Amortecimento Passivo e Controle em Tempo Discreto

Atualmente o controle de conversores estáticos de potência é em geral feito utilizando- se DSPs, que se popularizaram devido à progressiva redução de seu custo e aumento da

capacidade de processamento, dentre outras vantagens. Para levar em consideração não só o atraso introduzido pelo cálculo do algoritmo de controle, mas também a influência dos conversores analógico-digitais, a análise do comportamento dinâmico do filtro deve ser feita em tempo discreto.

Ao se optar por esta estratégia de controle de um retificador PWM deve-se determinar qual taxa de amostragem das grandezas realimentadas deve ser adotada, tendo em vista fatores como a frequência de comutação dos dispositivos semicondutores de potência do inversor, a faixa de passagem requerida do controlador e as máximas amplitudes permitidas para as componentes harmônicas na corrente da rede. Os métodos mais difundidos de modulação PWM são implementados utilizando-se portadora de frequência fixa e amostragem regular, isto é, a portadora está sincronizada com a modulante e sua frequência é um múltiplo inteiro da frequência fundamental, em geral um harmônico triplo (CARDOSO FILHO, 2004). Utilizando-se este critério em conjunto com os requisitos de qualidade da energia apresentados na Tabela 1, obtém-se uma máxima razão entre frequência de chaveamento e frequência fundamental com vistas a se minimizar o esforço de filtragem passiva de forma simples. Outra prática comum é amostrar os sinais controlados com a mesma taxa e de forma coincidente com metade do período de chaveamento, para eliminar a medição do ripple de chaveamento (SAN JUAN, 2010), (DANNEHL, 2009).

Seguindo-se esta recomendação, a sequência em que os parâmetros de projeto são escolhidos implica na não consideração dos parâmetros do filtro na seleção da frequência de amostragem e de chaveamento, por vezes denominada frequência de controle. Esta é estabelecida em primeiro lugar e o projeto do filtro é orientado pelas normas referentes à qualidade de energia. No entanto, existe uma correlação entre a constante de tempo da planta controlada em tempo discreto τ e o valor máximo que o intervalo de amostragem Ts pode

mostrada na equação (16), que garante que os pólos complexos estarão posicionados no interior do círculo unitário. O requisito é satisfeito desde que o módulo dos pólos complexos, r, seja menor ou igual a 1.

τ

T

=

1

ln ρ

(16)

Esta equação sugere que quanto menor for o período de amostragem em relação à constante de tempo, mais os pólos se distanciarão das margens do círculo unitário e mais estável será o sistema. Desta análise segue-se a prática de observar-se a desigualdade Ts << τ,

o que em geral significa minimizar o intervalo de amostragem tanto quanto os conversores analógico-digitais empregados permitam. No entanto, simulações e observações experimentais de sistemas como os descritos anteriormente indicam que o comportamento de retificadores PWM controlados em tempo discreto, em especial os associados a filtros LCL, não segue esta regra, que sugere o crescimento da estabilidade da planta de forma monotônica, para todo Ts menor que a constante de tempo do filtro.

Em (CARDOSO FILHO, 2004) menciona-se uma relação não só entre a posição dos pólos no plano z e o intervalo de amostragem, mas também entre o amortecimento desses pólos e o intervalo de amostragem, para um dado resistor de amortecimento e ganho do controlador de corrente. Esta afirmação contradiz a definição do fator de amortecimento em tempo discreto, que estabelece que o mesmo não se altera ao se mapearem os pólos do plano s para o plano z.

Em (LISERRE et. al, 2002a) relata-se a possibilidade de se reduzir o valor do resistor de amortecimento em 50% ao se acrescentar um atraso de um período de amostragem à malha de controle. O atraso unitário adicional insere um pólo extra que atrai os pólos instáveis para o interior do círculo unitário. Entretanto, para que os pólos complexos mantenham-se criticamente amortecidos o ganho proporcional do controlador de corrente deve ser alterado.

Como consequência verificou-se experimentalmente que o sistema torna-se estável com metade das perdas e a mesma margem de fase, apresentando sobre elevação limitada nas correntes, mas a faixa de passagem fica reduzida em cerca de 40%.

Em (LISERRE ET al, 2005) afirma-se que, para um dado resistor de amortecimento, ao se aumentar a frequência de amostragem, com a respectiva mudança nos ganhos do controlador, que são inversamente proporcionais a Ts, os pólos da planta se movem em

direção à fronteira de estabilidade, isto é, quanto menor o intervalo de amostragem, menos efetivo é o amortecimento. Os autores argumentam que, ao se diminuir a frequência de amostragem e aproximá-la da frequência de ressonância, os elementos passivos do filtro apresentam maiores perdas, devido ao aumento em suas resistências próprias causado por efeito pelicular e perdas magnéticas. Contudo, estes efeitos aumentam a resistência de forma monotônica com a frequência. Nenhum estudo quantitativo que sustente esta afirmação é apresentado.

Figura 15. Evolução dos pólos e zeros da malha fechada de corrente ao se variar a frequência de amostragem de 5 kHz a 8 kHz (sentido das setas).

Além disso, o resultado apresentado mostrando a redução do fator de amortecimento com o aumento da frequência de amostragem foi reproduzido considerando-se apenas elementos ideais e é apresentado na Figura 15.

Os efeitos da frequência de controle sobre a estabilidade do sistema também foram estudados por (DANNEHL, 2009) para diferentes razões entre a frequência de chaveamento e a frequência de ressonância, tanto para o controle das correntes de rede quanto para o controle das correntes do conversor. Neste trabalho define-se uma faixa de variação de fs para a qual se

garante a estabilidade, sendo que se observa a redução do amortecimento à medida que o limite inferior da desigualdade mostrada em (17) se aproxima da frequência de ressonância fo.

f

4 < f

<

f2

(17)

Figura 16. Gráfico de magnitude da resposta em frequência para o filtro LCL e o filtro L equivalente (L = Li + Ls).

Os autores correlacionam o fenômeno ao fato de que, para frequências muito superiores à frequência de ressonância, a aproximação do filtro LCL por um filtro L equivalente deixa de ser válida e o controlador PI projetado se torna inadequado, como indica a Figura 16.

GABE (2009) estabelece uma condição necessária e suficiente para que a equação dinâmica em tempo discreto seja controlável, descrita por (18), onde λi e λj formam um par de

autovalores complexos da matriz A, isto é, ℜ_opq_1 − q_r1 s = 0. Esta inequação estabelece valores não permitidos para Ts de acordo com a frequência de ressonância do filtro,

reforçando a restrição representada pelo limite superior da inequação (17).

ℑ

pq

1 − q

1 s ≠

2vw_x



; w = ±1, ±2, …

(18)

Estes resultados sugerem que é possível selecionar uma frequência de amostragem tal que a estabilidade do sistema seja garantida utilizando-se menores valores de resistores de amortecimento e consequentemente reduzindo as perdas, sem a necessidade de se introduzirem novas malhas de controle ou empregar técnicas de amortecimento ativo.

Contudo, é necessário determinar um modelo do filtro em tempo discreto para estabelecer o máximo nível de amortecimento possível de se obter para um determinado sistema e como os parâmetros do filtro estão relacionados ao mesmo.