Apresentamos agora exemplos, tanto do grupo em foco quanto da amostra, em algumas categorias acima, com as respostas dos alunos para as questões que são objetos de nossa análise. Primeiramente, vejamos a questão A3 – A soma de dois números ímpares é par.
(Respostas totalmente erradas, respostas que não apresentam justificativas ou exemplos, ou respostas que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso).
• Respostas justificando que a afirmação é falsa:
Figura 1 – Exemplo 1 falso para codificação de A3
(Falsa porque se somarmos 1 com 3 o resultado é 4 número par ou se somarmos 67 com 43 que dá 110 também número par.
3 67 1 43 4 110)
Esse aluno deve ter entendido que a soma de dois ímpares é ímpar, e, portanto, argumentou que a afirmação era falsa.
• Respostas que concordam, mas justificam uma outra afirmação:
Figura 2 – Exemplo 2 falso para codificação de A3
(Sim, porque ao multiplicar por 2 dará um número par)
Esse aluno justificou que a multiplicação por 2 é um número par, o que não era a pergunta.
• Respostas que apresentam casos empíricos que não envolvem dois números ímpares:
Figura 3 – Exemplo 3 falso para codificação de A3
(Sim porque já foi aprovada Ex: 104 + 104 = 108)
Nesse caso, o aluno além de ter entendido, talvez, que era a soma de dois pares resultando em um par, também efetuou a soma de forma equivocada. Perceba que ele somou 104+104=108 e não 208.
RESPOSTAS QUE RECEBEM 1
(Alguma informação pertinente, mas sem deduções ou inferências – por exemplo, respostas que são completamente empíricas)
• Respostas apresentando 1 ou mais exemplos:
Figura 4 – Exemplo 1 verdadeiro para código 1 de A3
(Sim, pois independente dos números ímpares que são somados, a resposta é sempre par! Ex: 1+3=4 Æpar
3+9=12 Æ nº par )
Classificação segundo Balacheff: Empirismo Ingênuo
Esse aluno apenas colocou dois exemplos e daí afirmou que a era verdadeira.
Figura 5 – Exemplo 2 verdadeiro para código 1 de A3
(Sim, porque a soma de um nº ímpar somado com outro equivale o resultado par. Ex: 5+7=12, 3+1=4, 9+11=20 e assim por diante)
Classificação segundo Balacheff: Empirismo Ingênuo
Novamente, o aluno simplesmente apresentou alguns exemplos e concluiu que a afirmação era verdadeira.
Figura 6 – Exemplo 3 verdadeiro para código 1 de A3
(Sim, porque se você soma dois números quaisquer ímpares; é divisor de 2, daria para dividir por 2 Por exemplo
+3 A partir que você soma dois números ímpares tem como resposta números pares 3 Ex: Se você vai á feira e compra 5 bananas e no supermercado você decide com- 6 prar mais 3 ao total terá =8)
6:2=3
Classificação segundo Balacheff: Empirismo Ingênuo
Aqui, temos uma resposta interessante, pois o aluno cria um pequeno problema para justificar sua afirmação, porém não sai de um exemplo.
• A seguinte resposta recebeu codificação 1 porque não é claro se o aluno está fazendo mais que simplesmente adicionando 1 + 1:
Figura 7 – Exemplo 4 verdadeiro para código 1 de A3
(Sim, pois 1 você somando ele com ele mesmo estava acrescentando mais 1 que dará 2: 1+1=2) Classificação segundo Balacheff: Empirismo Ingênuo
Aqui, não ficou claro para nós se o aluno estava tentando explicar o que era um número ímpar ou simplesmente efetuando 1+1.
RESPOSTAS QUE RECEBEM 2A
(Respostas que usam exemplos empíricos, mas extrapolam estes exemplos, não sendo muito claros quanto a estrutura de números ímpares).
Figura 8 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2a de A3
(Verdadeira pois sempre que você soma dois números ímpares o resultado é par. Exemplos: 3+3 = 6
15+15=30 1335+4579=5914
R. A resposta é par porque o número que sobra do ímpar se completa com o outro e os dois juntos são par) Classificação segundo Balacheff: Experimento Crucial
Perceba que esse aluno colocou alguns exemplos válidos, caracterizando um Empirismo Ingênuo, mas depois ele extrapola, colocando números muito diferentes e verificando que a soma desses daria um número par.
Figura 9 – Exemplo 2 verdadeiro para código 2a de A3
(Sim. Porque passa um número a mais do que se fosse par e quando somados são dois formando o número par) Classificação segundo Balacheff: Experimento Crucial
Aqui, o aluno tenta mostrar o que é um número ímpar, mas não nos é claro o que ele quis dizer com o “passa um número a mais do que se fosse par”.
Figura 10 – Exemplo 3 verdadeiro para código 2a de A3
(Verdadeira, 5+7=12
3+3=6 101+103=204 1+1=2)
Classificação segundo Balacheff: Experimento Crucial
Novamente, o aluno começa com alguns exemplos, nos evidenciando um Empirismo Ingênuo, mas depois esse exemplo é extrapolado, no caso, 101+103.
RESPOSTAS QUE RECEBEM 2B
(Respostas que dividem números impares em números pares +/- 1, mas usam o mesmo número duas vezes (ex: 3 + 3) em todos os exemplos).
Figura 11 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2b de A3
(A afirmação é verdadeira.
Ao somar dois números ímpares, soma-se uma unidade ímpar de cada parcela: 3+3=(2+1)+(2+1)=(2+2)+(1+1)=6
35+35=(34+1)+(34+1)=(34+34)+(1+1)=70 97+97=(96+1)+(96+1)=(96+96)+(1+1)=194) Classificação segundo Balacheff: Exemplo Genérico
Aqui, o aluno divide números ímpares em números pares mais 1, faz as associações necessárias, mas usa o mesmo número para efetuar a soma
(ex.35+35). Nas nossas reuniões, decidimos que esse tipo de argumentação, apesar de ser muito boa, ainda não é uma prova completa, e, portanto, receberia o código 2b.
Figura 12 – Exemplo 2 verdadeiro para código 2b de A3
(Sim, porque 5+5=10
Ex.: tira o máximo de números pares do 5, é 4 então fica 4+4 e sobra 1+1. É 4+4 = 8 par
1+1 = 2 par O resultado é sempre par)
Classificação segundo Balacheff: Exemplo Genérico
Novamente temos o mesmo caso apresentado acima. O aluno usa o mesmo número ao efetuar a soma (5+5), evidência, para nós, de código 2b.
RESPOSTAS QUE RECEBEM 3
(Respostas que explicam bem a estrutura de números ímpares em termos gerais, mesmo ilustrando-os com dois números iguais).
Figura 13 – Exemplo verdadeiro para código 3 de A3
(∴+∴ = .. + ..
(Se um número é ímpar, conclui-se que este, ao ser desmembrado em pares (de 2 em 2), se agrupa, e sempre sobrará 1, independente do nº, pois é isso que o faz ser ímpar.
Podemos então agrupar parceladamente este número, para facilitar, da seguinte forma: transformando ambos em números pares, subtraindo 1 = PAR + PAR = PAR
que é o que o faz ser ímpar!
Sempre sobrarão então 1 de cada número. Estes, se unem e formam um par por si próprios, e então se juntam ao total, totalizando sempre então, um número par.)
Classificação segundo Balacheff: Experimento Mental
Aqui, não nos baseamos no exemplo que o aluno colocou (3+3) e sim na argumentação que ele usou. Ele escreve que, se o número é ímpar, ele pode ser desmembrado em números pares e sempre sobrará 1. Ao juntarmos esse 1 que sobra de cada um dos pares, esses se juntam e formam um par, que acrescido ao resultado da soma das parcelas pares formará um par. Em linguagem geral, sem usar a linguagem algébrica, esse aluno nos mostra o que é um número ímpar, a propriedade associativa e o que acontece com a soma de dois ímpares.
Vejamos agora alguns exemplos de questionários para a questão A4 – Quando somamos um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6, o resultado é um múltiplo de 3.
RESPOSTAS QUE RECEBEM 0
(Respostas totalmente erradas, respostas que não apresentam justificativas ou exemplos, ou respostas que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso).
Figura 14 – Exemplo 1 falso para A4
(Se multiplicar 3x6=18
Ou 6x3=18 Vai dar a mesma resposta!
Sim, se você multiplicar com os mesmos números dará o mesmo resultado)
Esse aluno argumentou, na verdade a propriedade comutativa, onde a ordem dos fatores não altera o produto. Apesar de ter colocado exemplos válidos, ele não afirmou que a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 3 resulta em um múltiplo de 3.
Figura 15 – Exemplo 2 falso para A4
(Não porque pode acontecer de não dar múltiplos diferentes.)
Aqui, o aluno concluiu que a afirmação era falsa, pois podem dar múltiplos diferentes, o que não é claro para nós.
RESPOSTAS QUE RECEBEM 1
(Respostas apresentando 1 ou mais exemplos)
Figura 16 – Exemplo verdadeiro para código 1 de A4
(3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 6 12 18 14 30 36 42 48 54 60
Verdadeira se somarmos por exemplo 15 com 60 obteremos 75 e se multiplicarmos 3 por 25 obteremos esse valor) Classificação segundo Balacheff: Empirismo Ingênuo
Esse aluno colocou a tabuada do 3 e do 6, efetuou algumas somas e concluiu, ao dividir 75, que é a soma de 15 por 60, por 3 resulta numa divisão exata.
RESPOSTAS QUE RECEBEM 2A
(Respostas que explicam que múltiplos de seis são sempre múltiplos de três, em termos gerais, mas não apresentam informação sobre sua soma).
Figura 17 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2a de A4
(porque seis é múltiplo de três desde então todos seus múltiplos são de três também) Classificação segundo Balacheff: Experimento Crucial
Esse aluno, além de ter afirmado que 6 é múltiplo de 3, ainda disse que todos os múltiplos de 6 são também de 3, mas não afirma nada sobre a soma dos múltiplos.
Figura 18 – Exemplo 2 verdadeiro para código 2a de A4
(A afirmação é verdadeira, pois todo múltiplo de seis é obrigatoriamente múltiplo de três (e dois) 6:3=2 660:3=220
6:6=1 660:6=110)
Classificação segundo Balacheff: Experimento Crucial
Esse aluno nos escreve que todo múltiplo de 6 é obrigatoriamente múltiplo de 3 e de 2, mas não diz nada sobre a soma dos múltiplos. Simplesmente coloca que 660:3=220 e 660:6=110, ou seja, que 660 é múltiplo de 3 e de 6. Acreditamos que ele estava tentando justificar sua afirmação, de que todos os múltiplos de 6 são também de 3.
RESPOSTAS QUE RECEBEM 2B
(Respostas que explicam que múltiplos de 6 são múltiplos de 3 e também fazem alguma menção à soma, porém com exemplos, sem generalização).
Figura 19 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2b de A4
(Verdadeiro, pois todo número múltiplo de seis será sempre um número múltiplo de três. Com isso, podemos perceber que somados dão em um múltiplo de três
6 + 12 = 18
Múltiplo de 3 múltiplo de 3 e 6 múltiplo de 3) Classificação segundo Balacheff: Exemplo Genérico
Esse aluno argumentou que todo múltiplo de 6 é também de 3 e daí coloca um exemplo para evidenciar a afirmação de que a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6 é um múltiplo de 3. Mas, como já dissemos, ele faz isso com um exemplo, não usa a propriedade associativa para comprovar o fato.
Figura 20 – Exemplo 2 verdadeiro para código 2b de A4
(Sim, pois 6 é múltiplo de 3, logo a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6 é múltiplo de 3 (3a+6b = múltiplo de 3) )
Aqui, o aluno afirma que múltiplo de 6 é múltiplo de 3 e daí escreve que 3a + 6b é um múltiplo de 3. Novamente, o aluno não usa a propriedade associativa para comprovar sua afirmação, apesar de ter usado a linguagem algébrica para tentar fazê-lo.
RESPOSTAS QUE RECEBEM 3
(Respostas completas, com argumentos algébricos, valendo-se do algoritmo da divisão por 3, e da propriedade associativa, ou de recursos equivalentes).
Figura 21 – Exemplo verdadeiro para código 3 de A3
(Verdadeira: múltiplos de 3 são do tipo 3.x e múltiplos de 6 são do tipo 6.y = 3.2.y Então, somando, temos: 3x + 3.2y = 3.(x+2y) Æmúltiplo de 3 )
Propriedade distributiva
Classificação segundo Balacheff: Experimento Mental
O aluno usou a linguagem algébrica para mostrar o que é um múltiplo de 3 e um de 6, usa a propriedade associativa na soma e daí conclui que a soma é um múltiplo de 3.