4.1 Simula¸c˜ao do Ambiente Artificial Baseado no Modelo do G´as Ideal
4.1.1 Resultados dos Experimentos com o Mercado de A¸c˜oes Artificial . 40
Como o mercado de a¸c˜oes artificial foi desenvolvido inspirado no modelo de um g´as ideal, algumas caracter´ısticas devem ser analisadas a fim de validar o m´etodo. Para isso, todas as an´alises das simula¸c˜oes nesta Tese tomam como base o algoritmo proposto na Se¸c˜ao 3.2.2.
A bateria de experimentos inicial leva em considera¸c˜ao a primeira configura¸c˜ao do mercado, com 2000 itera¸c˜oes. Com base nessas simula¸c˜oes, primeiramente, os ajustes
`a fun¸c˜ao densidade de probabilidade das s´eries de retorno com a fun¸c˜ao exponencial e a lei de potˆencia ser˜ao comparados. Os resultados encontrados a partir da an´alise das simula¸c˜oes com os agentes com probabilidades de compra e venda constantes e vari´aveis s˜ao mostrados nas Tabelas 4.1 e 4.2, respectivamente. Os resultados est˜ao dispostos em ordem decrescente de sigma (σ) do modelo RW. Nas Tabelas 4.1 e 4.2 pode ser visto que
a fun¸c˜ao exponencial obteve um melhor ajuste do que a lei de potˆencia para todas as fdp das s´eries de retorno.
Tabela 4.1: Erros (MSE) usando as leis de potˆencia e a abordagem proposta baseada na fun¸c˜ao exponencial com probabilidade de compra e venda constante
Modelo Volatilidade Trust Region Coef. Coef. de RW das s´eries Lei de Potˆencia Exponencial Expon. (B) Pearson
σ= 2,30 1,017 0,0006 0,0001 0,820 0,317
σ= 2,00 0,973 0,0006 0,0001 0,846 0,312
σ= 1,70 0,949 0,0007 4,19E-05 0,850 0,295
σ= 1,50 0,933 0,0009 4,07E-05 0,880 0,282
σ= 1,30 0,922 0,0010 0,0008 0,950 0,292
σ= 1,00 0,913 0,0011 0,0002 0,970 0,289
σ= 0,70 0,907 0,0015 0,0002 0,908 0,273
σ= 0,50 0,876 0,0024 0,0002 0,957 0,281
σ= 0,30 0,835 0,0029 0,0003 1,000 0,225
σ= 0,10 0,801 0,0006 0,0001 1,030 0,178
σ= 0,05 0,798 0,0019 3,05E-05 1,035 0,151
σ= 0,01 0,799 0,0144 0,0024 1,102 0,226
Tabela 4.2: Erros (MSE) usando as leis de potˆencia e a abordagem proposta baseada na fun¸c˜ao exponencial com probabilidade de compra e venda vari´avel
Modelo Volatilidade Trust Region Coef. Coef. de RW das s´eries Lei de Potˆencia Exponencial Expon. (B) Pearson
σ= 2,30 1,026 0,0007 0,0001 0,791 0,220
σ= 2,00 0,983 0,0007 0,0001 0,800 0,238
σ= 1,70 0,958 0,0008 4,69E-05 0,841 0,143
σ= 1,50 0,948 0,0008 0,0001 0,850 0,222
σ= 1,30 0,929 0,0010 3,51E-05 0,880 0,154
σ= 1,00 0,922 0,0012 0,0003 0,900 0,148
σ= 0,70 0,913 0,0017 0,0001 0,929 0,230
σ= 0,50 0,889 0,0019 0,0003 0,940 0,214
σ= 0,30 0,845 0,0030 0,0003 0,961 0,252
σ= 0,10 0,810 0,0030 0,0003 0,975 0,203
σ= 0,05 0,807 0,0027 0,0002 1,000 0,249
σ= 0,01 0,789 0,0032 0,0004 1,050 0,268
A Figura 4.1 mostra exemplos dos ajustes feitos com a fun¸c˜ao exponencial e com a lei de potˆencia nas escalas semi-log e log-log. Os pontos pretos s˜ao os valores gerados pela simula¸c˜ao computacional e a linha cinza representa o ajuste de cada fun¸c˜ao. A fun¸c˜ao exponencial aderiu melhor `a fun¸c˜ao densidade de probabilidade da s´erie do que a lei de potˆencia. Enquanto o ajuste da fun¸c˜ao exponencial ´e feito em toda a extens˜ao da fdp, descrevendo o comportamento m´edio dos dados, a lei de potˆencia tem uma melhor aderˆencia na regi˜ao da cauda da fdp. Assim, se apenas a cauda for considerada, a lei de potˆencia alcan¸ca um melhor ajuste.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Figura 4.1: Ajustes com a fun¸c˜ao exponencial e a lei de potˆencia usando o algoritmoTrust Region para a s´erie temporal gerada com σ = 0,1. (a-b) Ajuste na escala semi-log. (c-d) Ajuste na escala log-log. A linha preta representa a fun¸c˜ao densidade de probabilidade (fdp) da s´erie temporal e a linha cinza representa o ajuste encontrado pelo algoritmo.
Dado que o ajuste da fun¸c˜ao exponencial aderiu melhor aos dados que a lei de potˆencia, os resultados encontrados nos experimentos corroboram com a analogia proposta entre o mercado de a¸c˜oes e o modelo do g´as ideal. A rela¸c˜ao entre o coeficiente B e a volatilidade pode ser vista nas Figuras 4.2a e 4.2b. Como enunciado no Cap´ıtulo 3, o coeficiente B pode ser comparado a uma medida de temperatura de mercado, inversamente proporci-onal `a volatilidade. Dessa forma, quando a volatilidade do mercado de a¸c˜oes ´e alta, o coeficienteB correspondente a essa mercado ser´a pequeno e quando a volatilidade de um determinado mercado for baixa, o coeficiente B desse mercado ser´a alto.
Como visto no Cap´ıtulo 3, na analogia entre o modelo do g´as ideal e o mercado de a¸c˜oes a rela¸c˜ao entre o coeficiente B e a volatilidade, denotada pela express˜ao (produto) B·V olatilidadedeve tender a uma constante. Tal medida de proporcionalidade entre essas
2 4 6 8 10 12
(a) Rela¸c˜ao para os experimentos com proba-bilidade de compra e venda dos agentes cons-tante.
(b) Rela¸c˜ao para os experimentos com pro-babilidade de compra e venda dos agentes vari´avel.
Figura 4.2: Compara¸c˜ao entre a volatilidade e o coeficiente B. (a) Rela¸c˜ao das duas vari´aveis nas simula¸c˜oes realizadas com a probabilidade constante de compra e venda dos agentes. (b) Rela¸c˜ao das duas vari´aveis nas simula¸c˜oes realizadas com a probabilidade vari´avel de compra e venda dos agentes. No gr´afico, os pontos pretos s˜ao as volatilidade e as estrelas cinzas s˜ao os coeficientes B das s´eries temporais geradas artificialmente. Os resultados est˜ao em ordem decrescente de volatilidade.
vari´aveis corresponde `a constante de Boltzmann da estat´ıstica de Maxwell-Boltzmann (Equa¸c˜ao 3.9). Nos experimentos com a probabilidade de compra/venda constante e vari´avel, o valor m´edio encontrado foi de 0,84±0,04 e 0,81±0,03, respectivamente.
O produto entre a volatilidade e o coeficiente B para os dois casos pode ser visto nas Figuras 4.3a e 4.3b.
(a) Produto para os experimentos com proba-bilidade de compra e venda dos agentes cons-tante.
(b) Produto para os experimentos com pro-babilidade de compra e venda dos agentes vari´avel.
Figura 4.3: O produto B ·V olatilidade para cada mercado. A linha s´olida representa o valor m´edio para o conjunto de pontos.
A partir dos experimentos tamb´em ´e poss´ıvel analisar o comportamento dos diferen-tes tipos de mercado sob o ponto de vista do investidor. Atrav´es da distribui¸c˜ao de ganho/perda de patrimˆonio (a¸c˜oes + dinheiro) dos agentes pode-se correlacionar o grau de instabilidade do mercado com a probabilidade de um investidor ganhar ou perder uma determinada quantidade de dinheiro. Dessa forma, pode-se estimar o retorno de um investidor dado o mercado onde ele est´a inserido.
Na simula¸c˜ao, os agentes n˜ao tˆem qualquer informa¸c˜ao sobre o mercado, ou sobre os investimentos dos outros agentes. Os agentes correspondem a pessoas que investem sem fazer qualquer estudo de mercado, ou qualquer tipo de previs˜ao com base em c´alculos, ou informa¸c˜oes da m´ıdia. Os agentes representam investidores que est˜ao no mercado, mas n˜ao fazem qualquer estudo ou an´alise sobre o futuro ou o movimento das a¸c˜oes.
Para calcular a distribui¸c˜ao de ganho/perda por agente, um histograma para cada mercado foi constru´ıdo. O coeficiente de Pearson [129], utilizado para estimar a assimetria de um histograma foi calculado para cada tipo de mercado e os seus valores est˜ao descritos em ordem decrescente de volatilidade nas Tabelas 4.1 e 4.2. O coeficiente de Pearson quantifica a assimetria de uma determinada distribui¸c˜ao. Tal coeficiente ´e determinado pela diferen¸ca entre a m´edia e a moda divido pelo desvio padr˜ao dos dados. O coeficiente
´e medido de acordo com a Equa¸c˜ao 4.1,
As= X¯ −Mo
s (4.1)
em queAs´e o coeficiente de Pearson, ¯X´e a m´edia dos dados,Mo´e a moda da distribui¸c˜ao es´e o desvio padr˜ao da distribui¸c˜ao. Como os dados analisados correspondem aos valores absolutos das s´eries de retornos, quanto maior o valor do coeficiente de Pearson, maior a assimetria dos dados. Assim, quanto maior a assimetria, maior o montante de dinheiro que os agentes ganham ou perdem num determinado mercado.
Para analisar a correla¸c˜ao entre a “temperatura” do mercado e o montante de di-nheiro dos agentes, dois cen´arios foram simulados. No primeiro, como j´a mencionado anteriormente, os agentes compram e vendem a¸c˜oes com uma probabilidade de 0,9. No segundo, a probabilidade de compra e venda ´e vari´avel seguindo uma distribui¸c˜ao nor-mal N(0,5; 0,15). Essa probabilidade foi estabelecida com o objetivo que o agente possa executar alguma a¸c˜ao, ou de compra, ou de venda.
Nas Figuras 4.4a, 4.4b, 4.5a e 4.5b podem ser vistos os histogramas da distribui¸c˜ao de ganhos/perdas do menor sigma (σ = 0,01) e do maior sigma (σ = 2,3) utilizados na simula¸c˜ao. As taxas de lucro ou preju´ızo de cada agente (taxaAgente) foram calculadas seguindo a Equa¸c˜ao 4.2,
taxaAgente= |patrimoniof inal−patrimonioinicial| patrimonioinicial
(4.2) em quepatrimoniof inalcorresponde ao montante de capital do agente ao sair do mercado, patrimonioincial ´e o montante de capital do agente ao entrar no mercado. Os histogramas das Figuras 4.4 e 4.5 apresentam as taxas de ganho/perda normalizadas pelo desvio padr˜ao dos valores de taxas dos agentes (taxaAgente).
As Figuras 4.4a, 4.4b mostram os histogramas com a probabilidade de compra/venda constante e as Figuras 4.5a e 4.5b mostram os histogramas com a probabilidade vari´avel.
Observando os histogramas na Figura 4.4, pode-se notar que no mercado menos vol´atil, com desvio padr˜ao menor, os agentes ganham/perdem menos dinheiro do que no caso de mercado mais vol´atil que tem uma varia¸c˜ao de pre¸cos maior.
0 1 2 3 4 5 6
0 20 40 60
Distribuição (%) de ganho/perda dos agentes
Frequência
Distribuição (%) de ganho/perda dos agentes
Frequência
(b) Histograma paraσ= 2,3.
Figura 4.4: Histogramas normalizados das distribui¸c˜oes (ganho/perda) dos agentes (taxaAgente) com o uso de probabilidade de compra/venda constante. (a) Distribui¸c˜ao do dinheiro dos agentes para a s´erie temporal gerada com σ= 0,01. (b) Distribui¸c˜ao do dinheiro dos agentes para a s´erie temporal gerada com σ= 2,3.
A assimetria nas Figuras 4.4a e 4.4b mostra que o mercado com menor desvio padr˜ao (σ= 0,01) apresenta uma menor assimetria do que o mercado com maior desvio padr˜ao (σ= 2,3). Estas medidas mostram que, quando a volatilidade ´e pequena, o ganho/perda dos investidores se concentram mais em torno do valor m´edio dos retornos. Quando a volatilidade ´e elevada, h´a uma maior dispers˜ao, e por conseguinte, uma maior probabi-lidade de ganho/perda dos agentes. ´E importante salientar que nesse caso, os agentes compram e vendem pap´eis com uma probabilidade alta (0,9), deixando que o mercado influencie severamente nos seus ganhos. Nesse caso, dado esse comportamento, os re-sultados seguem a teoria de Maxwell-Boltzmann descrita anteriormente. Ou seja, de
acordo com a energia (volatilidade) do sistema (mercado), os agentes ganham/perdem mais dinheiro. Esse fenˆomeno ocorre quando um investidor mant´em uma determinada posi¸c˜ao, de compra ou venda, independente do movimento do mercado. Geralmente, esse investidores usam a bolsa de valores como investimento de longo prazo (no caso de anos), desprezando as varia¸c˜oes em pequenos per´ıodos, na esperan¸ca que haja uma valoriza¸c˜ao na m´edia do pre¸co do investimento.
0 1 2 3 4 5 6
Distribuição (%) de ganho/perda dos agentes
Frequência
Distribuição (%) de ganho/perda dos agentes
Frequência
(b) Histograma paraσ= 2,3.
Figura 4.5: Histogramas normalizados das distribui¸c˜oes (ganho/perda) dos agentes (taxaAgente) com o uso de probabilidade de compra/venda vari´avel. (a) Distribui¸c˜ao do dinheiro dos agentes para a s´erie temporal gerada com σ= 0,01. (b) Distribui¸c˜ao do dinheiro dos agentes para a s´erie temporal gerada com σ= 2,3.
No caso dos mercados com probabilidade de compra/venda vari´avel (N(0,5; 0,15)), em que os agentes s˜ao menos influenciados pelas flutua¸c˜oes do mercado, a dinˆamica encon-trada foi diferente. As Figuras 4.5a e 4.5b mostram que n˜ao h´a uma diferen¸ca significativa entre o mercado mais vol´atil (σ= 0,01) e o menos vol´atil (σ = 2,3). Esse comportamento se deve ao fato de a probabilidade de compra/venda flutuar em torno de 0,5, tornando o impacto da flutua¸c˜ao do mercado menor nos ganhos/perdas dos agentes. A rela¸c˜ao entre o coeficiente de assimetria e o coeficiente B s˜ao mostrados (em ordem crescente de B) na Figura 4.6. Resultados semelhantes aos encontrados nesses experimentos foram publicados em [130, 131].
Na an´alise de estacionariedade dos mercados artificiais, foram analisadas 30 com-bina¸c˜oes. Na Tabela 4.3 s˜ao mostrados os valores dos parˆametros utilizados, dividos em dois conjuntos, probabilidade de compra/venda constante e vari´avel. Na mesma tabela podem ser vistos o crit´erio de parada m´edio alcan¸cado dos 30 experimentos, a volatilidade e o coeficiente B m´edio de todas observa¸c˜oes. Na Tabela 4.3 tamb´em pode ser visto que
0 2 4 6 8 10 12
(a) Mercado de a¸c˜oes com probabilidade de com-pra/venda constante.
(b) Mercado de A¸c˜oes com probabilidade de com-pra/venda vari´avel.
Figura 4.6: Rela¸c˜ao entre o coeficiente de Pearson e o coeficiente B em ordem cres-cente do coeficiente B. No gr´afico, os pontos representam os coeficientes B e as estrelas correspondem aos coeficientes de Pearson das s´eries temporais artificiais. (a) Rela¸c˜ao para investidores com compra/venda constante. (b) Rela¸c˜ao para investidores com com-pra/venda vari´avel.
o MSE obtido dos ajustes com a fun¸c˜ao exponencial foram superiores em desempenho `a lei de potˆencia na maioria dos casos.
Nas Figuras 4.7a, 4.7b e 4.7c s˜ao mostrados exemplos de evolu¸c˜ao da volatilidade para diferentes casos. Para o c´aculo da volatilidade foi estabelecida uma janela cumulativa que estima a nova volatilidade a cada 50 itera¸c˜oes. Ent˜ao, a primeira volatilidade ´e calculada ap´os 50 itera¸c˜oes, a segunda ap´os 100, a terceira depois de 150 passos e assim sucessivamente at´e o crit´erio de parada ser alcan¸cado. Na Figura 4.7 pode ser visto que ap´os uma determinada quantidade de itera¸c˜oes, o processo se torna estacion´ario, de acordo com o crit´erio de parada estabelecido, pois ap´os 1000 itera¸c˜oes n˜ao houve uma varia¸c˜ao na volatilidade maior que 1%.
A partir da an´alise da Tabela 4.3, observa-se que os resultados obtidos com proba-bilidade de compra/venda constante se assemelham com os resultados obtidos com a probabilidade de compra/venda vari´avel. Apesar da mudan¸ca do n´umero de agentes, os mercados (de acordo com o desvio padr˜ao do modelo RW) alcan¸caram o crit´erio de parada com a mesma quantidade de itera¸c˜oes e praticamente a mesma volatilidade fi-nal. Dessa forma, pode-se inferir que, no modelo artificial proposto, onde os agentes n˜ao trocam informa¸c˜ao com o ambiente, n˜ao h´a qualquer influˆencia da dinˆamica dos agentes nos pre¸cos das a¸c˜oes, independente do modo (constante/vari´avel) de compra/venda uti-lizado. Tamb´em ´e poss´ıvel afirmar que independente da janela temporal considerada nos
Tabela 4.3: Estat´ısticas dos experimentos com 100000 itera¸c˜oes.
Prob. de N´umero Desv. Padr˜ao Itera¸c˜ao Volat. MSE Coef.
comp./venda Agentes do modeloRW L.P. Exp. B
0,01 20000 0,798 1,32E-06 1,85E-07 0,900
25 1,00 50000 0,561 1,36E-04 1,03E-04 1,200
2,30 50000 0,386 8,04E-05 1,19E-04 0,878 0,01 20000 0,796 2,34E-03 2,14E-04 1,000
50 1,00 50000 0,559 2,22E-03 1,66E-04 1,050
2,30 50000 0,387 7,87E-05 6,68E-05 0,802 0,01 20000 0,798 2,43E-03 2,01E-04 1,080
Constante 100 1,00 50000 0,565 1,40E-04 1,05E-04 1,200
2,30 50000 0,399 8,09E-05 6,90E-05 0,625 0,01 20000 0,799 2,74E-03 3,52E-04 0,970
250 1,00 50000 0,571 1,40E-04 1,08E-04 1,205
2,30 5000 0,395 8,31E-05 8,06E-05 0,735 0,01 20000 0,799 2,35E-03 2,21E-04 1,010
500 1,00 50000 0,551 1,34E-04 1,30E-04 1,300
2,30 50000 0,375 7,63E-05 1,06E-04 0,872 0,01 20000 0,799 4,17E-04 2,18E-04 0,950
25 1,00 50000 0,630 1,74E-04 1,36E-04 1,100
2,30 50000 0,540 1,79E-04 1,08E-04 1,200 0,01 20000 0,797 2,83E-03 1,72E-04 1,030
50 1,00 50000 0,616 1,69E-04 1,14E-04 1,425
2,30 50000 0,570 1,53E-04 7,81E-05 1,100 0,01 20000 0,796 2,12E-03 1,30E-04 1,100
Vari´avel 100 1,00 50000 0,583 6,70E-04 1,99E-04 1,619
2,30 50000 0,553 1,79E-04 8,11E-05 1,000 0,01 20000 0,799 2,43E-03 1,51E-04 1,080
250 1,00 50000 0,643 1,89E-04 9,61E-05 1,316
2,30 50000 0,551 1,92E-04 9,29E-05 1,200 0,01 20000 0,796 2,22E-03 1,96E-04 1,000
500 1,00 50000 0,615 1,71E-04 1,20E-04 1,449
2,30 50000 0,542 1,63E-04 1,00E-04 1,134
experimentos, a fun¸c˜ao exponencial aderiu melhor aos dados que as lei de potˆencia.
4.2 RESULTADOS EXPERIMENTAIS COM DADOS REAIS
Quando as s´eries reais foram abordadas, um problema crucial foi a aquisi¸c˜ao de dados, por isso conforme o foco dos experimentos, as an´alises s˜ao realizadas em diferentes s´eries.
Nessa se¸c˜ao, os experimentos est˜ao divididos em duas partes:
1. Aplica¸c˜ao da abordagem proposta na Se¸c˜ao 3.2.2 do Cap´ıtulo 3 em ´ındices finan-ceiros reais com diferentes janelas de tempo;
2. Aplica¸c˜ao da abordagem para agrupamento de pa´ıses baseado em seus ´ındices fi-nanceiros. Dessa forma, a abordagem proposta na Se¸c˜ao 3.2.2 do Cap´ıtulo 3 serve como base para a classifica¸c˜ao dos grupos de pa´ıses.
A seguir os resultados s˜ao mostrados em trˆes diferentes se¸c˜oes. Na primeira, uma exaustiva an´alise foi realizada usando ´ındices financeiros no per´ıodo de dois anos. Na
0 50 100 150 200 250 300 350 400
(a) Evolu¸c˜ao da volatilidade para um mercado (σ= 0,01) com 25 agentes.
(b) Evolu¸c˜ao da volatilidade para um mercado (σ= 0,1) com 250 agentes.
(c) Evolu¸c˜ao da volatilidade para um mercado (σ= 2,3) com 500 agentes.
Figura 4.7: Evolu¸c˜ao temporal da volatilidade utilizando uma janela cumulativa de 50 registros para os mercados com: (a) 25 agentes e σ = 0,01, (b) 250 agentes e σ = 0,1 e (c) 500 agentes e σ = 2,3
se¸c˜ao subsequente, um conjunto de janelas de tempo ´e considerado para um outro grupo de ´ındices. E finalmente, uma metodologia utilizando a abordagem proposta ´e utilizada na tarefa de classifica¸c˜ao de pa´ıses na ´ultima se¸c˜ao.