Para a análise do Pêndulo de Wilberforce baseamo-nos em bibliografia diversa, da qual destacamos Berg e Partnof (Berg, 1991; Partnof, 2004).
Consideremos o Pêndulo de Wilberforce representado na figura 4.2, constituído por uma mola de massa desprezável, de constante elástica K e constante de torção ô. Na extremidade livre dessa mola colocamos um corpo de massa m e d e momento de inércia /, relativamente ao
eixo longitudinal da mola. Seja z = 9 - 0 as coordenadas da posição de equilíbrio do sistema. O movimento do sistema é descrito pela dependência temporal das coordenadas z e 9. Na análise do movimento do pêndulo de Wilberforce utilizaremos a formulação lagrangeana devido ao facto de ser mais simples a introdução da parcela de acoplamento em termos de energia. No que se segue, admitiremos que existe um acoplamento linear entre os movimentos de extensão e de torção, dada por — sz9 . Assim, o Lagrangeano do sistema é dado por:
L = T-U = -mé2 +-I92 --Kz2 --Õ02 --ez0,
2 2 2 2 2
(4.1)
As equações do movimento são obtidas a partir das equações de Lagrange:
d_ dt
'dL" dl
dàj ) dqj
= 0. (4.2)
Tendo em atenção ao Lagrangeano (4.1), as equações do movimento do pêndulo são dadas por:
2
I0 + ÔO + -£Z = O
(4.3) (4.4)
Reparemos que se £ = 0. as equações que se obtêm são formalmente idênticas às equações do oscilador harmónico, havendo independência entre a oscilação de extensão e a oscilação de torção.
Eliminando z entre as equações (4.3) e (4.4) chegamos à equação:
d'9 U í 2 i\au
.2 \
(Û:CÙ0 -
Ami 9 = 0, (4.5)
I/
em que co: = — é a frequência angular das oscilações de extensão do pêndulo elástico e m
a>l -— é a frequência angular das oscilações de torção. Procedendo de forma semelhante para
eliminar 0 das equações (4.3) e (4.4), obtemos:
dxz z 1 y A"~i\d2z z
co:co~0 -
Ami z = 0. (4.6)
Podemos observar que as equações (4.5) e (4.6) são formalmente idênticas. Procuramos soluções de (4.5) e (4.6) da forma:
z{t)=A^{",,+* (4.7)
9{t) = A2ei{ (Ol+{/>) (4.8)
Substituindo (4.7) e (4.8) em (4.5) e (4.6), obtemos uma equação de quarto grau em co :
&>4 -\co: +&>j)cy2 + col CO '0 e2
V Ami
= 0, (4.9)
)
cujas soluções são as frequências próprias ou frequências normais de oscilação do sistema:
2 1 CO, = - 1 2 co] +ú}1- + [co]-co:) ml (4.10) 86
co; co'e + COI [COI-CÛ])' + ■
ml (4.11)
Notemos que se £ = 0, então obtemos co\ = coj e co\ = <a\, que são as frequências das oscilações de extensão e de torção desacopladas. Notemos ainda que as frequências próprias são função do momento de inércia do sistema.
Quando a frequência de oscilação co do corpo for igual às frequências naturais co. e a>8
podemos observar o sistema a oscilar num modo normal. Nesta condição a frequência co. = co0
e podemos fazer a substituição coff = co. = co nas equações (4.10) e (4.11) obtendo-se:
cor = co' + (4.12)
€ co; = co' — = =
!ml
(4.13)
Se fizermos coB = s H ml, as equações (4.12) e (4.13) ficam:
, co.
CO[ = co~ + (4.14)
i 2 CO,
co; = co~ (4.15)
Subtraindo membro a membro as equações (4.14) e (4.15), obtemos:
co,, = co, — CO-,. (4.16)
donde concluímos que coR é a frequência de batimento.
Uma vez conhecidas as frequências próprias, podemos conhecer a relação das amplitudes de oscilação longitudinal e de oscilação de torção. A razão destas amplitudes depende da frequência do modo normal. Considerando que o sistema em oscilação está num modo normal, as massas podem oscilar com a mesma frequência e a mesma fase na oscilação longitudinal e na oscilação de torção, mas com amplitudes diferentes.
Como já vimos as soluções das equações (4.3) e (4.4) são da forma das equações (4.7) e (4.8). Vamos agora escrever as equações (4.7) e (4.8) na forma:
z(t) = A1 cos(ûrf + <j>) (4.17)
0(t)=A2cos(cot + 0), (4.18)
onde Ai é a amplitude do modo longitudinal eAjéa amplitude do modo angular. A primeira e a segunda derivada das equações (4.17) e (4.18) são:
z{f) = -Aicùsen{oùt + $ (4.19)
ô(t) = -A2Cûsen(œt + ¢) (4.20)
z(t) = -Alco2 cos(œt + 0) (4.21)
d(t) = -A2Û)2 cos(cot + ¢). (4.22)
Substituindo as igualdades (4.19) a (4.22) em (4.3) e (4.4), obtemos:
m[- Axor cos(ûtf +^))+ KAX cos(cot +$+—aA2 cos(cot + $)= 0 (4.23)
/ ( - A2ú)2 cos((ot + ¢))+ õA2 cos(cot + ^) + - ^ 4 , cos(ú)t + ¢) = 0. (4.24)
Eliminando cos(cot + $ e dividindo tudo por m, na equação (4.23) obtemos:
K
co 4 + A2 = 0.
2m
(4.25)
De igual modo, eliminando cos(&>/ + ¢) e dividindo tudo por / na equação (4.24), obtemos:
í x \
2/ ■A, + -CO' ) A,= 0, (4.26)
ou equivalentemente:
[cal - co2 )A{ + — A, = 0
2m (4.27)
2/ /4, +(fyj -co2)A2 = 0. (4.28)
Vamos agora determinar a razão entre as amplitudes Ai e .-K das direcções z e 0 quando os sistema se encontra num modo normal. Para isso escolhermos co tal que torne as equações (4.27) e (4.28) linearmente dependentes e resolvemos uma das equações para encontrar a razão das amplitudes. Começando por substituir co2, = co] = co1, na equação (4.10), obtemos
cor = co' +
V4w7 (4.29)
Substituindo a equação (4.29) e co2 por co2 na equação (4.27) obtemos:
A2 \m
(4.30)
Vamos agora utilizar o mesmo método para determinar a razão das amplitudes, utilizando a segunda frequência normal dada pela equação (4.11). Do mesmo modo, vamos começar por substituir co: = a>2 = co2 na equação (4.11) e obtemos:
a>2 = co~ -
yJ4ml (4.31)
Substituindo a equação (4.31) e CÙ\ por or na equação (4.27). obtemos:
.1,
r, = , — . (4.32)
As razões das amplitudes A / e ^ , assoeiadas a cada modo normal de vibração, é dada por:
A\ (D
A (D (4.33)
A\ (2)
(2) ~ ^ - r\ (4.34)
em que os índices entre parêntesis indicam a que frequência. <y, ou <y2, são determinadas as
razões.
Os vectores próprios associados a cada modo normal, podem ser escritos da seguinte forma: (1)
V')(/)l
^4^003(^^+^,)y
if(0
r,^4| ^cos(u?|í + ^| ) U) _ .^(2,(/)_ = A\2> cos(co2t +<fi2) r2A{2' cos(u)2í + ^2] =primeiro modo (4.35) : segundo modo. (4.36)Os movimentos de extensão longitudinal e de torção são descritos pelas equações:
z(t)=z{l)(t)+z{2)(t)=All)cos(colt + ^)+Al2)cos{co2t + ^) (4.37)
0(f) = 0(1>(f)+0<2>(/)= 4&V, COS(Û>,/ + ^ ) + 4(2)r2 cos(u>2/ + 02) . (4.38)
Consideremos que condições iniciais do movimento do pêndulo são:
*(o) = *o,
i(0)=0,
0(0)=e0,
#(o)=0. (4.39)
Tendo em consideração estas condições iniciais nas equações (4.38) e (4.39). podemos determinar as equações para o cálculo de A[' e A[{2) e os ângulos de fase ¢, e 02 em função de
r,, r2 , «y, e <w2. Tais equações são:
z0 = /í,(1)cos^, +/í|2 ,cos^2
0 = -coxA['sen$x -co2A^sen02
0O =rlA{1'cos fa + r2A\1] cos$2
0 = -rlcoyA[\)sen0[ -r1cu1A^)sen0,. (4.40)
Resolvendo este sistema em ordem a A{', Af', <j)x e ¢-,, obtemos:
^1 ( , ,=! :^± £ í L^ (4.41)
r, - r ,
4(2) = ^ ° Z° , (4.42)
r, - r ,
¢, = & = 0 . (4.43)
Considerando que r, = -r2 = J— as soluções para z(t) e 0(t) são:
< * ) ■ ■ A+Zo 6, o - o -cosco.t + -cos co 2í (4.44) 0(i) = 0O +z0 &o - zo -cos»,/ -COSCOit . (4.45)
O gráfico da figura 4.3. mostra um exemplo de z(t) e 0(t) na condição em que ocorre batimento, o que mostra que há transferência completa de energia do modo longitudinal para o modo de torção. 0.06 U i ) 4 0.02 -0.02 -0.04 -0.06 ' ti 0 2 t(s)
Figura 43: Gráfico de z(t) (a vermelho) e 6{t) (a azul) em função do tempo
Também podemos verificar através do gráfico que o deslocamento vertical da massa não é proporcional ao deslocamento angular, pelo que, à primeira vista, parece que a razão das amplitudes anteriormente deduzida, não é a adequada. Intuitivamente este aparente desacordo é esperado devido ao pequeno deslocamento angular em relação ao deslocamento vertical.