Amostragem de variáveis independentes

Como a simulação computacional de edificações é considerada um modelo do tipo ‘caixa preta’, a única forma de obter conhecimento acerca de suas leis internas é a aplicação de experimentos numéricos. Esses experimentos necessitam da definição de todas as dimensões das incertezas descritas na seção anterior, principalmente dos ‘cenários’ e das ‘entradas’. São esses objetos que geram o intervalo de incertezas nas ‘saídas’ e são investigados por meio de diferentes tipos de amostras.

Esta seção discute sobre a técnica estatística de amostragem. Amostragem é o processo de explorar o domínio de interesse para o intuito de um experimento estatístico (como uma análise de incertezas ou sensibilidade). Det erm inism o Inde term inis mo Incerteza estatística Incerteza de cenário Incerteza de ignorância conhecida Incerteza de ignorância total

A definição do método de amostragem mais adequado depende das seguintes informações: (a) o objetivo da análise; (b) a linearidade ou não linearidade do modelo; (c) a quantidade de variáveis envolvidas no experimento; (d) a função de densidade de probabilidade das variáveis; (e) a dimensão local da incerteza, principalmente em se tratando de cenários ou de entradas; (f) o esforço computacional necessário para avaliar o modelo computacional, considerando o tamanho da amostra.

Saltelli et al. (2008) mostram o conceito de ‘projetos experimentais’ que são, de forma simplificada, uma organização predefinida das ‘entradas’ de um modelo de forma a possibilitar uma análise sistemática e obter o máximo possível de informações das ‘saídas’. Há diferentes tipos de projetos experimentais. O mais comum é a amostra multivariada fatorial, que é definida por meio da combinação de todas as variáveis entre si, dentro de cada nível de variação. Nesse caso, as variáveis independentes precisam ser definidas por distribuição de probabilidades discreta, na qual cada nível tem a mesma probabilidade de ocorrência, em uma mesma variável.

Para um experimento cujas variáveis têm dois níveis de variação, o tamanho da amostra fatorial seria 2𝑘 _{(onde 𝑘 é o número de variáveis}

independentes). Se um experimento possui 13 variáveis, o tamanho da amostra seria de 8192 observações (i.e., simulações computacionais). A Eq. 1 mostra a fórmula geral para o cálculo do tamanho da amostra multivariada fatorial. Percebe-se claramente a desvantagem tanto do aumento do número de níveis quanto do número de variáveis. Caso o experimento demandasse quatro níveis de variação em cada variável, o tamanho da amostra (com 13 variáveis) aumentaria para o número computacionalmente inviável de 67.108.864 simulações.

𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 = 𝑎 × 𝑏 … × 𝑛 Eq. 1

Onde:

a é o número de níveis no parâmetro A; b é o número de níveis no parâmetro B; n é o número de níveis no parâmetro N.

Tratando-se de avaliação de desempenho de edificações, o número de variáveis pode ser bastante grande. Muitos trabalhos apresentados no Capítulo 2 e no Apêndice A consideraram poucas variáveis em seus experimentos, no entanto, há algumas pesquisas que consideraram até 1009 variáveis (praticamente todos os objetos de uma simulação computacional) como o estudo de Eisenhower et al. (2012). Evidentemente os autores não

utilizaram uma amostra multivariada fatorial. Escolheram, para essa tarefa, uma amostra quase aleatória de tamanho 5000, simulada em um cluster de 184 núcleos de processamento de dados (para reduzir o tempo de simulação). As amostras aleatórias, por sua vez, podem ser realizadas de forma simples, pseudo aleatoriamente ou quase aleatoriamente (BURHENNE; JACOB; HENZE, 2011). Os experimentos numéricos com amostras aleatórias (tanto para análises de sensibilidade ou incertezas) são denominados ‘Monte Carlo’.

Segundo MacDonald (2009), a amostragem aleatória simples funciona com a geração de um número aleatório, escalando-o para a variável- alvo, conforme sua distribuição de probabilidades. Em pequenas amostras, esse método pode gerar vazios no domínio amostrado ou mesmo falhas, o que pode comprometer os resultados do experimento computacional (SALTELLI et al., 2008). No entanto, se o modelo não for complexo ou tiver poucas variáveis, essa amostra pode gerar resultados semelhantes às amostragens estratificadas (HELTON et al., 2006).

A amostragem estratificada é uma evolução da amostragem aleatória simples, pois impele a amostra a se conformar com a distribuição de probabilidades, dividindo-a em ‘estratos’ (pequenos intervalos) de igual probabilidade, em que um valor aleatório é selecionado de cada estrato (MACDONALD, 2009). Essa amostragem pode resolver o problema de vazios e falhas no domínio amostrado. As amostras simples ou estratificada geralmente são geradas por meio de algoritmos pseudo aleatórios (BURHENNE; JACOB; HENZE, 2011).

Um tipo particular de amostragem estratificada é o Hipercubo Latino. Ele é muito utilizado para modelos que exigem grande esforço computacional, devido a sua eficiente propriedade de estratificação. Seu algoritmo permite extrair grande quantidade de informações de incertezas e sensibilidade por meio de reduzido tamanho de amostra (HELTON et al., 2006). O método divide a função de densidade de probabilidade da variável de entrada em estratos de mesma probabilidade de ocorrência, de forma que se um valor é selecionado de um estrato para uma variável, em outra variável é selecionado de outro estrato (MACDONALD, 2009). Da mesma forma, o mesmo número de pontos é selecionado de cada estrato (SALTELLI et al., 2008).

A operação é feita para gerar uma amostra 𝑛𝑆, considerando distribuições de probabilidades {𝐷1, 𝐷2, . . . 𝐷𝑛} associadas às variáveis

independentes {𝑥1, 𝑥2, . . . 𝑥𝑛} da seguinte maneira: a amplitude de cada 𝑥𝑗 é

probabilidade, e um valor 𝑥𝑖𝑗 é selecionado aleatoriamente em cada estrato.

Os 𝑛𝑆 valores de 𝑥1 são pareados sem reposição com os 𝑛𝑆 valores de 𝑥2

(produzindo 𝑛𝑆 pares). Os pares 𝑛𝑆 são combinados aleatoriamente com os 𝑛𝑆 valores de 𝑥3 para gerar 𝑛𝑆 trios. E assim por diante.

Existe também a amostragem quase aleatória, utilizada por alguns estudos do portfólio bibliográfico (BURHENNE et al., 2013; EISENHOWER et al., 2012). Esse tipo de amostragem pretende reduzir a medida estatística da ‘discrepância’, a qual caracteriza a distância de uma sequência de pontos em um espaço multidimensional. Segundo Saltelli et al. (2008), amostras de baixas discrepâncias são boas para análises de sensibilidade, além de ter menor probabilidade de apresentar vazios indesejáveis. A definição de discrepância de uma sequência de pontos é o máximo valor absoluto da diferença de um conjunto de regiões amostrais entre a área da fração da região e a fração de pontos que ela contém.

As denominadas ‘sequências de baixa discrepância’ são usadas para essa finalidade. Elas possuem uma propriedade tal que quando o tamanho 𝑁 da amostra aumenta, a discrepância reduz até um valor teórico ótimo. Dessa forma, a média móvel de um conjunto de pontos convergirá mais rápido do que uma amostra aleatória. As amostras elaboradas por meio de uma sequência de baixa discrepância finita são chamadas de ‘quase aleatórias’. Um exemplo são as sequências de Sobol’ (BRATLEY; FOX, 1988).

Não há critérios estatísticos sobre o tamanho da amostra aleatória gerada, tendo em vista que o número de simulações independe do número de variáveis independentes do experimento (FURBRINGER; ROULET, 1999). No entanto, é comum adotarem-se valores maiores que 80 (MACDONALD; STRACHAN, 2001). Outros autores propõem que seja maior que 3/2 do número de variáveis independentes (BREESCH; JANSSENS, 2005).

Para a verificação prática dos métodos de amostragem aleatória foram comparados quatro diferentes métodos (abordagem de Monte Carlo): (a) simples aleatória, (b) estratificada simples, (c) Hipercubo Latino e (d) amostra quase-aleatória de Sobol’. O experimento contempla a amostragem de duas variáveis {𝑥1, 𝑥2} com distribuição de probabilidades uniforme entre

{0,1} com tamanho 𝑁 igual a 30. As amostras foram geradas com os pacotes ‘𝑠𝑡𝑎𝑡𝑠’, ‘𝑟𝑎𝑛𝑑𝑡𝑜𝑜𝑙𝑏𝑜𝑥’ e ‘𝑝𝑠𝑒’ da linguagem de programação R (R- PROJECT, 2015).

A Figura 5 mostra a dispersão de cada par {𝑥1, 𝑥2} para cada método

de amostragem. Percebe-se que a combinação de pontos gerados com o Hipercubo Latino (Figura 5-c) e com o método de Sobol’ (Figura 5-d) apresentou maiores propriedades de estratificação, ou seja, pontos mais

distribuídos no domínio das variáveis. É possível perceber também que a amostra de Sobol’ possui menor distância entre os pontos no espaço bidimensional em relação aos outros métodos (propriedade de discrepância). A Figura 6 mostra o histograma de frequência absoluta para cada variável separadamente. Percebe-se que o Hipercubo Latino gerou uma amostra com maior semelhança à distribuição uniforme entre {0,1} do que os demais métodos.

Figura 5 – Dispersão entre duas variáveis x1 e x2 por meio de quatro métodos de amostragem aleatória, considerando distribuição uniforme entre {0,1}.

Figura 6 – Histogramas de frequência absoluta de duas variáveis x1 e x2 por meio de quatro métodos de amostragem aleatória, considerando distribuição uniforme entre

{0,1}.

3.3.3 Distribuições de probabilidades das variáveis independentes