Alguns Fatos Sobre a Estrutura do Grupo de Lorentz

Antes de iniciarmos esta se¸c˜ao, sugerimos ao leitor apreciar o estudo do grupo O(1, 1) iniciado `a p´agina 1068.

Vamos aqui tentar caracterizar a forma geral de um elemento do grupo de Lorentz O(1, 3). Como j´a observamos, O(1, 3) possui um subgrupo SRot≃SO(3) formado por matrizes da forma

R :=

onder0 ´e uma matriz 3×3 pertencente a SO(3).

Vamos no que segue demonstrar o seguinte teorema, que nos fornece a forma geral de toda matrizL∈L e que ´e de importˆancia em todo estudo detalhado do grupo de Lorentz.

Teorema 21.11 Seja Lum elemento do grupo de Lorentz O(1, 3). Ent˜ao, vale uma das quatro afirma¸c˜oes seguintes:

Ia. det(L) = +1,L00≥+1eL ´e da forma

Fazemos notar que as representa¸c˜oes (21.207)–(21.210) n˜ao s˜ao un´ıvocas. 2

A demonstra¸c˜ao detalhada deste teorema encontra-se na Se¸c˜ao 21.B, p´agina 1169.

• Dois resultados sobre o grupo de Lorentz

Proposi¸c˜ao 21.27 SeL´e um elemento do grupo de LorentzO(1, 3) eL⁻¹´e sua inversa, ent˜ao tem-se que(L⁻¹)00=

L00. 2

Prova. A prova ´e simples, pois sabemos que L⁻¹ =ηL^Tη. Ent˜ao, usando-se a representa¸c˜ao (21.B.10) e calculando-se explicitamente, tem-se

o que leva `a constata¸c˜ao que L⁻¹

00=L00.

Proposi¸c˜ao 21.28 SeL eL^′ s˜ao dois elementos quaisquer do grupo de Lorentz O(1, 3), ent˜ao tem-se que sinal (LL^′)00

= sinal (L00) sinal (L^′₀₀).

2

Prova. SejamL eL^′ duas transforma¸c˜oes de Lorentz que, como em (21.B.10), representamos na forma de blocos

L =

















L00 b^T

a l

















, L^′ =

















L^′₀₀ b^′T

a^′ l^′

















. (21.211)

Vamos formar o produtoL^′′ =LL^′ e estudar o sinal do elemento L^′′₀₀ da matriz resultante. Pela regra de produto de matrizes teremos (verifique!) L^′′₀₀ = L00L^′₀₀+b^Ta^′. O produto de matrizesb^Ta^′ ´e idˆentico ao produto escalarb·a^′ dos vetoresbea^′ deR³(por quˆe?). Assim,

L^′′₀₀ = L00L^′₀₀+b·a^′. (21.212)

H´a dois casos a considerar: o caso em que sinal (L00) = sinal (L^′₀₀) e o caso em que sinal (L00)6= sinal (L^′₀₀).

1. Caso em que sinal (L00) = sinal (L^′₀₀).

Nessa situa¸c˜ao tem-se por (21.212) que

L^′′₀₀ ≥ L00L^′₀₀− |b·a^′|.

Sabemos queb·a^′=kbk ka^′kcosθ, ondekbk ´e o comprimento deb,ka^′k´e o comprimento dea^′ eθ´e o ˆangulo que esses dois vetores formam entre si. ´E ´obvio, portanto, que|b·a^′| ≤ kbk ka^′k (desigualdade de Cauchy). Assim,

L^′′₀₀ ≥ L00L^′₀₀− kbk ka^′k. (21.213) Pela Proposi¸c˜ao 21.36, p´agina 1173, valemkbk=kakekb^′k=ka^′k, assim comoL00=±p

1 +kak²eL^′₀₀=±p

1 +ka^′k². Assim, por (21.213),

L^′′₀₀ ≥ p

1 +kak²p

1 +ka^′k²− kak ka^′k > 0. Portanto, sinal (L^′′₀₀) = +1 = sinal (L00) sinal (L^′₀₀), como quer´ıamos provar.

2. Caso em que sinal (L00)6= sinal (L^′₀₀).

Por (21.212) tem-se

L^′′₀₀ ≤ L00L^′₀₀+|b·a^′|.

Sabemos queb·a^′=kbk ka^′kcosθ, ondekbk ´e o comprimento deb,ka^′k´e o comprimento dea^′ eθ´e o ˆangulo que esses dois vetores formam entre si. ´E ´obvio, portanto, que|b·a^′| ≤ kbk ka^′k (desigualdade de Cauchy). Assim,

L^′′₀₀ ≤ L00L^′₀₀+kbk ka^′k. (21.214) Pela Proposi¸c˜ao 21.36, valem kbk = kak e kb^′k = ka^′k, assim como L00 = ±p

1 +kak² e L^′₀₀ = ∓p

1 +ka^′k² (pois sinal (L00)6= sinal (L^′₀₀)). Assim, por (21.214),

L^′′₀₀ ≤ −p

1 +kak²p

1 +kak²+kak ka^′k < 0. Portanto, sinal (L^′′₀₀) =−1 = sinal (L00) sinal (L^′₀₀), como quer´ıamos provar.

• Os subgrupos pr´oprio, ort´ocrono e restrito do grupo de Lorentz

Os conjuntos de transforma¸c˜oes de Lorentz que satisfazem as condi¸c˜oes Ia, Ib, IIa ou IIb acima s˜ao obviamente conjuntos disjuntos. N˜ao ´e dif´ıcil mostrar (mas n˜ao o faremos aqui) que cada um ´e um conjunto conexo. Portanto, o grupo de Lorentz L = O(1, 3) possui quatro componentes conexas. Seguindo a conven¸c˜ao, denotaremos essas quatro componentes da seguinte forma:

1. L^↑

+:=n L∈L

det(L) = +1 e sinal (L00) = +1o , 2. L^↑

−:=n L∈L

det(L) =−1 e sinal (L00) = +1o , 3. L₊^↓ :=n

L∈L

det(L) = +1 e sinal (L00) =−1o , 4. L^↓

−:=n L∈L

det(L) =−1 e sinal (L00) =−1o . Note-se tamb´em que apenasL^↑

+ cont´em a identidade1. L^↑

−cont´em a opera¸c˜ao de troca de paridadeP. L^↓

+cont´em a opera¸c˜ao de troca de paridade e invers˜ao temporalP T. L^↓

− cont´em a opera¸c˜ao de invers˜ao temporalT. Os conjuntosL^↑

−,L^↓

+eL^↓

−n˜ao s˜ao subgrupos deL. Por´em, pelas Proposi¸c˜oes 21.27 e 21.28, ´e muito f´acil constatar as seguintes afirma¸c˜oes:

1. L₊^↑ ´e um subgrupo deL, denominadogrupo de Lorentz pr´oprio ort´ocronoougrupo de Lorentz restrito.

2. L↑:=L^↑

+∪L^↑

− ´e um subgrupo deL, denominadogrupo de Lorentz ort´ocrono.

3. L₊:=L^↑

+∪L^↓

+ ´e um subgrupo deL, denominadogrupo de Lorentz pr´oprio.

4. L₀:=L^↑

+∪L^↓

− ´e um subgrupo deL, denominado grupo de Lorentz ort´ocoro⁶⁰. No grupo de Lorentz ort´ocronoL^↑:=L₊^↑∪L^↑

− n˜ao ocorrem revers˜oes temporais⁶¹. Apenas os elementos de ambos os conjuntos L^↑

+ e L^↓

+ satisfazem det(L) = 1 e, portanto, o grupo de Lorentz pr´oprio L₊ :=L^↑

+∪L^↓

+ coincide com SO(1, 3). O grupo de Lorentz pr´oprio ort´ocrono L^↑

+´e tamb´em por vezes denotado por SO0(1, 3), pois o sub´ındice “0”

´e ami´ude usado na literatura matem´atica para designar a componente conexa de um grupo (no caso, do grupo SO(1, 3)) que cont´em a identidade. Note tamb´em que SRot ´e um subgrupo de L^↑

+.

• A importˆancia deL₊,L↑ e L^↑

+ na F´ısica E uma cren¸ca da F´ısica atual que´ L^↑

+ representa uma simetria da Natureza (na ausˆencia de campos gravitacionais).

Essa cren¸ca n˜ao se estende aos grupos L₊ e L↑. O problema com esses ´ultimos grupos ´e que os mesmos envolvem opera¸c˜oes de troca de paridade (representada pela matrizP) ou de revers˜ao temporal (representada pela matriz T).

E um fato bem estabelecido experimentalmente que nas chamadas intera¸c˜´ oes fracas da F´ısica das Part´ıculas Elemen-tares a troca de paridade (representada por matrizes comoP ouP1) n˜ao ´e uma transforma¸c˜ao de simetria da natureza⁶²

60Essa denomina¸c˜ao, “ort´ocoro”, ´e raramente usada.

61Esse ´e o significado da flecha apontando para cima nos s´ımbolosL^↑

±, indicando que o tempo corre na mesma dire¸c˜ao nos sistemas de referˆencia inerciais transformados porL_±^↑. Analogamente, a flecha para baixo nos s´ımbolosL_±^↓ indica que a dire¸c˜ao temporal dos sistemas de referˆencia inerciais transformados porL^↓

±´e invertida.

62Essa descoberta foi realizada em experimentos de decaimento de neutrons publicados 1957, realizados pela f´ısica Chien–Shiung Wu (1912–

1997) e colaboradores, baseados em previs˜ao te´orica feita por Tsung–Dao Lee (1926–) e Chen Ning Yang (1922–). Esses dois ´ultimos foram agraciados com o Prˆemio Nobel de F´ısica de 1957“for their penetrating investigation of the so-called parity laws which has led to important discoveries regarding the elementary particles”. A Profa. Chien–Shiung Wu foi agraciada com o Prˆemio Wolf de F´ısica de 1978.

A referˆencia ao trabalho original de Lee e Yang ´e: T. D. Lee and C. N. Yang, “Question of Parity Conservation in Weak Interactions”.

Phys. Rev.104(1), 254–258 (1956). A referˆencia ao trabalho original de Wu e colaboradores ´e: C. S. Wu, E. Ambler, R. W. Hayward, D. D.

Hoppes and R. P. Hudson,“Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay”. Phys. Rev. 105(4), 1413–1415 (1957). A referˆencia [426] cont´em uma compila¸c˜ao de v´arias referˆencias originais desses e outros autores sobre o tema.

No contexto da Teoria Quˆantica de Campos Relativ´ıstica, ´e um fato te´orico bem estabelecido⁶³ que a chamada transforma¸c˜aoCP T⁶⁴ ´e uma transforma¸c˜ao de simetria. Viola¸c˜oes dessa simetria n˜ao foram empiricamente observadas na F´ısica das Part´ıculas Elementares. Por isso, a descoberta experimental, realizada em 1964, que a simetria CP ´e violada em certos processos de decaimento de part´ıculas⁶⁵ indica fortemente que a revers˜ao temporal tamb´em n˜ao seria uma simetria da natureza. Entretanto, evidˆencias experimentais diretas de que a simetria de revers˜ao temporal ´e violada n˜ao foram ainda encontradas, por serem de dif´ıcil constata¸c˜ao. Para mais informa¸c˜oes a respeito de simetrias e suas viola¸c˜oes na F´ısica das Part´ıculas Elementares, vide por exemplo [246], [150], [308], ou outros livros introdut´orios sobre o assunto.

• L^↑

+ ´e um subgrupo normal deL

Vamos aqui provar a seguinte proposi¸c˜ao sobreL^↑

+:

Proposi¸c˜ao 21.29 L₊^↑ ´e um subgrupo normal do grupo de Lorentz. 2

Prova. Tudo o que temos que fazer ´e provar que seL∈L₊^↑ eG∈L, ent˜aoG⁻¹LG∈L₊^↑. Isso equivale a provar que det(G⁻¹LG) = 1 e que sinal (G⁻¹LG)00

= 1.

Como det(L) = 1, tem-se obviamente que

det(G⁻¹LG) = det(G⁻¹) det(L) det(G) = det(G⁻¹) det(G) = det(G⁻¹G) = det(1) = 1. Analogamente, pela Proposi¸c˜ao 21.28 vale

sinal (G⁻¹LG)00

= sinal (G⁻¹L)00

sinal (G00) = sinal (G⁻¹)00

sinal (L00) sinal (G00)

= sinal (G⁻¹)00

sinal (G00) = sinal (G00)2

= 1. Acima, usamos a Proposi¸c˜ao 21.27 na pen´ultima igualdade. Isso completa a prova.

E. 21.100 Exerc´ıcio. Mostre que o grupo quocienteL/L₊^↑´e isomorfo ao grupo gerado por P1 eT. 6

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