Introduzida por Goguen em 1967 como uma extensão da teoria dos conjuntos fuzzy
[41], a Teoria dos Conjuntos L-fuzzy estende o conjunto imagem da função de pertinência de um conjunto fuzzy, do intervalo fechado[0, 1], que é em si um reticulado completo com
3.2 Teoria dos Conjuntos L-Fuzzy 23
a ordenação usual, para um reticulado completo qualquer L [32], de acordo com a definição
abaixo.
Definição 11 (Conjuntos L-fuzzy). Define-se um conjunto L-fuzzy a em X como a= {(x, µa(x))|x ∈
X, µa: X → L}.
A funçãoµAé chamada de função de pertinência do conjunto L-fuzzy a. Além disso,
da mesma maneira que identificamos a classe dos conjuntos fuzzy F(X) com [0, 1]X é pos- sível identificarmos a classe dos conjuntos L-fuzzy emX, denotada por FL(X), com a classe
das funçõesX → L, LX, com o seguinte isomorfismo de reticulados:
χ : FL(X) → L
X a 7→µa(x)
Observe que esse isomorfismo mostra a equivalência da definição de conjuntos L-fuzzy
acima com a definição dada por Goguen [41], que define um conjunto L-fuzzy por sua função de pertinência. Além disso, podemos introduzir a mesma notação dos conjuntos fuzzy e
sua função de pertinência para os conjuntos L-fuzzy, isto é, dado um conjunto L-fuzzy a ∈ FL(X), iremos a partir daqui denotar sua função de pertinência como a(x), para todo x ∈
X. Quanto a ordenação dos graus de pertinência podemos dizer que se a(u) ≤L a(v) para
quaisquer elemento u, v ∈ U então v pertence ao conjunto L-fuzzy a com maior grau do
queu. Pode ocorrer também que na ordem do reticulado considerado as pertinências sejam
incomparáveis, a(u) ||La(v), isto é, nem a(u) ≤La(v) nem a(v) ≤La(u) são satisfeitos.
Os conectivos básicos da teoria L-fuzzy, i.e., conjunções, disjunções, implicações e
negaçõesem L são definidos abaixo. Observe que os conectivos fuzzy são automaticamente satisfeitos, assim como os conectivos crisp, pelas condições de fronteira.
Definição 12 (Conectivos na teoria L-fuzzy[34]). Seja L um reticulado completo com0Le
1L, respectivamente, seu menor e maior elementos.
• Umanegação em L é um mapeamento N : L −→ L decrescente que satisfaz N (0L) =
24 Morfologia Matemática L-fuzzy
• Umaconjunção em L é um mapeamento C:L2−→ L crescente que satisfaz C(0L, 0L) =
C(0L, 1L) = C(1L, 0L) = 0L e C(1L, 1L) = 1L para todo x ∈ L. Em particular, uma conjunção L-fuzzy comutativa e associativa que satisfaz C(x, 1L) = x para todo x ∈ L
é chamado denorma triangular ou t-norma em L.
• Umadisjunção em L é um mapeamento D:L2−→ L crescente que satisfaz D(1L, 0L) =
D(0
L, 1L) = D(1L, 1L) = 0L e D(0L, 0L) = 1Lpara todox ∈ L. Em particular, uma
disjunção L-fuzzy comutativa e associativa que satisfaz D(x, 0L) = x para todo x ∈ L
é chamado deco-norma triangular ou s-norma em L.
• Um operador I :L2−→ L que é decrescente no primeiro argumento e crescente no se- gundo é chamado deimplicação em L, ou implicação L-fuzzy se satisfizer I(0L, 0L) =
I(0L, 1L) = I (1L, 1L) = 1Le I(0L, 0L) = 0Lpara todox ∈ L.
Daremos agora alguns exemplos relevantes de operadores fuzzy clássicos, que serão mais tarde usados para construir uma grande família de operadores especiais fuzzy intervala-
res.
Exemplo 9. Alguns exemplos de conjunções fuzzy:
CM(x, y) = x ∧ y (Mínimo); (3.1) CP(x, y) = xy (Produto); (3.2) CL(x, y) = 0 ∨ (x + y − 1) (Łukasiewicz); (3.3) CK(x, y) = 0, x + y ≤ 1 x, x + y > 1 (Kleene); (3.4)
Uninorma “cross-ratio” com identidadee = 0.5: CF(x, y) = 1, se(x, y) = (0, 1) ou (1, 0) xy
(1−y)(1−x)+xy, caso contrário.
3.2 Teoria dos Conjuntos L-Fuzzy 25
Note que os três primeiros exemplos de conjunções, CM, CP e CL, são também t- normas, isto é, verificam a igualdadeC(x, 1) = x, para todo x ∈ [0, 1]. Para distingui-las das
conjunções que não são t-normas vamos utilizar a notaçãoTM,TP eTL. Exemplo 10. Algumas disjunções fuzzy:
DM(x, y) = 1 ∨ y (Máximo); (3.6) DL(x, y) = 1 ∧ (x + y) (Łukasiewicz); (3.7) DN(x, y) = max(x, y), x + y ≤ 1 1, c.c. (máximo nilpotente). (3.8) DP(x, y) = x + y − xy (Soma probabilística); (3.9) Observe que as disjunçõesDM,DL,DN,DP são também s-normas.
Exemplo 11. Alguns exemplos especiais de implicações fuzzy:
IM(x, y) = 1, x ≤ y y, x > y (Gödel); (3.10) IP(x, y) = 1, x ≤ y y x, x > y (Goguen); (3.11) IL(x, y) = 1 ∧ (y − x + 1) (Łukasiewicz); (3.12) IK(x, y) = (1 − x) ∨ y (Kleene); (3.13) (Implicação adjunta deCF): IF(x, y) = 1, se(x, y) = (0, 0) ou (1, 1) (1−x)y
y(1−x)+x(1−y)), caso contrário.
26 Morfologia Matemática L-fuzzy
Análoga a noção de dualidade existente nos conjuntos fuzzy, uma associação especial
entre conectivos em L pode ser feita em termos de uma relação de dualidade através de uma negação em L de acordo com a definição abaixo [143].
Definição 13. Sejam C uma conjunção, D uma disjunção, I uma implicação e N uma ne-
gação em L.
• Dizemos que C e D sãooperadores duais com respeito a N se, e somente se, para todo
x, y ∈ L vale:
C(x, y) = N (D(N (x), N (y))). (3.15) • Dizemos que C e I sãooperadores duais com respeito a N se, e somente se, C(z, .) e
I(z, .) são duais com respeito a N para todo z ∈ L, ou seja:
C(z, x) = N (I (z, N (y))). (3.16) • Dizemos que I e D são operadores duais com respeito a N se, e somente se, para
todox, y ∈ L vale:
I(x, y) = D(N (x), y). (3.17) Outra noção de dualidade, já introduzida no Capítulo 2 sobre reticulados completos, é a adjunção e ela apresenta uma vantagem em relação a dualidade pela negação para a MM
em reticulados completos, pois dado um par de operadores adjuntos (ε, δ) existe a garantia deε ser uma erosão algébrica, isto é, uma erosão no sentido da Equação 2.7 e δ uma dilata-
ção algébrica, segundo a Equação 2.8. A seguir, apresentaremos a definição de operadores adjuntos em L [143].
Definição 14. Seja L um reticulado completo. Uma implicação I e uma conjunção C em
Lformam uma adjunção se, e somente se, I(z, .) e C(z, .) formam uma adjunção para todo
z ∈ L. Nesse caso, temos que para todo x, y, z ∈ L:
3.2 Teoria dos Conjuntos L-Fuzzy 27
Considere agora a disjunção D dual da implicação I com relação a negação N em
L. Dizemos que(C, D) formam uma adjunção se, e somente se, I (z, .) e D(N (z), .) formam uma adjunção para todoz ∈ L. Nesse caso, temos que para todo x, y, z ∈ L:
C(z, x) ≤ y ⇔ x ≤ D(N (z), y). (3.19) Pela definição acima e pela Proposição 1 temos que se uma implicação I e uma con- junção C em L são adjuntos então C(z, .) é uma dilatação e I (z, .) é uma erosão para todo
z ∈ L. Analogamente, temos que se uma implicação I e uma conjunção D em L são ad-
juntos então C(z, .) é uma dilatação e D(N (z), .) é uma erosão para todo z ∈ L. Este fato é particularmente útil ao utilizarmos a Equação 2.10 para achar a erosão adjunta I(z, .) ou D(N (z), .) de uma dilatação C(z, .) ou, de maneira análoga, para podermos achar a dilatação adjunta C(z, .) de uma dada erosão I (z, .) ou D(N (z), .) a partir da Equação 2.11. Os dois seguintes teoremas nos garantem que os operadores adjuntos de uma erosão ou dilatação em
Lsão respectivamente dilatações e erosões em L.
Teorema 1 ([143]). Sejam C uma conjunção L-fuzzy e o operador IC : L2→ L definido por:
IC(z, y) =_{x ∈ L : C(z, x) ≤ y} ∀x, y ∈ L (3.20) As seguintes afirmações são verdadeiras:
• A função IC é decrescente no primeiro argumento, crescente no segundo e satisfaz a
condição:
IC(0L, 0L) = IC(0L, 1L) = IC(1L, 0L) = 0L (3.21) • A função IC representa uma implicação em L se, e somente se, C(1L, x) > 0L para
todox ∈ L \ {0L}. Nesse caso, a implicação IC é ditoR-implicação de C.
Teorema 2 ([143]). Sejam I uma implicação L-fuzzy e o operador CI : L2 → L definido
28 Morfologia Matemática L-fuzzy
CI(z, x) =^{y ∈ L : I (z, y) ≤ x} ∀x, z ∈ L (3.22) As seguintes afirmações são verdadeiras:
• A função CI é decrescente no primeiro argumento, crescente no segundo e satisfaz a
condição:
CI(0L, 0L) = CI(0L, 1L) = CI(1L, 0L) = 0L (3.23) • A função CI representa uma implicação em L se, e somente se, I(1L, y) < 1L para
todoy ∈ L \ {0L}. Nesse caso, a implicação CI é ditoR-conjunção de I .
Condições para validade de aplicações sucessivas das Equações 3.20 e 3.22 são dadas
no próximo teorema, revelando que um certo cuidado deve ser tomado na construção do operador adjunto.
Teorema 3 ([143]). Seja C uma conjunção L-fuzzy que satisfaz C(1L, x) > 0L para todo
x , 0L. Se a R-implicação de C, IC, satisfizer IC(1L, y) < 1L para todo y , 1L então a
R-conjunção de IC é limitada superiormente por C.
Similarmente, seja I uma implicação L-fuzzy que satisfaz I(1L, y) > 0L para todo
y , 1L. Se a R-conjunção de I , CI, satisfizer CI(1L, x) < 0L para todo x , 1L então a
R-implicação de CI é limitada inferiormente por I .
Como notado em [143] as igualdades I(1L, y) < 1L para todoy , 1L são satisfeitas
pela classe de implicações L-fuzzy tais que I(1L, y) = y. De maneira similar, as condições
C(1L, x) < 0L, para todox , 1L, são satisfeitas por conjunções L-fuzzy tais que C(1L, x) = x, classe de conjunções esta que inclui as t-normas em L.
De forma bem menos complicada, a construção de um operador dual em relação a uma
negação em L é dada pelo próximo teorema, o qual garante que o operador dual em relação a uma negação em L de uma conjunção é uma implicação e vice-versa.