Já sabemos que, no triângulo retângulo, o quadrado construído tendo como lado a hipotenusa c tem área igual à soma das áreas
dos quadrados construídos tendo como lados os catetos a e b, ou seja: c2 = a2 + b2. a c c b b a
Vamos agora procurar uma relação entre os três lados de um triângulo qualquer, de lados a, b e c.
Se o ângulo θ, entre os lados a e b, for me-nor do que 90º, então certamente teremos: c2 < a2 + b2.
Considerando, no entanto, os quadrados pontilhados da figura a seguir, no triângulo retângulo de hipotenusa c e de catetos asen θ e (b – acos θ), podemos utilizar o teorema de Pitágoras e escrever: a a c c b b – acos t asen θ acos θ θ c2 = (asen θ)2 + (b – acos θ)2;
c2 = a2 . sen2 θ + b2 + a2 . cos2 θ – 2ab . cos θ. Como cos2 θ + sen2 θ = 1, resulta:
c2 = a2 + b2 – 2ab . cos θ,
que é um resultado conhecido como lei dos Cossenos.
Um resultado análogo pode ser obtido se o ângulo entre a e b for maior do que 90º. Naturalmente, nesse caso, teremos c2 > a2 + b2. A figura a seguir ilustra as etapas para chegar a idêntico resultado: a a acos θ asen c c b c2 = (b + asen )2 + (acos )2 Logo, c2 = b2 + a2 + 2ab . sen
Observando a figura, notamos que sen = cos (180º − θ), o que resulta em: c2 = a2 + b2 + 2ab . cos (180º − θ). Mas cos (180º − θ) = − cos θ ; logo, temos: c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ.
Exemplos ilustrativos:
a2 = b2 + c2 – 2bc . cos α a b α cc2 = b2 + a2 – 2ba . cos a b c b2 = a2 + c2 – 2ac . cos β a b β c n2 = m2 + p2 – 2mp . cos ϕ n m ϕ p
É importante destacar aqui que, em um triângulo de lados a, b e c, e ângulos opostos respectivamente iguais a α, β e :
se o quadrado do maior lado for igual à f
soma dos quadrados dos outros dois, en-tão o triângulo é retângulo, sendo o ângulo reto oposto ao maior lado;
se o maior dos lados ao quadrado for f
menor do que a soma dos quadrados dos outros dois, então o triângulo é acutân-gulo (todos os ânacutân-gulos são agudos); se o maior lado ao quadrado for maior do f
que a soma dos quadrados dos outros dois, então o triângulo é obtusângulo, sendo o ângulo oposto ao maior lado maior do que 90o.
Atividade 5
Um triângulo tem ângulos α, β e , e lados a, b e c respectivamente iguais a 2 m, 3 m e 4 m.
a) Esse triângulo é retângulo?
O triângulo não é retângulo, uma vez que o quadrado do maior dos lados não é igual à soma dos quadrados dos outros dois. Como 42 > 22 + 32, o triângulo tem um ângulo obtuso oposto ao lado 4.
b) Calcule o cosseno do ângulo .
Para calcular o cosseno do ângulo ,
po-demos escrever:
c2 = a2 + b2 − 2ab . cos .
Logo,
16 = 4 + 9 − 2 . 2 . 3 . cos , ou seja,
cos = − 1 __ 4 .
(Notamos que cos < 0, pois > 90o)
c) Calcule o seno dos ângulos α e β.
Para calcular o seno dos outros dois ângulos, podemos escolher um dos seguintes caminhos: Calculamos o cosseno de cada um deles, do mesmo modo que calculamos o cosseno de ,
e, a partir daí, calculamos o seno por meio da relação fundamental sen2α + cos2α = 1.
Alternativamente, podemos calcular o seno de por meio da relação:
sen2 + cos2 = 1 e, a partir daí, usar a Lei
dos Senos.
Optando por esse segundo caminho, temos: sen2 +
ª
– 1 __ 4º
2 = 1, ou seja, sen = _____ ® ___4 15 . (Lembrar que tem seno positivo por ser umângulo menor do que 180º.)
Como temos, pela Lei dos Senos, a proporção a seguir: _____ sen 4 = sen α_____ 2 = _____ sen 3 β,
concluímos que: sen α = ® ___ 15 _____ 8 e sen β = 3 ® ___ 15 _____ 16 .
É importante destacar aqui que o
ân-gulo θ considerado pelos professores de
Física em geral é o ângulo entre as duas forças, e não o ângulo entre os dois la- dos do triângulo em que se utiliza a Lei dos Cossenos. Como esses ângulos, entre as duas forças e entre os dois lados do triân-gulo, são suplementares, os cossenos são simétricos. Em razão disso, os sinais apa-recem trocados no termo em que aparece o cosseno na lei e na fórmula da resultan-te, usada pelos professores de Física.
Atividade 7
Duas forças de 100 N são aplicadas a uma pe-quena esfera. O ângulo formado pelas suas linhas de ação é igual a θ, conforme mostra a figura. Calcule a intensidade da resultante das duas for-ças em N para os seguintes valores de θ:
a) 0o e) 90º b) 30º f) 120º c) 45º g) 150º d) 60º h) 180º 100 R 100 θ Temos: R2 = 1002 + 1002 + 2 . 100 . 100 . cos θ
Substituindo os valores de θ, em cada um
dos itens, obtemos:
Atividade 6
Quando duas forças de intensidades F1 e F2 agem simultaneamente sobre o mesmo ponto P, a força resultante pode ser representada pela Regra do Paralelogramo e tem uma intensida-de R que pointensida-de ser calculada intensida-de acordo com a Lei dos Cossenos. Sendo θ o ângulo formado pelas duas forças (ver figura), mostre que de-vemos ter R2 = F12 + F22 + 2 F1 . F2 . cos θ.
θ R F1 F2 F1 P
Considerando o triângulo formado por F2, R e o segmento paralelo a F1,e sendo ϕ o
ângulo formado pelos lados F2 e F1,usando a Lei dos Cossenos, temos:
θ R ϕ F1 F2 F1 P R2 = F22 + F12 − 2F1 . F2 . cos ϕ.
Como os ângulos θ e ϕ são suplementares, isto
é, a soma dos dois é igual a 180o, cos ϕ = − cos θ.
Em consequência:
a) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 0º = 40 000 Logo, R = 200 b) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 30º = = 20 000 + 10 000 ® __ 3 ≅ 37 321. Logo, R ≅ 193,2 c) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 45º = = 20 000 + 10 000 ® __ 2 ≅ 34 142 Logo, R ≅ 184,8 d) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 60º = = 20 000 + 10 000 = 30 000 Logo, R ≅ 173,2 e) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 90º = 20 000 + 0 Logo, R ≅ 141,4 f) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 120º = = 20 000 + 20 000 .
ª
– 1 __ 2º
= 10 000 Logo, R = 100 g) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 150º = = 20 000 + 20 000 .ª
– ____ ® 2 __ 3º
≅ 2 679 Logo, R ≅ 51,8 h) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 180º = = 20 000 + 20 000(−1) = 0 Logo, R = 0Observação: esta atividade está
pro-posta como lição de casa no Caderno do Aluno.
É interessante fazer uma figura para cada
um dos valores de θ, representando a
resul-tante pela Regra do Paralelogramo e
inter-pretando os resultados: quando o ângulo θ
mede 180º, por exemplo, as forças são dire-tamente opostas, e a resultante, naturalmente, é igual a 0.
Considerações sobre a avaliação
Ao final de nosso percurso, esperamos que os alunos tenham compreendido os dois resulta-dos básicos exploraresulta-dos na presente Situação de Aprendizagem: a Lei dos Senos e a Lei dos Cos-senos. Tais resultados referem-se a triângulos quaisquer, mas são válidos, naturalmente, para triângulos retângulos. Tal ampliação de horizon-tes pode ser destacada pelo professor, uma vez que ela contribui para a consciência de que o conhe-cimento foi aprimorado, por meio da compreen- são dessas novas relações. Muitas possibilidades se abrem para problemas e exercícios de Física, por exemplo, como se sugere nas atividades 6 e 7.
De uma forma ou de outra, considera-se fundamental que, ao completar a Situação de Aprendizagem, os alunos estejam familiariza-dos com as duas relações apresentadas.
ORIENTAçõES PARA RECUPERAçãO
Caso as razões trigonométricas não te-nham sido assimiladas na Situação de Apren-dizagem 1, pode-se:
explorar as relações métricas no triângulo f
retângulo de catetos a e b e hipotenusa c,
antes de aplicar a contextualização das ra-zões trigonométricas;
concentrar-se nas três razões fundamen-f
tais (seno, cosseno e tangente), deixando as demais para as Situações de Aprendiza-gem seguintes.
Na Situação de Aprendizagem 2, se a passa-gem fundamental dos ângulos agudos aos ângu-los da primeira volta (de 0o a 360º) não tiver sido compreendida, o professor pode optar por:
concentrar-se na passagem do primeiro qua- f
drante (0 < α < 90º) para o segundo quadrante (90º < α < 180º), procuran-do identificar os segmentos e os valores correspondentes de todas as razões trigo-nométricas para os ângulos obtusos antes do estudo dos outros quadrantes;
explorar inicialmente as extensões do signi-f
ficado de uma das razões trigonométricas apenas, de preferência o seno de α, em todos os quadrantes, explorando intensamente tal extensão, antes de passar às das outras ra-zões trigonométricas.
A Situação de Aprendizagem 3 envolve cál-culos que podem ser difíceis para alguns alunos. Assim, você pode chamar a atenção para pro-blemas de inscrição e circunscrição. É possível, por exemplo:
trabalhar com polígonos mais simples, como f
o quadrado, explorando as relações entre os elementos já referidos, antes de generaliza-ções com polígonos variados;
explorar elementos estéticos associados à f
inscrição ou à circunscrição, demorando-se mais nas relações qualitativas entre elemen-tos já estudados do que na realização efetiva de cálculos.
Para que os alunos compreendam as rela-ções apresentadas na Situação de Aprendiza-gem 4, pode-se:
usar o triângulo retângulo, em que a hipo-f
tenusa c é o maior lado e se opõe ao maior ângulo, observando também que, no que se refere aos catetos a e b, e aos ângulos agudos correspondentes α e β, o maior cateto corres-ponde ao maior ângulo, e vice-versa. A partir daí, notar proporcionalidade entre o cateto e o seno do ângulo agudo correspondente, ob-servando diretamente: se sen α = ac, então c = a
sen α. Analogamente, c = b
sen β, e concluí- mos que a razão entre os catetos e os senos correspondentes é constante;
explorar um triângulo qualquer, observan-f
do que o maior lado sempre se opõe ao maior ângulo;
destacar que mesmo que duas grandezas va-f
riem de modo inter-relacionado, não podemos concluir que elas são diretamente proporcio-nais. Para tanto, seria necessário que sempre que uma delas tivesse seu valor dobrado, o va-lor correspondente da outra também dobras-se (a razão entre os valores fosdobras-se constante), o que não ocorre entre lados e ângulos;
notar que existe uma proporcionalidade f
direta entre os lados e os senos dos ângulos respectivamente opostos a esses lados. Se uma das grandezas dobra, o mesmo ocorre com a outra. Deve-se exemplificar a rela-ção, antes de justificá-la.
Uma alternativa de abordagem para a Lei dos Cossenos poderia ser utilizar um triângulo qualquer, como o indicado:
a
b
y c
dividir o triângulo em dois por meio da f
altura relativa ao lado b (figura);
usar o teorema de Pitágoras duas vezes, f
obtendo: a2 = x2 + y2 e c2 = y2 + (b − x)2; substituir na segunda relação o valor de y
f 2
obtido na primeira, obtendo: c2 = a2 − x2 + + b2 + x2 − 2bx = a2 + b2 − 2bx.
notar que x = acos
f θ, concluir que
c2 = a2 + b2 − 2abcosθ (Lei dos Cossenos).
Vale destacar, no entanto, que tal procedi-mento simplificado omite as relações geomé-tricas que foram exploradas no texto e que poderão ser apresentadas em exercícios.