An´alise no Per´ıodo de Dois Anos

O passo inicial foi comparar as duas abordagens cl´assicas encontradas na literatura para modelar s´eries de retornos provenientes de s´eries reais. Foram realizados experimentos utilizando a lei de potˆencia (Equa¸c˜ao ².⁴) e a fun¸c˜ao exponencial (Equa¸c˜ao ³.⁸). Para a compara¸c˜ao, 17 ´ındices econˆomicos mundiais com registros di´arios foram analisados numa pequena janela de observa¸c˜oes, de Janeiro de 2008 a Janeiro de 2010.

Tabela 4.4: Erros de ajuste (MSE) em escala semi-log e log-log.

´Indices Volatilidades Least Squares Trust Region Levenberg-Marquardt Coeficiente B (Pa´ıses) dos ´ındices Log-log Semi-log Log-log Semi-log Log-log Semi-log B (LS) B (TR) B (LM)

SSEC 1,1041 0,3182 0,0064 0,3182 0,0064 0,3182 0,0064 0,8875 0,8875 0,8875

OMX 1,0767 0,2517 0,0069 0,2517 0,0069 0,2517 0,0069 0,9316 0,9316 0,9316

OSEAX 1,0653 0,2909 0,0303 0,2909 0,0303 0,2909 0,0303 0,7874 0,7874 0,7874

BseSensex 1,0650 0,4244 0,0042 0,4244 0,0042 0,4244 0,0042 0,9448 0,9448 0,9448

MIB 1,0055 0,2284 0,0392 0,2284 0,0392 0,2284 0,0392 0,8078 0,8078 0,8078

IBEX 35 1,0054 0,2436 0,0116 0,2436 0,0116 0,2436 0,0116 0,9559 0,9559 0,9559

STI 1,0021 0,2462 0,0093 0,2462 0,0093 0,2462 0,0093 0,9003 0,9003 0,9003

GSPTSE 0,9812 0,2422 0,0279 0,2422 0,0279 0,2422 0,0279 0,8274 0,8274 0,8274

IPC 0,9772 0,2500 0,0123 0,2500 0,0123 0,2500 0,0123 0,8786 0,8786 0,8786

CAC 40 0,9677 0,1934 0,0106 0,1934 0,0106 0,1934 0,0106 0,9841 0,9841 0,9841

Nikkei 225 0,9663 0,2521 0,0250 0,2521 0,0250 0,2521 0,0250 0,8844 0,8844 0,8844

FTSE 100 0,9599 0,2253 0,0432 0,2253 0,0432 0,2253 0,0432 0,9300 0,9300 0,9300

Merval 0,9597 0,2653 0,0182 0,2653 0,0182 0,2653 0,0182 0,8771 0,8771 0,8771

Kospi 0,9367 0,2257 0,0292 0,2257 0,0292 0,2257 0,0292 0,8613 0,8613 0,8613

Djia 0,9283 0,2240 0,0427 0,2240 0,0427 0,2240 0,0427 0,9500 0,9500 0,9500

S&P 500 0,9181 0,2270 0,0174 0,2270 0,0174 0,2270 0,0174 0,8547 0,8547 0,8547

Dax 30 0,9130 0,2244 0,0305 0,2244 0,0305 0,2244 0,0305 0,8629 0,8629 0,8629

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Resultados semelhantes aos que s˜ao expostos aqui foram publicados no peri´odico Phy-sica A no artigo intitulado Market Volatility Modelling for Short Time Window [132] e apresentados no Econofis’10 [133], que foi o encontro nacional de Econof´ısica.

Os resultados encontrados na primeira fase dos experimentos, utilizando os trˆes algo-ritmos para ajuste (LS, TR e LM), para todas as s´eries, s˜ao descritos na Tabela 4.4. Os resultados est˜ao em ordem descendente de volatilidade. Analisando os valores, os ajustes realizados na escala log obtiveram melhor resultado. Os resultados na escala semi-log representam o ajuste da fun¸c˜ao exponencial. Na escala semi-log-semi-log, o ajuste representa a lei de potˆencia.

(a) Ajuste Linear (Fun¸c˜ao Exponencial).

−4 −3 −2 −1 0 1

(b) Ajuste Linear (Lei de Potˆencia).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

(c) Ajuste Linear (Fun¸c˜ao Exponencial).

−4 −3 −2 −1 0 1

(d) Ajuste Linear (Lei de Potˆencia).

Figura 4.8: Ajuste linear nas escalas log-log e semi-log, usando o algoritmo LS. (a-b)

´Indice Ibex 35 (Espanha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). Os pontos escuros s˜ao a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste linear

Na Figura 4.8 podem ser vistos dois exemplos de ajustes nas escalas semi-log e log-log.

Os pontos escuros representam a fdp dos dados e a linha cinza corresponde ao ajuste. Na escala semi-log, h´a uma melhor aderˆencia aos dados porque a curva que corresponde a fun¸c˜ao exponencial se ajusta a todas regi˜oes da fdp, perdendo apenas o final da cauda. Na escala log-log, a aderˆencia linear ´e pobre porque o ajuste foi realizado em todo intervalo

de dados e n˜ao s´o na cauda. Quando o fitting ´e realizado apenas na cauda, os resultados encontrados na literatura [71, 73, 74, 88] mostram que o ajuste linear que corresponde a lei de potˆencia ´e uma boa escolha.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figura 4.9: Ajustes com lei de potˆencia e fun¸c˜ao exponencial, usando o algoritmo Trust Region na escala semi-log. (a-b) ´Indice Ibex 35 (Espanha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). A linha preta ´e a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste.

Na segunda bateria de simula¸c˜oes, a distribui¸c˜ao exponencial e as leis de potˆencia foram usadas diretamente aos dados. Nessa parte foram utilizados trˆes algoritmos (TR, LM e MLE), como mostrado na Tabela 4.5. Os resultados est˜ao em ordem decrescente de volatilidade. Na Tabela 4.5 pode ser visto que a distribui¸c˜ao exponencial obteve um melhor ajuste aos dados do que a lei de potˆencia. Nesse caso, a fun¸c˜ao exponencial aderiu a todas as regi˜oes da fdp dos retornos dos ´ındices, perdendo um pouco do ajuste no final da cauda. Esse comportamento acontece devido a caracter´ıstica da fun¸c˜ao exponencial de se ajustar ao comportamento m´edio da curva sob estudo, perdendo um pouco o ajuste nos extremos. Para o algoritmo TR, a diferen¸ca entre as abordagens foi em torno de uma ordem de grandeza. Com o algoritmo LM, a fun¸c˜ao exponencial aderiu melhor aos dados em todos os ´ındices analizados. Os resultados obtidos com o algoritmo MLE mostrou que todos os ´ındices tamb´em s˜ao melhor ajustados pela fun¸c˜ao exponencial.

Tabela 4.5: Erros de ajuste (MSE e verossimilhan¸ca) usando leis de potˆencia e distribui¸c˜oes exponenciais.

´Indices Volatilidades Trust Region MLE Levenberg-Marquardt Coeficiente B

(Pa´ıses) dos ´ındices Lei de Potˆencia Exponencial Lei de Potˆencia Exponencial Lei de Potˆencia Exponencial B (TR) B (LM) B (MLE)

SSEC 1,1041 0,00026 0,00006 -224,19 -555,5 0,00089 0,00006 0,9070 0,9037 0,9146

OMX 1,0767 0,01503 0,00068 -215,17 -545,2 0,01860 0,00112 0,9892 0,9614 0,9334

OSEAX 1,0653 0,00037 0,00031 -200,65 -541,4 0,00060 0,00031 0,9848 0,9848 0,9403

Bse Sensex 1,065 0,00114 0,00011 -203,97 -513,7 0,00169 0,00011 0,9448 0,9448 0,9928

MIB 1,0055 0,00121 0,00039 -175,07 -513,4 0,00067 0,00039 1,0240 1,0240 0,9934

IBEX 35 1,0054 0,00103 0,00013 -183,36 -515,9 0,00102 0,00013 1,0270 1,0270 0,9962

STI 1,0021 0,00147 0,00011 -241,79 -510,7 0,00147 0,00011 0,9966 0,9966 1,0064

GSPTSE 0,9812 0,00003 0,00001 -187,12 -501,0 0,00007 0,00001 1,0340 1,0340 1,0255

IPC 0,9772 0,00047 0,00034 -235,28 -498,4 0,00101 0,00034 1,0540 1,0540 1,0308

CAC 40 0,9677 0,00160 0,00018 -173,07 -498,1 0,00123 0,00018 1,0690 1,0690 1,0314

Nikkei 0,9663 0,00024 0,00013 -217,01 -489,7 0,00072 0,00013 1,0580 1,0580 1,0406

FTSE 0,9599 0,00071 0,00022 -215,51 -492,0 0,00071 0,00022 1,0660 1,0660 1,0437

Merval 0,9597 0,00058 0,00017 -312,87 -485,2 0,00107 0,00017 1,0370 1,0370 1,0499

Kospi 0,9367 0,00084 0,00014 -170,61 -477,3 0,00065 0,00014 1,0820 1,0820 1,0740

Djia 0,9283 0,00061 0,00012 -215,83 -474,1 0,00061 0,00012 1,0570 1,0570 1,0807

S&P 500 0,9181 0,00083 0,00018 -174,47 -468,4 0,00064 0,00018 1,0720 1,0720 1,0929

Dax 0,9130 0,00123 0,00031 -147,77 -460,7 0,00067 0,00031 1,1280 1,1280 1,1016

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Nas Figuras 4.9, 4.10, 4.11 and 4.12 s˜ao mostrados exemplos dos ajustes gerados com a fun¸c˜ao exponencial e a lei de potˆencia, onde os pontos escuros s˜ao os dados ex-perimentais e a linha cinza ´e o ajuste. A fun¸c˜ao exponencial adere melhor a fun¸c˜ao densidade de probabilidade dos ´ındices, porque o ajuste ´e realizado em toda a extens˜ao da fdp. Entretanto, se apenas a cauda dos dados ´e considerada, o ajuste utilizando as leis de potˆencia descreve bem essa regi˜ao da fdp como afirmado pelo trabalho de Matiaet al. [77], etc [71, 73, 74, 88].

Figura 4.10: Ajustes com lei de potˆencia e fun¸c˜ao exponencial, usando o algoritmo Trust Region na escala log-log. (a-b) ´Indice Ibex 35 (Espanha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). A linha preta ´e a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste.

Nos resultados encontrados, a fun¸c˜ao exponencial descreve melhor a fun¸c˜ao densidade de probabilidade dos ´ındices financeiros do que a lei de potˆencia. Contudo, o resultado mais interessante ´e o relacionamento entre o coeficiente B da fun¸c˜ao exponencial e a volatilidade dos ´ındices financeiros. Como visto na Se¸c˜ao 4.1.1 que mostrou os resultados do modelo artificial proposto, o coeficiente B pode corresponder a uma medida de tem-peratura do mercado. Dessa forma, existe uma rela¸c˜ao inversamente proporcional entre a volatilidade do mercado e o coeficiente B. Esta rela¸c˜ao foi encontrada neste

traba-0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figura 4.11: Ajustes com lei de potˆencia e fun¸c˜ao exponencial, usando a Estima¸c˜ao por M´axima Verossimilhan¸ca na escala semi-log. (a-b) ´Indice Ibex 35 (Espanha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). A linha preta ´e a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste.

lho e corrobora a analogia desenvolvida no Cap´ıtulo 3 e nos resultados da Se¸c˜ao 4.1.1.

Os resultados podem ser observados nas Tabelas 4.4 e 4.5 e a rela¸c˜ao ´e mostrada na Figura 4.13.

Os dados que podem ser vistos na Figura 4.14 confirmam a rela¸c˜ao encontrada na Equa¸c˜ao ³.¹¹descrita no Cap´ıtulo 3. Nesta figura, observa-se queB·V olatilidadetende a ser uma constante, assim como encontrado nas s´eries artificiais. Essa medida de propor-cionalidade entre o coeficiente B e a volatilidade corresponde `a constante de Boltzmann da estat´ıstica de Maxwell-Boltzmann (Equa¸c˜ao ³.⁹). Nos experimentos, o valor m´edio encontrado foi de 0,88±0,1 para o algoritmo LS, 1,02±0,04 para o algoritmo TR, 1,02±0,04 para o algoritmo LM e 1,01±0,01 para o algoritmo MLE.

Os resultados mostram que a teoria de Maxwell-Boltzmann pode ser v´alida para descrever a fdp da s´erie de retornos de ´ındices reais, assim como no modelo artificial.

Assim, o sistema de mercado poderia ser tratado como um sistema de g´as ideal [108].

Os experimentos realizados corroboram a rela¸c˜ao entre o coeficiente B e a volatilidade

10⁻² 10⁻¹ 10⁰

Figura 4.12: Ajustes com lei de potˆencia e fun¸c˜ao exponencial, usando a Estima¸c˜ao por M´axima Verossimilhan¸ca na escala log-log. (a-b) ´Indice Ibex 35 (Espanha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). A linha preta ´e a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste.

mostrada no Cap´ıtulo 3. Assim, o risco financeiro de um determinado mercado ao longo de um per´ıodo de tempo especificado pode ser quantificado pela volatilidade ou pelo coeficiente B. Em outras palavras, eles medem a instabilidade/flutua¸c˜ao dos mercados.