caderno do PROFESSOR Ica át Em ensino médio at 1ª- SÉRIE m volume

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto

Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete

Fernando Padula

Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas

Valéria de Souza

Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção

Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO

Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius

Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:

Guilherme Ary Plonski

Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA

CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores

Ghisleine Trigo Silveira AUTORES

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos

Matemática

Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor

Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção

Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti

Equipe Editorial

Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico)

APOIO

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.

Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1ª- série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.

ISBN 978-85-7849-440-7

1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.

CDU: 373.5:51 S239c

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de

revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5

_{- a 8}

_{- séries do Ensino}

Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo.

Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente

completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula.

O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das

aprendi-zagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos.

A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa

elabo-ração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as

aprendizagens de todos os alunos.

Bom trabalho!

Paulo Renato Souza

São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado 5

Ficha do Caderno 7

Orientação geral sobre os Cadernos 8

Situações de Aprendizagem 11

Situação de Aprendizagem 1 – Rampas, cordas, parsecs – razões para estudar

triângulos retângulos 11

Situação de Aprendizagem 2 – Dos triângulos à circunferência – vamos dar

uma volta? 21

Situação de Aprendizagem 3 – Polígonos e circunferências – regularidades na

inscrição e na circunscrição 30

Situação de Aprendizagem 4 – A hora e a vez dos triângulos não retângulos 37

Orientações para Recuperação 45

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno

para a compreensão do tema 47

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 48

S

ãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA

CURRiCUlAR PARA O EStAdO

Caros(as) professores(as),

Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de

documen-tos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos

professores em 2009.

Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para

que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo

reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em

diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos

pro-fessores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento

coletivo e a cooperação entre eles.

A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez

favore-cer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada,

significativa e motivadora de ensinar aos alunos.

Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez

ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos

conhe-cimentos dos alunos.

Maria Inês Fini

F

iChA dO CAdERnO

Geometria e trigonometria: razões de uma relação cordial

nome da disciplina: Matemática

área: Matemática

Etapa da educação básica: Ensino Médio

Série: 1a

Volume: 4

temas e conteúdos: Tangente, seno, secante: origem, significado, contextos

Razões complementares: cosseno, cotangente, cossecante

Relações simples entre as razões trigonométricas

Extensões do significado das razões para ângulos maiores do que 90º

O

RiEntAçãO GERAl SObRE OS CAdERnOS

Os temas escolhidos para compor o conteú-do disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os prin-cípios norteadores do presente currículo, des-tacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especial-mente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões apro-ximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com maior ou menor aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do mesmo. A critério do professor, em cada situação especí-fica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado.

É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimes-tre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no

entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendiza-gem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a for-ma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As ati-vidades são independentes e podem ser explo-radas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expec-tativa é que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.

São apresentados também, em cada Cader-no, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem pro-posta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.

Conteúdos básicos do bimestre

O conteúdo básico do 4o_{- bimestre da 1}a_{- série} do Ensino Médio é a relação entre a Geometria e a Trigonometria, expressa no estudo das razões tri-gonométricas. Tais razões, como o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo, já foram apresentadas aos alunos na 8_{- série do Ensino Fundamental} a (3o_{- bimestre). Trata-se, agora, de uma} consolida-ção de tais ideias, com sua contextualizaconsolida-ção em diferentes situações práticas e a extensão de seu significado para ângulos maiores do que 90º. As razões trigonométricas voltarão a ser estudadas na 2a_{- série do Ensino Médio (1}o_{- bimestre),} quan-do será dada ênfase à periodicidade das funções trigonométricas, e serão novamente exploradas na 3a_{- série, inseridas no estudo geral das funções.}

Para a reapresentação/consolidação da tan-gente de um ângulo agudo, tomamos como base a ideia de inclinação de uma rampa. Aqui, e em muitos outros lugares do currículo, a associação da inclinação de uma reta com a proporciona- lidade nas razões entre os catetos de triângulos re-tângulos semelhantes e, consequentemente, com a tangente de um ângulo, parece fundamental. O estudo das funções do tipo f(x) = ax + b, e o da equação da reta, na geometria analítica, são apenas dois exemplos mais visíveis.

Das rampas, passamos às cordas, no cál-culo de distâncias astronômicas: as tabelas de cordas, que existem desde Hiparco de Niceia (século II a.C.), são testemunhas do interesse que as razões entre um dos catetos e a hipotenu-sa de um triângulo retângulo despertavam. Tais tabelas nos fazem cair nos braços das funções

seno e secante de um ângulo. Com a tangente, o seno e a secante, teremos em mãos as seis ra-zões fundamentais, uma vez que as outras três (cosseno, cossecante e cotangente) não passam das três primeiras aplicadas ao ângulo comple-mentar do ângulo dado: cosseno de α = seno do complementar de α, e assim por diante.

Após a reapresentação/consolidação das seis razões trigonométricas fundamentais para os ângulos agudos, será feita uma extensão natural de tais noções para ângulos maiores do que 90º, com a correspondente redução do cálculo do seno, cosseno, tangente, etc. de um ângulo maior do que 90º aos valores já conhecidos das razões correspondentes nos ângulos agudos.

Uma situação interessante, nessa articulação entre a Geometria e a Trigonometria que está sendo levada a cabo no presente bimestre, é o estudo das regularidades na inscrição e na cir-cunscrição de polígonos, que será feito a seguir.

Completará o bimestre a apresentação de duas relações especialmente importantes en-tre lados e ângulos de triângulos, que valem inclusive em triângulos não retângulos: a da proporcionalidade entre lados e senos, que é a Lei dos Senos, e a generalização do teorema de Pitágoras, que é a Lei dos Cossenos.

Unidade 1 – Tangente, seno, secante: origem, significado, contextos.

Unidade 2 – Razões complementares: cosseno, cotangente, cossecante. Relações simples entre as

ra-zões trigonométricas.

Unidade 3 – Extensões do significado das razões para ângulos maiores do que 90º. Unidade 4 – Como reduzir ângulos maiores do que 90º a menores do que 90º. Unidade 5 – Polígonos regulares: ângulos internos e externos.

Unidade 6 – Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. Unidade 7 – A proporcionalidade lado/seno: Lei dos Senos.

Unidade 8 – Uma generalização do teorema de Pitágoras: Lei dos Cossenos.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1

RAMPAS, CORDAS, PARSECS – RAzõES PARA ESTUDAR

TRIâNGULOS RETâNGULOS

O objetivo principal desta Situação de Apren-dizagem é a consolidação das noções de tan-gente, seno e secante de um ângulo agudo. Para a tangente, recorreremos à ideia da inclinação de uma rampa; para o seno e a secante, à razão entre cordas e raios de um arco de circunferên-cia, uma situação usual no cálculo de distâncias astronômicas.

Ao final do percurso, os alunos deverão ter compreendido a existência da constância das razões entre os lados correspondentes de triângulos retângulos semelhantes e a impor-tância de dar nomes especiais a tais razões, o

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: significado da tangente, do seno e da secante de um ângulo agudo, apresentado em

contextos significativos; significado do cosseno, da cotangente e da cossecante; relações simples entre as seis razões trigonométricas.

Competências e habilidades: expressar e compreender fenômenos naturais de diversos tipos; enfrentar

situações-problema envolvendo as razões trigonométricas em diferentes contextos.

Estratégias: articulação das noções sobre razões trigonométricas já estudadas em séries anteriores;

exemplos ilustrativos da utilização de tais razões em diferentes contextos; exercícios exemplares sobre as razões trigonométricas.

que dará origem aos senos, às tangentes e às secantes, por exemplo.

As capacidades de expressão e de com-preensão de fenômenos naturais de diversos tipos, bem como a de enfrentar situações-pro-blema em diferentes contextos, serão bastante ampliadas, como se poderá perceber ao longo desta Situação de Aprendizagem.

Sugere-se ao professor que utilize duas se-manas nesta etapa, deixando-se a seu critério, como é natural, a ampliação ou a redução do tempo sugerido, em função de interesses ou características específicas de sua turma.

Roteiro para aplicação da Situação

de Aprendizagem 1

A estratégia a ser utilizada será a seguinte: as ideias fundamentais referentes às razões f

trigonométricas (tangente, seno, secante)

serão apresentadas, buscando-se uma arti-culação com o que já foi estudado sobre as mesmas em séries anteriores;

exemplos ilustrativos servirão para a con-f

textualização e a articulação do que se apresenta.

exercícios exemplares serão propostos f

como modelos, para que, com base neles, o professor possa estender a lista, praticando e aprofundando o que considerar neces-sário, criando seus próprios exercícios ou recorrendo aos que se encontram em livros didáticos sobre o tema.

A inclinação das rampas e a tangente

Para caracterizar a inclinação de uma ram-pa, seja a entrada de uma garagem, uma rua íngreme ou uma ladeira acentuada, busca-se relacionar as distâncias percorridas horizon-tal e verticalmente, em cada trecho, ou, mais especificamente, costuma-se registrar quanto nos elevamos verticalmente para cada unida-de que percorremos na horizontal.

Exemplo ilustrativo

Na rampa abaixo representada, observe que a cada 10 m percorridos na horizontal, as elevações são sempre iguais a 1,25 m:

1,25 m 2,50 m 5,00 m 3,75 m 10 m 20 m 30 m 40 m 0 0,125 m 1 m

Para caracterizar a rampa da figura, podemos escrever, de modo inteiramente equivalente, as diversas sentenças indicadas a seguir:

“

f A cada 10 m percorridos na horizontal, subimos verticalmente 1,25 m.”

“A cada metro percorrido horizontalmen-f

te, a elevação vertical é de 0,125 m.”

“A cada 100 m percorridos horizontalmen-f

te, subimos verticalmente 12,5 m.” “A inclinação da rampa é de 12,5%.” f

“O ângulo

f α de inclinação da rampa é tal que sua tangente vale 0,125” (em uma figura em es-cala, o ângulo α seria de aproximadamente 7º). De modo geral, para caracterizar uma rampa determinada por um ângulo α com a horizon-tal, podemos construir um triângulo retângulo que a represente, com o ângulo α conforme in-dicado na figura, e determinar, neste triângulo, a razão entre o cateto vertical e o cateto hori-zontal, ou seja, entre o cateto que está na frente do ângulo α e o cateto que é um dos lados de α. Não importa o tamanho do triângulo desenha-do: para cada ângulo α, tal razão entre os cate-tos é uma constante característica do ângulo, e é chamada de tangente de α. tangente de α = tg α = v h v h r

rampa de ângulo de inclinação a rampa de inclinação igual a tg a = v_h (essa razão pode ser escrita como uma porcentagem)

Algumas observações sobre as afirmações anteriores:

exemplo, calculando o valor de r para h = 100 e v = 1, obtemos r ≅ 100,005, ou seja, para pequenas inclinações, tanto faz, na prática, se consideramos o per-curso na horizontal ou na rampa.

Atividade 1

Para calcular a inclinação α de uma rua, po-demos observar o ângulo β formado pelo poste (vertical) com o leito da rua. Se tal ângulo for igual a 84º, qual será a inclinação da rua?

Notamos na figura que β + α = 90º; logo, α = 6º. Consultando uma tabela de

tangen-tes, ou usando uma calculadora, encontra-mos: tg 6º ≅ 0,105, ou seja, a inclinação da

rampa é 0,105 ou, ainda, 10,5%. Isso signi-fica que, a cada 100 m que percorremos ho-rizontalmente, nossa elevação vertical é de cerca de 10,5 m. Em outras palavras, a cada metro percorrido horizontalmente, subimos cerca de 10,5 cm.

Atividade 2

Ao lado de uma rua, na forma de uma rampa de inclinação 10%, foi construída uma escada para pedestres. O trecho da rua em que a escada foi construída tem 80 m de comprimento, medidos horizontalmente. Se os degraus da escada devem ser iguais,

A

B

inclinação da rampa em A = inclinação da reta tangente em A = tg inclinação da rampa em B = inclinação da reta tangente em B = tg

2. Nas ruas e estradas, as rampas devem obedecer a certas recomendações, não podendo ser muito íngremes. O Depar-tamento Nacional de Infraestrutura de Transportes (DNIT), por exemplo, regulamenta as inclinações máximas em estradas, que variam de 5% a 9%, dependendo de certas características, co-mo o volume de tráfego, por exemplo. Inclinações maiores somente existem em condições excepcionais. Existem, de fato, algumas ruas com inclinações superiores a 10%, mas constituem exceções. Na Nova zelândia, encontra-se a rua mais inclina-dado mundo: seu ângulo α de inclinação é tal que tg α = 0,35, ou seja, a inclinação é de 35%, o que corresponde a um valor de α próximo de 19º.

3. Algumas vezes, se diz que “uma rampa de inclinação 0,01 significa que, a cada

100 m que percorremos na rampa, nos

elevamos verticalmente 1 m”. Rigoro-samente, deveríamos dizer que “a cada

100 m que percorremos horizontalmente,

tendo uma altura de, no máximo, 16 cm, quan-tos degraus, no mínimo, deverá ter a escada?

Se a inclinação da rampa é de 10%, então, a 80 m horizontais correspondem 8 m, ou seja, 800 cm de subida, na vertical. Se cada degrau deve ter no máximo 16 cm de altura, devemos ter, no mínimo, 800

16 = 50 degraus.

triângulos nas estrelas: as tabelas de

cordas e os senos

Desde a 8a_{- série, os alunos já foram} apre-sentados ao fato notável de que, em certa ram-pa determinada pelo ângulo α, não somente a razão entre o cateto oposto a α e o cateto que lhe serve de lado (tangente de α), mas também as razões entre o cateto oposto a α e a hipotenusa e entre o cateto situado ao lado de α e a hipotenusa, são também constantes características do ângulo α, conhecidas como seno de α e cosseno de α, respectivamente.

h1 r1 = h2 r2 = h3 r3 = h4 r4 = constante = cos α h₁ h₂ h₃ h₄ v₁ v2 v₃ v4 r₁ 0 90o _– r₂ r3 r₄ v1 h1 = v2 h2 = v3 h3 = v4 h4 = constante = tg α v₁ r₁ = v₂ r₂ = v₃ r₃ = v₄ r₄ = constante = sen α

É interessante observar que o que se chama cosseno de α é apenas o seno do complementar do ângulo α

cosα = sen(90o _{– α)}

(essa é justamente a origem do nome cosseno)

O interesse por tais triângulos encaixados, que deram origem às razões seno, cosseno e tangente e a todos os estudos de Trigono-metria, nasceu historicamente, no entanto, de cálculos astronômicos relacionados com a posição e o movimento das estrelas. Ima-ginava-se que os astros, no céu, descreviam arcos de circunferências, e a observação de seus percursos, aliada às razões constantes em triângulos, como os anteriormente refe-ridos, possibilitava a estimativa de distâncias entre corpos celestes e entre nós e eles. Com tais intenções, Hiparco de Niceia construiu, no século II a.C., uma tabela de cordas, que viria a dar origem à noção de seno. Sinte-ticamente, tais tabelas forneciam os valo- res das razões c

R entre o comprimento c de cordas traçadas em uma circunferência e o raio R da circunferência, uma vez que existe uma proporcionalidade entre tais valores.

= = c R α R α 2 c 2 R c 2 c 2R sen α 2 Na verdade, a razão c

c4 _c 5 c3 c1 c6 c2 c7

a) Calcule o comprimento de cada uma das cordas.

As cordas de comprimentos c₁ e c₂ são diâmetros da circunferência dada; temos, então: c₁ = 2 m e c₂ = 2 m.

As cordas de comprimentos c₃ , c₄ ,c₅ e c₆ são lados de triângulos equiláteros em que um dos lados é igual ao raio; logo, c₃ = c₄ = = c₅ = c₆ = 1 m.

Para calcular o comprimento c₇ lembrando que todo ângulo inscrito em uma semicircunfe-rência mede 90º, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de lados c₁, c₆ e c₇ :(c₁)2 _{= (c}

6)2 + (c7)2, de onde obtemos

c₇ = ® __3 m ≅ 1,73 m. A figura seguinte pode

ajudar a lembrar o fato de que o triângulo citado é retângulo.

Note que o conjunto dos pontos de onde se vê uma corda dada em uma circunferên-cia qualquer sob um ângulo de 90º forma uma semicircunferência que tem a referida corda como diâmetro.

A B arco AB de 180o ângulo inscrito α de 90o α α α α corresponde precisamente ao seno do ângulo α

2, igual à metade do ângulo, segundo o qual, um observador veria, da Terra, o arco descrito pelo astro.

Professor, sobre esse tema foi proposta, no Caderno do Professor do 3o_{- bimestre da 8}a_- sé-rie, uma atividade de construção de uma tabe-la de senos utilizando o processo de Hiparco, ou seja, baseando-se no comprimento de cor-das. Caso essa atividade não tenha sido de- senvolvida com os alunos, esse pode ser um bom momento para realizá-la.

Ptolomeu utilizou tabelas de cordas, em período posterior a Hiparco, e a elas dedicou um capítulo de seu conhecido livro Almagesto (150 d.C.). Matemáticos hindus, como Arya-bhata (por volta do ano 500 de nossa era) e Bhaskara (1150) também se dedicaram a es-sas tabelas. Consta que o próprio nome “seno” teria origem em tais tabelas: a palavra árabe para significar “corda” seria jiba, e, como so-mente são registradas as consoantes, as tabelas trariam apenas jb, o que teria levado alguns tradutores a confundir tal registro com a pala-vra jaib, de mesmas consoantes, e que significa “golfo, enseada” (em latim, sinus).

Atividade 3

b) Calcule a razão entre a semicorda e o raio em cada caso e faça uma tabela com os valores da semicorda e da razão anteriormente referida. Indique tam-bém na tabela os ângulos centrais cor-respondentes a cada corda e os ângulos dos quais tais razões são os senos.

Como o raio da circunferência é igual a 1, o valor da razão entre o comprimento da semicorda e o raio é igual ao comprimento de cada semicorda. Temos, portanto, a tabela a seguir: cordas c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 semicordas 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 ® __ 3 ____ ₂ razão semicorda / raio 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 ® __ ₃ ____ ₂ ângulo central cor-respondente 180º 180º 60º 60º 60º 60º 120º ângulo cujo seno é a razão calculada acima 90º 90º 30º 30º 30º 30º 60º

c) Explique como você poderia utilizar a tabela que construiu para calcular o comprimento de uma corda correspon-dente a um ângulo central de 60º em uma circunferência de raio 5 m.

Se o raio da circunferência é igual a 5 m, então a corda é proporcionalmente maior do que a correspondente ao raio de 1 m, vista a partir do mesmo ângulo central, que é 60º.

A figura a seguir pode ajudar a compreender o que se afirma: 5c c 60o 5 m 1 m

d) Calcule o raio de uma circunferência na qual uma corda de 100 m corresponde a um ângulo central de 60º.

Analogamente, se a corda tiver comprimento 100 m, sendo o ângulo central 60º, então teremos a proporção: ____ c3

100 = __ R .1 Logo, R = 100 ____ _c

3 = 100 ____ 1,0 = 100 m.

Lembrando que sen 30º = 0,5, também poderíamos escrever: sen 30º = 0,5 = c₃ __ 2 ___ _{1 =} ___ 50 _{R .}

e) Calcule o raio de uma circunferência na qual uma corda de 100 m corresponde a um ângulo central de 6º.

Se a corda tiver 100 m, sendo o ângulo central igual a 6º, procedendo de modo análogo ao que foi feito acima, teremos:

sen 3º = 50 ___ _R . Logo, R = 50 ______ _{sen 3°} .

Determinando o valor do seno de 3º em uma tabela de senos, ou em uma calculadora, ob-temos o valor aproximado 0,052.

Concluímos, então, que R ≅ 962 m.

A secante de um ângulo

A palavra “secante” origina-se em secare, que, em latim, quer dizer “cortar”. Para ve-rificar se determinada reta corta ou não uma circunferência dada, basta calcular a distância a do centro da circunferência até a reta e com-parar com o raio R. Se a distância for maior do que o raio R, a reta não é secante à circun-ferência; se tivermos a < R, a reta é secante.

Se quisermos determinar, entre várias re-tas, quais são secantes à circunferência, basta calcular os valores correspondentes de a e di-vidi-los por R. Quando a razão a

R for menor do que 1, a reta será secante à circunferência. Também se pode, naturalmente, calcular os valores da razão R_{a . Se ela for maior do que 1,} a reta será secante.

c 2 a R a α 2 α

As razões entre a semicorda c

2 e o raio R constituem uma tabela de senos do ângulo α

2 . Por possibilitar a identificação das retas se-cantes à circunferência, as razões R_a constitu-íam outra tabela, chamada tabela de secantes do ângulo α

2.

Atividade 4

No triângulo retângulo de hipotenusa c, o ângulo α é oposto ao cateto a e o ângulo β é oposto ao cateto b. Já sabemos que a razão

k) 1 + cotg2 α = cossec2 α

Respostas:

a) a d) As igualdades são uma conse- quência imediata da definição do cosseno, da cossecante e da cotangente como sen-do, respectivamente, o seno, a secante e a tangente do ângulo complementar.

e) e f) Como a secante é a razão hipotenusa/ cateto adjacente, segue que sec α = 1

cosα

e, analogamente, cossec _{α = sen}1_α.

g) e h) A observação direta mostra-nos que sen α cos α = a c b c = a_b = tg α . Analogamente,

cotg α = tg(90o _– α) = sen(90o – α) cos α₌

cos(90o _– α) sen α .

i) Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo de catetos a e b e de hipotenusa c, obtemos: c2 _{= a}2 _{+ b}2_.

Dividindo os dois membros da igualdade por c2_{, obtemos:}

1 = a_{c c}b

2 2

, ou seja, 1 = sen2 α + cos2 α.

j) Efetuando as operações indicadas no primeiro membro, temos:

1 + t g2 α = 1 +

ª

º

k) Analogamente ao que foi feito em j), 1 + cotg2 α = cossec2 α.

Observação: esta atividade está proposta

como uma lição de casa no Caderno do Aluno.

Das considerações anteriores sobre as retas secantes às circunferências, podemos concluir que o que se chama de secante de α é a razão c

b , sendo representada por sec α; analogamente, sec β = c_a.

Assim, como se convencionou chamar o seno do complementar de α de cosseno de α, representando-se por cos α o sen (90º − α), também se convenciona chamar:

P P

α = ângulo de paralaxe α

O ângulo de paralaxe é muito utilizado em trabalhos científicos de Astronomia para a medida de distâncias entre os corpos celestes. A ideia básica é a seguinte:

As observações astronômicas são comu-f

mente feitas tendo o Sol como referência. Ao se observar uma estrela E vista da Terra t e do Sol S, haverá uma diferença angular (paralaxe) entre as duas observações.

Quanto maior for o efeito de paralaxe, mais f

próxima estará a estrela e, quanto menor o ân-gulo de paralaxe, mais distante estará a estrela. Convenciona-se que a unidade para dis-f

tâncias interestelares é a distância que cor-responde a um ângulo de paralaxe de 1”

1 60 do minuto, ou seja, 1 3600 do grau    . Tal unidade de distância é chamada f

parsec (uma contração das palavras

para-laxe e second). A figura a seguir representa

essa afirmação:

distância TS = 150 milhões de km (distância da Terra ao Sol) se ângulo α = 1”, então a distância SE será 1 parsec

(a figura não está em escala) S

T

α E

Para calcular 1 parsec em km, basta notar que: tg α = ST

SE e, em consequência, SE = ST tg α.

Podemos representar o teorema de Pitágo-ras e as igualdades apresentadas nos itens i) e j) em uma só figura: a b = tg α 1 = sen α cos α sec α tg α sen α cos α α 1 1 b a c

distâncias astronômicas: das cordas ao parsec

Quando observamos um ponto P fechan-do os olhos alternadamente, temos uma visão um pouco diferente. Aparentemente, o ponto muda de posição e essa mudança pode ser me-dida por um ângulo chamado de paralaxe.

o₁ o₂

P

α = ângulo de paralaxe α

Temos: tg 1” ≅ 0,000004848 = _1parsec 1UA

Logo, 1parsec

1UA ≅ 206270, ou seja, 1 parsec ≅

≅ 206270 UA.

c) Uma unidade muito utilizada para medir grandes distâncias é o ano-luz, que é igual à distância percorrida pela luz em 1 ano. A quantos anos-luz corresponde 1 parsec? (Velocidade da luz no vácuo: 300 000 km/s.)

Calculando a distância d percorrida pela luz em um ano, obtemos, aproximadamente: d = 365 . 24 . 60 . 60 . 300 000 = 9,46 . 1012 _km.

Logo, sendo o parsec igual a 3,09 . 1013_,

concluímos que 1 parsec ≅ 3,26 anos-luz.

Atividade 6

Uma estrela vista da Terra apresenta um ân-gulo de paralaxe de 0,5”. Calcule:

a) a distância da estrela ao Sol em UA.

Temos: tg 0,5” = 0,000002424 = 1UA_{1SE .} Logo, SE = 1

0,000002424 = 412 541 UA.

b) a distância da estrela à Terra em parsec.

Notamos que, como o ângulo de paralaxe é muito pequeno, a tangente e o seno têm apro-ximadamente o mesmo valor, ou seja, o cateto SE e a hipotenusa TE são aproximadamente iguais. De fato, se fôssemos calcular o valor de TE, obteríamos: S T E TE2 _{= SE}2 _{+ ST}2 TE = ® ___________412 5412 _{+ 1} ≅ 412 541 UA.

Sabemos que a distância aproximada (média anual) da Terra ao Sol é de 150 milhões de km. Obtendo-se o valor da tangente de 1” em uma tabela de tangentes ou em uma calculadora, encontramos: tg 1” = 0,000004848.

Logo, SE = ____________ _{0,000004848 ≅ 3,09 . 10}150.106 13 _km, ou seja, 1 parsec ≅ 3,09 . 1013 _km.

Exemplo ilustrativo

Quando observada da Terra, a estrela Alfa Centauri, que é a mais próxima do Sistema Solar, apresenta um ângulo de paralaxe de 0,75”. Como é menor do que 1”, tal ângulo mostra que a distância de Alfa Centauri até o Sol é maior do que 1 parsec. De fato, ob-tendo a tangente de 0,75” em uma calculado-ra, obtemos: tg 0,75” = 0,000003636. Logo, a distância SE é igual a: SE = ____________ _{0,000003636 ≅} 150.106 ≅ 4,13.1013 _{km = 1,34 parsec.}

Atividade 5

a) Se uma estrela está a 10 parsec do Sol, o ângulo de paralaxe é maior ou menor do que 1”?

Pela definição de parsec, quanto menor o ân- gulo de paralaxe, maior a distância entre o Sol e a estrela. Logo, se a distância entre o Sol e a estrela é de 10 parsec, o ângulo de para- laxe é bem menor do que 1” (no caso, o ângulo será cerca de 10 vezes menor, ou seja, 0,1”).

b) A distância da Terra ao Sol é conhecida como Unidade Astronômica, e é repre-sentada por UA. A quantas UA corres-ponde 1 parsec?

Notamos que tal distância corresponde a cerca de 2 parsec.

Considerações sobre a avaliação

Ao final deste percurso, a expectativa é que as razões trigonométricas fundamentais (senos, cossenos, tangentes, secantes, cossecantes, cotangentes) tenham sido revistas, uma vez que uma apresentação inicial delas já teria ocorri-do, especialmente no 3o_{- bimestre da 8}a_{- série.} Optou-se por uma reapresentação das razões em novos contextos, com destaque para as distâncias interestelares, como pretexto para

animar a retomada de tais conteúdos, deixan-do-se ao professor a tarefa de preencher as lacunas quase inevitavelmente existentes em algumas turmas, em alguns casos apresentan-do pela primeira vez as razões trigonométricas. Com base nesta retomada, vamos cuidar, na Situação de Aprendizagem seguinte, da amplia-ção do significado das razões, estendendo-as para ângulos maiores do que 90º. É muito importan-te, portanto, que os alunos tenham assimilado o significado das razões trigonométricas, ten- do apreendido as relações mais simples entre elas, como a de que cos α = sen (90º – α), tg α = sen α

cos α , sen2_{α + cos}2 _{α = 1, entre outras.}

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2

DOS TRIâNGULOS à CIRCUNFERêNCIA – VAMOS DAR UMA VOLTA?

vi-mos o significado das razões trigonométricas fundamentais (seno, cosseno, tangente, etc.) relacionadas a ângulos agudos. Nossa referên-cia básica foi o triângulo retângulo e as seis razões fundamentais representavam a relação entre dois dos lados do triângulo. Assim sen-do, os ângulos para os quais calculamos senos, cossenos, tangentes, etc. eram todos agudos.

É possível, no entanto, seja nas medidas das rampas, seja nas razões entre cordas e raios, associar razões características a ângulos maiores ou iguais a 90º. A mesma corda que corresponde a um ângulo de 120º na circunfe-rência também corresponde a um ângulo de 240º, e uma rampa de 5º também poderia ser caracterizada pelo ângulo de 175º.

rampa de 5º medida: tg 5º rampa de 175º medida: tg 175º ? 175o 5o corda de 120º medida: sen 60º corda de 240º medida: sen 120º ? 120o 240o

Como veremos, faz sentido e é interessan-te falarmos de seno, cosseno, tangeninteressan-te, etc. de ângulos de qualquer medida.

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: extensão das noções de seno, cosseno e tangente do ângulo reto; significado de

seno, cosseno e tangente de um ângulo maior do que 90º; as razões trigonométricas na circunferência: ângulos e arcos.

Competências e habilidades: estender o uso da linguagem trigonométrica para fenômenos envolvendo

ângulos maiores do que 90º; sintetizar e generalizar resultados já conhecidos.

Estratégias: arquitetar analogias que permitam uma extensão natural dos significados das razões

trigo-nométricas; explorar razões trigonométricas em diversos exemplos e atividades.

Roteiro para aplicação da Situação

de Aprendizagem 2

As extensões dos significados das razões trigonométricas serão realizadas por ana-logia com o estudo anterior referente aos ângulos agudos de um triângulo retângulo. Exemplos ilustrativos e exercícios exemplares serão utilizados para a exploração por parte do professor.

dando uma volta com as cordas e os senos

Já vimos que as primeiras tabelas de se-nos de ângulos eram, na verdade, tabelas de cordas de uma circunferência, ou, mais pre-cisamente, tabelas de razões entre semicordas e raios. A própria origem da palavra “seno” situa-se, como se sabe, na palavra jiba, que sig-nifica “corda”em árabe.

Escolhendo-se o raio igual a 1 e represen-tando os ângulos no sentido anti-horário, a partir da horizontal, a medida da semicorda vertical (PA) é o seno do ângulo α (α é a me-tade do ângulo central correspondente à cor-da inteira). Para ângulos agudos, é imediata

a observação de que os senos variam entre 0 e 1 (Figura 1). Figura 1 α 1 0 A P sen _{α = PA} 1 = PA 0 < α < 90o 0 < PA < 1

Para um ângulo α entre 180º e 270º ou então entre 270º e 360º definiremos, analogamente, o seno como a medida da semicorda vertical (PA), agora orientada em sentido contrário ao do eixo y. Por isso, nesses casos, indicaremos a medida da semicorda como sendo negativa (Figuras 3 e 4). Figura 3 α 1 0 A P sen _{α = PA} 1 = PA 180o _{< α < 270}o –1 < PA < 0 Figura 4 α 1 0 A P sen α = PA 1 = PA 270º < α < 360o –1 < PA < 0

Com base nas informações anteriores, va-mos observar um exemplo e resolver alguns exercícios simples.

Exemplo ilustrativo

Com referência à circunferência de raio igual a 1 representada a seguir, vamos calcu-lar o valor do sen 45º e, com ele, completar a tabela com os valores do seno de cada um dos ângulos indicados.

Temos: sen2 _{45º + cos}2 _{45º = 1}

Como sen 45º = cos 45º segue que sen 45º = ® __ 2 ____ ₂ 315º 225º 135º 45º ângulo 45º 135º 225º 315º seno ® __ 2 ____ ₂ ® __ 2 ____ ₂ – ® __ 2 _____ ₂ – ® __ 2 _____ ₂

Atividade 1

Considere o hexágono regular de lado igual a 1 representado a seguir. Lembrando que sen 30º = 1₂ , calcule o seno dos ângulos α, β,  e  indicados na figura.

α β

 

Os ângulos indicados são:

 = 240º  = 300º

Como sen 30º = 1₂ e sen2 _{30º + cos}2 _{30º = 1,}

cos 30º = ® __

3

____ ₂

Logo: sen 60º = cos 30º = ® __ 3 ____ ₂ sen 120º = sen 60º = ® __ 3 ____ ₂ sen 240º = − sen 60º = − ® __ 3 ____ ₂ sen 300o _{= − sen 60}o _{= −} ® __ 3 ____ ₂

Cossenos de ângulos maiores que 90º

De modo análogo, podemos estender a definição de cosseno para ângulos maio-res do que 90º. A sequência de imagens ao lado realiza tal extensão, que é resumida da seguinte forma:

para ângulos entre 0 e 90º, o seno e o cosse-f

no são positivos;

para ângulos entre 90º e 180º, o seno é po-f

sitivo e o cosseno é negativo;

para ângulos entre 180º e 270º, o seno é f

negativo e o cosseno é negativo;

para ângulos entre 270º e 360º, o seno é f

negativo e o cosseno é positivo;

em todos os casos, para a determinação do f

valor absoluto do seno ou do cosseno, recor-remos ao triângulo OPA, de hipotenusa 1.

Senos e cossenos dos ângulos que limitam

os quadrantes

Convencionando-se, então, que o segmento orientado PA representa o seno do ângulo α, parece natural considerar os casos-limite, em que o triângulo retângulo OPA deixa de existir, o que acontece, por exemplo, quando α = 90º, α = 180º, α = 270º ou α = 360º. Nesses casos, temos:

para

f α = 0, o triângulo retângulo OPA “fecha-se” e temos PA = 0 e OP = 1, ou seja, sen 0º = 0 e cos 0º = 1.

quando

f α se aproxima de 90º, o segmen-to PA aproxima-se do raio, ou seja, de 1, e o segmento OP aproxima-se de 0 (Fi-gura I). Para α = 90º, convencionamos que sen 90º = 1 e cos 90º = 0.

quando

f α passa de 90º e se aproxima de 180º, então α segmento PA aproxima-se de 0 e o segmento OP aproxima-se do raio, que é 1. Temos (Figura II ): sen 180º = 0 e cos 180º = −1.

quando

f α passa de 180º e se aproxima de 270º, então o segmento PA aproxima-se do raio, em sentido oposto ao do eixo, ou seja, tem medida −1, enquanto o segmento OP aproxima-se de 0. Temos (Figura III ): sen 270º = −1 e cos 270º = 0;

quando

f α passa de 270º e se aproxima de 360º, o segmento PA aproxima-se de 0 e

o segmento OP aproxima-se de 1. Temos (Figu ra IV): sen 360º = 0 e cos 360º = 1.

A _{Figura I} α +1 0 − P Figura II α 0 A − P Figura III α 0 − P A Figura IV α 0 P − A

a 0o _{90º 180º 270º 360º}

sen a 0 + 1 + 0 − −1 − 0

cos a 1 + 0 − −1 − 0 + 1

Atividade 2

Construa uma tabela com os valores das seis razões trigonométricas (sen, cos, tg, cotg, sec, cossec) para os ângulos de 0o_{, 90º, 180º, 270º e}

360º, indicando também os sinais das razões nos intervalos compreendidos entre tais valores.

Basta lembrar que: tg α = sen α

cos α cotg α = cos αsen α

sec α = 1_{cos α} cossec α = 1_{sen α}

Naturalmente, nos pontos em que os deno-minadores são nulos, a razão correspondente não existe.

α 0o _{90º 180º 270º 360º}

sen α 0 + 1 + 0 – – 1– 0

cos α 1 + 0 – – 1– 0 + 1

tg α 0 + não existe – 0 + não existe – 0 sec α 1 + não existe – – 1 – não existe + 1 cotg α não existe + 0 – não existe + 0 – não existe cossec α não existe + 1 + não existe – – 1 – não existe

Atividade 3

Construindo-se uma circunferência de raio 1 com centro no sistema de coordenadas, po-demos representar geometricamente todas as razões trigonométricas. Já vimos que o seno e o cosseno de um ângulo α, medido a partir do

eixo x em sentido anti-horário, são,

respecti-vamente, a ordenada e a abscissa do ponto A da circunferência que corresponde ao ângulo α. Identifique na circunferência citada o seg-mento orientado que representa:

a) a tangente de α b) a secante de α

Vamos mostrar que o segmento TB repre-senta a tangente de α e que o segmento OB

representa a secante de α. tangentes –1 tg α sen α sec α α ₁ 1 –1 0 A P T cossenos senos cos α B

De fato, da semelhança dos triângulos OPA e OTB, resulta: OP ____ _{OT =} ____ _{TB =} PA ____ OA _{OB .}

Como OA = OT = 1, OP = cos α e PA = sen α,

segue que: cos α_____ ₁ = sen α ______ _TB = 1 ____ _OB . Logo,

TB = sen α

cos α = tg α OB = 1cos α = sec α

Observação: esta atividade está proposta

1. Em consequência do resultado anterior,

aplicando-se o teorema de Pitágoras aos triân gulos OPA e OTB, obtemos:

cos2 _{α + sen}2 _{α = 1}

1 + tg2 _{α = sec}2 _α

2. Lembrando que cotg α = tg (90º − α) e cossec α = sec (90º − α), podemos representar, analogamente ao que foi feito anteriormen-te, a secante e a cossecante em uma figura similar, traçando-se a reta tangente ao ponto (0; 1), como mostra a figura a seguir.

cotg α α 1 –1 –1 0 S A P T cossenos cotangentes senos 1 S C cossec α cos α SC = cotg α OC = cossec α sen α

Atividade 4

Conhecendo os valores do sen 30º = 12, e do cos 30º = ®

__ 3

____ _{2 , calcule o seno e o cosseno}

dos ângulos α indicados a seguir:

a) 120º c) 210º e) 300º

b) 150º d) 240º f) 330º

Comparando os segmentos orientados que representam o seno e o cosseno dos ângulos citados, podemos concluir que:

a) sen 120o _{= cos 30º =} ® __ 3 ___ 2 cos 120o _{= − sen 30}o _{= −}1 2 30º 30º 120º 0

Um procedimento análogo, nos itens seguintes, conduziria às respostas a seguir. Busque tam-bém fazer uma figura representando cada item. b) sen 150º = sen 30º = 1 2 cos 150o _{= −cos 30}o _{= –} ® __ 3 ___ ₂ c) sen 210º = − sen 30º = – 1 __ ₂ cos 210º = −cos 30º = – ® __ 3 ___ ₂ d) sen 240o _{= − cos 30}o _{= –} ® __ 3 ___ ₂ cos 240º = − sen 30º = – 1 __ ₂ e) sen 300º = – cos 30º = – ® __ 3 ___ ₂ cos 300º = sen 30º = 1 2 f) sen 330º = − sen 30º = – 1 __ ₂ cos 330º = cos 30º = ® __ 3 ___ ₂

Atividade 5

um ângulo central α. Calcule os valores de s e do seno de α nos casos indicados a seguir:

a) α = 360º d) α = 45º b) α = 180º e) α = 30º c) α = 90º 360º 30º 90º 45º 180º

a) Se o ponto P percorreu um arco corres-pondente ao ângulo central de 360º, então ele percorreu a circunferência inteira, cujo compri-mento é 2π metros. Logo, s = 2π metros. Sendo α = 360º, já vimos que sen 360º = 0.

b) Se o ponto P percorreu um arco corres-pondente a 180º, então ele percorreu 180

360, ou seja, a metade da circunferência, o que equi-vale a π metros. Sendo α = 180º, já vimos

que sen 180º = 0.

c) Se o ponto P percorreu um arco corres-pondente a 90º, então ele percorreu 90

360, ou seja, um quarto da circunferência, o que equivale a π₂ metros. Sendo α = 90º, já

vi-mos que sen 90º = 1.

d) Se o ponto P percorreu um arco corres-pondente a 45º, então ele percorreu 45

360, ou seja, um oitavo da circunferência, o que equi-vale a π₄ metros. Sendo α = 45º, já vimos

que sen 45º = ® __

2

___ _{2 .}

e) Se o ponto P percorreu um arco corres-pondente a 30º, então ele percorreu 30

360, ou seja, 1

12 da circunferência, o que equi-vale a π

6 metros. Sendo α = 30º, já vimos que sen 30º = 1

2 .

Observação: esta atividade está

pro-posta no Caderno do Aluno como lição de casa.

Podemos generalizar os resultados da atividade 5 da seguinte maneira:

Em uma circunferência de raio 1, os ar-f cos correspondentes a 360º, 180º, 90º, 45º e 22,5º têm comprimentos iguais a, respectivamente, 2π, π, π 2, π 4 e π 8 medidos na mesma unidade do raio. De modo geral, existe uma proporcio-f

nalidade direta entre a medida do arco e a medida do ângulo central corres-pondente: se o ângulo central dobrar, o comprimento do arco também dobrará, e assim por diante.

Desse fato decorre que, sendo o ângulo cen-f

tral α, medido em graus, correspondente a

um arco de comprimento s, vale a

propor-ção, s = 2πR

360

αα ou seja, s = 360 . 2πR

α _.

Atividade 6

α

As relações entre α, s e c decorrem das

se-guintes expressões, já conhecidas:

sen α__ _{2 =} __ c __ _{R =} 2 ___ _{2R , ou seja, c = 2R . sen} c __ α ₂ s

__ _{α =} 2_____ _{360º , ou seja, s =} πR _____ _{360º . 2πR} α

Para α = 180º, temos: c = 2R . sen 90º = 2R e s = 1

2 . 2πR = πR Para α = 120º, temos: c = 2R . sen 60º = R ® __ 3 e s = 1

3 . 2πR = 2π R

3

Para α = 90º, temos: c = 2R . sen 45o _{= R} ® __ ₂

e s = 1

4 . 2πR = π R 2

Para α = 60º, temos: c = 2R . sen 30o _{= R e}

s = 1

6 . 2πR = π R

3

Para α = 30º, temos: c = 2R . sen 15o _e

s = 1 ___ _{12 2πR = π} __ R ₆

(consultando uma tabela de senos, ou usan-do uma calculausan-dora, obtemos: c ≅ 0,52R.)

Para α = 10º, temos: c = 2R . sen 5o _e

s = 1 ___ _{36 2πR = π} ___ ₁₈R

(consultando uma tabela de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c ≅ 0,17R)

Para α = 0º, temos: c = 2R . sen 0o _{= 0 e s = 0}

α 2 s 2 c 2 s R c α

Para cada um dos valores de α, é interes-sante sugerir aos alunos que façam uma figu-ra e observem as relações geométricas entre as cordas e os arcos, imaginando os possíveis polígonos regulares cujos lados correspon-dem às cordas calculadas, quando for o caso.

Considerações sobre a avaliação

outras voltas poderão ser dadas e é possí-vel calcularmos as razões trigonométricas para ângulos maiores do que 360º de modo análogo ao que foi feito na extensão dos ângulos agudos para ângulos maiores do que 90º. É imprescindível, no entanto, que os alunos tenham assimilado com natu-ralidade o fato de que as razões trigono-métricas podem ser calculadas de modo

significativo para ângulos de 0º a 360º. Para tanto, é preciso que sejam conhecidos os valores das razões para ângulos notáveis, como 30º, 45º, 60º, 90º, 180º, 270º e 360º, e que se saiba reduzir o cálculo das razões para um ângulo α qualquer ao cálculo das razões para um ângulo agudo, por meio de relações simples como, por exemplo, sen (180º – α) = sen α.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3

POLíGONOS E CIRCUNFERêNCIAS – REGULARIDADES

NA INSCRIçãO E NA CIRCUNSCRIçãO

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: medidas de ângulos centrais, internos e externos de polígonos regulares

ins-critos em uma circunferência; cálculo dos lados de polígonos regulares insins-critos e circunsins-critos a uma circunferência; relações trigonométricas fundamentais e problemas de inscrição e circuns-crição de polígonos.

Competências e habilidades: compreender algumas relações essenciais entre a geometria e a

trigo-nometria, inter-relacionando linguagens e ampliando as possibilidades de expressão; sintetizar e generalizar resultados já conhecidos, relacionando-os a novas situações-problema.

Estratégias: explorar relações entre elementos geométricos e trigonométricos, possibilitando uma

maior compreensão de resultados já conhecidos; exploração de relações entre elementos geomé-tricos e trigonomégeomé-tricos em diversos exemplos ilustrativos e exercícios exemplares.

Desde a origem, as razões trigonométricas sempre estiveram associadas a relações entre ângulos, arcos e cordas em uma circunferência.

Sendo n um número natural, quando divi-dimos 360º por n, a corda correspondente ao

Roteiro para aplicação da Situação

de Aprendizagem 3

A exploração dos conteúdos desta Situação de Aprendizagem será feita por meio de alguns exemplos ilustrativos, posteriormente comple-mentados por exercícios exemplares, que pode-rão servir de modelo para que o professor crie ou selecione os seus próprios exercícios em outras fontes de materiais didáticos ou paradidáticos.

Ângulos notáveis em polígonos regulares

inscritos

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, isto é, pode ter todos os seus vértices pertencentes a uma mesma circunferên-cia, que é chamada de circunferência circuns-crita ao polígono. Chamaremos de l₃ o lado do triângulo regular inscrito (triângulo equilátero), de l₄ o do quadrilátero regular (quadrado), de l₆ o do hexágono regular, e assim por diante.

l3

l₄ l₆

Na figura, estão representados os três polígonos regulares citados. Observamos que o ângulo central correspondente ao lado de cada um deles é igual a 360º dividi-dos pelo número de ladividi-dos, ou seja, é de 120º

para o triân gulo equilátero, de 90º para o quadrado e de 60º para o hexágono.

l₃ l₄ l₆ 60º 90º 120º

De modo geral, sendo n o número de lados do polígono regular inscrito considerado, a medida do ângulo central correspondente ao lado é igual a 360º

n . O ângulo central corres-pondente ao lado do pentágono regular, por exemplo, é igual a 72º.

Consideremos agora a medida do ângulo interno de cada um dos polígonos inscritos. Ele é igual a 60º no caso dos triângulos equi-láteros, 90º no caso dos quadrados e 120º no caso dos hexágonos.

De modo geral, notamos que, em cada caso, a soma de duas metades do ângulo in-terno com o ângulo central deve ser igual a 180º, uma vez que tais ângulos constituem um triângulo.

Em consequência, sendo α_i o ângulo interno de um polígono regular de n lados, temos: 2 ___ αi

2 + 360º _____ n = 180º, ou seja, αi = 180º – 360º _____ n .

Comparando as expressões obtidas para

α e para αi, notamos que, em cada

polígo-no, esses ângulos são suplementares, ou seja, α + αi = 180º.

Algumas atividades simples, para explorar os fatos anteriormente citados, são apresenta-das a seguir.

Atividade 1

Complete a tabela a seguir, indicando o ân-gulo central correspondente ao lado e o ângu-lo interno de cada um dos polígonos regulares indicados.

Polígono regular (n lados) Ângulo central α (em graus) Ângulo interno α_i (em graus)

Basta substituir o valor de n pelo correspon-dente ao número de lados de cada polígono nas expressões anteriormente obtidas:

a = 360º _____ _n a_i = 180º − 360º _____ _n

(Os valores obtidos que não forem inteiros podem significar alguma dificuldade na construção efetiva dos polígonos, mas não em sua concepção.)

Atividade 2

Observando a tabela obtida na atividade anterior, notamos que, quanto maior o número de lados de um polígono regular, menor é seu ângulo central e mais próxima de 180º é a me-dida de seu ângulo interno, o que significa que o polígono vai ficando cada vez mais arredon-dado. Podemos imaginar uma circunferência como se fosse um polígono com um número de lados tão grande que o ângulo central corres-pondente a cada lado é zero e o ângulo interno é 180º. Tente desenhar um icoságono regular de lado 1 cm e verifique como ele praticamente pode ser identificado com uma circunferência. Agora, imagine o que aconteceria se você ten-tasse desenhar um quilógono regular...

Resposta pessoal.

Ângulo externo de um polígono regular

O ângulo externo α_e de um polígono é for-mado pela semirreta que é o prolongamento de um dos lados com o lado seguinte (ver figu-ra a seguir). Natufigu-ralmente, cada ângulo inter- no α_i de um polígono tem um ângulo externo α_e adjacente, e a soma dos dois é sempre 180º: α_i + α_e = 180º.

l₃ l₄ l₆

Nos polígonos regulares, como já vimos an-teriormente, a soma do ângulo central α com o ângulo interno α_i também é igual a 180º. Concluímos, então, que o ângulo externo α_e é igual ao ângulo central, ou seja, para obter o valor de α_e basta dividir 360º pelo valor de n: αe =

360º

n . Por exemplo, o ângulo externo de um polígono regular de 20 lados é igual a 18º.

Atividade 3

Descubra se existe um polígono regular: a) cujo ângulo externo seja igual ao ângulo

interno.

Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo deve ser igual a 180º, para que os dois sejam iguais é preciso que ambos sejam iguais a 90º. O polígono regular, nesse caso, é um quadrado.

Para que o ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo, devemos ter:

180 – 360

n = 2 . 360n , de onde resulta que n = 6. O polígono é um hexágono regular.

c) cujo ângulo central seja igual ao ângulo interno.

Se o ângulo central é igual ao ângulo interno, temos: 360

n = 180 – 360n , de onde resulta que n = 4. O polígono procurado é um quadrado.

Observação: esta atividade está

pro-posta no Caderno do Aluno como lição de casa.

inscrevendo polígonos na circunferência

Quando inscrevemos um polígono regular em uma circunferência de raio 1, então existe uma relação simples entre o lado x do polígo-no e o ângulo central α correspondente.

De fato, temos sen

ª

º

ª

º

l Li x R α Li 2 x 2 α 2

Se o raio da circunferência for igual a R, então o lado L_i do polígono inscrito será pro-porcionalmente maior, e teremos: R

1 = L

x i_. Logo, temos L_i = R . x, ou seja, l_i = 2Rsen

ª

º

Exemplos ilustrativos:

Na tabela abaixo, estão indicados os ângu-los centrais correspondentes aos lados dos po-lígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7 e 8 lados e os comprimentos dos lados correspondentes.

Polígonos

regulares Ângulo central (em graus) Comprimento do lado triângulos 120 _{R ®} __ ₃ quadrados 90 R ® __ 2 pentágonos 72 1,176R hexágonos 60 R heptágonos 51,4 0,867R octógonos 45 0,765R Observação:

a) Os valores dos senos necessários foram

ob-tidos em uma tabela ou em uma calculadora.

b) Notar que, dividindo L_i por 2R, obtemos o seno da metade do ângulo central, em cada caso.

c) Como a medida do ângulo central α é

igual a 360º_{n , o comprimento do lado do po-}

Analogamente, quando circunscrevemos um polígono regular a uma circunferência de raio 1, sendo L_c o lado do polígono circunscrito, temos:

polígono inscrito: f Li 2 = sen

ª

º

ª

º

ª

º

ª

º

Logo, concluímos que, em uma circunferên-cia de raio 1, os valores de L_i e L_c são tais que:

l

f _i = 2sen

ª

º

f _c = 2tg

ª

º

Se a circunferência tiver raio R, analoga-mente ao que foi mostrado para os polígonos inscritos, o valor de L_c é ampliado na mesma proporção do raio, que passou de 1 para R, e temos: l f _i = 2Rsen

ª

º

ª

º

Atividade 4

Calcule o lado do polígono regular de n la-dos inscrito e do polígono de n lala-dos circunscri-to à circunferência de raio 1 no caso em que:

a) n = 3, 6, 12, 24 b) n = 4, 8, 16, 32

(Obtenha valores aproximados para os lados, usando uma tabela de senos ou uma calculadora.)

a) Para n = 3, o ângulo central α é igual a

360

n , ou seja, α = 120º. Temos, então: L_3i = 2 . sen 60o ₌ ® __ _{3 ≅ 1,732;}

L_3c = 2 . tg 60o _{= 2} ® __ ₃ ≅ 3,464.

Para n = 6, o ângulo central α é igual a 60º.

Temos, então: L_6i = 2 . sen 30o _{= 1;} L_6c = 2 . tg 30o _{= 2} ® __ 3 ____ ₃ ≅ 1,155. Para n = 12, α = 30o _{e temos:} L_12i = 2 . sen 15o_{≅ 0,518;} L_12c = 2 . tg 15o_{≅ 0,536.} Para n = 24, α = 15o _{e temos:} L_24i = 2 . sen 7,5o_{≅ 0,261;} L_24c = 2 . tg 7,5o _{= 0,263.}

b) Analogamente, calculando os lados dos polígonos inscrito e circunscrito para os va-lores indicados de n, temos:

L_4i≅ 1,414 e L_4c = 2; L_8i≅ 0,765 e L_8c≅ 0,828;

L_16i≅ 0,390 e L_16c≅ 0,398;