An´alise espacial ´e o estudo quantitativo de fenˆomenos alocados no espa¸co. Atrav´es dela pode-se verificar se determinada caracter´ıstica de interesse ´e influenciada pela sua vizinhan¸ca, ou seja, se existe dependˆencia espacial. A an´alise de dados espaciais ´e aplicada em situa¸c˜oes onde se disp˜oem de dados observados a partir de algum sistema que opera no espa¸co.[21] Podem ser encontrados trˆes tipos de dados: dados de padr˜ao de pontos, dados espacialmente cont´ınuos e dados de ´area.
Neste trabalho foi realizada a an´alise de dados espaciais de ´area. Estes s˜ao dados rela- cionados com unidades delimitadas, ou seja, dados relacionados com um mapa geogr´afico, por exemplo, dados do censo. Neste caso n˜ao ´e de interesse o local exato da ocorrˆencia e sim os dados agregado por ´area.
Para verificar se existe uma dependˆencia espacial entre os dados, calcula-se a auto- correla¸c˜ao espacial, onde a correla¸c˜ao ´e medida para a mesma vari´avel, mas de lugares diferentes. Existem alguns m´etodos para verificar a existˆencia desta autocorrela¸c˜ao, e todos eles utilizam um fator em comum, que ´e a matriz de vizinhan¸ca ou proximidade espacial.
3.4.1.1 Matriz de proximidade espacial ou matriz de vizinhan¸ca
A matriz de proximidade espacial ´e uma ferramenta b´asica na avalia¸c˜ao da autocor- rela¸c˜ao espacial. Esta matriz ´e definida como W (nxn), onde n ´e a quantidade de ´areas e cada elemento wij representa uma medida de distˆancia entre a ´area i e a ´area j. Esta
3.4 An´alise Espacial 31
medida pode ser calculada atrav´es da distˆancia entre os centroides, da existˆencia de fron- teiras ou comprimento das fronteiras[22]. Os elementos da diagonal wij s˜ao zero, enquanto
os elementos wij apontam a forma qua a ´area i est´a relacionada espacialmente com a ´area
j. Alguns dos crit´erios utilizados na matriz W s˜ao[23] :
• wij=1, se o centro da ´area i est´a a uma determinada distˆancia da ´area j, 0 caso
contr´ario;
• wij=1, se a ´area i faz fronteira com a regi˜ao j, 0 caso contr´ario;
• wij=1/d, em que d ´e a distˆancia entre os centros da ´area i e j.
´
E poss´ıvel atribuir peso `as proximidades encontradas. As possibilidades s˜ao:
• Sem peso: todos os objetos est˜ao pr´oximos com o mesmo peso; • Distˆancia inversa;
• Distˆancia inversa ao quadrado.
Muitas vezes se usa a matriz de vizinhan¸ca normalizada pelo n´umero de vizinhos por linha, como na figura 3, onde tem-se um exemplo de uma matriz de proximidade espacial normalizada para cinco ´areas, sendo considerados vizinhos por contiguidade. [23]
Figura 3: Matriz de proximidade espacial
Neste trabalho foi considerado na matriz de proximidade espacial os vizinhos por contiguidade, ou seja, que compartilham fronteira, e por vizinhos mais pr´oximos.
3.4.1.2 ´Indice de Moran
O ´Indice de Moran, tamb´em conhecido como I de Moran, ´e a medida mais utilizada para verificar a dependˆencia espacial, atrav´es do produto dos desvios em rela¸c˜ao a m´edia.
3.4 An´alise Espacial 32
Na equa¸c˜ao 3.21, o c´alculo do I de Moran leva em considera¸c˜ao apenas o primeiro vi- zinho, ou seja, o vizinho de primeira ordem. Neste caso, utiliza-se os vizinhos diretamente ligados a ´area em estudo. [24]
I = n P i=1 n P j=1 wij(zi− z)(zj − z) n P i=1 (zi− z)2 , para i 6= j (3.21) Onde:
• n ´e a quantidade de observa¸c˜oes;
• zi e zj ´e o valor do CMI da ´area i e na ´area i, respectivamente;
• z ´e o valor m´edio do CMI na regi˜ao de estudo;
• wij ´e o elemento da matriz normalizada de proximidade espacial para o par i e j.
A equa¸c˜ao 3.22 ´e uma generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao 3.21, onde k ´e a ordem da vizinhan¸ca. Quando k=2,considera-se na matriz de vizinhan¸ca o vizinho do vizinho, sendo matriz de segunda ordem. I(k)= n ∗ n P i=1 n P j=1 wij(k)(zi− z)(zj − z) n P i=1 (zi− z)2 , para i 6= j (3.22)
O I de Moran varia de -1 a 1. Quanto mais pr´oximo de 0, indica a independˆencia espacial. Se for pr´oximo de 1 existe correla¸c˜ao positiva e se for pr´oximo de -1 existe correla¸c˜ao negativa. O teste realizado para verificar a correla¸c˜ao entre as ´areas ´e o teste de Moran, onde as hip´oteses s˜ao:
(
H0 : I = 0, ou seja, n˜ao existe autocorrela¸c˜ao espacial entre as ´areas;
H1 : I 6= 0, ou seja, existe autocorrela¸c˜ao espacial entre pelo menos 2 das ´areas.
Para a valida¸c˜ao estat´ıstica do teste ´e necess´ario associar o ´ındice a uma distribui¸c˜ao, sendo mais frequente a distribui¸c˜ao normal. Baseado na distribui¸c˜ao assint´otica do I de Moran, no entanto o mais usual ´e fazer o teste de pseudo-significˆancia, onde s˜ao geradas diferentes permuta¸c˜oes dos valores de atributos associados `as regi˜oes. Cada permuta¸c˜ao produz um novo arranjo espacial, onde os valores est˜ao redistribu´ıdos entre as ´areas. Se
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o valor observado corresponder a um ”extremo”da distribui¸c˜ao simulada, ent˜ao trata-se de valor com significˆancia estat´ıstica[24].
Outras formas de identificar a dependˆencia espacial s˜ao a Estat´ıstica Espacial Local ou Indicadores Locais de Associa¸c˜ao Espacial (LISA), Moran Map, Box Map e o Lisa Map.
3.4.1.3 Indicadores Locais de Associa¸c˜ao Espacial - LISA
O I de Moran ´e um ´ındice global, onde obt´em-se um ´unico valor para todo o conjunto de munic´ıpios. No caso do LISA, tem um valor espec´ıfico para cada munic´ıpio, permitindo identificar as ´areas semelhantes e a existˆencia de locais considerados outliers. Este ´ındice ´e calculado da seguinte forma[25]:
Ii = zi∗
W zi
σ2 (3.23)
Onde:
• zi = valor do desvio do CMI da i -´esima ´area;
• W zi = valor m´edio dos desvios do CMI dos vizinhos da ´area i ;
• σ2 = variˆancia da distribui¸c˜ao dos valores dos desvios do CMI.
O Lisa ´e um indicador que necessita atender as seguintes caracter´ısticas[26]: 1. Permitir a identifica¸c˜ao de padr˜oes de associa¸c˜ao espacial significativa; 2. Ser uma decomposi¸c˜ao do ´ındice global de associa¸c˜ao.
Quando calculado o ´ındice local, pode-se calcular o I de Moran atrav´es de sua m´edia aritm´etica.
O Moran Map, Box Map e o Lisa Map s˜ao gr´aficos que obt´em-se a partir do diagrama de espalhamento de Moran e Lisa.
3.4.1.4 Diagrama de espalhamento de Moran
O diagrama de espalhamento de Moran ´e uma forma de observar a dependˆencia es- pacial nos dados. Ele ´e dividido em quatro quadrantes, onde cada quadrante demonstra
3.4 An´alise Espacial 34
um tipo de associa¸c˜ao diferente entre o valor de um determinado lugar com o valor m´edio de sua vizinhan¸ca. Este diagrama utiliza os valores normalizados, ou seja, valores do CMI subtra´ıdos de sua m´edia e divididos pelo desvio padr˜ao[27]. Atrav´es deste gr´afico, constru´ıdo atrav´es do valor do CMI normalizado pela m´edia dos vizinhos, pretende-se comparar o CMI normalizado de uma determinada ´area com a m´edia dos seus vizinhos. Os quadrantes s˜ao definido como[28]:
• Os quadrantes superior direito e inferior esquerdo – indicam associa¸c˜ao espacial positiva, isto ´e, a ´area para o valor do atributo considerado, est´a cercada por ´areas que tem comportamento similar. O quadrante superior direito (High-High = Alto- Alto) indica que tanto o valor do atributo, quanto o valor m´edio para seus vizinhos, est˜ao acima da m´edia do conjunto. No quadrante inferior esquerdo (Low-Low = Baixo-Baixo) tanto o atributo quanto a m´edia dos vizinhos, est˜ao abaixo da m´edia; • Valores baixos est˜ao cercados por valores altos (quadrante superior esquerdo: Baixo- Alto (Low-High), representando valor negativo e m´edia dos vizinhos positiva) e valores altos s˜ao rodeados por valores baixos (quadrante inferior direito: Alto- Baixo (High-Low ), representando valor positivo e m´edia dos vizinhos negativa)
Na figura 4 tem-se um exemplo de um diagrama de espalhamento de Moran, onde Q1 ´e o quadrante High-High, Q2 o quadrante Low-Low, Q3 o quadrante High-Low e Q4 o quadrante Low-High.
3.4.1.5 Box Map, Lisa Map e Moran Map
O diagrama de espalhamento de Moran pode ser representado por um mapa, que ´e o Box Map, onde cada cor do mapa significa um dos quadrantes do diagrama. [28]:
Para o Lisa Map ´e analisada a significˆancia dos valores do ´ındice de Moran local em cada munic´ıpio, cujas hip´oteses s˜ao iguais ao do ´ındice global de Moran. As ´areas s˜ao distribu´ıdas em quatro grupos: n˜ao significantes, significantes `a 95%, significantes `a 99% e significantes `a 99,9%.
O Moran Map ´e uma jun¸c˜ao do Lisa Map com o Box Map. Para a confec¸c˜ao deste mapa, utiliza-se somente as ´areas consideradas significativas do Lisa(no caso deste tra- balho com valor-p<0,05). Depois de identificadas essas regi˜oes, separa-se nos quatro quadrantes definidos no diagrama de espalhamento de Moran e visualizados no Box Map. As demais s˜ao consideradas n˜ao significantes.[25]
3.4 An´alise Espacial 35
Figura 4: Diagrama de espalhamento de Moran
Fonte:An´alise Espacial de ´Areas. In: An´alise Espacial de Dados de ´Area.
Quando a correla¸c˜ao espacial ´e verificada, procura-se incorporar esta informa¸c˜ao ao modelo de regress˜ao. H´a diversas maneiras para inserir o efeito espacial no modelo de regress˜ao, no entanto, o mais utilizado ´e o modelo com efeitos espaciais globais, que busca sintetizar a estrutura de correla¸c˜ao espacial em apenas um parˆametro e introduzi-lo no modelo de regress˜ao. H´a duas maneiras de se fazer isto, atrav´es do modelo espacial auto- regressivo misto (Spatial Auto Regressive - SAR ou Spatial Lag Model) e o modelo do erro espacial (Conditional Auto Regressive - CAR ou Spatial Error Model) que est˜ao descritos abaixo.[29]
3.4.2
Modelo SAR
Neste modelo a autocorrela¸c˜ao espacial ignorada ´e atribu´ıda `a vari´avel dependente Y, como representada na equa¸c˜ao do modelo abaixo.
y = Xβ + ρWY + ε (3.24)
Onde:
• y = vetor da vari´avel dependente • X = matriz de vari´aveis independentes
3.4 An´alise Espacial 36
• β = vetor de coeficientes de regress˜ao
• ε = vetor com erro aleat´orio do modelo, ε ∼ N (0, σ2)
• W = matriz de vizinhan¸ca espacial ou matriz de pondera¸c˜ao espacial • ρ = coeficiente espacial autoregressivo
W Y expressa a dependˆencia espacial em Y .
A hip´otese nula para a n˜ao existˆencia de correla¸c˜ao espacial ´e de ρ = 0.
3.4.3
Modelo CAR
Este modelo de regress˜ao trata os efeitos espaciais como ru´ıdo, ou seja, uma per- turba¸c˜ao que necessita ser removida. Neste caso, a autocorrela¸c˜ao est´a associada ao erro, como descrito abaixo.
y = βX + ε, (3.25)
ε = λWε+ ξ (3.26)
Onde:
• Wε = componente do erro com efeitos espaciais
• λ = coeficiente auto-regressivo
• ξ = erros aleat´orios com m´edia zero e variˆancia σ2
A hip´otese nula para a n˜ao existˆencia de correla¸c˜ao espacial ´e de λ = 0.