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Fernanda Maria Moreira Dinis

FACULDADE DE CIÊNCIAS UNIVERSIDADE DO PORTO

ESTUDO DE OSCILADORES

Uma revisão dos modelos

-Departamento de Física

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

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Fernanda Maria Moreira Dinis

FACULDADE DE CIÊNCIAS

UNIVERSIDADE DO PORTO

ESTUDO DE OSCILADORES

Uma revisão dos modelos

-FacsUtJ» i» Ciência» tio Porto

Biblioteca do Dípartaironlo de Hsica

Dissertação apresentada à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para a obtenção do grau de mestre em Física para o Ensino

Para os meus pais, com gratidão, admiração e carinho.

Agradecimentos

Este trabalho de dissertação de Mestrado em Física para o Ensino foi realizado no Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, sob a orientação do Senhor Professor Doutor Joaquim Agostinho Moreira.

Desejo expressar ao meu orientador, o Professor Doutor Joaquim Agostinho Moreira, a mais elevada consideração pelo seu humanismo profissional, a minha admiração pela sua capacidade de trabalho e método de orientação para superar dificuldades decorrentes do trabalho realizado e, também, a minha gratidão pela sua disponibilidade e forma serena na exigência do rigor e clareza no domínio pedagógico e científico, que me ajudou numa perspectiva mais abrangente à compreensão teórica e ao desenvolvimento das técnicas experimentais.

Ao Senhor Professor Doutor José Manuel Brochado agradeço o apoio e disponibilidade concedidos.

Agradeço também à Comissão de Mestrado pelas facilidades concedidas para a realização da parte experimental desta dissertação, e a todo o pessoal do Departamento de Física pela colaboração e ajuda prestada ao longo deste trabalho.

Finalmente, agradeço à minha família e amigos pelo apoio, compreensão e encorajamento constantes.

Resumo

Neste trabalho apresentamos um estudo experimental do oscilador elástico e do pêndulo físico.

Factores como a massa e a torção de uma mola do pêndulo elástico, a amplitude de oscilação e a posição do centro de massa do pêndulo físico, bem como a força resistente devida ao movimento do oscilador num fluido, em regimes em que o número de Reynolds é elevado, foram tidos em consideração.

Fez-se uma revisão dos modelos teóricos elementares de modo a incluir os factores atrás mencionados no estudo da dinâmica dos osciladores. Implementou-se montagens experimentais, baseadas em técnicas de medida adequadas para o estudo laboratorial pretendido.

Os resultados experimentais obtidos foram analisados no quadro teórico formulado, tendo-se verificado excelente acordo entre os resultados obtidos e as previsões teóricas.

Abstract

In this work we present na experimental study of the elastic oscilator and the physical pendulum.

Factores like mass and torsion of a spring of the elastic pendulum, oscillation amplitude and the position of the mass center of the psysical pendulum, as well as the résistent force due to the movement of the oscillator in a fluid, in regimes in which the Reynolds' number is high, were taken in account.

A revision of the elementary models was done so as to include the facts mentioned above in the study of oscilators dynamics. Experimental assemblies were implemented, based in adequate measurement techiques for the intended laboratorial study.

The experimental results obtained were analised on the theorical table that was formulated, and an excellence accordance between the results obtainde and theorical predictions.

Résumé

Dans ce travail, nous présentons une étude expérimentale de l'oscillateurélastique et du pendule physique. Des éléments comme la masse et la torsion d'un ressort du pendule élastique, l'amplitude de l'oscillation et la position du centre de masse du pendule physique, ainsi que la force qui résiste à cause du mouvement de l'oscillateur dans un fluide, sous des régimes dans lesquels le nombre de Reynolds est élévé,ont été pris en compte.

Une révision des modèles théoriques élémentaires a été faite, de façon à inclure les éléments supra cités dans l'étude de la dynamique des oscillateurs. Des montages expérimentaux ont été réalisés, fondés sur des techniques de mesure adaptées à l'étude en laboratoire prétendue.

Les résultats expérimentaux obtenus ont été analysés dans le cadre théorique formulé et on a constaté une excellente conformité entre les résultats obtenus et les prévisions théoriques.

índice

Agradecimentos 4 Resumo 5 Abstract " Résumé ' índice ° Introdução 10

Capítulo 1: Efeito da massa da mola no período das oscilações lineares do pêndulo

elástico 14 1.1. Análise teórica 16

1.2. Estudo experimental do efeito da massa da mola no período das oscilações lineares

do pêndulo elástico 24 1.2.1. Determinação experimental da constante elástica de uma mola - 25

1.2.2. Técnica experimental para a determinação da frequência de oscilação do pêndulo

elástico em função da massa do oscilador 26

1.2.3. Resultados e discussão 29

1.3. Conclusão 31

Capítulo 2: Estudo do Pêndulo Físico. Dependência do período na amplitude de

oscilação e na posição do centro de massa do pêndulo 32 2.1.1. Dependência do período com a amplitude de oscilação 33

2.1.2. Determinação do período das oscilações do pêndulo utilizando uma expansão em

série 41 2.2. Pêndulo Físico 46

2.3.1. Estudo da dependência do período de oscilação do pêndulo físico na posição do

corpo 50 2.3.1.1. Procedimento experimental e análise de resultados 51

2.3.1.2. Resultados e discussão 53 2.4.1. Estudo da dependência do período de oscilação na amplitude 54

2.4.1.1. Procedimento experimental 54 2.4.1.2. Análise dos resultados experimentais 55

" 2.4.1.3. Resultados e discussão 56

2.5. Conclusão 58

Capítulo 3: Osciladores em fluidos 59 3.1. Força de Stokes. Movimento de um oscilador num fluido 60

3.2. Estudo do movimento de um oscilador num fluido 70

3.2.1. Montagem e técnica experimental 70

3.2.2. Resultados experimentais 73 3.2.3. Reavalição do modelo 76

3.3. Conclusões 81

Capítulo 4: Oscilações acopladas no Pêndulo de Wilberforce 82

4.1.0 pêndulo de Wilberforce 84 4.2. Análise da dinâmica do Pêndulo de Wilberforce 84

4.3. Estudo experimental do Pêndulo de Wilberforce 93

4.3.1. Técnica experimental 93 4.3.2. Influência do momento de inércia no acoplamento 95

4.4. Resultados e discussão 97

4.5. Conclusão 100

Considerações finais 101

Referências Bibliográficas 104

O movimento oscilatório é um dos tópicos principais em Física, abordado actualmente, desde o Ensino Secundário £té aos anos mais avançados do Ensino Superior. Os conceitos associados ao movimento oscilatório aplicam-se a muitos ramos da Física, como, por exemplo, circuitos eléctricos oscilantes, instrumentos musicais, vibrações da rede cristalina em sólidos, vibrações moleculares, oscilações de densidade de carga atómica, fenómenos de dispersão dieléctrica, oscilações de iões em membranas celulares ou oscilações neuronais de carga que dão origem às ondas cerebrais. De facto, as equações que descrevem a dinâmica de alguns destes fenómenos são formalmente idênticas às do oscilador mecânico.

O protótipo de oscilador harmónico é, geralmente, ilustrado com o movimento linear de um corpo suspenso por uma mola elástica, de massa nula, ou com o movimento pendular, de pequenas amplitudes de oscilação, de um corpo suspenso por um fio, não elástico e de massa nula. O grau de complexidade do sistema oscilatório aumenta se, para além da força elástica ou restauradora, adicionarmos outras forças ao sistema, como forças resistentes ou forças que obrigam o sistema a oscilar. A complexidade aumenta ainda mais se admitirmos que o oscilador interage com outros, formando um sistema acoplado. Surgem, então, os conceitos de amortecimento, oscilação forçada e ressonância, modos normais de vibração e frequências próprias. O grau de complexidade é mais elevado se se considerar efeitos não lineares no sistema, resultantes, por exemplo, de oscilações de elevada amplitude ou de coeficientes de amortecimento dependentes da frequência.

De um modo geral, o estudo elementar da dinâmica dos osciladores considera forças cujas leis permitem obter soluções analíticas da equação do movimento. Estas soluções permitem a discussão dos conceitos e a análise dos mecanismos associados aos fenómenos de amortecimento, ressonância ou de acoplamento, entre outros.

Porém, nem sempre são abordadas as situações mais próximas da realidade, ou se o são, procuram-se soluções limites. Como exemplo, referimos o efeito da massa da mola no período das oscilações lineares do pêndulo elástico. A maioria dos manuais apenas considera o caso em que a massa da mola é muito pequena em comparação com a massa do oscilador. Neste contexto, introduz-se a noção de massa efectiva, que se obtém adicionando à massa do oscilador uma parcela iguala /3 da massa da mola. Porém, é habitual não especificar os limites de validade desta expressão. Outro exemplo é ilustrado pela força resistente devida à viscosidade do fluido por onde se move o oscilador, que se considera proporcional à velocidade do oscilador - força de Stokes. Muitos manuais

apresentam este exemplo sem discutir aá condições de aplicabilidade da lei de Stocks, não explorando convenientemente o regime dinâmico associado ao movimento do oscilador no fluido.

Para finalizar estes exemplos, consideremos o caso de acoplamento. Ao referirmo-nos ao acoplamento, a ideia que ocorre é a de dois, ou mais , osciladores que interagem entre si através de forças de tipo elástico. Contudo, poucas vezes referimos que um único oscilador pode ter vários graus de liberdade que podem estar acoplados entre si, significando isto, que a noção de acoplamento não tem necessariamente de envolver dois ou mais osciladores. Neste caso, podemos citar o famoso pêndulo de Wilberforce, constituído por um cilindro suspenso numa mola. Este sistema apresenta dois graus de liberdade, um associado à translação do centro de massa do cilindro, que executa oscilações lineares, e outro associado às oscilações de torção do sistema. Verifica-se que estes dois graus de liberdade estão acoplados entre si e todo o formalismo e conceitos do fenómeno de acoplamento estão presentes na análise da dinâmica do sistema.

É objectivo deste trabalho fazer um estudo experimental do movimento de osciladores em condições em que não se verificam os pressupostos dos modelos elementares. Confrontando os resultados obtidos com as previsões teóricas no quadro dos modelos, pretendemos discutir os limites de validade e, quando tal for necessário, reanalisá-los com o objectivo de descrever os resultados experimentais.

Este trabalho é constituído por quatro capítulos.

No primeiro capítulo, apresentamos uma análise teórica das oscilações lineares do pêndulo elástico, em que se considera o efeito da massa da mola na dinâmica do sistema, em particular, no período das oscilações lineares. De seguida, apresentamos o estudo experimental da dependência do período das oscilações do pêndulo elástico em função da razão entre as massas do oscilador e da mola. Os resultados experimentais obtidos são analisados com base nos resultados obtidos no estudo da dinâmica do sistema e discutem-se os limites de validade das expressões obtidas para o período de oscilação a partir dos modelos elementares.

No segundo capítulo, apresentamos um estudo experimental das oscilações do pêndulo físico, considerando o efeito da posição do centro de massa do sistema e da amplitude das oscilações no período do movimento. Desenvolve-se o formalismo teórico que permite descrever os resultados obtidos.

O terceiro capítulo é dedicado ao estudo do oscilador fracamente amortecido por uma força resistente com origem na viscosidade do fluido por onde se move o oscilador.

Mostraremos que a lei da viscosidade de Stoks nem sempre é adequada para a descrição do movimento do oscilador, em particular, nas condições em que foram realizadas as experiências que aqui iremos descrever. Reavaliamos a análise do problema tendo em atenção o regime de movimento do oscilador no fluido, caracterizado pelo número de Reynolds.

Finalmente, no quarto capítulo, fazemos o estudo do movimento do pêndulo de Wilberforce, explorando o acoplamento entre as oscilações lineares e de torção, procurando demonstrar a importância do momento de inércia do oscilador na eficiência deste acoplamento.

Em todo este trabalho, a análise dos resultados experimentais foi feita com o programa KaleidaGraph™. Este programa de análise permite criar pequenos programas de ajuste de funções específicas, que serão oportunamente definidas ao longo do texto.

No final de cada capítulo expomos as principais conclusões obtidas e apresentamos algumas reflexões decorrentes do trabalho realizado, sugerindo, de igual modo, outras temáticas a estudar.

CAPÍTULO 1

Efeito da massa da mola no período das

oscilações lineares do pêndulo elástico

Nos cursos introdutórios de Física, a noção de oscilador harmónico linear é frequentemente ilustrada com o movimento de um corpo de massa m suspenso numa mola elástica, que se admite ter massa nula (M=0), constante elástica K e que satisfaz a Lei de Hooke.

Nestas condições, o período das oscilações lineares do pêndulo elástico é dado por :

r.-2-Jf- <">

Na situação em que a massa da mola M é pequena (mas não desprezável) em relação à massa do oscilador, a maioria dos livros introdutórios de Física apresentam uma expressão corrigida para o período de oscilação, tendo em consideração o efeito da massa da mola na dinâmica do sistema. Nesta expressão, o efeito da massa da mola surge como uma parcela correctiva igual a -M, que se adiciona à massa do corpo, de modo que se define uma massa efectiva do sistema mola-corpo dada por (Cushing, 1984):

m* =m +—M. (1-2) 3

Neste caso, o período das oscilações do pêndulo elástico é dado pela seguinte expressão (Young, 2000; Sears, 1969):

(1.3)

Contudo, nos manuais e nos planos de estudo de disciplinas onde este assunto é abordado, não são discutidas as condições de validade das expressões (1.1) e (1.3), nem é 1 Este assunto é tratado em diversos livros de Física geral. A título de exemplo, indicamos: Hugh D. Young and

Roger A. Freedman, University Physics with Moder Physics, 10 th ed. Sears and Zemanskyl_series. Addison_ Wesley 2000; Frederick J. Keller, W. Edwards Gettys and Macolm J. Shove, Physics - classical and modern, 2 nd ed. McGraw-Hill, inc. 1993.

apresentada uma análise mais geral, em que a massa da mola pode tomar qualquer valor em relação à massa do oscilador.

Neste capítulo, será apresentada uma análise das oscilações lineares do pêndulo elástico, em que se considera o efeito da massa da mola na dinâmica do sistema. Seguidamente, será descrita uma montagem laboratorial que permite o estudo experimental da dependência do período das oscilações do pêndulo elástico em função da razão entre as massas do oscilador e da mola:

p=M. (1.4) m

A análise dos resultados experimentais será feita com base nos resultados obtidos no estudo da dinâmica do sistema e serão discutidos os limites de validade das expressões (1.1) e (1.3).

/./. Análise teórica

Consideremos uma mola elástica suspensa por uma das suas extremidades. Seja Ka. constante elástica da mola e M a respectiva massa, que se admite estar uniformemente distribuída, i representa o comprimento natural da mola, enquanto que L é o comprimento da mola quando se suspende, na sua extremidade livre, um corpo de massa m, ficando o sistema em equilíbrio estático. Consideremos um sistema de referência Ox cuja origem coincide com o ponto de fixação da mola ao suporte. A figura 1.1 mostra o esquema do sistema que será analisado.

T X

Figura 1.1: Esquema representando um corpo suspenso numa mola elástica, de constante elástica K e massa M. L representa o comprimento da mola quando o sistema se encontra em repouso.

A elongação dos diversos elementos da mola que possamos definir depende da respectiva posição na mola. Devido à massa da mola não ser nula, os elementos de mola mais próximos do local de encastramento estarão mais esticados do que os elementos que se encontram próximos da massa suspensa. Consideremos um elemento de mola, de comprimento dx e que ocupa a posição x. Suponhamos que se estica a mola. A nova posição que ocupa um elemento de mola é função da sua posição inicial. Seja y(x) a posição que o elemento de mola ocupa devido ao facto da mola ter sido esticada. Nestas circunstâncias, o novo comprimento da mola será Y = y\L), verificando-se que y(x = O) = 0. Os movimentos da mola e do corpo podem ser descritos através da dependência temporal de y. Neste trabalho, iremos considerar apenas oscilações de todos os elementos da mola em fase, de modo que o comprimento de onda, X, da onda elástica que se propaga na mola é muito maior do que y\L) - Y.

Fixemos agora a atenção num elemento de mola, localizado em x, e cujo comprimento inicial, quando o sistema está em equilíbrio, é dx. Ao variar o comprimento da mola, o comprimento do elemento considerado passa para dy, sofrendo uma deformação igual a dy-dx. A figura 1.2 ilustra o que acabamos de descrever.

M

m

~x+dx

X

Figura 1.2: Elemento de mola de comprimento inicial dx distendido para o comprimento c/v, quando a mola é esticada para o comprimento Y.

A constante elástica do elemento de mola considerado, de comprimento dx, é dada pela expressão:

K'=K , L

dx (1.5)

Tendo em atenção (1.5), a intensidade da força elástica que actua no ponto x, devido à deformação do elemento de mola, pode ser escrita do seguinte modo:

F(x) = K\dy -dx) = —{dy - dx) =

KL\^-dx \KL\^-dx (1.6)

A força total que actua no elemento de mola considerado é igual ao seu peso e à diferença das forças elásticas que actuam nas suas extremidades. A equação do movimento do

M

elemento de mola, de massa dm = —dx , é:

(^dX).^ = (^dx)g + [F(x + dx)-F(x)]

L at L (1.7)

A força elástica elástica no ponto x + dx pode ser expandida em série em torno de x. Retendo os dois primeiros termos da expansão, obtemos:

dF F{x + dx)& F(X)-\ dx = dx = F(x)+KL— dx dx dx = F(x)+KL^-dx, dx _(1.8)

Inserindo (1.8) na equação (1.7), obtemos:

—dx . L d2y ( \4 \

de

M_

U

dx g + KL—^-dx. dx2 (1.9)

A equação (1.9) pode ser reescrita na seguinte forma:

d1 y KL1 d1 y _

dt1 M dx2 ~g'

(1.10)

que corresponde à equação da onda longitudinal que se propaga na mola e que é válida em todos os seus pontos, excepto em x = L, onde se suspende o oscilador de massa m. O movimento desse ponto é o mesmo do corpo, sendo por isso necessário determinar a equação do movimento do oscilador.

Sendo a força que actua no corpo dada por:

fv \ FR(L) = mg-F{L) = mg-K(Y-L)=mg-KL 1 =mg-KL \^ ) dy _{- 1} , (1.11) 19

a equação do movimento do oscilador é: dlY vi m—— = mg- KL dt

'£\ -i

dx x=L (1.12)

Esta última expressão é uma das condições que devem impor-se à solução y(x,t) da equação (1.10), para obter uma descrição do movimento da mola. A outra condição a impor corresponde à estacionaridade do ponto de encastramento da mola:

)/(0)=0. (1.13)

De seguida, iremos procurar soluções da equação (1.10) que satisfaçam as condições (1.12) e (1.13). Considerando a situação particular em que todos os elementos de mola vibram em fase, com frequência a, as soluções procuradas podem escrever-se do seguinte modo:

y(x, t) = y0 (x) + u(x)cos(a>t) , (1.14)

sendo y0(x) a posição de equilíbrio do elemento de mola na posição x e u(x) a respectiva

amplitude de oscilação. De seguida vamos calcular o valor de y0(x). Sob a acção do peso do

corpo suspenso na extremidade livre da mola, um elemento de mola localizado na posição x fica sujeito à acção do peso da parte do sistema que lhe fica por baixo:

F= M ÍT \

L V ' g

(1.15)

Por acção desta força, o elemento de mola passa a ocupar outra posição, dada por:

:voM=

P' D. X x+—=x+P— K' KL = x + x m + M L g KL' 20

Mg-x\ KL1

(1.16)

Inserindo (1.16) em (1.14), obtemos uma expressão para a solução geral que descreve o movimento da mola nas condições anteriormente impostas:

y (x,t) = x , m + M _{1 + g}

KL

—^- x2 + u(x)cos(a>t). KL

(1.17)

Inserindo (1.17) nas equações (1.10) e (1.12), obtemos, após alguma manipulação de cálculo, as seguintes expressões: du M +—JÚ)2U(X) = 0, dx1 KL (1.18) du\ ma> _dx)x=L KL U{L)=0 (1.19)

A solução geral de (1.18) é da forma:

u(x) = u0 cos(ax + p), (1.20)

sendo a =

a] M_

LHK

e J3 uma constante. O valor de j3 calcula-se considerando que a

amplitude de oscilação do ponto de encastramento da mola é nula (condição (1.13)) conduzindo 71

a B = —. Deste modo a solução geral de (1.18) toma a forma:

2

u{x) = uQsen(ox). (1.21)

A solução (1.21) deve ainda satisfazer a condição definida pela equação (1.19). Inserindo (1.21) em (1.19) obtemos a condição:

tg(aL) = aKL

(coA

ÍM

mco

(1.22)

KG) j _m

sendo a)0 a frequência de oscilação do pêndulo elástico quando a massa da mola é nula

'o

co, = J — , M = 0 m

A equação (1.22) pode ainda ser escrita na forma:

[ /— CD | i— co0 V ^o J (1.23) í y sendo: M m (1.24)

A equação (1.23) permite determinar os possíveis valores da frequência de oscilação do pêndulo para cada valor do quociente — . Graficamente, as soluções da equação (1.23)

m

(

i • œ \ —

correspondem aos pontos de intersecção da curva v = cot g — ^ p V^o

com a recta y co co, ■4P

.A

M

figura (1.3) ilustra a resolução gráfica da equação (1.23), para diversos valores de p - — . m

p = 0.5

(a) (b)

p = 2

( C )

Figura 13: Resolução gráfica da equação (1.23). Os pontos de intersecção correspondem aos diferentes modos de vibração do

M sistema para diferentes valores de p = — .

m

Para cada valor considerado de — , existe um conjunto de soluções que correspondem m

aos diferentes modos de vibração do sistema. A solução para a> de menor valor corresponde à frequência do modo fundamental do sistema. Quando a massa da mola é muito pequena em comparação com a massa do oscilador (M«m), os valores de — tendem para a unidade, ou seja:

a> = co0 = (1.25)

Pelo contrário, quando M»m, obtemos de (1.22): 23

JmtgjaL)

( 1 2 6 )

eq aL '

onde Meqéa massa equivalente do sistema, que pode ser expressa à custa da soma da massa do

M oscilador m e de uma fracção da massa da mola — :

Me=m + — , (1-27)

eq D

sendo D uma constante.

Igualando os segundos membros de (1.26) e (1.27), obtemos:

aL

(tgaL)-aL (1.28)

Dado que a é uma função de — , os valores de D dependem da razão das massas da m

mola e do oscilador.

Concluímos que quando a massa da mola não é desprezável em relação à massa do , M

oscilador, o seu efeito na dinâmica do sistema traduz-se por uma parcela — que deve ser M

adicionada à massa do oscilador. No caso em que — é pequeno mas não nulo, o parâmetro e m

M n1

D = 3,Q quando » oo, D = — = 2.47. m 4

1.2. Estudo experimental do efeito da massa da mola no período das

oscilações lineares do pêndulo elástico

De seguida, apresentaremos um estudo experimental do efeito da massa da mola no período das oscilações do pêndulo elástico.

1.2.1. Determinação experimental da constante elástica de uma mola

Para determinar experimentalmente a constante elástica da mola utilizada neste estudo, recorreu-se a um método estático. A figura 1.4 mostra um esquema da montagem experimental utilizada.

Legenda:

1. suporte fixo;

2. mola elástica de massa M;

3. corpo de massa, m (constituído pelo disco e prato onde são colocadas as massas);

4. sistema automático de aquisição de dados, constituído por sensor de movimento Motion Sensor II, interface Science Workshop 500. computador com software DataStudio, que permite medir as elongações em função do tempo, e(t).

Figura 1.4: Esquema da montagem laboratorial utilizada para estudar o efeito da massa de uma mola no período das oscilações lineares do pêndulo elástico (os elementos representados não se apresentam à escala).

Suspendemos uma mola a um sistema rigidamente fixo de modo a evitar oscilações. Na extremidade livre da mola colocamos um prato associado a um disco furado. A massa deste conjunto é (39,09 ± 0,0\)g . Com a ajuda de um sensor de movimento. Pasço C1-6762 Motion Sensor He de uma interface Science Workshop 500 medimos a posição da base do prato, após o sistema mola+prato ter atingido o equilíbrio. Esta posição servirá como origem para a medida das elongações. Seguidamente acrescentamos ao prato um corpo de massa conhecida que foi determinada numa balança analítica de precisão 0,01 g. Medimos a nova posição da base do prato quando o sistema atingiu o novo estado de equilíbrio. Com os dois valores da posições inicial e final, calculamos a elongação sofrida pela mola devido ao acréscimo de massa no prato suspenso. A elongação sofrida pela mola deve-se ao peso do corpo acrescentado, igual a mg, sendo m a massa acrescentada ao prato, uma vez que o peso. Mg, da mola não contribui para essa elongação. Repetimos este procedimento, acrescentando ao prato mais corpos de massas conhecidas, medindo-se para cada acréscimo de massa, a respectiva elongação da mola. sempre com o sistema em repouso.

O gráfico da figura 1.5 mostra a dependência da elongação A/ sofrida pela mola no peso dos corpos que foram colocados no prato, F.

Un

O 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

Al (m)

Figura L5: Gráfico que mostra a relação entre a elongação sofrida pela mola devido ao acréscimo de peso no prato suspenso.

A linha contínua corresponde ao melhor ajuste da equação:

F = KA£, (1.29)

aos resultados experimentais. Na equação ( 1.29), F corresponde ao acréscimo de peso no prato e M à respectiva elongação da mola. O declive da recta de ajuste é igual à constante elástica da mola. O valor experimental obtido para a constante elástica da mola é:

£ = (29,9 ± 0,2)JV.»T'

1.2.2. Técnica experimental para a determinação da frequência de oscilação

do pêndulo elástico em função da massa do oscilador

A montagem experimental utilizada no estudo da dependência da frequência das M

oscilações lineares do pêndulo elástico na razão — . é igual à que loi descrita anteriormente, e m

Suspendemos a mola, cuja constante elástica foi anteriormente determinada, num suporte rigidamente fixo. A massa da mola utilizada é (l40,69±0,0l)ge a sua constante elástica é K = (29,9±0,2)iV.tfr\ Na extremidade livre da mola suspendemos um prato ao qual associamos um disco furado, cuja massa do conjunto é (39,09 + 0,0l)g . O disco é necessário na montagem para facilitar a detecção pelo sensor de movimento. No prato colocamos um corpo cilíndrico de massa conhecida. Quando os valores das massas em oscilação se tornam inferiores à massa do prato+disco, passamos a utilizar um cartão perfurado, colado na parte inferior do corpo suspenso. Deste modo resolvemos dois problemas: o primeiro, foi facilitarmos a detecção pelo sensor; o segundo, foi termos conseguido obter valores de massas em oscilação pequenas (o valor da menor massa utilizada foi igual a (0,61 ± 0,0l)g).

Uma vez suspensa a massa na mola, deslocou-se o oscilador da sua posição de equilíbrio e abandonou-se. Esperamos algum tempo para que o sistema oscilasse no seu modo fundamental. A elongação em função do tempo, foi medida com o auxílio de um sensor de movimento Pasço C1-6762 Motion Sensor II e de uma interface Science Workshop 500. O sensor emite um impulso ultrasónico que se propaga até atingir disco furado, onde é reflectido. O mesmo sensor detecta o impulso reflectido, determinando o intervalo de tempo entre a emissão de um impulso e a recepção do respectivo eco. Este sensor comunica com um computador através de uma interface Science Workshop 500. O programa DataStudio permite o controlo das aquisições e calcula a posição do objecto a partir do intervalo de tempo medido e da velocidade de propagação do impulso ultrasónico no ar. O sensor utilizado pode fazer 5 aquisições por segundo para registar eventos relativamente lentos a grandes distâncias e fazer 120 aquisições por segundo para eventos rápidos e relativamente próximos do sensor. A distância mínima que se pode medir com este sensor é de 0,15 m, sendo a distância máxima de 8 m. A taxa de amostragens utilizada neste trabalho foi de 80 aquisições por segundo. O gráfico da figura 1.6 mostra a elongação em função do tempo, para três valores de massa em oscilação, registada no caso em que a massa suspensa na mola é igual a (l 199,7 ±0,0l)g em (a), quando é igual a (570,9 ±0,0l)# em (b) e quando é igual a (105,64 ± 0,0 \)g em c).

0.48 0.47 0.46 .0.45 0.44 0.43 0.42

A A A A

A

: » • ' ' ' ? : » î . i : • : í ; . • » • * # i i i *

; V V v V

m=1199.7.g y = ml + m2 * sin(m3*t+m4) Value Error m l 0.44683 0.00002 m2 002442 0.00002 m3 4.9814 0.0004 m4 10.760 0.002 Chisq 7.874e-05 NA R 0.99975 NA t(s) 0.36 0.26

v v v v y v i

, , i _J_I , i , , , , 1 t(s) 0.49

I I i U U U H U i

* • ; •• ft •: * •• .• • •" . • •• • m=570 9g y = m l + m2 *sin(m3*t+m4) Value Error m l 0.30986 0.00002 m 2 0.04312 0.00002 m 3 7.0573 0.0002 m 4 0 4 4 6 0.001 Chisq 0.00015471 N A R 0.9999 N A m=105.64u y = m l + m2 *sin(m3*t+m4) Value Error m l 0.45856 000003 m 2 0.02876 000004 m 3 14.0150 0.0008 m 4 4.918 0.003 Chisq 0.00027204 N A R 0.99945 NA a) b) c) t(s)

Figura J.6: Elongação em função do tempo (círculos vermelhos) para três valores de massa em oscilação. A linha contínua azul representa o melhor ajuste da equação y\t) = yQ + Asen\tot + ç)

aos resultados experimentais. Nas tabelas, ml — y0, m1 = A, m3 = ú) e m4 = (j). O significado

Verificamos dos gráficos da figura 1.6 que o efeito das forças dissipativas é desprezável. Para determinar o valor da frequência de oscilação do sistema, para cada valor da massa do oscilador, fizemos um ajuste aos resultados experimentais, da função:

y(t) = yQ + Asen{cot + ¢), (1.30)

em que y0 corresponde ao valor da posição de equilíbrio do oscilador, A à amplitude de

oscilação, co à frequência angular e </> à fase inicial do movimento. C o m o valor de co determinamos o valor do período de oscilação, T.

1,2.3, Resultados e discussão

A figura 1.7 mostra — = — J — e m função de (Jp) '. TM é o período das oscilações

TM 2\M

da mola livre dado por Tu = 4 J — .

T m A vantagem de estudar a razão — em função da razão — reside no facto de tornar as

TM M

conclusões independentes dos reais valores d e m e M, podendo definir-se intervalos de valores

tn T m .

— para os quais o comportamento de — em função de — pode ser descrito à custa dos

M Tu M

modelos que conduzem às equações (1.1), (1.3) e (1.23).

f. I _ J ! i i I i L _ _ J i . ; : ; ; ! : : i i 1 i J _i i I i i i i I i [ i ! 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 (m/M)i :

Figura 1.7: Gráfico de T/TM em função de (y]p)~]. Os círculos vermelhos correspondem aos

resultados obtidos experimentalmente. A linha verde corresponde às previsões da equação (1.3), em que se considera o contributo da massa da mola, e a linha azul, corresponde às previsões da equação (1.1), considerando desprezável a massa da mola. No pormenor apresentado, os círculos azuis correspondem aos valores calculados usando a equação ( 1.23).

A linha azul, apresentada na figura 1.7 foi obtida utilizando a equação (1.1) para definir o período do oscilador, admitindo que a massa da mola é nula (M=0). Podemos observar que a equação (1.1), descreve bem o comportamento do período das oscilações lineares do pêndulo

tn

elástico quando a razão — > 6, ou seja, quando a massa do oscilador é tão grande que se pode M

\ m

desprezar a massa da mola. Na gama 0,6 < J — < 1,4, a equação (1.3) é mais adequada para \ M

descrever a dependência do período de oscilação com as massas do oscilador e da mola. De facto, a linha verde, calculada a partir da equação (1.3) ajusta-se muito bem aos resultados experimentais quando 0,6 < J — < 1,4, ou seja, quando 0,5 lm < M < 2,8m . Reparemos que a

V M

equação (1.3) ainda é satisfatória mesmo quando a massa da mola se torna superior à massa do oscilador, podendo tomar valores até 2,8« .

Quando M>3m, observamos um afastamento entre os resultados experimentais e o comportamento previsto pelo modelo (1.3). Nesta gama de valores da massa da mola, o modelo desenvolvido anteriormente descreve satisfatoriamente o comportamento do período das

tn

oscilações fundamentais do sistema, na razão — , como se pode observar no pormenor da figura M

1.7. Na realidade, encontramos um ligeiro afastamento entre os valores calculados através da equação (1.23) e os valores experimentais. Tal discrepância é devida a erros na determinação do período das oscilações lineares, por ser difícil manter oscilações puramente lineares do sistema quando a massa do oscilador se torna muito menor do que a massa da mola. Nesses casos, pequenas perturbações ao abandonar o sistema geram oscilações transversais e, por conseguinte, introduzem erros na determinação do período das oscilações lineares. Contudo, como observamos do pormenor do gráfico 1.7, as discrepâncias são pequenas.

i.J. Conclusão

Neste capítulo discutimos o efeito da massa da mola na dinâmica do pêndulo elástico, em particular, no período das oscilações lineares. Fizemos o estudo da dependência do período do

I YYi \ tn

modo fundamental em J — no intervalo 0 < J — < 3,5 .

\M \M

Embora a análise matemática deste problema envolva cálculos elaborados, o estudo experimental pode ser efectuado com base numa montagem simples e a sua análise dos resultados pode ser feita com base nos modelos traduzidos pelas equações (1.1) e (1.3), acessíveis a alunos de cursos introdutórios de Física, a nível superior.

O modelo desenvolvido para a dependência do período das oscilações fundamentais do

ÍYI

pêndulo elástico na razão — é capaz de descrever os resultados experimentais obtidos. A

tn

expressão (1.23) converge para as expressões (1.1) e (1.3) utilizando limites adequados para — . Verificamos que a equação (1.1) descreve bem os resultados quando m > 6M, enquanto a equação (1.3) é válida quando 0,5m < M <3m. Notem que neste último caso, a equação (1.3) ainda descreve satisfatoriamente os resultados experimentais quando a massa da mola é superior

à massa do oscilador. Faculdade fie Geada» do Porto

31 31

CAPITULO 2

Estudo do Pêndulo Físico.

Dependência do período na amplitude de

oscilação e na posição do centro de massa do

pêndulo

Chama-se pêndulo a qualquer corpo que pode oscilar em torno de um eixo de suspensão que não passe pelo seu centro de gravidade, como, por exemplo, um corpo suspenso por um fio ou uma haste fina, encastrados num ponto fixo, que pode oscilar em torno da posição de equilíbrio.

O modelo simples de pêndulo é ilustrado pelo pêndulo gravítico simples, constituído por uma massa pontual, de valor m, suspensa por um fio ou uma haste que se admitem ter massa nula, comprimento / e não elásticos. Mostra-se que quando o pêndulo gravítico simples oscila com pequenas amplitudes, o período é dado por (Alonso, 1981):

T = 2x\—, (2.1) \g

sendo g o valor da aceleração da gravidade local. Notemos que nesta condição, o período do pêndulo é independente da amplitude das oscilações e da massa do sistema. Este é o exemplo do pêndulo que é estudado no Ensino Secundário e nos cursos introdutórios de Física do Ensino Superior.

Para considerar o caso em que o período de oscilação se torna apreciável, é necessário ter em consideração o cálculo de integrais elípticos ou sua expansão em série ou utilizar métodos numéricos para a resolução da equação do movimento ( Marion, 1988).

O resultado apresentado na equação (2.1), para além de constituir uma aproximação para oscilações de pequena amplitude, despreza o efeito da massa do fio ou da haste na dinâmica do pêndulo.

Neste capítulo apresentamos uma análise teórica e um estudo experimental das oscilações do pêndulo físico, considerando o efeito da amplitude das oscilações no período do movimento e da massa da haste na qual se suspende o oscilador.

2. /. /. Dependência do período com a amplitude de oscilação

Consideremos um pêndulo, constituído por um corpo de massa m suspenso numa haste rígida de comprimento /. Consideremos, para já, que a haste que suporta o pêndulo tem massa desprezável em relação a m. Por simplicidade, vamos considerar desprezável o efeito das forças

dissipativas que estejam aplicadas no sistema. Deste modo, as forças que actuam no pêndulo são o seu peso (P) e a tensão (/V) da haste rígida.

A figura 2.1 mostra um esquema do pêndulo e das forças aplicadas ao oscilador.

Figura 2.1: Representação de um pêndulo. As forças que actuam sobre o oscilador são o peso, P, e a tensão no fio, N.

A equação do movimento do oscilador desdobra-se em duas equações, obtidas da sua projecção nas direcções tangencial e normal à trajectória:

mlû - -mgsenO (2.2)

Mi

5—— = ml9' - -mgcosÔ + N. (2.3)

Destas duas equações interessa-nos a primeira, (2.2), pois a partir dela podemos determinar a lei de variação de 6 no tempo e, deste, o período do movimento.

No que se segue, iremos admitir que a amplitude, 90, não é suficientemente pequena para ser

satisfatória a aproximação: seno = 9 , \0\ < |#0|.

Multiplicando ambos os membros da equação (2.2) por 9 (derivada da função 9 em ordem ao tempo), obtemos a equação:

ÔO + Ç-sen00 = O, (2.4)

/

cuja primitiva é:

-02-^cos0 = C, (2.5)

2 /

sendo C uma constante real. Podemos determinar o valor de C atendendo a que quando \0\ = 0O,

então 0 = 0 . Impondo esta condição à equação (2.4), o valor da constante C é:

C = -^cos0o. (2.6)

Então, podemos escrever (2.5) da seguinte forma:

02 = 2 ^ ( c o s 0 - c o s 0o) . (2.7)

Da última expressão obtemos:

0 =— = J-Ç-Jcos0-cos0o . (2.8)

dt V /

A equação (2.8) pode ser reescrita da seguinte forma:

l dd

dt= =. (2.9) \2g ^/cos^-cos^o

Para determinar o período do movimento oscilatório, basta integrar ambos os membros da equação (2.9), atendendo ao facto de que o período é o menor intervalo de tempo de uma oscilação completa. Como o cosseno é uma função par do argumento, podemos escrever:

4

Í2g*

de

ycos#-cos#0

(2.10)

O integral da expressão (2.10) é conhecido por integral elíptico. Para resolver o integral, vamos começar por fazer a seguinte transformação:

cos 0 - cos 9n = 1 - 2sen2 — 1 -2sen' 0,

2 y

100 2 0

sen sen —

2 2

(2.11)

Tendo em consideração a equação (2.11), a equação (2.10) toma a forma que se segue:

, 2.,If.

de

gM \ ,e0 2e

sen -sen' 2 2

(2.12)

Façamos agora a seguinte mudança de variável, definida por:

0 00 n

sen— - sen—senp . 2 2

(2.13)

Diferenciando ambos os membros de (2.13) temos:

— cos — de = sen —- cos BdB.

2 2 2 (2.14)

O domínio de integração em /3 é o intervalo obtemos: 0. u Inserindo a igualdade (2.14) em (2.12), Q rr „ 2sen —cos/3d/3 T = 2 - P 2 , \gh e ff h *e

sen cos p.\\- sen

2 V 2

(2.15)

= 4 dfi g J) yl\-k2sen2j3 (2.16) com k = sen — 2 (2.17) O integral (2.16) é conhecido por integral elíptico de primeira espécie e o seu valor, referente a um dado valor de k, está tabelado (Sommerfeld, 1952). A forma que demos para a expressão do período, T, permite-nos resolver o problema através da utilização de tabelas. Conhecida a amplitude 0O, calculamos o valor de k e, a partir deste e de tabelas, o valor do integral.

Outro método de resolução do integral (2.12) consiste na expansão em série da função integranda. Para isso tomemos:

sen G

s =

d (2.18)

sen

Utilizando (2.18), o integral (2.12), toma a seguinte forma:

7 - 2 Î Ï M

d

±-^\en^[l-4

(2.19)

O desenvolvimento em série ;rie de [l-£2J 2 é:

1 2

[l-£

2

]"

-Y- ■

V 2y ?I S +... (2.20) Temos então: v s sen ° ,0 0 . sen

1 + i ^

-sen 2 2 2 @o 8 4 #0 sen sen 2 2 (2.21) 37

Para simplificar mais a expressão (2.11) podemos escrever, para ângulos 0{) pequenos, mas não

tão pequenos para que a simplificação senO = 0 seja válida, a expansão em série:

e

2

o

4 Í cos#-cos<9n =1 + 2! 4! V 2! 4! (2.22)

A partir da expansão em série (2.22), o período do pêndulo pode ser escrito como uma série de 0,

o v potências (potências de sen—)

T = 2TT 1 + - íe« — + — 5e« — + ■ \ sen — + .

4 2 64 2 148 J 2 (2.23)

Repare-se que se 6Q é muito pequeno, os termos em sen— são desprezáveis em relação à

unidade e retomamos a forma do período TQ =2n I—. Contudo, para amplitudes não tão

pequenas, podemos fazer a correcção do período:

T = 2TT 1 + — 0O 2+ — 0O 4

16 1024

(2.24)

A tabela 2.1 mostra os valores de y l , com ro = 2;r I— , para alguns valores de 0{)

% 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 100° 110° 120° T/

/T

/ Â 0

1,0019 1,0076 1,0171 1,0305 1,0476 1,0685 1,0933 1,1218 1,1542 1,1904 1,2304 1,2742

Tabela 2.1: */Ç em função da amplitude. 7"é o período de oscilação com amplitude 00 qualquer e

T0 é o período com uma amplitude muito pequena. Os valores de '/L foram calculados com base

/ ■* o na expressão (2.24), com aproximação até à segunda ordem.

O gráfico da figura 2.2 mostra a dependência de y na amplitude do movimento

T

CD

H

\» 1.2

Figura 2.2: Gráfico da dependência de y ~ na amplitude do movimento. Os valores utilizados

encontram-se na tabela 2.1.

Pela análise do gráfico da figura 2.2 verificamos que T é função crescente da amplitude. Contudo, para amplitudes angulares iguais ou inferiores a 25° verifica-se que T-Tn

T < l % . O u

seja, nestas condições a aproximação de pequenos ângulos é satisfatória. Contudo, se 6>n > 60°,

o erro cometido ao considerar a aproximação de pequenos ângulos é superior a 7%, como poderemos confirmar na tabela 2.2, onde se apresenta o erro relativo em função da amplitude.

o,

10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 100° 110° 120° T-T0 T0 0,2% 0,8% 2.0% 3,0% 4,8% 6,9% 9.3% 12.2% 15,4% 19,0% 23,0% 27,4% Tabela 2.2: T -T _{1 'o} T

em função da amplitude. T é o período de oscilação com uma amplitude 0O

qualquer e To é o período com uma amplitude muito pequena.

Como verificamos a aproximação de pequenos ângulos é aceitável até amplitudes de 25°, uma vez que o erro relativo se situa abaixo dos 2,0%. Contudo, essa aproximação deixa de ser aceitável para amplitudes superiores, uma vez que o erro relativo se torna considerável.

TÍQ \—T

Assim, parece-nos interessante comparar — — - na amplitude do movimento quando

se utiliza a equação (2.24) para calcular os períodos T(0O) e Tcom aproximações até à segunda,

quarta e sexta ordem. Essa comparação apresenta-se no gráfico da figura 2.3.

0.5 0.4 ^ =0.3 CD° H 0.2 0 . 1

-aproximação até 2a ordem D aproximação até 4a ordem

aproximação até 6a ordem

o

0-Ò '

O-0 20 40 60 _xo 100 120

e n

T(0o)-To T(On)-Tn

Figura 2.3: Gráfico de na amplitude do movimento. Comparação dos valores de

'o 'o em função da amplitude do movimento, com aproximação até à segunda, quarta e sexta ordem.

Da análise do gráfico da figura 2.3, verificamos que para valores da amplitude até 25° há uma excelente concordância entre as três aproximações. No entanto, quando a amplitude angular é superior a 40° começa a haver uma nítida separação entre os valores obtidos pela aproximação até segunda ordem e as aproximações até quarta e sexta ordem, pelo que deixa de ser satisfatória a aproximação de pequenos ângulos para valores de amplitudes angulares superiores a 40°.

2.1.2. Determinação do período das oscilações do pêndulo utilizando uma expansão em série

Como já referimos, quando o período de oscilação se torna apreciável é necessário ter em consideração o cálculos de integrais elípticos (equação (2.16)). Uma vez que esta abordagem se pode tornar um pouco difícil para alunos com conhecimentos elementares de cálculo, resolvemos apresentar uma aproximação alternativa, fazendo a sua expansão em série, que pode ser facilmente acompanhada por qualquer aluno de um curso introdutório de Física.

Consideremos a equação do movimento:

0 + ^senO = 0. (2.25)

A expansão em série do senO é:

sen0 = 6--6* +-05 -... , (2.26)

3! 5!

com 6 pequeno.

Neste trabalho, atendendo que a amplitude não é tão pequena, vamos considerar a expansão até termos de terceira ordem (Kittel, 1980):

sen0 = 6--O:\ (2.27)

6

O efeito do termo em #3 é o de um oscilador anarmónico ou não linear. Esta situação é de

difícil resolução exacta mas as soluções aproximadas dão uma boa ideia do problema em questão. Vamos procurar essa solução aproximada.

Consideremos então a expansão do senO até termos de ordem em 03, como na expressão

(2.27). Por substituição desta expressão na equação do movimento (2.25), obtém-se:

0 +

^-6 = 0. (2.28)

Tomando a>0 = —, a equação anterior pode adquirir a forma:

9 + a>û f 1

0--0

A (2.29)

ou:

9 + 0)19 -^-03 =0.

6 (2.30)

Vamos procurar uma solução aproximada da equação (2.30) da forma

0 = 0asencot + s0aserucot, (2.31)

onde s é uma constante adimensional, que se espera ser muito menor do que a unidade quando 0fí « 1. Com a expressão (2.31) pretendemos mostrar que o movimento pode ser representado

como a sobreposição de dois movimentos diferentes, um cuja dependência no tempo é em sencot e o outro em sen3coí.

A presença do termo seríicot na solução (2.31 ) é sugerida pela identidade trigonométrica:

3 3 X 1

sen x = —senx — sen3x. 4 4

(2.32)

Desta forma, o termo 0' gerará, a partir do cubo do sencot. um termo em 3Ú)Í. Para satisfazer a equação diferencial é necessário adicionar ao sencot um termo como ssenScot, que cancele exactamente, o termo em serùcot gerado por 6*. Continuando este processo, o novo termo em serúcot na solução de ensaio originará, ao ser elevado ao cubo, um termo em

£s serf) cot, e assim por diante. Não existe motivo aparente para que este processo pare, mas, se

£ « 1, pode-se esperar que a série convirja rapidamente, porque são envolvidas na expansão potências cada vez mais altas de s, associadas aos termos de alta frequência. Assim, concluímos que a equação (2.31 ) só pode ser uma solução aproximada.

A solução do tipo que estamos a considerar para a equação diferencial (2.30), é chamada solução perturbativa, porque cada termo da equação diferencial perturba o movimento que ocorreria na sua ausência.

Vamos agora determinar s e co . Embora co se deva reduzir a co0 para pequenas amplitudes,

poderá diferir dele para as grandes amplitudes. Por simplicidade, vamos supor que 9 = 0 em / = 0.

Da equação (2.31 ). obtemos:

0 = -orQ^sencot -9co2£Û0sen3cot (2.33)

03 » Ol[sen""cot + 3esen2cotsen3cot + ...). (2.34)

Notemos que em (2.34) desprezamos os termos de ordem superior à primeira em e, atendendo à hipótese de que é possível encontrar uma solução com £ « 1. Atendendo às identidades (2.33) e (2.34), as diversas parcelas da equação (2.30) podem escrever-se da seguinte forma:

0 = -co~ûQsencot - 9co~ £Ô0sen3cot ;

colO = col9asencot + co2£0Qsen3cot ;

-~colO~ = —^-O^sencot + ^-0Qsen3cot —~9l£sen~cotsen3cot. (2.35) ,203 = -^LelsenaJt + ^0lsen3cot - ^ ai ■

6 24 24 2

Notemos que na última expressão de (2.35) utilizamos a identidade (2.32). Vamos agora adicionar membro a membro os termos da expressão (2.35). A soma dos membros esquerdos é nula devido à igualdade (2.30). Deste modo deve ser nula a soma dos membros da direita.

qualquer que seja o instante de tempo /. Deste modo é necessário que os coeficientes de senœt e serôcot sejam nulos.

O requisito de que o coeficiente do termo em sencot da soma deve ser nulo conduz à seguinte equação em co : 3 >.36) A solução da equação (2.36) é: co = con 1 „, 1—0 _{o •} (2.37)

Considerando 0O pequeno, podemos tomar:

co = co

16 ■0k (2.38)

A equação (2.38) descreve a dependência de co em <90. Aqui, co0 é o limite de co quando

0O —> 0, que corresponde ao limite das pequenas amplitudes. Se compararmos a expressão

(2.38) com a expressão (2.24), só levando em consideração a aproximação até à segunda ordem, verificamos que chegamos ao seguinte resultado:

_2n _2K CO CO _{o V} 16 2

JL

co0 2 \

i3.

16 = T

i

+

4.

16 \ (2.39)

Esta comparação mostra que o período pode ser obtido a partir de duas aproximações. Verificamos que este tratamento conduz ao mesmo resultado da equação (2.24) quando consideramos aproximações até segunda ordem.

A solução (2.31) contém também um termo em serúcot. O peso relativo deste termo é igual a s, cujo valor é dado pela condição de que o coeficiente do termo em sen3coí, obtido a partir da soma dos elementos esquerdos da igualdade (2.35), ser nulo:

■9a2 s + cote+ ^0} = 0 . (2.40)

o 2 4

G2

Tomando ar = a>l, o que equivale a desprezar o factor —— na expressão (2.38), então a 16

equação (2.40) reduzir-se-á a:

s = -^-«\, (2.41) 192

de acordo com o que esperávamos qualquer que seja o valor de 0a considerado.

O coeficiente do termo sen2cotsen3coí, na soma dos membros esquerdos de (2.35) é pequeno,

sendo de ordem s ou de e1, relativamente aos termos conservados; na expansão de 6

desprezamos este termo na nossa aproximação.

Na equação (2.31) não incluímos um termo em senlcot, pois para uma solução da forma:

0 = 0osencot + r)9asen2cot (2.42)

encontramos rj = 0, significando que no desenvolvimento de 9 que consideramos só apareceu o terceiro harmónico, ou seja, termos em 3cot, e não o segundo.

Vemos que este tratamento da equação do pêndulo gravítico para amplitudes não muito pequenas conduziu ao resultado interessante em que a elongação 0{t) é descrita por uma expansão em série de harmónicos. Como vimos, o termo dominante é em sencot, e dizemos que

co é a frequência fundamental do pêndulo. Na aproximação em que 0O é pequeno, mas não o

suficiente para se considerar satisfatória a aproximação sen0o =d0, CÙ é dado pela equação

(2.38). O termo em senbcot, chamado o terceiro harmónico, tem frequência que é o triplo da fundamental. Este resultado confirma que o movimento do pêndulo com amplitude elevada não é harmónico simples.

2.2 Pêndulo Físico

Como foi referido anteriormente, o pêndulo gravítico simples é constituído por uma haste rígida, de massa nula, na qual está suspensa a massa pontual M. Nestas condições em que as forças dissipativas não actuam no sistema, o período do pêndulo é dado pela expressão (2.23).

TM=2«f

g _-sen -> 0n _{— sen — +} 9 4 # 0 64 2 ]5_ 48 6 #0 , sen —- + . (equação 2.23)

Verificamos na expressão (2.23), que o período não depende da massa pendular. Isto Mg

acontece porque a componente tangencial à trajectória da força resultante, ——, que é a força restauradora, é directamente proporcional à massa do pêndulo. Deste modo, a massa é um factor comum em ambos os membros da equação do movimento, eliminando-se da equação.

Embora a dinâmica do pêndulo gravítico real (pêndulo físico) em que a massa da haste é muito pequena em relação à massa do corpo suspenso, seja bem descrita pela teoria do pêndulo gravítico simples, faz sentido estudar a situação mais geral, em que tal condição não se verifica.

No que se segue, iremos considerar um pêndulo gravítico real, constituído por uma haste de comprimento / e massa uniformemente distribuída, de valor M, à qual está suspenso um corpo de massa m. Continuaremos a admitir que o sistema está livre de forças dissipativas. A figura 2.4, mostra um esquema do sistema mecânico que será estudado.

Figura 2.4: Um pêndulo físico real. Quando 6> = 0, o centro de gravidade está directamente abaixo do ponto de suspensão O .

Ô corpo suspenso encontra-se à distância x do eixo de rotação do pêndulo, que passa pela extremidade O da haste rígida. As forças que actuam no pêndulo e que têm interesse na discussão que se segue são o peso da barra e o peso do corpo. O momento resultante destas forças em relação ao eixo de rotação, é:

MR=-g ML

\

■ + mx sen0.ê^

J (2.43)

Sendo I o momento de inércia do sistema relativamente ao eixo de rotação, dado por:

/ = mx2 +—ML2, (2.44)

a equação do movimento do pêndulo gravítico pode ser escrita do seguinte modo:

-g ML \ + mx sen 6 = J mx1 + — ML2 3 \ ,^-

_d

L

e

dr ' (2.45)

que pode ser reescrita da seguinte forma:

d-e -rr+g dt ML + mx _2 ML2 +mx: send = 0 (2.46)

Considerando que o pêndulo oscila com pequena amplitude (é?0 muito pequeno), a

equação (2.46) toma a forma:

d-e dt ML + mx ML-+ mx 0 * 0 . (2.47)

Desta equação podemos concluir que o período das oscilações de pequena amplitude do pêndulo é função da posição x do oscilador:

T(x)=2 71 ML-+ mx g ML \ + mx j (2.48) 1.9 L= M = lm =km • •

•

•

1

• 1.8 1.7 : • _• • k=l k=2 k=l/2 • ! • • • • • •

•

1

• 1.6 1.5 » - • • - • • • • • • • • • • • • • • •_• • • • 1.4 • _• • • • • • -1.3 , 1 , , , 1 0.2 0.4 0.6 A 0.8 0.66

Figura 2.5: Dependência do período na distância do corpo ao eixo de rotação, x.

O gráfico da figura 2.5 mostra a dependência de T(x), determinada a partir da equação (2.48) na qual se tomou L = lm e M=Km. sendo K= —, /, 2.

2

Podemos observar que para qualquer valor de K existe um valor de x para o qual o período toma um valor mínimo. O valor mínimo do período depende da razão K = — . Com base na

m função (2.48), podemos calcular a posição xe do corpo para o qual Té mínimo:

KL x„ - — ' 9 ( I 4T ^ 1+ 1 3K (2.49)

Outro aspecto interessante que o gráfico da figura 2.5 nos revela é a existência de uma posição do corpo para a qual o período de oscilação do pêndulo é igual ao período de oscilação da barra livre (x=0):

T(x = 0)=2xM. (2.50)

O valor da posição do corpo para o qual se verifica a igualdade do período do pêndulo com o período de oscilação da barra livre T(x = 0) é:

IL

x = — = 0,66(6)Z , (2.51) 3

que, como vemos, é independente das massas da haste rígida.

De seguida, apresentaremos um estudo experimental da dependência do período de oscilação do pêndulo gravítico na posição do corpo e na amplitude de oscilação.

23A Estudo da dependência do período de oscilação do pêndulo físico na

posição do corpo

A montagem experimental utilizada para o estudo da dependência do período do pêndulo na posição do corpo está esquematizada na figura 2.6.

Legenda: 1. Suporte fixo;

2. Sensor de rotação, Rotary Motion Sensor CI-6538 da Pasço;

3. Barra de alumínio, rígida de 1 m de comprimento e de (124,3 ± 0,0 l)g ; 4. Cilindro de cobre de massa

(189,4 ± 0,0 \)g;

5. Sistema automático de aquisição de dados constituído por interface Science Workshop M 750 e

computador com software DataStudio.

Figura 2.6: Esquema da montagem laboratorial utilizada para estudar a dependência do período do pêndulo gravítico na posição do corpo e na amplitude de oscilação (os elementos representados não se encontram à escala).

A haste rígida utilizada foi feita de alumínio e tem a forma de um cilindro, de comprimento igual a (l,000±0,00l)w e diâmetro (l0,000 ± 0,00\)mm. A massa da haste é igual a (124,30 ±0,0%. Junto a uma das extremidades da barra fizemos um furo de modo a lixá-la a um sensor de rotação, Rotary Motion Sensor CI-6538 da Pasço. O sensor utilizado é um sensor de posição bidimensional que contém um codificador óptico que permite no máximo 1440 contagens por revolução (360°). A resolução do sensor pode ser escolhida pelo programa de aquisição DataStudio e pode tomar valores entre 360 divisões por rotação ou 1440 divisões por rotação quando se pretende uma maior resolução. O sensor ainda é sensível ao sentido de rotação. Com este tipo de sensor não é necessário proceder a calibração, no entanto, antes de iniciar as aquisições tivemos o cuidado de ajustar o zero do aparelho ligando a Science Workshop Rotary Motion Sensor e colocando o sensor no zero. A precisão do sensor é 0,09°,

podendo efectuar 13 revoluções por segundo a Io de resolução, a 0.25° de resolução. Podemos

obter no mínimo 10 amostragens por segundo e no máximo 1000 amostragens por segundo. A taxa de amostragens utilizada neste trabalho foi de 360 amostragens por segundo.

O sensor foi convenientemente colocado num suporte estático. A distância entre o local de encastramento da barra no sensor de rotação e a sua extremidade livre é (98,l±0,l)tw. O corpo oscilante é um cilindro de cobre, de altura (l,80±0,0l)cm. diâmetro (4,00 ± 0,0\)cm e massa igual a (l 89,4 ±0,2)#, perfurado ao longo do seu eixo longitudinal, de modo a poder ser atravessado pela haste. O diâmetro da perfuração do cilindro é ligeiramente superior ao diâmetro da haste. Este cilindro pode deslizar pela haste, ocupando diversas posições. As diversas posições ocupadas pelo cilindro foram medidas com uma régua de comprimento

(l,000 ± 0.00l)m desde o ponto de encastramento da barra até metade da altura do cilindro. Para fixar o cilindro numa dada posição na haste, utilizamos um pequeno parafuso, que atravessando o cilindro, aperta-se contra a haste. Ao realizar a montagem laboratorial houve o cuidado de minimizar o atrito no ponto de suspensão e outras forças dissipativas.

O sensor de rotação está ligado a uma interface Pasço 750 que, por sua vez. comunica com um computador. O programa de controlo e de aquisição utilizado foi o DataStudio.

2.3.1.1. Procedimento experimental e análise de resultados

Fixamos o cilindro numa dada posição da haste, apertando o parafuso. Medimos, de seguida, a distância entre o local de encastramento da haste no sensor de rotação e o centro do cilindro. Desviamos o sistema em relação à posição vertical de um ângulo próximo de 20°. Consideramos que este valor de amplitude é satisfatório, pois como já vimos, podemos considerar o movimento do pêndulo como se fosse harmónico. Iniciamos a rotina de aquisição de dados e abandonamos o sistema. O programa DataStudio regista o valor do ângulo que a haste faz em relação à vertical, em função do tempo. Após o pêndulo ter realizado algumas oscilações, paramos a rotina de aquisição. Repetimos este procedimento para diversas posições do cilindro ao longo da haste, mantendo a amplitude das oscilações aproximadamente igual a 20°.

A figura 2.7 mostra a elongação angular em função do tempo registada no caso em que a distância do cilindro ao ponto de encastramento foi (0,572 ± 0.00\)m .

-20

x=57.2 cm

Figura 2.7: Elongação angular em função do tempo, no caso em que a distância do corpo ao ponto de encastramento é igual a (0,572 ± 0,00\)m .

No intervalo de tempo de medida (cerca de 8 s), os efeitos das forças dissipativas que actuam no pêndulo são desprezáveis. Assim, para determinar o valor da frequência de oscilação do sistema, para cada posição do cilindro ao longo da barra, ajustamos a seguinte função aos resultados experimentais:

y{t)= Asen(a>t + 0), (2.52)

em que A é a amplitude inicial de oscilação, a é a frequência angular e 0 é a fase inicial do movimento.

23.1*2 Resultados e discussão

O gráfico da figura 2.8 mostra a dependência do período de oscilação com a distância do corpo ao eixo de rotação.

-0.66 m

Figura 2.8: Representação gráfica da dependência do período de oscilação com a distância do cilindro ao eixo de rotação. A linha vermelha representa o melhor ajuste da equação (2.48) aos resultados experimentais.

Da análise do gráfico da figura 2.8 verificamos que há um excelente acordo entre a teoria desenvolvida partindo de valores próximos de zero, e os resultados experimentais. A linha contínua, a vermelho, corresponde ao melhor ajuste da expressão:

KL1

— + x

T(x) = 2n\ / , , (2.53)

- + JC

M M aos resultados experimentais, onde K = — . O valor obtido para K = — = (0,65 ± 0,02). está

m m em excelente acordo com o valor esperado — = ' = (0,65 ± 0,02) .

[m 189,4 v )

Apesar de considerarmos que há um bom ajuste da equação (2.48) aos resultados experimentais, verificamos que esse ajuste é muito melhor para valores de x < 0,5w. Em particular, esse ajuste não é tão bom quando x > 0,66«?.

O valor de x determinado para o qual o período de oscilação do sistema é igual ao período das oscilações da haste livre é:

x = 0,66m , (2.54)

estando em perfeito acordo com o valor previsto. A esta distância, o período tem um valor T = L633.S dado pela equação (2.50). Também verificamos, através do gráfico da figura 2.8, que o valor mínimo do período ocorre parax(, =(0,24±0,0l)m, que está em perfeito acordo com o

valor previsto pela equação (2.49).

2.4.1. Estudo da dependência do período de oscilação na amplitude

2.4.1.1. Procedimento experimental

Seguidamente apresentamos o estudo experimental da dependência do período na amplitude de oscilação. Para tal, utilizamos a montagem experimental anteriormente descrita e cujo esquema está representado na figura 2.6 e cuja descrição foi apresentada em 2.4.1. Como o objectivo desta parte do trabalho é a de estudar a dependência do período na amplitude de oscilação, colocamos o cilindro móvel numa posição fixa, cuja distância ao eixo de rotação é

igual a (0,585 ± 0,00\)m. Como anteriormente, esta distância foi medida desde o ponto de encastramento da haste no sensor, até ao centro do cilindro.

Afastou-se o sistema da posição de equilíbrio até que o ângulo entre o eixo da haste e a vertical tomasse determinado valor. Com o programa de aquisição e controlo DataStudio a funcionar abandonou-se o sistema, deixando-o executar algumas oscilações. Registou-se a elongação angular em função do tempo. Também aqui, como na primeira parte do trabalho, a taxa de amostragem utilizada foi de 360 por segundo.

Repetiu-se este procedimento para diversos valores da amplitude entre 10° e 150°.

2.4.1.2 Análise dos resultados experimentais

A figura 2.9 mostra como exemplo a elongação angular em função do tempo em que a amplitude de oscilação é igual a (43,7°±0,1°). Tal como no caso anterior, no intervalo de tempo de medida, o efeito das forças dissipativas pode ser desprezado. Chamemos a atenção para o facto de quando o pêndulo oscila com grandes amplitudes, o movimento não é harmónico. Por esse facto, determinamos o período de oscilação a partir da determinação do intervalo de tempo At entre n oscilações completas. O período é igual a :

T = — . (2.55) n

A linha azul no gráfico da figura 2.8 foi calculada a partir do melhor ajuste da equação (2.55) aos dados experimentais. Este procedimento foi efectuado para analisar os gráficos 0{t) obtidos em diversos ensaios.