De maneira mais geral, pode-se definir medidas de inclusão e intersec- ção L-fuzzy, medidas essas que são usadas na construção de uma abordagem à morfologia
matemática L-fuzzy, introduzida nos trabalhos de Sussner et al. [143, 142].
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Figura 3.6: A imagem 3.6a é resultante da erosão da Imagem 3.5b pelo elemento estruturante
3.5a. Já em3.6b vemos a imagem resultante da dilatação da Imagem 3.5b por 3.5a .
Figura 3.7: Vemos na Figura 3.7a a erosão e em 3.7b a dilatação fuzzy da Imagem 3.4b pelo
elemento estruturante 3x3 cujos pixels estão representados em 3.7c. O centro desse elemento estruturante está no pixel branco. O pixel branco tem valor 1, os cinzas 0.5 e os pretos 0
[110].
como sendo uma funçãoIncL: FL(X) × FL(X) → L que satisfaz as seguintes propriedades
para todoa, b ∈ PL(X), em que PL(X) = {a ∈ FL(X) | a(x) = 0Lou a(x) = 1L∀x ∈ X}:
a ≤ b ⇒IncL(a, b) = 1L e
a b ⇒IncL(a, b) = 0L.
(3.24)
Se L= [0, 1] então podemos falar simplesmente em medida de inclusão fuzzy, denotada porIncF.
Definição 16 (Medida de intersecção L-fuzzy). Uma medida de intersecção L-fuzzy é defi- nida como sendo uma funçãoSecL: FL(X) × FL(X) → L que satisfaz as seguintes proprie-
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Figura 3.8: Vemos na Figura 3.8a o fechamento morfológico e em 3.8b a abertura morfoló-
gica da Imagem 3.4b pelo elemento estruturante da Figura 3.7c [110].
dades para todoa, b ∈ PL(X):
a ∧ b , 0FL
⇒SecL(a, b) = 1L e a ∧ b= 0FL⇒SecL(a, b) = 0L.
(3.25)
Caso L = [0, 1] então temos então uma medida de intersecção fuzzy, denotada por
SecF.
Uma classe de medidas de inclusão e intersecção L-fuzzy pode ser construída por im- plicações L-fuzzy I e conjunções L-fuzzy C, de acordo com as seguintes equações [143]:
IncL(a, b) = ^ x∈X I(a(x), b(x)). (3.26) SecL(a, b) = _ x∈X C(a(x), b(x)). (3.27) Na literatura da FMM, uma vasta gama de medidas de inclusão e intersecção fuzzy
foram introduzidas por diversos pesquisadores [7, 77, 131, 132, 169], e dão origem a aborda- gens particulares a morfologia matemática fuzzy definindo os operadores de erosão e dilata-
ção fuzzy como abaixo [109]. mas antes disso, vamos relembrar o conceito de translação de em elemento estruturante s porx, sx, definido pela seguinte equação:
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sx(y) = s(y − x) ∀y ∈ X. (3.28) Denota-se também a reflexão de s em torno da origem como¯s(y) = s(−y) ∀y ∈ X. Definição 17. Sejam a, s ∈ F (X). Define-se o operador εF : F (X) × F (X) → F (X) como:
εF(a, s)(x) = IncF(sx, a). (3.29)
O operadorεF é uma erosão fuzzy se IncF(s, .) comuta com o ínfimo para todo s ∈ F (X).
Nesse caso, o operadorεF(., s) representa uma erosão para todo elemento estruturante s.
Analogamente, define-seδF:
Definição 18. O operadorδF : F (X) × F (X) → F (X) é definido como:
δF(a, s)(x) = SecF(¯sx, a). (3.30)
O operador δF é dito uma dilatação fuzzy se SecF(s, .) comuta com o supremo para todo
s ∈ F(X). Desta forma, δF(., s) é uma dilatação para todo elemento estruturante s.